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∀n ∈ N, teˆm inflexa˜o em x = 0, ja´ que f ′′(x) = 2n · (2n+ 1) · x2n−1. • a func¸a˜o y = 4x 13 −x 43 e´ cont´ınua em torno da origem, mas tem reta tangente vertical na origem, ou seja na˜o existe f ′(0). Como f ′′(x) = −4(2 + x) x 5 3 isso diz que f ′′(x) > 0 para −2 < x < 0 e f ′′(x) < 0 para x > 0, ou seja, x = 0 e´ ponto de inflexa˜o. Tambe´m f ′′(x) < 0 para x < −2 e portanto x = −2 e´ outro ponto de inflexa˜o. 8. CRITE´RIO DA DERIVADA DE ORDEM N 152 • o gra´fico de y = f(x) (em vermelho) na Figura a seguir representa a pop- ulac¸a˜o de bacte´rias colocada num meio favora´vel, no tempo x. A taxa de crescimento f ′(x) (em verde) vai aumentando ate´ atingir um valor ma´ximo (no ponto de inflexa˜o x ≈ 1.1.), a partir do qual fatores como escassez de nutrientes, aumento de detritos, comec¸am a diminuir essa taxa de crescimento. No ponto de inflexa˜o a acelerac¸a˜o f ′′(x) do processo (em amarelo) e´ nula. 6 2 -6 4 0 x 32,521,51 -4 -2 0,50 A func¸a˜o f(x) sera´ dada explicitamente nas Sec¸o˜es 4 e 5 do Cap´ıtulo 38. 8. Crite´rio da derivada de ordem n Uma func¸a˜o como y = f(x) = sin4(x) claramente tem um ponto de mı´nimo local em x = 0, ja´ que se anula em zero e e´ positiva por perto. No entanto f ′′(x) = 4 sin(x)2 · (4 cos(x)2 − 1) e f ′′(0) = 0, por isso na˜o esta´ ao alcance do crite´rio da segunda derivada (Afirmac¸a˜o 2.1). Tambe´m f ′′′(x) = 8 sin(x) cos(x) · (8 cos(x)2 − 5) se anula em x = 0, pore´m: f (iv)(x) = 256 cos(x)4 − 272 cos(x)2 + 40 tem valor f (iv)(0) = 24. A Afirmac¸a˜o 2.1 se generaliza assim: Afirmac¸a˜o 8.1. Suponha f : (a, b) → R com derivadas de todas as ordens7. Seja n ∈ N. 7Na˜o confunda a derivada de ordem n, f (n), com a poteˆncia n-e´sima fn. CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 153 i) se f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (2n−1)(x) = 0 mas f (2n)(x) > 0 enta˜o x e´ ponto de mı´nimo local. ii) se f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (2n−1)(x) = 0 mas f (2n)(x) < 0 enta˜o x e´ ponto de ma´ximo local. ii) se f ′(x) = . . . = f (2n)(x) = 0 mas f (2n+1)(x) 6= 0 enta˜o x e´ ponto de inflexa˜o. Demonstrac¸a˜o. Item i): A prova completa seria ∀n ∈ N e a´ı enta˜o a induc¸a˜o matema´tica seria exigida. Por isso, para simplificar mas mesmo assim dar uma ı´de´ia da prova, me atenho ao primeiro caso relevante, ou seja quando n = 2. Temos por hipo´tese: f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = 0 mas f (iv)(x) > 0. Como ha´ derivadas de todas as ordens, a func¸a˜o f (iv)(x) e´ cont´ınua em x, pois e´ ate´ mesmo deriva´vel. Logo pelo princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas, existe um intervalo Ix = (−δ + x, x++δ) centrado em x tal que f (iv)(x) > 0, ∀x ∈ Ix. Enta˜o no intervalo Ix a func¸a˜o f ′′′(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente. Como por hipo´tese f ′′′(x) = 0, concluimos que: f ′′′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′′′(x) > 0 em (x, x+ δ). Ou seja que a func¸a˜o f ′′(x) e´ estritamente decrescente em (−δ + x, x) e f ′′(x) e´ estritamente crescente em (x, x+ δ). Como f ′′(x) = 0 isso diz que: f ′′(x) > 0 em (−δ + x, x) ∪ (x, x+ δ). Agora enta˜o f ′(x) e´ estritamente crescente em (−δ+x, x)∪(x, x+δ). Como f ′(x) = 0 temos que f ′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′(x) > 0 em (x, x+ δ). Por u´ltimo isso diz que f e´ estritamente decrescente em (−δ+x, x) e f e´ estritamente crescente em ((x, x+ δ). Logo x e´ ponto de mı´nimo. Iem ii): Ana´logo, mutatis mutandis. Item iii): Temos por hipo´tese: f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = f (iv)(x) = 0 mas f (v)(x) 6= 0. Por exemplo suponhamos f (v)(x) > 0. o caso negativo e´ ana´logo. 9. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE POLINOˆMIOS 154 Como ha´ derivadas de todas as ordens, a func¸a˜o f (v)(x) e´ cont´ınua em x, pois e´ ate´ mesmo deriva´vel. Logo pelo princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas, existe um intervalo Ix = (−δ + x, x++δ) centrado em x tal que f (v)(x) > 0, ∀x ∈ Ix. Enta˜o no intervalo Ix a func¸a˜o f (iv)(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente. Como por hipo´tese f (iv)(x) = 0, concluimos que: f (iv)(x) < 0 em (−δ + x, x) e f (iv)(x) > 0 em (x, x+ δ). Ou seja que a func¸a˜o f ′′′(x) e´ estritamente decrescente em (−δ + x, x) e f ′′′(x) e´ estritamente crescente em (x, x+ δ). Como f ′′′(x) = 0 isso diz que: f ′′′(x) > 0 em (−δ + x, x) ∪ (x, x+ δ). Agora enta˜o f ′′(x) e´ estritamente crescente em (−δ+x, x)∪(x, x+δ). Como f ′′(x) = 0 temos que f ′′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′′(x) > 0 em (x, x+ δ). Por definic¸a˜o, x e´ um ponto de inflexa˜o. � 9. Confecc¸a˜o de gra´ficos de polinoˆmios Considere a func¸a˜o polinomial y = f(x) = x3 − x. O objetivo e´ fazer seu gra´fico, de modo qualitativamente correto, sem qualquer calculadora. Primeiro noto onde f = 0, onde f > 0 ou f < 0 (pois essas informac¸o˜es na˜o sera˜o fornecidas pela f ′(x)). Ora f(x) = x · (x2 − 1) e da´ı sai que • f(x) = 0 exatamente para x = 0,−1, 1; • f(x) > 0 para −1 < x < 0 ou x > 1; • f(x) < 0 para x < −1 ou 0 < x < 1. A derivada e´ f ′(x) = 3x2 − 1 e portanto • f ′(x) = 0 em x = √ 1 3 ,− √ 1 3 . • f ′(x) > 0 se x > √ 1 3 ou x < − √ 1 3 . • f ′(x) < 0 se − √ 1 3 < x < √ 1 3 . • f ′(0) = −1 Essas informac¸o˜es sobre f ′(x) ja´ dizem que x = √ 1 3 e´ ponto de mı´nimo local de f(x) e que x = − √ 1 3 e´ ponto de ma´ximo local de f(x). E tambe´m que f e´ crescente se x > √ 1 3 ou x < − √ 1 3 e que f(x) e´ decrescente se − √ 1 3 < x < √ 1 3 . Por u´ltimo, f ′(0) = −1 diz que o gra´fico perto da origem se parece com y = −x. CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 155 Agora f ′′(x) = 6x, ou seja f ′′(0) = 0, e em x = 0 ha´ mudanc¸a de sinal da f ′′(x). Logo x = 0 e´ ponto de inflexa˜o. Para x < 0 a concavidade de f e´ para baixo e para x > 0 a concavidade de f e´ para cima. A Figura a seguir recolhe essas informac¸o˜es, mas como as escalas sa˜o diferentes nos dois eixos a informac¸a˜o f ′(0) = −1 na˜o e´ respeitada: 8 0 4 -4 -8 x 1-1 1,50,5-1,5 -0,5 0 Figura: y = f(x) = x3 − x (verm.), f ′(x) (verde), f ′′(x) (amar.) Os Exerc´ıcios 10.5 e 10.6 desafiara˜o o leitor a fazer gra´ficos qualitativamente cor- retos de polinoˆmios, sem usar nenhuma calculadora. Para compreender mais unificadamente a variedade de gra´ficos de func¸o˜es cu´bicas do tipo y = ax3 + bx2 + cx+ d, o leitor pode ler o Cap´ıtulo 32. Na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 14 faremos gra´ficos de func¸o˜es racionais, quocientes de polinoˆmios. 10. Exerc´ıcios Exerc´ıcio 10.1. 3) Encontre o ponto do gra´fico de y = x 2 2 que minimiza a distaˆncia ate´ P = (2, 1) pelos metodos i): de buscar pontos de ortogonalidade com o gra´fico e ii): via mı´nimo da func¸a˜o quadrado da distaˆncia. Exerc´ıcio 10.2. 4) As Figuras i) e ii) abaixo da˜o dois exemplos de func¸o˜es derivadas f ′(x), apenas dadas qualitativamente. Encontre f(x) (qualitativamente) que sejam compat´ıveis com cada f ′ dada. 2 0 -2 -6 4 -4 x 321-1-2-3 6 0 10. EXERCI´CIOS 156 Figura i): Gra´fico de uma func¸a˜o derivada f ′. 5 -15 -5 x 43210-1-2 15 10 0 -10 -20 Figura ii): Gra´fico de uma func¸a˜o derivada f ′. Exerc´ıcio 10.3. A Figura mostra o gra´fico de uma func¸a˜o e o de sua derivada. Qual e´ qual e por queˆ ? (Justifique analisando a relac¸a˜o entre zero/sinal da f ′ e a f ter ma´ximo/mı´nimo ou ser crescente/decrescente). 80 0 40 4 -40 x 31 20 -80 -2 -1 Exerc´ıcio 10.4. Veja o gra´fico a seguir como o gra´fico de uma func¸a˜o derivada y = f ′(x). i) Sobreponha a ele o gra´fico de uma y = f(x) qualitativamente compat´ıvel (Atenc¸a˜o a` relac¸a˜o entre zero/sinal de f ′(x) e ma´ximo, mı´nimo, crecimento, decresci- mento da f). ii) fac¸a com detalhe a regia˜o da f que corresponde ao ma´ximo da f ′(x). 2 1 0 -1 -3 -4
