Prova 3 resolvida

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Terceira Prova de C�alculo III - 21/11/2018 - Turma N1
Nome:
Quest~ao 1: Calcule a �area da parte do cilindro x2 + y2 = 4 que est�a acima do plano z = 0 e
abaixo do plano z = y + 4:
Resolu�c~ao. Uma parametriza�c~ao para S �e
�!r (�; z) = h2 cos �; 2 sin �; zi ; com 0 � � � 2� e 0 � z � 2 sin � + 4:
Temos
�!r � ��!r z =
������
�!
i
�!
j
�!
k
�2 sin � 2 cos � 0
0 0 1
������ = h2 cos �; 2 sin �; 0i
e, portanto, k�!r � ��!r zk = 2: Assim
A(S) =
Z 2�
0
Z 2 sin �+4
0
2dzdt = 2
Z 2�
0
(2 sin � + 4)dt = 16�:
Quest~ao 2: Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
I
C
ydx+ e�yzdy + xdz em
que C �e a interse�c~ao do parabol�oide z = 9 � x2 � y2 com o plano z = 2(y + 3); orientada no
sentido anti-hor�ario quando vista de cima.
Resolu�c~ao. Pelo Teorema de StokesI
C
ydx+ e�yzdy + xdz =
Z Z
S
rot
�!
F � d�!S
em que �!
F =
y; e�yz; x
�
e S �e uma superf��cie que tem C como fronteira e cujo normal �!n tem orienta�c~ao compat��vel com
a de C:
A curva C satisfaz �
9� x2 � y2 = 2y + 6
z = 2(y + 3):
A primeira equa�c~ao �e equivalente a
x2 + (y + 1)2 = 4
que �e a equa�c~ao de uma circunfere^ncia de centro em (0;�1) e raio 2 no plano xy: Assim, uma
escolha que simpli�ca a resolu�c~ao �e S dada pela parte do plano z = 2(y + 3) que est�a acima do
disco D de centro em (0;�1) e raio 2; orientada de modo que seu normal unit�ario �!n aponte para
cima. Para tal superf��cie S; temos
�!n = 1p
(zx)2 + (zy)2 + 1
h�zx;�zy; 1i = 1p
5
h0;�2; 1i :
Como
rot
�!
F = det
0@ �!i �!j �!k@
@x
@
@y
@
@z
y e�yz x
1A = 
ye�yz;�1;�1�
temos, pelo Teorema de Stokes,I
C
ydx+ e�yzdy + xdz =
Z Z
S
rot
�!
F � �!n dS
=
Z Z
S
ye�yz;�1;�1� � 1p
5
h0;�2; 1i dS
=
1p
5
Z Z
S
(2� 1)dS = 1p
5
A(S):
Como dS =
p
(zx)2 + (zy)2 + 1dA =
p
5dA; temosI
C
ydx+ e�yzdy + xdz =
1p
5
Z Z
D
p
5dA = A(D) = 4�:
Quest~ao 3: Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular a integralZZ
S
[x(x+ yz) + y(y � sen(xz)) + z(z + 1)] dS
em que S �e a parte superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1: (Note que S n~ao �e fechada.)
Resolu�c~ao. Seja
I :=
ZZ
S
[x(x+ yz) + y(y � sen(xz)) + z(z + 1)] dS:
Precisamos, indicialmente, escrever a integral acima como uma integral de campo vetorial sobre
S: Uma vez que �!n = hx; y; zi �e normal unit�ario exterior em cada ponto (x; y; z) de S; temos
x(x+ yz) + y(y � sen(xz)) + z(z + 1) = hx+ yz; y � sen(xz); z + 1i � hx; y; zi
Portanto, escolhendo �!
F = hx+ yz; y � sen(xz); z + 1i ;
podemos escrever
I =
ZZ
S
�!
F � �!n dS:
Agora, para a utilizar Teorema da Diverge^ncia devemos fechar a superf��cie convenientemente
(e de modo que o vetor normal unit�ario aponte para fora da superf��cie fechada). Podemos fazer
isso de uma forma simples adicionando a superf��cie plana
S1 : fz = 0 e (x; y) 2 Dg ; com normal unit�ario exterior �!n1 = h0; 0;�1i :
Da��, o Teorema da Diverge^ncia aplicado �a superf��cie S [ S1 nos diz queZZZ
E
div
�!
F dV =
ZZ
S
�!
F � d�!S +
ZZ
S1
�!
F � d�!S
= I +
ZZ
S1
�!
F � d�!S :
Ou seja,
I =
ZZZ
E
div
�!
F dV �
ZZ
S1
�!
F � d�!S :
Temos,ZZZ
E
div
�!
F dV =
ZZZ
E
(1 + 1 + 1) dV = 3
ZZZ
E
dV = 3V (E) =
3
2
4�
3
= 2�
e ZZ
S1
�!
F � d�!S =
ZZ
S1
hx+ yz; y � sen(xz); z + 1i � h0; 0;�1i dS
= �
ZZ
S1
(z + 1)dS = �
ZZ
S1
dS = �A(S1) = ��:
Logo,
I = 2� + � = 3�: