Murray R Spiegel Análise vetorial

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MURRAY R. SPIEGEL 
Pb. D., PROFESSOR DE MATEM!TICA DO INSTITUTO 
POLITECNICO RENSSELAER. 
, 
AN ALISE VETORIAL 
(COM INTRODU<;XO A ANA.LISE TENSORIAL) 
RESUMO DAT E ORI A 
329 PROBLEMAS RESOL VIDOS 
419 PROBLEMAS PROPOSTOS 
TRADUZIDO POR 
WALD O RUSSO 
ENGEN HEIRO 
EDITORA McGRAW-IDLL DO BRASIL, LTDA. 
SA.O PAULO - RIO DE JANEIRO 
Do original 
Shaum's Outline of Theory and Problems 
of 
VECTOR ANALYSIS AND 
AN INTRODUCTION TO TENSOR ANALYSIS 
publicado nos E.U.A. por Schaum Publishing Co. 
Copyright © 1959 by McGraw-Hill, Inc. 
Copyright © 1972 da Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda·. 
Nenhuma parte desta publicacao podera ser reproduzida, guar­
dada pelo sistema "retrievar· ou transmitida ·de qualquer modo ou por 
qualquer outro meio, seja este eletrOnico. mec3nico, de fotoc6pia, de 
gravac;:3o, ou outros, sem prl!via autorizac;:i'o por escrito da Editora. 
1. a lmpressao, 1961 
2.a lmpressao, 1966 
3.a Impressao, 1969 
4.a lmpressao, 1972 
1972 
Todos os direitos reservados 
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Rua Tabapui, 1105 
ITAIM-BIBI, SAO PAULO 
ESTADO DE SAO PAULO 
lmpresso no Brasil 
Printed in Brazil 
Av. Rio Branco, 156 -s/2614 
. RIO ,OE JANEIRO 
GU ANA BARA 
PREFA.CIO 
A. andlise vetorial, cujo in!cio data dos meados do seculo XIX, 
tornou-se nos tempos atuais uma parte essencial da base matemci­
tica exigida a engenheiros, fisicos, matenuiticos e outros cientistas. 
�ste requisito niio f oi acidental, po is a ancilise veto rial alem de pro­
porcionar uma notat;iio concisa para a apresentai;iio das equai;oes que 
surgem das formulai;oes matematicas dos problemas de fisica e de 
geometria, e tambeni, um subsidio natural na materializai;iio mental 
das ideias da f isica e da geometria. Em suma, pode muito bem ser 
considerada coma· um dos metodos de raciocinio e linguagem mais 
vaZorosos para as ciencias f isicas. 
�ste livro f oi idcalizado para ser us ado tan to como um livro 
texto para um curso comum de ancilise vetorial como um suplemen­
to util aos livros textos correntes. E tambim de grande utilidade para 
aqueles que estao estudando fisica, mecanica, teoria eletromagne­
tica, aerodinamica, ou outro qualquer dos numerosos assuntos em 
que se emp1·egam vetores. 
Cada capitulo comei;a com um enunciado claro das definii;oes, 
principios e teoremas relativos ao assunto, acompanhados de ilus­
trai;oes e descrii;oes. Seguem-se, entiio, problemas gradativos resol­
t1idos e propostos. Os problemas resolvidos servem para exemplifi-i 
car e ampliar a teoria, f ocalizando os pontos mais importantes, sem 
o que os estudantes se sentem, continuamente, inseguros, e propor­
cionando uma repetii;ao dos principios bcisicos tiio vital ao ensino 
ef etivo. Numerosas demonstrai;oes de teoremas e dedw;oes de formu­
las estiio entre os problemas resolvidos. 0 grande numero de pro­
blemas propostos, com respostas, serve para f azer uma revisao com­
pleta do assunto de cada capi.tulo. 
Os t6picos tratados incluem a algebra e o cdlculo dif erencial e 
integral de vetores, o teorema de Stoke, o teorema da divergencia 
VI PREFACIO 
e outros teoremas de integrais, acompanhados de muitas avlica(nt's 
tirada.� de varios campos. 
Como complemento forarn introduzidos OS oapitulos sobre COOi'· 
denadas curvilineas e analise tensorial que ja deram prova de .ma 
extrema utilidade no estudo avant;ado da engenharia, da fi.�ica <' dn 
matematica. 
Foi incluida aqui muito mais materia do que a que se pode dar 
nos primeiros cursos d.e analise vetorial. E assim foi feito para dar 
a este livro maior flexibilidade, para torna-lo um livro de referh1-
fia mais util e para estimular novos interesses nesses t6pico.�. 
0 autor agradece a inesti1navel colabora<;iio do Sr. Henry 
Hayden na composi<;iio tipografica e na confect;iio das figuras, 111�r­
<ladeiras obras de arte. 0 realismo das figuras ajuda enormemenfl' 
a eficacia da apresentat;iio num a.�sunto em que a visualizai:;iio 1111 
espa<;o desempenha um papel de grande importancia. 
)I. R. SPIEGEL. 
I nstituto Politerniro Renssrlarr . 
• J unho, 1959. 
CAP. 
1NDICE 
P.AG. 
1. VETORES E ESCALARE8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
Vt>torPs. Escalares . .Algebra dP vetores. Leis da algrbra de veto-
res. VetorPs unitario�. Vetores unitarios retangulares. Compo-
HPntrs de um vrtor. Campos escalares. Campos vetoriais. 
2. PRODl!TO ESCALAR E PRODUTO VETOR!AL . . . . . . . . . . 2:1 
Produtos Pscalarps ou intrriorPS. Produtos wtoriais ou <'XtP-
l'ion•s. Produtos · triplos . Conjuntos rpdpro<'os dP v<>tores. 
3. DI FERENCIA<;'.AO DE VETORE8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4i 
4. 
5. 
6. 
DPriva<las onlinarias de vet ores. Gurvas no espa�o. _ Continuida-
<lP e diferi>nciabilidade. Formulas de derivac;iio. Derivadas par-
ciais dr wtorPs. Difi>rPnciais de vetores. Geometria difereneial. 
:Vfrd\ nira. 
GRADIENTE, IHVERGfjNCTA E RO'l'ACION.\L ......... . 
0 operador difrn•ncial vetorial del. GradiPnk. Divergeneia. Ro­
tacional. Formulas corn o operador dt>l. Jnvariancia. 
lNTEGRA<:.Ao DE VETORE8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
I ntegrais de vetores. Integrais de linha. lntegrais de super:fi­
cie. lntegrais tle volume. 
TEOREMA DA DlVERG:f:NC!A TEOREMA DE STOKE E 
'l'EOREMA DAS· INTEGRAIS ' . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . .. .. . . 
Teorema da divergencia de Gauss. Teorema de Stoke. Teorema 
de Green. no plano. TPorema das integra is. Forma integral 
do operador del. 
80 
115 
H9 
7. COORDENADA8 CURVJLiNEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 
Trans.forma�ao rl<· coordenadas. Coordenadas curvilineas orto-
gonais. Vetore� o.nitarios nos,sistemas curvilincos. Elementos dP 
eomprimento de areo e de volume. Gradi<>nte, divergencia e ro­
tacional. Sistprnas d<> coordenadas ortogonais · especiais. CoordP-
nadas cilindricas. Coordenadas esfericas. Coordenadas cilindri-
cas parabolica�. Coordenadas paraboloidais. Coordenadas ci­
lindricas clitica5·. Coordenadas esferoidais oblongas. Coorde-
nadas esferoidais acha tadas. Coordenadas elipsoidais. Coorile-
nadas bipolares. 
8. AN ALISE TENSORlAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 
Leis fisicas. Espac;os de N dimensoes. Transformac;ao de eoordc, 
nadas. A convern;iio da soma. Vetores eontravariantes e cova-
riantes. Tensores contravariantes, covariantes e mistos. _ ])_<:>lta 
<le Kronecker. Tensores de ordem superiQr a dois. Escalares ou 
invariant<>s. Campos tensoriais. Tensores simetricos e anti-si-
VIII fNDIOE 
m6tricos. Operac;oes fundamentais com tensores. Matrizes. Al· 
gebra das matrizes. Elemento de linha e o tensor mCtrico. Ten· 
&ores rl'ciprocos e conj ugados. Tensores associados. Compri· 
mcnto de um vetor. Angulo cntre dois vctores. Componentes 
fisicos. Simbolos de Christoffel. Leis da transformac;iio dos 
simbolos de Christoffel. Geod6sica . Derivadas covariantes. 
Tcnsorei;· ou simbolos de permmac;iio. Forma tensorial do gra· 
diente, da divergencia e do rotacional. Derivada intrinseca ou 
absoluta. Tensores relativos e absolutbs. 
tNDICE ALFABf:TICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 293 
CAPiTULO 1 
VETORES E ESCALARES 
Vetor e uma grandeza que tern m6dulo OU valor absoluto, 
direc;ao e sentido, tais como deslocamento, velocidade, f6r9& e acele­
rac;ao. 
