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Apostila Ajustamento de Observações I

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obtêm quando o número de observações excede o de incógnitas. 
A figura 3 mostra um problema passível de ajustamento. Trata-se de uma rede 
de nivelamento onde Lb1, Lb2 ... Lb12 são os desníveis medidos nas linhas de nivelamento 
independentes. Para se determinar o desnível entre o ponto P e a RN existem várias 
possibilidades, como por exemplo: 
RN
P
Lb1
Lb2
Lb6
Lb5
Lb7
Lb4
Lb11Lb9
Lb10
Lb12
Lb3
Lb8
 
Figura 3 – Rede de nivelamento. 
∆hRNP = Lb1 + Lb8 
∆hRNP = Lb2 + Lb5 + Lb7 + Lb11 
∆hRNP = Lb3 + Lb10 +Lb12 
∆hRNP = Lb1 + Lb4 + Lb7 + Lb11 
∆hRNP = Lb3 + Lb6 + Lb5 + Lb7 + Lb11 
∆hRNP = Lb3 + Lb10 + Lb9 + Lb11 
….. 
 
Estas são algumas das possibilidades de solução. Todavia a probabilidade de 
cada uma delas gerar uma resposta diferente é muito grande. 
 
 
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Após o processo de ajustamento independentemente da solução adotada a 
resposta será única. 
É possível ainda, com base nas técnicas do ajustamento, detectar a presença de 
erros grosseiros em um conjunto de observações, efetuar o planejamento da coleta de 
dados e saber, a priori, se atenderão as prescrições estabelecidas. 
2. CONCEITO DE OBSERVAÇÃO 
Segundo Camargo (2000) o termo observação ou medida é frequentemente 
usado na prática para referir-se à operação, bem como para o resultado da operação. O 
valor numérico da observação é de fundamental importância para a ciência e engenharia, 
pois submete o instrumento à análise e manipulação. 
Ainda em Camargo (2000), são listadas as propriedades fundamentais da 
medida: 
� Medir significa realizar uma operação física, e o processo de medida consiste de várias 
operações elementares; tais como: preparação, calibração, pontaria, leitura e etc.; 
� O resultado do processo representa a medida; 
� A não ser na contagem de certos eventos, a medida é sempre realizada com auxílio de 
instrumentos; 
� As medidas estão referenciadas a um padrão, os quais são estabelecidos por convenção. 
Medir é comparar uma grandeza a um padrão, tendo dimensão e unidade; 
� A medida é um conceito teórico, tal como uma abstração geométrica usada para 
distância e ângulo, os quais não têm equivalente direto na natureza física. No entanto, 
tais conceitos permitem descrever certos elementos da natureza, como localização, área 
e etc. 
Para descrever certos elementos da natureza é necessário utilizar modelos, 
como é o caso da forma da Terra, onde se utiliza a esfera ou o elipsóide de revolução. No 
caso do ajustamento, o modelo que interessa é o matemático que relaciona as medidas 
 
 
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efetuadas com as grandezas procuradas. Este é o caso das equações que unem a distância e 
o azimute com as coordenadas do ponto. 
2.1. Modelo Matemático 
Define-se modelo matemático ao sistema teórico ou abstrato que descreve uma 
situação física ou uma série de eventos. Tal descrição não necessita explicar totalmente a 
situação física, mas relacionar somente os aspectos, ou propriedades de interesse. Tendo 
em vista que o modelo tem o propósito de atender um interesse particular, dependendo do 
propósito, ele pode assumir formas diferentes. 
Costuma-se dividir o modelo matemático em funcional e estocástico. O modelo 
funcional constitui a parte determinística da realidade física e o estocástico descreve as 
propriedades estatísticas das observações. 
Um exemplo de modelo funcional, já explorado no início desta apostila, é o da 
determinação das coordenadas de um ponto a partir da distância e do azimute da direção 
entre esse ponto e outro de coordenadas conhecidas. Esse modelo funcional é do tipo 
geométrico, como a maioria dos modelos adotados na área de geomática. 
O modelo estocástico aborda a variabilidade dos resultados oriundos de 
influências físicas que não podem ser controladas, da falibilidade humana e das 
imperfeições dos instrumentos de medida. De qualquer modo, ambos os modelos devem 
ser tratados no ajustamento de forma conjunta. 
2.2. Propriedade dos Erros de Observação 
 As observações são representações numéricas de quantidades físicas como 
comprimento, ângulo, peso, entre outras. Estas observações são obtidas através de 
medidas e, portanto possuem o que classicamente se chamava de erros de observação. 
Embora este conceito esteja sendo gradualmente substituído por propriedades estatísticas 
das observações, ainda é comum o uso convencional do conceito de erro. 
 
 
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Sabe-se que, mesmo se cercando de precauções e cuidados especiais no 
momento da obtenção de uma medida, estas estão acompanhadas dos inevitáveis erros de 
observação. Este fato esta relacionado à falibilidade humana, à imperfeição dos 
equipamentos e as condições ambientais nas quais se processa a mensuração. 
Estes erros são classificados em: 
a) erros grosseiros – quando o valor medido extrapola a 3 vezes o valor do desvio 
padrão da medida. Esse erro é normalmente de fácil detecção e está associado à 
desatenção do operador ou mesmo do anotador; 
b) erros sistemáticos – quando o valor medido é acrescido ou diminuído de uma 
quantidade constante. Estes erros são de causas conhecidas e podem ser evitados 
ou minimizados por técnicas de observação ou por formulações matemáticas. É o 
caso do erro causado pela catenária de uma trena que pode ser posteriormente 
eliminado; 
c) erros aleatório – quando existe uma flutuação do valor medido ao redor de um 
valor dito médio. Este erro também conhecido como acidentais, estocástico ou 
randômico não tem causa conhecido e está intimamente ligado as propriedades 
estatísticas das observações. 
Para se proceder ao ajustamento é necessário que não existam os erros 
grosseiros e os sistemáticos nas observações. No entanto, os aleatórios são modelados pelo 
processo de ajustamento e distribuídos pelo critério desenvolvido separadamente por 
Gauss em 1795 e Legendre em 1805, denominado método dos mínimos quadrados 
(M.M.Q.). 
Nesta publicação o conjunto de medidas será designado pelo vetor Lb (valores 
observados) quando forem oriundos das próprias observações e estiverem contaminados 
pelos erros de observação, e de La (valores observados ajustados) quando já sofreram o 
processo de ajustamento. 
Segundo Gemael (1994), a experiência tem demonstrado que ao aumentar o 
número de observações de uma mesma grandeza, os erros aleatórios tendem a ter um 
comportamento regular, de modo que a distribuição de frequência dos erros se aproxima 
muito da distribuição normal (curva de Gauss). Este fato foi notado por Bradley no início do 
século XVII, quando visando obter a posição do ponto vernal através de 462 determinações 
 
 
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da ascenção reta do Sol, verificou que ao retirar as influências sistemáticas conhecidas na 
época e calcular os desvios em relação à média aritmética existia uma grande simetria e o 
predomínio de valores ao redor da média. 
TABELA

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