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Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (221)

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34. Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções que representa a
função f(x) =
ex
2 − 1
x
.
35. Usando séries de Maclaurin, mostre que
∫
cosxdx = sin x+ k.
36. Desenvolva a função f(x) =
∫ x
0
t2 ln(1 + 4t2)dt em séries de MacLaurin e determine o
seu intervalo de convergência.
37. Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(a) f(x) = sin2 x (b) f(x) = x2 sin 2x (c) f(x) = e3x (d) f(x) = e−x
2
(e) f(x) = cos 2x (f) f(x) =
sin(x5)
x3
(g) f(x) =
cosx
x2
(h) f(x) = x3ex
2
38. Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular os seguintes limites.
(a) lim
x→0
cos 2x+ 2x2 − 1
x4
(b) lim
x→0
sin(x2) + cos(x3)− x2 − 1
x6
(c) lim
x→0
ln(1 + x2)
1− cosx (d) limx→0
ln(1 + x2)− 3 sin(2x2)
x2
(e) lim
x→0
ln(1 + x3)− ex3 + 1
x6
(f) lim
x→0
x2 sin(x2) + ex
4 − 1
ln(1 + x4)
(g) lim
x→0
cos(2x2)− ex4
x sin(x3)
(h) lim
x→0
sin(x8) + cos(3x4)− 1
ex8 − 1
39. Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a)
∞∑
n=0
enk = 9 (b) lim
x→0
e−x
4 − cos(x2)
x4
= k
40. Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(a) f(x) =
1
1− x (b) f(x) =
1√
1 + x
(c) f(x) =
1
1 + x2
(d) f(x) =
1√
1− x2 (e) f(x) =
∫
sinx
x
dx (f) f(x) =
∫
e−x
2
dx
(g) f(x) =
∫
ln(1 + x)
x
dx (h) f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
(i) f(x) = arcsinx
(j) f(x) = arccosx (k) f(x) = arctanx (l) f(x) = 3
√
1 + x
190
41. Calcule a integral
∫ t
0
1
3
√
1 + x4
dx utilizando expansão em série de potências. Determine
o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos
não nulos.
191
5.20 Respostas
1. .
(a) 1
4
(b) 0 (c) 0 (d) 0 (e) @ (f) 0 (g) @ (h) @
(i) @ (j) pi
2
(k) e−2 (l) 0 (m) 0 (n) @ (o) 1 (p) 0
2. (a) un =
2n−1
3n
(b) un =
(−1)n−12n−1
3n
(c) un =
2n−1
2n
(d) un =
n−1
n2
3. .
(a) decrescente (b) decrescente (c) decrescente (d) decrescente
(e) decrescente (f) crescente (g) decrescente (h) na˜o-decrescente
4. A sequência converge, pois é uma sequência monótona limitada. Seu limite L é tal que
1 ≤ L ≤ 5.
5. Se a sequência for monótona crescente, será convergente, com limite L ≤ 5. Porém, se
a sequência for monótona decrescente nada podemos a�rmar.
6. Dica para o item (b): Note que se L = lim
n→+∞
un então lim
n→+∞
un+1 = L. Com isso,
aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrência dada e obtém-se que L =
1
2
(
L+ k
L
)
. Agora basta isolar L.
7. Dica para o item (c): Note que se τ = lim
n→+∞
xn = lim
n→+∞
un+1
un
então lim
n→+∞
un−1
un
=
1
τ
.
Com isso, aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrência dada e obtém-se
que τ = 1 +
1
τ
. Agora basta isolar τ.
8. .
(a) Sn =
n
2n+1
. A série converge para
1
2
(b) Sn =
8n
4n+1
. A série converge para 2
(c) Sn =
n(n+2)
(n+1)2
. A série converge para 1 (d) Sn = − ln(n+ 1). A série diverge
(e) Sn =
1
3
− 2n
3.5n
. A série converge para
1
3
(f) Sn = 1− 1√n+1 . A série converge para 1
(g) Sn =
1
2
− 1
(n+2)!
. A série converge para
1
2
(h) Sn =
5
2
− 2
n+1
− 1
n+2
. Converge para
5
2
9. .
(a) F (b) F (c) F (d) F (e) V (f) V (g) F (h) F
(i) F (j) F (k) V (l) V (m) V (n) V (o) V (p) F
10. Sn = 2− 2
2n+ 1
. A série converge para 2.
11. (a) S =
1
4
(b) S =
1
7
(c) S =
7
24
(d) A série diverge
12. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) C (c) C (d) D (e) D (f) C (g) C (h) C (i) C
(j) D (k) C (l) C (m) D (n) D (o) C (p) D (q) C (r) C
13. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) D (c) C (d) I (e) D (f) C (g) I (h) C (i) I (j) C (k) D (l) D (m) C
192
14. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) C (c) C (d) C
15. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) D (c) D (d) D (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C
16. .
(a) absolutamente (b) absolutamente (c) absolutamente
(d) absolutamente (e) divergente (f) absolutamente
(g) absolutamente (h) condicionalmente (i) divergente
(j) condicionalmente (k) divergente (l) absolutamente
(m) condicionalmente (n) absolutamente (o) condicionalmente
17. .
(a) absolutamente (b) condicionalmente (c) condicionalmente
(d) absolutamente (e) absolutamente (f) absolutamente
(g) divergente (h) absolutamente (i) divergente
18. I é o intervalo de convergência e R é o raio de convergência
(a) R = 1, I = [−1, 1) (b) R = 1, I = [−1, 1] (c) R =∞, I = (−∞,∞)
(d) R = 1
4
, I = (−1
4
, 1
4
) (e) R = 1
2
, I = (−1
2
, 1
2
] (f) R = 4, I = (−4, 4]
(g) R = 3, I = (−5, 1) (h) R = 1, I = (3, 5) (i) R = 2, I = (−4, 0]
(j) R = 0, I = {1
2
} (k) R = 3, I = [−3, 3] (l) R = 1
4
, I = [1, 3
2
]
(m) I = [4, 6), R = 1 (n) I = (−4, 0), R = 2 (o) I = (1− e, 1 + e), R = e
(p) I = [−3
2
,−1
2
], R = 1
2
(q) I = [0, 2], R = 1 (r) I = (−3
2
, 3
2
), R = 3
2
19. [−1, 1], [−1, 1] e (−1, 1), respectivamente.
20. .
(a)
1
(1− x)2 (b)
x
(1− x)2 (c) 2 (d)
2x2
(1− x)3
(e) 4 (f) 6 (g) − ln(1 + x) (h) 2 ln 3
2
21. .
(a) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx3n (b) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx3n
4n+1
(c) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n9nxn+ 12 (d) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n4nx2n+1
9n+1
(e) f(x) =
∞∑
n=1
2n−1nxn+1 (f) f(x) =
∞∑
n=1
nxn+2
2n+1
(g) f(x) = −
∞∑
n=0
xn+1
(n+ 1)5n+1
(h) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+3
n+ 1
22. (a)
∞∑
n=0
x8n+2
8n+ 2
(b) −
∞∑
n=0
x2n−4
n(2n− 4) (c)
∞∑
n=1
(−1)n+1x2n−1
4n2 − 1 (d)
∞∑
n=0
(−1)nx4n+3
(4n+ 3)(2n+ 1)
23. Dica: Mostre que arctanx =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
2n+ 1
e depois faça x =
√
3
3
.
24. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
25. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
193
26. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
27. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
28. (a)
√
2
2
(b)
√
3
2
(c) e3 − 1 (d) e 35
29. Intervalo de convergência:
−1
2
≤ x ≤ 9
2
e raio de convergência R =
5
2
.
30. Intervalo de convergência:
−2
3
≤ x < 4.
31. Dica: Note que a série dada é geométrica!
32. Desenvolvendo em séries de Taylor, tomando a = 1 :
∞∑
n=0
(−1)n(4n+ 4)(x− 1)n
Intervalo de convergência: 0 < x < 2.
33. cosh(x3) =
∞∑
n=0
x6n
(2n)!
, que converge para todo x ∈ R
34. Desenvolvimento em séries de MacLaurin : f(x) =
∞∑
n=1
x2n−1
n!
que converge para todo
x ∈ R, ou seja, o raio de convergência é in�nito.
35. Basta integrar termo a termo.
36. f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n4n+1x2n+5
(n+ 1)(2n+ 5)
converge para
−1
2
≤ x ≤ 1
2
.
37. Desenvolvimento em séries de Maclaurin
(a)
∞∑
n=0
(−1)n22n+1
(2n+ 2)!
x2n+2 (b)
∞∑
n=0
(−1)n22n+1
(2n+ 1)!
x2n+3 (c)
∞∑
n=0
3n
n!
xn
(d)
∞∑
n=0
(−1)n
n!
x2n (e)
∞∑
n=0
(−1)n22n
(2n)!
x2n (f)
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x10n+2
(g)
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n−2 (h)
∞∑
n=0
1
n!
x2n+3
38. (a)
2
3
(b) − 2
3
(c) 2 (d) − 5 (e) − 1 (f) 2 (g) − 3 (h) − 7
2
39. (a) k = ln
8
9
(b) k = −1
2
194
40. Desenvolvimento em Séries de MacLaurin
(a)
∞∑
n=0
xn (b) 1 +
∞∑
n=1
(−1)n1.3.5. · · · .(2n− 1)
2nn!
xn
(c)
∞∑
n=0
(−1)nx2n (d) 1 +
∞∑
n=1
1.3.5. · · · .(2n− 1)
2nn!
x2n
(e)
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!(2n+ 1)
(f)
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
(g)
∞∑
n=0
(−1)nxn+1