AP1 metdet ii 2018 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 18/03/2017
Questa˜o 1 [1,8pts] Sejam f e g duas func¸o˜es bijetivas tais que:
(f ◦ g)
(2
5
)
= 34 , f
(2
5
)
= 43 e f
−1
(3
4
)
= 12 .
Ache a) g−1
(
1
2
)
, b) (f ◦ g−1)
(
1
2
)
.
Soluc¸a˜o: Ambas as func¸o˜es possuem inversas, uma vez que sa˜o bijetivas. Veja que: f−1
(
3
4
)
=
1
2 ⇔ f
(
1
2
)
= 34 , a)
f
(
g
(2
5
))
= 34 ⇒ f
(
g
(2
5
))
= f
(1
2
)
⇒ g
(2
5
)
= 12 ⇒ g
−1
(1
2
)
= 25 .
b)
f
(
g−1
(1
2
))
= f
(2
5
)
= 43 .
Questa˜o 2 [1,6pts] Encontre os valores x ∈ R tais que
√
3x2 + 5x+ 1 = 12 .
Soluc¸a˜o: Como vale a equivaleˆncia
√
3x2 + 5x+ 1 = 12 ⇔ 12x2 + 20x+ 3 = 0.
Resolvendo obtemos
x = −20±
√
400− 144
24 =
−20± 16
24
Logo as soluc¸o˜es sera˜o x = −16 e x = −32 .
Questa˜o 3 [2,2pt] Se a, b ∈ R− {1} tal que logab(a) = 4. Calcule
logab
(
3
√
a
5
√
b
)
.
Soluc¸a˜o: Veja que logab(a) = 4⇔ (ab)4 = a⇔ b4 = 1a3 ⇔ b = a−
3
4 . Logo
logab
(
3
√
a
5
√
b
)
= 13 logab (a)−
1
5 logab (b)
= 13(4)−
1
5 logab
(
a−
3
4
)
= 43 −
1
5
(
−34
)
logab (a)
= 43 +
3
20(4) =
4
3 +
3
5 =
29
15 .
Nome da Disciplina AP1 2
Questa˜o 4 [2,4pt] Calcule, caso existe, a func¸a˜o inversa de
f(x) =
{
(x− 1)2 + (x+ 1)2, se x > 1
−1− (x− 1)2, se x < −1
Soluc¸a˜o: Seja f1(x) = (x − 1)2 + (x + 1)2 = 2(x2 + 1) se x > 1 e f2(x) = −1 − (x − 1)2 se
x < −1. Tanto a f1 como a f2 sa˜o injetoras nos seus dom´ınios de definic¸a˜o. Observe ainda que
Im(f1) ∩ Im(f2) = (4,+∞) ∩ (−∞,−5) e´ vazio. Enta˜o se definirmos
f : R→ (−∞,−5) ∪ (4,+∞)
Neste caso f e´ injetora e sobrejetora, portanto admite inversa. Vamos calcular as regras e intervalos
de definic¸a˜o da func¸a˜o inversa.
Considere f2, y = −1 − (x − 1)2 ⇒ (x − 1)2 = −(y + 1) ⇒ |x− 1| =
√
−(y + 1), como
x < −1 < 1⇒ x− 1 < 0 da´ı, |x− 1| = 1− x, e teremos
1− x =
√
−(y + 1)⇒ x = 1−
√
−(y + 1).
Ale´m disso, x < −1⇔ x− 1 < −2 e temos
(x− 1)2 > 4⇒ −(x− 1)2 < −4⇒ y = −1− (x− 1)2 < −5⇒ y ∈ (−∞,−5) = Im(f2).
Para f1 temos que y = 2(x2 + 1)⇒ y2 = x2 + 1⇒ x2 = y2 − 1, mas y ≥ 4, logo vale x =
√
y−2
2 .
Portanto,
f−1(x) =

√
x−2
2 , se x > 4
1−
√
−(x+ 1), se x < −5
Questa˜o 5 [2,0pt] Calcule o lim
x→0
√
x2 + 100− 10
x2
.
Soluc¸a˜o: Multiplique pelo conjugado
lim
x→0
(√
x2 + 100− 10
x2
)(√
x2 + 100 + 10√
x2 + 100 + 10
)
= lim
x→0
x2 + 100− 100
x2
(√
x2 + 100 + 10
)
= lim
x→0
x2
x2
(√
x2 + 100 + 10
)
= lim
x→0
1√
x2 + 100 + 10
= 120 .
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