Graficamente representa-se um vetor por uma seta OP (Fig. 1) 
definindo a direc;ao e o sentido, sen- p 
do o seu m6dulo ou valor absoluto 
indicado pelo seu comprimento. 
0 ponto inicial 0 da seta e 
chamado de origem do vetor e o 
terminal P, de extremidade. 
Anallticamente representa-se 0 
um vetor por uma letra corn uma Fig. 1 
seta em cima, como A na Fig. 1, e seu m6dulo, por IAI ou A. Emtrabalhos impressos, usa-se o tipo negrito, tal como A, para designar . 
o vetor A, enquanto IAI ou A designa seu m6dulo. Neste livro 
usaremos a notac;ifo em negrito. 0 vetor OP e tambem designado 
por OP ou OP; neste caso seu m6dulo sera represent.ado por OP, 
IOPI OU IOPI. 
Escalar e uma grandeza que nao tem nem dire�A.o nem sen• 
tido, por exemplo massa, comprimento, tempo, temperatura equal­
quer numero real. Um escalar e representado por letras do tipo 
comum como na algebra elementar. 
Algebra de vetores. AB opera�Oes de adi�A.o, subtrai;A.o e 
multiplicac;ao, comum na algebra dos numeros e cscalares, sio, com 
as devidas definic;oos, extensiveis A algebra de vetores. As definic;oos 
aeguintes sao fundamentais. 
2 ANALISE VETORIAL 
I. Dois vetores A e B sao iguais :;e tern o mesmo modulo, a 
mcsma direc;ao e o mesmo sentido, embora nao t.enham a mcHma 
ongem. Assim A = B na Fig. 2. 
2. Um vetor que tern o mesmo modulo e a mesma <lire<;ao de 
um vetor A, mas tern sentido oposto, e representado por - A (Fig. 3). 
Fi11:. 2 
3. A soma ou resultante dos vetores A e B e um vetor C obtido 
colocando-se a origem de B na extremidade de A e unindo-se a origem 
de A a extremidade de B. (Fig. 4). 
C=A+B 
Fig. 4 
Esta soma e assim escrita: A+B 
isto e, C = A + B. 
Esta definic;ao e equivalente a 
lei do paralelogramo para a adic;ao 
de vetores (veja o Prob. :�). 
A extensao desta definic;ao ·pa­
ra a soma de mais de dois vetores 
e imediata (veja o Prob. 4). 
4. A dijerenr;a dos vetores A e B, representada por A - B, e 
um vetor C que somado a B da o vetor A. Da mesma forma, A - B 
pode ser definida como a soma A + ( - B). 
Sc A = B, entao A - B e definida como o vetor nulo ou zero 
(l e representado por 0 OU simplesmente 0. Tern um modulo i'gual 
a zero e nao tern direc;ao especifica. um vetor que nao e nulo e um 
vetor pr6prio. Consideraremos todos os vetores proprios, a menos 
que seja estabelecido o contrario. 
5. 0 produto de um vetor A por um escalar m e um vetor mA 
cujo modulo e !ml vezes o modulo de A, cuja direc;ao e a mesma 
de A e cujo sentido e o mesmo ou contrario ao de A, conforme m seja 
positivo ou negativo. Se m = 0,. mA e um vetor nulo. 
VETORES E ESCALARES 3 
Leis da algebra de vetores. Se A, B e C sao vetores e m e n, 
e8ealares, teremos: 
1) A + B=B+ A Lei romutativa da adi9ao 
2) A+ (B+C) = (A+B) + C Lei assoria ti va da adi9ao 
3) mA =·Am Lei romutativa da multiplica9ao 
4) m (nA) = (mn) A Lei associativa da multiplica9ao 
!) ) (m + n) A = mA + nA Lei distributiva 
6) m (A+B) = mA + mB Lei distributiva. 
� ote-se que nessas lei8 s6 aparece multiplica9ao de um vetor por 
um ou mais escalares. No capitulo 2, serao definidos produtos de 
vetores. 
Essas leis nos habilita a tratar as equa9oes de vetores da mesma 
forma corn que tratamos as equa9oes algebricas ordinarias. Assim, 
por exemplo, se A+ B = C, podemos, por transposi9ao1 escrever 
A= C- B. 
Vetor unitario e um vetor que tern o m6dulo igual a unidade. 
Se A e um vetor de modulo A .,t. 0, entao A/A e um vetor unitario 
que tern a mesma dire9ao e o mesmo sentido de A. 
Qualquer vetor A pode ser representado por um vetor unitario 
a na dire9ao de A multiplicado pelo m6dulo de A. Em simbolos, 
A= Aa. 
Os vetores unitarios retangulares i, j, k. Um sistema 
importante de vetores unitarios 
e 0 formado pelos unitarios dos 
eixos dos x, y e z de um siste­
ma de cooraenadas cartesianas 
retangulares no espa901 e que 
sao representados respectiva­
mente por i, j e k (Fig. 5). 
A menos que seja estabe­
le!'ido o contrario, usaremos o 
�istema de coordena.das retangu­
lares de triedro positivo ou destro. 
Em tal sistema OS eixos sao x 
dispostos de modo a que um Fig. 5 
:oaca-rolhas, girando de 90° de Ox para Oy, avance no sentido positi­
vo da dire9ao z, como na Fig. 5. 
4 &N!LISE VETORI&L 
De um modo geral, tr� vetores A, B e C que t�m as origens 
coincidentes e nao sao complanares, isto e, nao estao num mesmo plano, 
formam um triedro posilivo ou um sistema destro se um saca-r6lhas, 
girando de um Angulo menor .que 1800 de A para B, avan9a no sen­
tido de C, como mostra a Fig. 6. 
,, 
--P---., 
Ask,/ 
, 
,' J5------
Fig. 6 Fig. 7 
Componentes de um vetor. Um vetor qualquer A no cs­
pa90 pode ser representado corn sua origem na origem 0 de um sis­
tema de coordenadas retangulares (Fig. 7). Sejam (A1, A2, A3) as 
coordenadas retangulares da extremidade do vetor A cuja origem 
esta em 0. Os vetores A1i, A2j e A3k chamam-se vetores componentes 
retangulares ou simplesmente vetores componentes de A nas dir�Oes 
x, y e z respectivamente. Ai, A2 e A3 sao chamados componentes 
rctangulares ou simplesmente componentes de A nas dire90es x, y e z 
rcspccti vamente. 
A soma ou resultante de A1i, A2j e A3k e o vetor A, de modo 
que podemos escrever 
A = A1i + A2j + Aak. 
O m6dulo de A e dado por 
A = IAI = V A12 + A22 + A11• 
Em particular, o vetor posi�ao ou raio vetor r de 0 ao ponto 
(x, y, z) e escrito 
r=xi+yj+zk 
e Bell m6dulo e 
r = lrl = V :z:2 + y2 + zl. 
· Campo escalar. Se a cada ponto (x, y, z) de uma regiAo R 
no espac;o corresponde um nu.xnero ou um escalar q, (x, y, z), q, e cha-
VETORES E ESOALABE8 5 
mado de um.a Junr{J,o ucalar de posir{J,o ou Jun'® eacalar de Ponto 
e se diz que um campo escalar cf> foi definido em R. 
EXE:U:PLOS. {l) A temperatura num ponto qualquer no inte­
rior ou na superffcie da terra define um campo 
escalar. 
(2) "'(x, y, z) =x• y - 12 define um campo escalar. 
Um campo escalar que nao depende do tempo � chamado de 
campo escalar estaciondrio. 
Campo vetorial. Se a cada ponto (x, y, z) de uma regiao 
R no espai;o corresponde um vetor V (x, y, z), V e chamado de jun,ao 
vetorial de posir;iio ou junr;iio vetorial de ponto, e dizemos, neste caso, 
que se definiu um campo vetorial V em R. 
ExEMPLOS. · (1) Se se conhece a velocidade em qualquer ponto 
(x, y, z) no interior de um fluido em movimento, num determinado 
instante, esta definido um campo vetorial. 
(2) V (x, y, z) = xy2i - 2 yzaj + x2zk 
define um campo vetorial. 
Um campo vetorial que nao depende do tempo e chamado de 
campo vetorial estaciondrio. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
l. Dizer quais das seguintes grandezas silo escalares e quais silo vetoria.is. 
(a) p�so (J) energia. 
(b) caloria. (g) volume 
(c) calor especffico (h) dist:\ncia. 
(d) quantidade de movimento (i) velocidade (va.lor a.bsoluto) 
(e) densidade (j) campo magnctico 
Resp. (a) vetor (d) vetor (g) escalar 
(b) escala.r (e) escalar (h) escalar 
(c) escalar (j) escalar (i) escalar 
(j) vetor 
2. Representar graficamente. 
(a) uma for<;a de 10 kg numa direi;ito de 30" corn o leste apontando para 
o NE. 
6 ANAJ,JSE VETORIAL 
(/,) Uma f0f9& de 15 kg numa dire�io de 30" com o norte apontando paru 
o NE. 
N 
s 
Fil(. la) 
-
Uuldade • 5 k&, 
N 
s 
Fi11:. (b) 
E.<Jcolhida a unidade mostrada na figurn, os vetores pedidos siio os acima 
trn�ados. 
3. Um autom6vel percorre 3 km para o norte e depois 5 km para o nor­
tleAte . 
Representar graficamente �ses deelocamentos e determinar o <leRlocamento 
reAult.ante (a) grAficamente, (b) anallticamente. 
0 vetor OP ou A representa o deslocamento de 3 km para o norte. 
0 vetor PQ ou B representa o deslocamento de 5 km para o nordeste. 
N 
Q 
A 
A 
0 vetor OQ ou C reprclWnta o 
deslocamento resultante ou a soma 
dos vetores A e B, isto e, C=A+B. 
Esta ii a lei do tridngulo para a adi.;iio 
de vetores. 
0 vetor resultante OQ pode acr 
obtido tamMm tra�ando-ee o diago­
nal do paralelogramo OPQR conetru­
fdo s6bre oe vetores OP = A e OR 
(igual ao vetor PQ OU B). Esta e 
a lei do paralelogramo para a adi�iio 
de vetoree. 
(a) Determina,iio grajica da re-
0----�----------E sultante. Dividindo-se o vetor OQ O pelaunidade de 1 km eetabelecida 
s 
� 
Unldade =I km na figura, acha-ee 7,4 km (a.proxi-
ma.da.mente). E corn um tramrferi­
dor acha.-se o angulo EOQ "' 61,5°. 
Entil.o o vetor OQ tern um modulo 
de 7,4 km e faz com a dire�ii.o leste um Angulo de 61,5° para o norte. 
(b) Determinaciio· analftica da resultante. Do triangulo OPQ, fazendo A, 
ll e C os m6dulos de A, B e C, temoe, pela lei dos co-eenoe, 
C2 ., A2 + B2 - 2 AB cos < OPQ 
(.'2 • 32 + 52 - 2 X 3 X 5 cos 135° - 34 + 15v'2 - 55,21 
e 
VETORES E ESCALARES 
C = 7,.l:3 (aproximadamente ). 
Pela lei dos senos, temos: 
A 
sen � OQP 
c 
------ , logo sen C:: OPQ 
/ Asen C:: OPQ 3 X 0,707 sen._ OQP = C 7,43 
e C:: OQP = 16°35'. 
7 
0,285 5 
Assim, o vetor OQ tern um modulo de 7,43 km e faz corn a direr;ao leste um 
angulo de (45° + 16°35') = 61°35' para 0 norte. 
4. Al'har a soma ou a resultante dos seguintes drslocamentos: 
A, 10 m para· nororste: B, 20 m fazendo :m0 corn o norte para \este; C, 35 m 
para o sul. Vrja a fig. (a) ahaixo. 
Na extrPmidad<' dr A <"oloquemos a origem de B na extremidade di' B, a 
origPm de C. A n·sultante D c ohtida ligando-se a origem de A a extremidade 
dr C, isto e, D = A + B +C. 
l\Iedindo-sc· grafiC'amPnte a resultante encontra-sP 4,1 unidadrs = 20,5 m 
I' numa dircr;iio que faz 60° corn o leste e para o sul. 
Um mctoclo analiticu <la soma de :3 ou mais vetores, no piano ou no espac;o, 
e indicaclo no Prohlerna 26. 
p 
-­
Unldade = 5 m 
N 
s 
Fig. (u) 
c 
0 
R 
Fig. (b) 
5. :Mostrar que a soma de vetores e comutativa, isto c, A + B = B + A. 
Veja a Fig. (b) acima. 
c 
OP + PQ = OQ OU A + B = c, 
OR + RQ = OQ ou B + A = C . 
Logo A + B = B + A. 
8 ANiLISE VETOBIAL 
6. Mostrar que a soma de vetorea 6 uaociativa, isto 6, A + (B + C) -
- (A +B) +C. 
OP + PQ - OQ - (A + B), 
e PQ + QR ... PR ... (B + C) . 
OP + PR - OR "" D, isto 6, 
A +(B +C) - D. 
OQ + QR ... OR - D, isto 6, 
{A +B) +C ... D. 
Logo A + (B + C) ... {A + B) + C . 
o-----�=-------illR A generaliza�ao dos resultados dos 
Problemas 5 e 6, mostra que a ordem 
na soma de qualquer nllinero de vet.ores 
6 indiferente. 
7. As ftm;as Fi, F2, • • • , Fe agem s6bre um objeto P, conforme mostra 
a figura. Que f6r�a 6 necessll.ria para evitar o deslocamento de P? 
JA que a ordem dos vetores para a soma 6 indiferente, podemos come�ar 
com qualquer vetor, digamos F1. A. F1 acrescentemos F2, depois Fa, etc. 
0 vetor tra�ado da origem de F1 aM a extremidade de Fe 6 a resultante R, 
isto 6, R = F1 + F2 +Fa + F, +Fa +Fe. 
A ftir�a necessaria para impedir o desloca.mento de P 6 - R que 6 um vetor 
igual a R em dire�ao e grandeza (ou m6dulo) mas de sentido opos�, a8 vAzes cha-­
mada de equ.ilibrante. 
p 
8. Dados os vetores A, B e C (Fig. 1 (a)) construir (a) A - B + 2C. 
1 (b) 3 C - 2 (2 A - B). 
(a) 
Fig. 1 (a) 
(b) 
Fig:. 1 (b) 
VETORES E ESCALARES 
Fig. 2 (a) 
Fig. 2 (b) 
9 
-j(2A-8) 
9. Um aviiio dirige-se numa direi;iio norocste a 125 km/h em relai;iio ao 
solo, corn um vento soprando de leste para oeste corn uma velocidade de 50 km/h 
tambern em relai;iio ao solo. Qual scria 
a velocidade e a direi;iio de voo do aviiio - " 
se niio houvesse vento? 
Seja V = velocidade do vento 
Va = velocidade do aviiio corn 
vento 
Vb = velocidade do aviiio sem 
o vento. 
Logo Va = V b + V ou 
V b = Va - V = Va + ( - V) 
V b tern um m6dulo de 6,5 unidades 
-----i 
Unidade • 25 km/h 
ou seja, 163 km/h e uma direi;iio de 33° corn o norte para o oeste. 
10. Dados dois vetores niio colineares a e b, achar uma expressiio que re­
presente qualquer vetor r situado no piano determinado por a e b. 
10 ANALISE VETORIAL 
Vet.ore& nii.o colineares sii.o vet.ores que nii.o sii.o paralelos a mesma reta. Logo, 
quando suas origens coincidem, �le& determina.m um piano. Seja r um vetor 
0 
B 
qualquer situa.do no piano de a e b, 
tendo a origem coincidente corn as de 
a e b em 0. Da extremidade R de 
r tra.cemos pa.ralelas aos vetores a e 
b e completemos o paralelogramo 
ODRC, prolongando as linhas de ai;ii.o 
de a e b, se necessario. Da figura 
tiramos: 
OD = x (OA) = xa, onde x e um 
esca.lar 
OC = y (OB) = yb, onde y e um 
escalar. 
Mas, pela. lei do paralelogramo 
para a soma de vet.ores, temos 
OR - OD + OC ou r - xa + yb 
que e a expressii.o pedida. 
Os vet.ores xa e yb sii.o cha.ma.dos vetores componentes de r nas direi;Cies de a 
e b respectivamente. Os escalares x e y podem ser positivos ou negativos, depen­
dendo da relativa orientai;ii.o dos vetores. Pela construi;ii.o acima verifica-se clara­
mente que, para um dado valor de a, b e r, s6 existe um valor para x e um para y. 
Os vet.ores a e b sii.o cha.ma.dos vetores Msicos de um piano. 
11. Dados tr�s vet.ores niio complanares, a, b e c, a.char uma expressiio que 
represente qualquer vetor r num espai;o de 3 dimens5es. 
Vetores niio complanares siio vet.ores 
que niio siio paralelos ao mesmo piano. 
Portanto, quando suas origens coincidem 
eles niio ficam no mesmo piano. 
Seja r um vetor qualquer no espai;o, 
tendo a origem coincidente corn as de 
a, b e c em O. Pela extremidade de r 
pa.ssemos pianos paralelos aos pianos de­
terminados por a e b, b e c e a e c; e com­
pletemos o paralelepfpedo PQRSTUV 
prolongando as linhas de ai;iio de a, b e 
c, se necessario. 
Da figura ao la.do tiramos: 
OV = x (OA) "" xa onde x e um escalar 
OP - y (OB) ""yb onde y e um escalar 
OT - z (OC) = zc onde z e um escalar 
s 
mas OR - OV + VQ + QR "" OV +OP +OT ou r = xa + yb + zc. 
B 
VETORES E ESCALARES II 
Pela constru�ii.o verifica-ee claramente que x, y e z Mm apenas um valor para 
um dado valor de a, b, c e r . 
· 
Os vetores xa, yb e zc siio chamados v.etores componentes de r nas direQOe& 
a, be c respectivamente. Os vetores a, b e c sii.o chamados vetores bdsicos em tr& 
dimens0es. 
No caso particular de a, b e c serem os vetores unitarios i, j e k, que sio 
perpendiculares entre si, qualquer vetor r pode entii.o ser expresso upicamente 
em termos de i, j e k, da seguinte maneira: r = xi + yj + zk. 
E tambem se c = O, r deve estar no piano de a e b, obtendo-se o resultado 
do Problema 10. 
12. Provar que, se a e b nii.o sii.o colineares, xa + yb = O implica em 
x = y = 0. 
Suponhamos que x � 0. Entii.o, se xa + yb = 0 teremos xa = - yb ou 
a = - (y/x) h, isto e, a e b devem ser paralelos A mesma reta (colineares), o 
que contraria a hip6tese. Logo x = 0, e portanto yb = 0, donde y = 0. 
13. Se XIa + y1h = x2a + y2h, onde a e b nii.o sii.o colineares, devemos ter 
XI = x2 e Y1 = Y2· 
A expressii.o XI& + Yih = x2a + y2b pode ser escrita 
x1a + Yih - (X28 + Y2b) = 0 
OU (x1 - X2) a + (y1 - Y2) b = o. 
Logo, pelo Problema 12, XI - x2 = 0 e Y1 - Y2 = 0 ou x1 = x2 e YI =rt· 
14. Provar que, se a, b e c nii.o sii.o complanares, xa + yb + zc = 0 implica 
em x = y = z = 0. 
Suponhamos que x � 0. Entii.o se xa + yb + z� = 0 teremos :i:a = 
= - yb - zc OU a = - (y/x) b - (z/x) c. Mas - . (y/x) b- (z/x) c e um vetor 
situado no piano de b e c (Problema 10), isto e, a esta situado no plano de b e c 
o que contraria a hip6tese de a, be c nii.o serem complanares. Logo x=O. Da 
mesma forma, se fizermos y � 0 e z � 0 chegaremos a conclus0es contrarias Aque-
la hip6tese. 
· 
15. Se x1a +y1b + z1c = X28 + y2b + z,.c, onde a, b e c nii.o sii.o compla­
nares, devemos ter XI = x2, YI = y2 e ZI 
= 
zz. 
A equa�ii.o dada pode ser escrita da seguinte forma (xI -x2) a + (y1 - 111) b + 
+ (zI - z2) c = 0: Logo, pelo Problema 14, x1 - x2 - O, y1 - y2 - O, e z1 -as-0 
ou XI = x2, YI = yz e ZI = z2. 
16. Provar que as diagonais de um 
paralelogramo cortam-se ao meio. 
Seja ABCD um paralelogramo cu­
jas diagonais cortam-se em P. 
Como BD + a = b, BD = b - a.Logo BP = x (b - a). 
Como AC = a + b , AP = y (a + b). 
Mas 
AB = AP + PB = AP - BP, 
isto e, a= y (a.+ b) - x (b - a)= 
= (x + y) a + (y - x) b. 
A b 
12 ANALISE VETORIAL 
Como a e b niio siio colineares, tcmos, pclo Problema 13, x + y = 1 e 
y - x = 0, isto e, x = y = !. e p e 0 .ponto medio das diagonais. 
17. Provar que, ligando-se os pontos medios dos lados consecutivos de um 
quadrilatero qualquer, a figura resultante e um paralelogramo. 
Seja ABCD 0 quadrilatero dado e P, Q, R, s OS pontos medios dos lados. 
Veja a Fig. (a) abaixo. 
Teremos PQ = t (a + b), 
RS = t (c + d), 
Mas a + b + c + d = 0 . 
QR= t (b+c), 
SP = t (d +a). 
Logo PQ = t (a + b) = - t (c + d) = SR 
e QR = ! (b + c) = - t (d +a) = PS. 
E assim a figura PQRS tern OS lados opostos paralelos, logo e um paralelo-
11;ramo. 
18. Se P1, P2 e Pa sii.o pontos fixos em rela9ii.o a uma origem 0, e r1, r2 e·ra, 
vet.ores posi9ii.o ligando 0 a cada ponto, mostrar que se a· equa9ii.o vetorial 
c 
Fig. (a) Fig. (b) 
G1r1 + air2 + aara .. 0 se verifies para a origem 0, tambem se veriiica para 
qualquer outra origem 0' se, e sc}mente ee, a1 + a2 + aa = 0. 
Bejam r'1, r'1 e r'a QB vet.ores posi9'<> de P1, P2 e Pa em rela9ii.o a 0', e 
v o vetor posi9io de 0' em re1.a9Ao a 0. 
Vamos procurar entiio as condiQ<ies para que a equa9io 
a1r' i + G!.r' 2 + aara' = 0 
119 verifique no novo sistema de refer�ncia. 
Da Fig. (b), acima, tiramos: 
111ue levados na equa9ii.o 
dao 
OU 
VETORES E ESCALARES 
a1 (v + r'1) + a2 (v + r'2) + aa (v + r'a) = 0 
Logo, s6 teremos a1r'1 + a2r'2 + aar'a = 0 se e somente se 
(a1 + a2 + aa) v = 0 , isto e, a1 + a2 + aa = 0 . 
Esse resultado pode ser generalizado. 
13 
l9.> Achar a equai;iio da reta que passa por dois pontos dados A e B, cujos 
vetores posii;iio em relai;iio a uma origem 0 siio a e b. 
Seja r o vetor posii;iio de um ponto P qualquer da reta que passa por A e B. 
Da figura ao lado tiramos: 
OA + AP = OP ou a + AP = r, 
isto e, AP = r -:- a 
e 
OA + AB = OB ou a + AB = b, 
isto e, AB = b - a. 
Como AP e AB siio colineares, 
AP = t AB ou r - a = t (b - a). 
Logo, a equai;iio pedida e 
r = a + t (b - a) ou r = (1 - t) a + tb. 
Se escrevermos essa equai;iio sob a forma (1 - t) a + tb - r = O, verifica­
rcmos que a soma dos coeficientes de a, b e r e nula. Logo, pelo Problem& 18 
verifica-se que o ponto P esta sempre s6bre a reta que liga A a B e independe 
de. escolhe. de. origem 0, como, ne.turalmente, era de se espere.r. 
Outro �todo. Como AP e PB siio colineares, teremos: 
..:·,: 
m AP = n PB ou m (r - a) = n (b - r) 
ond� m e n siio escale.res. 
Resolvendo, obtemos 
ma +nb 
r= m+n 
que e cha.made. a jorma simetrica de. eque.i;iio de. reta. 
20. (a) Achar os vetores posii;iio r1 e r2 para os pontos P (2, 4, 3) e Q 
(1, -5, 2) de um sistema de coordenadas retangulares em funi;iio dos vetores uni­
Urios i, j, k. (bj Determinar grafica e e.naliticamente a resultante d�sses vetores. 
(a) r1 = OP = OC + CB + BP = 2i + 4j + 3k 
r2 - OQ = OD +DE + EQ = i - 5j + 2k 
14 ANALISE VETORIAL 
(b) Graficamente a resultante de r1 e r2 e obtida tra�ando-se a diagonal OR 
do paralelogra.mo OPRQ. Analiticamente, a resultante de r1 e r2 e da.da por 
ri + r2 = (2i + 4j + 3k) + (i -5j + 2k) = 3i -j + 5k 
R 
21. Provar que o m6dulo A do vetor 
'I 
A = A1i + A2j + A3k 6 
A = V Ai2 + A22 + Aa2 • 
Pelo teorema de Pitagoras 
(0P)2 = (OQ)2 + (OP)2 
s 
"A------t�-�,__ __ ., 
onde OP designs. o m6dulo do vetor 
OP, etc. 
Da mesma forma 
(OQ)2 = (OR)2 + (RQ)2. 
Q 
Logo 
(OP)2 = (OR)2 + (RQ)2 + (QP)2 
22. Dados ri "" 3i -2j + k, r2 = 2i -4j -3k , ra = -i + 2j + 2k, 
achar os m6dulos de 
(a) ra, (b) ri + r2 + ra, (c) 2r1 -3r2 -5ra. 
(a) \ral = \ -i+2j +2k\ = v(-1)2+(2)2+(2)2-3. 
(b) ri + r2 + ra = (3i -2j + k) + (2i - 4} - 3k) + (-i + 2j + 2k) ... 
- 4i -4j + Ok =- 4i - 4j 
Lo11:0 [r1 +r2 +ral = \4i - 4j +Oki= 
- v (4)2 + < - 4)2 + co>2 - v 32 - 4 -v2. 
VETORES E ESCALARES 15 
(c) 2r1 - 3r2 -5ra = 2 ( 3i - 2j + k)-3 (2i-4j -3k)- 5 ( -i+2j +2k) -
= 6i - 4j + 2k - 6i + 12j + 9k + 5i - IOji - 10k=5i - 2j + k. 
Logo l2r1 - 3r2 -5ral = l5i - 2j +kl = V(5)2 + (-2)2 + (1)2 = v3o. 
23. Se ri = 2i - j + k, r2 = i + 3j - 2k, ra = - 2i + j - 3k e 
r4 = 3i + 2j + 5k, 
achar os escalares a, b, c tais que r4 = ar1 + br2 + era. 
Devemos ter 
3i + 2j + 5k = a (2i - j + k) + b (i + 3j - 2k) + c (-2i + j -3k) 
= (2a + b - 2c)i + (-a + 3b + c)j + (a - 2b - 3c)k. 
Como i, j, k nii.o sii.o complanares, temos, pelo Problema 15, 
2a + b - 2c = 3, -a + 3b. + c = 2, a - 2b - 3c = 5. 
Resolvendo, a = -2, b = 1, c = -3 e r4 = -2r1 + r2 - 3ra. 
Diz-se que o vetor r4 e linearmente dependente de ri, r2 e ra; em outras pa­
lavras ri, r2, ra e r• constituem um conjunto de vetores linearmente dependentes. 
Por outro lado, tres ou menos desses vetores siio linearmente independente. 
Em geral, os vetores A, B, C ... sii.o ditos linearmente dependentes, se con­
seguirmos um conjunto de escalares a, b, c ... , num todos nulos, tais que tenha­
mos aA + bB + cC + ... = O; caso contrario eles sii.o linearmente indepen­
dentes. 
24. Achar um vetor unitario paralelo a resultante de r1 = 2i + 4j - 5k 
e r2 = i + 2j + 3k. 
Resultante R = r1 + r2 = (2i + 4j - 5k) + (i + 2j + 3k) = 3i + 6j - 2k. 
R= IRI = l3i+6j - 2kJ =V (3)2+(6)2+(-2)2=7. 
Lo. . .,_. l l R R 3i + 6j - 2k 3 • + 6. 2 k go, um vetor umtzw-io parae o a ell= 7 =11 7J-7 · 
Verifica�iio: 
25. Determinar o vetor que tern a origem em P (:t1, y1, 211) e a extremidade 
em Q (:t2, Y2, 212) e achar seu m6dulo. 
0 vetor posi�ii.o de p e ri = :t1i + yJ + z1k. 
0 vetor posi�ii.o de Q e r2 = :t2i + yJ + 212k. 
PQ = r2 - r1 = (:i:2i + yJ + 212k) - (z1i + yJ + 211k) 
"'" (z2 - :t1)i + (y2 - Y1)j + (z2 - 211)k • 
16 ANALISE VETORIAL 
Observar que &se valor e a distAncia de P a Q. 
Z--------
% 
26. Dao-se as f6r911.s A, B e C que agem s6bre um corpo, em fun9ii.o de suas 
componentes, pelas equa90es A - Aii + A� + Aak, B - B1i + B� + Bak, 
C = C1i + C� + Cak. Achar o m6dulo da result.ante dessas f6r,.as. 
It 
F6r9a result.ante 
M6dulo da resultante "" 
ll:l!Be result.ado e fAcilmente generalizado para mais de 3 f6J'988. 
-0. Determinar os Angulos a, fJ e 'Y que o vetor r - :i:i + yj + zk faz corn 
as dire,.OOs positivas dos eixos· coor-
z denados, e mostrar que 
cos2 a + cos2 fJ + cos2 'Y = 1. 
Pela figura verificamos que o tri­
Angulo OAP e retAngulo, com o An­
:i: 
gulo reto em A, logo cos a = j;j. 
Da inesma forma, tiramos dos tri­
Angulos retAngulos OBP e OCP: 
y , cos{J = - e cos-y = - ; 
I r I lrl 
e tambem lrl = r == R+-112+12• 
VETORES E ESCALARES 17 
Entao cos a ... 
:i:
r , cos {3 = .JL, cos 'Y ... � donde podemos tirar os valo-r r 
res de a, {3 e 'Y· Dessas expressoos segue-se que 
:i:2 + y2 + z2 cos2 a + cos2 {3 + cos2 'Y = 2 = 1. T 
Os numeros cos a, cos {3, cos 'Y chamam-se co-senos diretores do vetor OP. 
·28. Determinar as equa90es da reta que passa pelos pontos P (:i:1, 111, 11) e 
Q (:i:2, Y2, z2). 
Sejam r1 e r2 os vetores posii;ao de 
P e Q respectivamente, e r o de qual­
quer ponto R da reta que liga P e Q. 
z 
r1 + PR = r ou PR = r - r1 
r1 + PQ = r2 ou PQ = r2 - ri Q ("2 • Y2• 
z2l 
�-������-· ,_j Mas PR = tPQ onde t e um esca­
lar. Logo r - r1 = t (r2 - ri) e a 
equai;ao vetorial da linha reta (com-
" 
pare com o Problema 19). 
OU 
Em coordenadas retangulares temos, jd. que r • :i:i. + yj + zk, 
Como i, j, k nio sio complanares, temoe, pelo Problem& 15: 
:i: - :i:1 - t (:i:2 - :i:1) , 11 - 111 - t (Vt - 111) , z - •1 - t (zt - z1) 
que sio as equa90es parametricas da reta, t sendo o parAmetro. Eliminando t, 
ficamos com 
_=._:-__.!!_ - 11 - 1/1 
:i:2 - :i:1112 - t/1 
29. Dado o campo escalar definido por tl> (:i:, 11, z) - 3:i:2z - :i:yl+ 5, achar 
4' nos pontos (a) (0, 0, 0), (b) (1, -2, 2) (c) (-1, -2, - 3). 
(a) t/>(O, O, 0), - 3 (0)2 (0) - (O)(O)I + 5 - 0 - 0 + 5 - 5 
(b) f/1(1, -2, 2) ... 3 (1)2 (2) - (1) ( -2)' + 5 - 6 + 8 + 5 - 19 
(c) f/J (-1, -2, -3) - 3 (-1)2 (-3) - (-1)(-2)1+5 - -9 - 8 + 5 - ..:.. 12 
30. Representar grliicamente os campos vetoriais definidos por 
(a) V(:i:, y) =:i:i + yj, (b) V(:i:, 11) = -:i:i. - yj, (c) V(:i:, 11, z) = :i:i. + yj + zk. 
(a) Em cada ponto (:i:, y) exceto (0, 0), do plano :i:y, temos um dnico vetor 
:i:i + yj de m6dulo V :i:2 + y2 , que pe.ssa pela origem e dela se afasta. Para aim-
18 ANALISE VETORIAL 
plilicar o gr&fico, note-se que todos os vetores associados a pontos da circunfe­
r�ncia :i;2 +·y2 = a2, a> O, t�m m6dulo igual a a. 0 campo, portanto, aparece 
como na Fig. (a) onde usamos uma escala apropriada. 
y 
Fig. (a) Fig. (b) 
(b) Neste caso cada vet.or 6 igual mas de sentido oposto ao seu correlipon­
dente no caso (a). 0 campo, portanto, 6 o da Fig. (b), 
Na Fig. (a) o campo se assemelha a um fluido emergindo de uma fonte pon­
tual 0 e escoando naa dixe�s indicadas. Por eeta razao o campo 6 chamado 
campo de f <mU e 0 6 a Jonte. 
Na figura (b) o campo parece eetar se escoando para 0 e 6, portanto, cha­
mado de �mpo de p�o e 0 6 um �o ou auntidouro • 
. Em tr& dimene6es a interpreta9ao correepondente 6 o de que o fluido es� 
emergindo radialmente de uma fonte linear, ou se dirigindo radialmente para 
um )'.>090 linear. 
0 · campo vetorial 6 chamado de bi-dimensional, uma vez que 6 indepen­
dente de•· 
(c) Como o m6dulo de cada vetor 6 v' x2 + y2 + • 2, todos oe pontos da 
superf(cie da ellfera :r:'- + y2 + 12 - az, a> 0, Um vetores de m6dulo a a �lee li­
gadoa. 0 campo toma, portanto, o aspecto do de um fluido emergindo de uma 
fonte 0 e se escoando em t6das as dire96es do eepa90. �see 6 um campo de 
J<mU tri-dimoiaional. 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
31. Quais das seguintes grandezas sao escalares e quais sao vetoriais? 
(a) Energia cin6tica, (b) intensidade de campo el6trico, (c) entropia, (d) tra­
balho, (e) f6r9a centdfuga, (J) temperatura, (g) potencial gravitacional, (h) carga, 
(i) tenalo de cizalhamento, (j) freqil�ncia. 
Reap. (.a) escalar, (b) vetorial, (c) escalar, (d) escalar, (e) vetorial, (J) escalar, 
(g) e1e&lar, (,\) escalar, (i} vetorial, (j) eecalar. 
VETORES E ESCALARES 19 
32. Um aviiio percorre 200 quil6metros para o oeste e depois 150 quil6-
metros a 60" NO I/. partir do norte. Determinar o deslocamento resultante (a) 
graficamente, (b) analiticamente. 
Resp. M6dulo 304,1 km (50 .../ 37 ), direi;iio e sentido 25°17 'NE (arc sen 
3 vm/74). 
33. Achar a resultante dos seguintes deslocamentos: A, 20 km 30" SE; 
B 50 km para Oeste; C 40 km 45° NE; D 30 km 60" SE. 
Resp. M6dulo 20,9 km, direi;ii.o e sentido 21°39' SE. 
34. Mostrar graficamente que - (A -B) = -A + B. 
35. Um objeto P esM sob a ai;iio de tres f6ri;as, de ac6rdo corn a Fig. (a) 
abaixo. Determinar a f6ri;a necessaria para evitar o deslocamento de P. 
Resp. 323 kg na direi;iio e iientido oposto ao da fOri;a de 150 kg. 
36. Dados os vetores A, B, C e D (Fig. (b) abaixo) construir (a) 3A - 2B -
- (C - D); (b) ! C + � (A - B + 2D). 
IOOkg 
Fig. (a) Fig. (b) 
· 37. Se ABCDEF �o os vlirtices de ufn hexagono regular, achar a resul­
tante das f6r�as representadas pelos vetores AB, AC, AD, AE e AF. 
Resp. 3AD 
38. Se A e B sii.o vetores dados mostrar que (a)IA + Bl�IAI +IBI, (b) 
IA -BI� IAl - IBI. 
39. Mostrar que IA+ B +Cl � IAI + IBI + ICI. 
40. Duas cidades A e B estiio situadas nas margens de um rio, uma direta­
mente em frente da outra. A largura do rio li de 8 km e sua correnteza li de 
4 km/h. Uma pessoa em A quer ir a outra cidade C que fica na mesma margem 
de B e a. 6 km, rio acima, desta ultima cidade. Se a vefocidade maxima do barco 
� de 10 km/h e, desejando a pessoa chegar em C no tempo mais curto possfvel, 
pergunta-se qual o curso que deve seguir e quanto tempo levara.o viagem. 
Resp.· Uma linha reta fazendo um Angulo de 34°28' corn a margem. lh 25 min. 
20 ANALISE VETORIAL 
41. Uma pessoa, viajando a 15 km/h para o sul, observa que o vento pa­
rece vir do oeste. Ao aumentar a velocidade para 25 km/h o vento parece vir 
do sudoeste. Achar a dire<;iio e a velocidade do vento. 
Resp. 0 vento vem de noroeste, fazendo 56° 18' corn o norte e tern uma 
velocidade de 18 km/h. 
42. Um peso de 100 kg e suspenso por uma corda, de ac6rdo corn a figura 
ao lado. Determinar a tensiio T 
IOOkg 
da corda. 
Resp. 100 kg. 
43. Simplificar 2 A + B + 3C -
- {A-2B -2(2A-3B -C)}. 
Resp. 5A - 3B + C. 
44. Se a e b siio vetorcs niio co­
lineares e A=(x+4y)a+(2x+y+l)b 
e B = (y - 2x + 2) a + (2x -3y - I) b achar os valores de x e y que fazem 
3A = 2B. 
Resp. x = 2 e y = -1. 
45. Dii,o-se os vetores bases ai, a2 e aa em fun<;iio dos vetores bases bi, b2 
e ha pelas rela<;oes 
a, = 2b1 + 3b2 - bs, a2 = bi - 2h2 + 2ba, aa = - 2b1 + b2 - 2ba. 
Se F = 3b1 - h2 + 2ba, exprimir F em fun<;iio de ai, a2 e aa. 
Resp. . 2a1 + 5a2 + 3aa. 
46. Se os vetores a, b e c niio siio complanares verificar se os vetores 
r1 = 2a - 3b + c, r2 = 3a - 5b + 2c e ra = 4 a - 5b + c siio linear"mente de­
pedentes ou nao: 
Resp. Sao linearmente dependentes, visto que, ra = .'5r1 - 2r2. 
47. Dados os vetores A e B que representam as diagonais de um paralelo­
gramo, construir o paralelogramo. 
48. Provar que a reta que liga OS pontos mcdios de dois lados de um trian­
gulo e paralela ao terceiro !ado e e igual a metade desse lado. 
49. (a) Se 0 c um ponto qualquer no interior de um triangulo ARC e P, 
Q e R siio os pontos que dividem ao meio os lados AB, BC e C�, respectivamentc, 
provar que 
OA +OB +oc =OP +OQ +OR. 
(b) Essa igualdade persiste se o pon to 
0 f6r exterior ao triangulo? Provar, 
Resp. Sim. 
50. Na figura ao lado ABCD e um 
paralelogramo, sendo P e Q os pontos 
qi.le dividem ao meio os lados BC e CD, 
respectivamente. Provar que AP e AQ D.._ _____ Q ______ _, dividem a diagonal BD em tres partes 
iguais. 
VETORES E ESCALARES 21 
·51. Provar que as medianas de um triiingulo cortam-se num ponto comum, 
e que esse ponto fica a dois ter9os de mediana a partir do vertice. 
52. Provar que as bissetrizes dos dngulos intemos de um triaingulo cortam-se 
no mesmo ponto. 
53. Mostrar que existe um tridngulo cujos lados. siio iguais e paralelos As 
medianas de um triangulo dado qualquer. 
54. Sejam p e q, respectivamente, os vetores posi9iio dos pontoS' P e Q 
relativamente a uma origem 0. Se o ponto R dividir a reta PQ em segmentos 
cuja rela9iio e m : n, mostrar que o vetor posic;iio de R e dado por r mp + nq e m+n 
que independe da origem. 
'55") Se ri, r2 ... rn siio vetores posi9oes das massas m1, m2 • • • mn, respecti­
vamente, em rela9iio a uma origem 0, mostrar que o vetor posiQiio do centro de 
gravidade dessas massas e dado por 
r = 
e que independe da origem. 
m1r1 + m2r2 + . . . + mn rn 
m1 + m2 + . . . . +mn 
56. Um quadrilatero ABCD tem massas de 1, 2, 3 e 4 unidades localizadas, 
respectivamente, nos vertices A (-1, -2, 2) B (3, 2, -1), C (1, -2, 4) e 
D (3, 1, 2). Achar as coordenadas do centro de gravidade. 
Resp. (2, 0, 2). 
57. Mostrar que a equac;iio de um piano que passa por tres pontos dados 
A, B e C, niio em linha ret.a, e cujos vetores posi9iio em rela9iio a uma origem 0 
siio a, b e c, pode ser escrita assim: 
r = ma +nb +pc m+n+p 
onde m, n e p siio escalares. Verificar que a equa9iio niio depende da origem. 
58. Os vetores posi<;�Q dos pontos P e Q siio dados por r1 = 2i + 3j - k e 
r2 = 4i - 3j + 2k. Determinar PQ em func;iio de i, j e k e achar seu m6dulo. 
Resp. 2i - 6j + 3k, 7. 
59. Se A = 3i - j - 4k, B = - 2i + 4j -3k, C = i +2j - k, achar 
(a) 2A-B+3C, (b) IA+B+CI, (c) l3A- 2B+4CI 
(d) Um· vetor unitario· paralelo a 3A - 2B + 4C. 
. 
_;- . 1 - M-W+� Resp. (a) lli; - 8k (b) v 93; (c) v 398; (d) • 
V398 
60. Sohre a particula P agem as seguintes forc;as: F1 = 2i + 3j - 5k, 
F2 = -5i + j + 3k, Fa = i - 2j + 4k, F4 = 4i -3j -2k. Achar (a) a resul� 
tante das fOrc;as, (b) 0 modulo da resultante. 
Resp. (a) 2i - j; (b) V5. 
22 ANALISE VETORIAL 
61. Determinar, em cada ea.so, se os vetores seguintes llio linearmente inde­
pendentes ou dependentes: 
(a) A = 2i + j - 3k, B - i - 4k, C - 4i + 3j - k 
(b) A = i - 3 j + 2k , B - 2 i - 4 j - k, C ... 3 i + 2 j - k. 
Re,sp. (a) li�earmente dependentes 
(b) linearmente independentes. 
62. Provar que que.tro vetores que.isquer em tr�s dimensi'les devem ser 
linearmente dependentes. 
63. Mostrar que a condi�iio necessaria e suficiente para que os vetoree 
A = Aii. + A:J +Ask, B = Bii + B:J + Bak e C = Cii + C:J +Cak sejam 
linearmente independente 6 que o determinante 
Ai A2 A3 
Bi B2 Ba 
Ci C2 Ca 
seja diferente de zero. 
64. (a) Prov'ar que OS vetores A = 3i + j - 2k, B = - i + a; + 4k, 
C = 4i - 2j - 6k podem formar um triiingulo. 
(b) Achar os comprimentos das m edianas desse triangulo. 
Resp. (b) v6' ! Vlli I! v 150. 
65. Dado o campo escalar definido por </> (x, y, z) = 4 yz3 + 3xyz - z2 + 2 
Achar (a)</> (1, - 1, -2), (b) </> (0, -3, 1). 
Resp. ·(a) 36; (b) -11 . 
66. Representar graficamente os campos vetoriais definidos por 
• 
• 
V ) • • ( ) V( ) xi + yj + zk (a) V(x, y) = x1 -yJ , (b) (x, y = y1 -:- XJ. c x, y, z = . 
vx2+y2+z2 
CAPiTULO 2 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 
Produto escalar ou interior de dois vetores A e B, represen­
tado por A · B (leia-se A escalar de B), e o produto dos m6dulos de 
A e B pelo co-seno do angulo () que el4'!s formam. Em simbolos, 
A· B = ABcosO, 0 ;;a()� 7r. 
N ote-se que A · B e um escalar e nao um vetor. 
Sao validas as seguintes leis. 
1) A · B = B • A Lei comufativa para os produtos escalares. 
2) A • (B + C) = A · B + A · C Lei distributiva 
3) m(A ·.B) = (mA) · B =A· (mB )= (A· B)m, ondemeum 
escalar. 
4) i . i = j . j = k . k = 1, i . j = j . k = k . i = 0 
5) Se A= Ai i +Ad+ A3k e B = B1 i + B2j +Bak, entao 
A · B = AiB1 + A2B2 + AaBa 
A· A= A2 = Ai2 + A22 + Aa2 
B • B = B2 = B12 + B22 + Ba2 
6) Se A • B = 0 e A e B sao vetores nao nulos, entao A e B 
sao perpendiculares. 
Produto vetorial OU exterior de A e Be um vetor c =· AXB 
(leia-se A veforial de B). 0 m6::lulo de A X B e o produto dos m6-
dulos de A e B pelo seno do angulo () que eles formam. A dire9ao 
do vetor C e a perpendicular ao piano de A e B e o sentido e tal 
A, B e C formam um triedro positivo. Em simbolos. 
-
A X B = AB sen () u , 0 ;;a () � 7r 
24 ANALISE VETORIAL 
onde u e um vetor unitario indicando a direc;ao de A X B. Se A= B, 
OU se A e paralelo a B, entao sen () = 0 e dizemos que AX B = 0. 
Sao validas as seguintes leis: 
1) A X B = - B X A (A lei comutativa nao se aplica para 
Produtos Vetoriais.) 
2) A X (B + C) = A X B + A X C Lei Distributiva. 
3) m (AX B) = (mA) X B =AX (mB) =(AX B) m, onde m 
e um escalar. 
4) i Xi = jXj = kXk = O, iXj = k , j X k = i , kXi = j 
i J k 
AX B = Ai A2 Aa 
Bi B2 Ba 
6) O modulo de A X B e igual a area do paralelogramo cujos 
lados sao A e B. 
7) Se A X B = 0, e A e B sao vetores nao nulos, entao A e B 
sao paralelos. 
Produtos triplos. Com os vetores A, B e C podemos ter 
significativos produtos da forma (A · B) C, A 
· 
(B X C) e A X 
X (B X C). Sao validas as seguintes leis: 
1) (A · B) C � A ( B · C) 
2) A · (B X C) = B · (C X A) = C · (A X B) = volume do 
paralelepipedo cujas arestas sao A, B e C ou o negativo desse 
volume, conforme A, B e C formem ou nao um triedro positivo. Ee 
A= A1i + A2j+ Aak, B=B1i + B2j +Bak e C=C1i + C2j + Cak, 
entdo 
Ai A2 Aa 
A· (BX C) = Bi B2 Ba 
C1 C2 Ca 
PBODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL 25 
3) AX (8XC) ;i6. (AX8) X C (A Lei Associativa nao se aplica 
para produtos vetoriais). 
4) A X (8 X C) = (A · C) 8 - (A · B) C 
(A X 8) X C = (A · C) 8 - (B · C) A 
O produto A . (8 X C) e, as vezes; chamado de triplo produto 
escalar e pode ser representado por [ADC]. 0 produto A X (BXC) 
e chamado triplo produto vetorial. 
Em A · (B X C) as vezes omitimos parentesis e escrevemos 
A·B X C (veja o Prob. 41). Entretanto devemos usar os parentesis 
em A X (B X C) (Veja os Problemas 29 e 47). 
Conjunto reciproco de vetores. Os conjuntos de vetores 
a, b, c ea', b', c' sao ditos conjuntos ou sistemas rec!procos de vetores se 
a · a' = b · b' = c : c' = 1 
a' ·, b =a' :. c = b' ·a = b' · c = c' ·a = c' · b = 0 
Os conjuntos a, b, c e a', b', c' sao conjuntos reciprocos de ve­
tores se e somente se 
, bXc a =----a · b X c 
cXa b'=----­a · b X c ' 
aXb c' =-----
a· b X c 
onde a . · b X c ;i6. 0. Veja os Problemas 53 e 54. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Produto escalar ou produto interior. 
1. Provar que A · B = B · A. 
A · B .., AB cos 8 - BA cos 8 - B · A 
Entao e vii.Iida a lei comutativa para o produto escalar. 
2. Provar que a proje9io de A e6-
bre .B e igual a A · b, onde b e um vetor 
unit&rio na dire9io de B. 
Paseemoe pela origem e pela extre­
midade de A pianos perpendiculares a B 
em G e H respectivamente, como na 
figura ao lado. 
Entao 
Proje9ao de A s6bre 
B - GH - EF "" A COB (J - A . b 
� 
£ � F 
I I 
I I 
I I 
I I 
G H B 
26 ANALISE VETORIA.L 
3. Provar que A · (B + C) ,. A · B +A • C. 
Seja a um vetor uniUrio na di­
re�iio de A ; en tii.o 
Proje�iio de'(B +C) s6bre A = proj. 
de B s6bre A + proj. de C s6bre A 
(B + C) · a = B · a + C · a 
I B+C 
\ 
I 
\ Multiplicando por A, 
\ I \ (B + C) · Aa = B · Aa + C · Aa \ I I e 
\ \ \ ___.r (B + C) · A = B · A + C · A 
J\---��-;---
---cc:--A Entiio, pela lei comutativa para 
£ os produtos escalares, temos 
A · (B + C) ... A · B +A · C 
e a lei distributiva � v11.lida. 
4. Provar que (A + B) · (C + D) = A · C +A · D + B · C + B · D. 
Pelo Problems 3, 
(A +B) · (C +D) =A·(C +D) + B·(C +D)=A ·C +A· D +B ·C +B ·D. 
AB leis comuns da algebra siio validas para OS produtos escalares. 
5. Calcular os seguintes produtos: 
(a) i · i = Iii Iii cos Cl" = (1)(1)(1) = 1 
(b) i·k = I i i lklcoa90°=(1)(1)(0)=0 
(c) k · j = lk I lj I cos 90" X (1) (1) (0) = 0 
(d) f. (2i _· 3j + k) = 2 j • i - 3j . j + j . k = 0 - 3 + 0 = - 3 
(e) (2i -j) · (3i +k) = 2i · (3i + k) - j · (3i +k) = 6i·i + 2i· k­
-
3j . i -j . k = 6 + 0 - 0 - 0 = 6 
6. Se A = A1i + AJ + Aak e B =- B1i + BJ + Bak, provar que 
A · B = A1B1 + A2 B2 + AaBa • 
A · B = (A1i + AJ + Aak) · (B1i + BJ + Bak) 
-A1i · (B1i +BJ +Bak) +AJ·(B1i+BJ+Bak)+Aak·(B1i+B2i+Bak) 
= A1Bii · i + A1B2 i·j + A1Bai·k + A2 Bo ·i + A2 Bd ·j + A2Baj ·k + 
+ AaB1k · i + AaB2k-j + AaBak ·k 
= A1B1 + A2B2 + AaBa 
Poie, i ·i = j -j = k ·k = 1 e todos os outros produtos escalares siio nulos. 
7. Se A=A1i + AJ + Aak, mostrar que A=VA·A= VA12+A22+Aa2. 
A ·A "" (A)(A) cos Cl" = A2• Logo, A = y'"A":A . 
Temos tamMm, A • A = (A1i + AJ + Aak) · (A1i + AJ + Aak) ... 
• (A1)(A1) + (A2) (A2) + (Aa) (Aa)"" Ai2 + A22 + Aa2. 
PRODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL 
Pelo Problema 6, fazendo B -= A. 
Logo A - v' A · A - V A12 + A22 + Aa2 6 o m6dulo de A. As vAzeB A ·A 
se escreve A 2. 
8. Achar o Angulo entre A - 2i + 2j - k e B - 6i - 3j + 2k. 
A·B •AB coB B, A-V(2)2 + (2)2 + (-1)2 ... 3, B-V(6)2 + (-3)2 + (2)2 -7 
A·B- (2) (6) + (2) (-3) + (-1) (2) = 12 - 6 - 2 - 4. 
A ·B 4 4 . Logo, COB 8 ... All - (3)(7) - 21 - 0,1905 e 8-7'¥' aproxunadamente. 
9. Be A • B - 0 e Be A e B niio sio nulos, mostrar que A 6 perpendicular 
a B. 
Se A · B "' AB COB 8 ... O, entiio cos 8 ... 0 ou 8 -= 90". E inversamente, se 
8 ,.. 90", A • B - 0.10. Determinar o valor de a tal que A - 2i + aj + k e B .. 4i - 2j - 2k 
sejam perpendiculares. 
Do Problema 9, A e B siio perpendiculares se A • B "" 0. 
Logo A · B = (2) (4) +(a) (-2) + (1) (-2) - 8 - 2& - 2 -o para a-3. 
11. Mostrar que os vetores A = 3i - 2j + k, B ... i - 3j + 5k, 
C 
= 
2i + j - 4k formam um triAngulo retdngul.o. 
� 
(3) 
(1) 
(a) (b) 
Em primeiro lugar temos que mostrar que �sses vetores formam um triAngulo. 
Pelas figuras verificamoa que formariio um triAngulo se: 
(a) um dos vetorea, digamos (3), f6r a resultante ou a soma dos outros dois 
((1) e (2).) 
(b) a soma da resultante dos vetores (1)+ (2) + (3) f6r nula. 
Para o caao (a) dois vetores Mm que ter extremidades comunB, e para o caso 
(b) nii:o hit vetorea com extremidade comum. Por tentativa achamos A =B+c 
de modo que formam realmente um ·triAngulo . 
. Como A • B = (3) (1) + ( -2) (-3) + (1) (5) = 14, 
A • C = (3) (2) + (-2) (1) + (1) ( -4) "" O, e 
B · C = (1) (2) + (-3) (1) + (5) (-4) - - 21, 
segue-se que A e C siio perpendiculares e o triAngulo 6 retAngulo. 
12. Achar os Angulos que o vetor A • 3i - 6j + 2k faz com os eixos c� 
denados. 
28 AN!�ISB VBTORIAL 
Sejam a, {3, "( os :ingulos que A faz com oa semi�ixos positivos Ox, Oy, Oz, 
rupectivamente. 
A • i = (A) (1) cos a - v' (3)2 + ( -6)2 + (2)2 cos a "" 7 cos a 
A · i = (3i - 6j + 2k) · i =- 3i · i - 6j · i + 2k · i = 3. 
Logo cos a "" 3/7 =- 0,428 6, e a = 64,6° aproximadaruente. 
Da mesma forma, cos /3 = -6/7, /3 ,. 149° e cos"( =- 2/7, "( = 73,4°. 
Os co-senos de a, /3 e 'Y sao chamadoa de co-senos diretores de A (Veja 
Prob. 27, Cap. 1). 
13. Achar a projeQiio do vetor A = i - 2j + k s6bre o vetor 
B - 4i - 4j + 7k. 
e 
Um vetor unitario na direQiio de 8 e 
b = .!!_ = 4i - 4j + 7k = .! •. - .! ,. + 1. k B y' (4)2 + ( _ 4)2 + (7)2 9 9 9 
. 
ProjeQiiO de A sobre 0 vetor 
B =A · b = (i - 2j + k) · 
( _! i - _! j + _!_ k ) = 9 9 9 
- (1) ( : ) + ( - 2) ( - : ) + (1) ( � ) = 1: • 
14. Provar a lei dos co-senos para triangulos planos. 
Da Fig. (a) abaixo, B +C =A ou C =A - B. 
Logo C · C = (A - B) · (A - B) = A · A + B · B - 2A · B 
C2 = A 2 + B2 - 2AB cos 8. 
0 B . 
Fig. (a) Fig. (b) 
15. Provar que as diagonais de um losango siio perpendiculares. Veja 
Fig. (b) acima. • 
OQ =OP + PQ .. A 1;- B 
OR +RP .,. OP ou B +RP = A e RP - A - B 
Logo OQ ·RP - (A + B) · (A - 8) ... A2 - B2 .. O, pois A ... B. 
Donde 0.,. Q e perpendicular a RP. 
PRODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL 
16. Determinar um vetor uniUrio perpendicular ao piano de 
A .,. 2i - 6j - 3k e B - 4i + 3j - k. 
29 
Seja C -= c1i + c� + cak um vetor perpendicular ao piano de A e B. Entlo 
C e perpendicular a A e a B. Donde, 
C • A - 2c1 - 6c2 - 3c3 ... 0 ou (1) 2c1 - 6c2 - 3e3 
C · B - 4c1 + 3c2 - ea = 0 ou (2) 4c1 + 3e2 • ea • 
Resolvendo (1) e (2) simultAneamente: 
1 1 
c1 -= 2 ea, c2 "" - 3 ea, C .,. Ci ( ! i - ! j + k ) . 
Logo, um vetor uniUrio na dire9ao de C e 
ea (' ..!. i - ..!. ; + k) 
� - �;====2==3===== ... ± ( � i - � j + � k ) . 
� C32 [ < � r + < _ ! r + (1)2 J 
17. Achar o trabalho realizado quando um objeto se desloca ao longo do 
vetor r ... 3i + 2j - 5k, se a f6�a aplicada e F - 2i - j - k. Veja a Figura 
(a) abaixo. 
Trabalho feito .. (grandeza da fOr9a na dire9Ao do movimento) (dist,Ancia 
percorrida) 
• (F cos 8) (r) • F · r • 
- (2i - ; - k) . (3i + 2j - 5k) -= 6 - 2 + 5 - 9. 
:r 
Fig. (b) 
18. Achar a equa9ao do piano perpendicular ao vetor A - 2i + 3j + 8k 
e que passa pela extremidade do vetor B - i + 5j + 3k (Veja Fig. (b) acima). 
Seja r o vetor posi9ao do ponto P, e Q a extremidade de B. 
Como PQ - B - re perpendicular a A, (B - r). A - 0 OU r . A - B . A 
e a equa9'<> procurada, na forma vetorial. A equa9'<> cartesiana serif.: 
(:ri + � + ik) . (2i + 3j + 6k) = (i + 5j + 3k) . (2i + 3j + 6k) 
30 
OU 
ANALISE VETORIAL_ 
2z + 3y + 6z = (1) (2) + (5) (3) + (3) (6) = 35. 
19. No Problema 18, achar a distAncia da origem dos eixos ao piano. 
A distAncia da origem ao plano e a proje9iio de B s6bre A. 
Um vetor unitario na dire9iio de A e 
A 2i + 3j + 6k 2 3 6 
a = 
A 
= -v c2)2 + <3)2 + <6)2 = 7 i + 7 j + 7 k. 
Logo, proje9iio de B s6bre A == B · a = (i + 5 j + 3 k) · 
. ( � i + ; j + � k ) = 1 ( � ) + 5 ( � ) + 3 ( � ) - 5. 
20. Se A e um vetor qualquer,provar que A-(A ·i)i+(A-j)j +(A·k)k, 
Como A = A1i + A2j + Aak, A · i =- A1i · i + Au · i + Aak • i = A1. 
Da mesma forma, A · j = A2 e A · k =- A3. 
Logo A = A1i +A� + Aak = (A ·i)i+ (A-j)j + (A·k) k. 
0 produto vetorial ou produto exterior. 
' 21. Provar que A X B = - B X A. 
,\xB: C 
B><A= D 
Fig. (a) Fig. (b) 
A X B = C tern m6dulo igual a AB sen (J e dire9ao e sen tido tais que A, 
B e C formam um triedro po11itivo (Fig. (a) acima). 
B X A = D tern m6dulo igual a BA sen fJ e dire9iio e sentido tais que B, A 
e D formam um triedro positivo (Fig. (b) acima). 
Logo D tem o mesmo m6dulo de C mas sentido oposto, isto e, C = -D ou 
A XB .. - BX A. 
A lei comutativa nao e valida para OS produtos vetoriais. 
22. Se A X B = O e se A e B niio sao nulos, mostrar que A e paralelo a B. 
Se AX B = ABsenfJu = O, entiio senO = 0 e fJ = 00 ou 180". 
23. Mostrar que J AX BJ2 +JA . BJ2 = JAJ2 JBJ2. 
IAXBJ2 +JA · BJ2 ... JABsenfJuJ2+ IABcos012=A2B2sen20+A2B2 cos2fJ= 
= A 2B2 = JAl2 JBJ2 
PRODUTO ESCALAB E PBODUTO VETOBIAL 31 
24. Calcular os seguintes produtos: 
(a) i Xj =k (j) j Xj =O 
(b) j Xk = i (g) iXk= -kXi=-j 
(c) k x i = j (h) (2j) x (3k) = 6j x k =- 6i 
(d) kXj =-jXk=-i (i) (3i) x (-2k) ""' - 6i x k = 6j 
(e) ix i =O (j) 2j x i - 3k = - 2k - 3k = - 5k 
25. Provar que A X (B + C) = A X B + A X C no caso em que A e per­
pendicular a B e tambem a C. 
Como A e perpendicular a B, A X B e um vetor perpendicular ao piano de 
A e B e cujo m6dulo e AB sen 
90" ... AB ou m6dulo de AB. l!'.:ste 
resultado e equivalente ao obtido 
multiplicando-se B por A e girando 
o vetor resultante de 90" para a po­
si9ao indicada no diagrama ao !ado. 
Da mesma forma, A X C e o 
vetor obtido multiplicando-se C por 
A e girando o vetor resultante de 
90" para a posi9ao indicada. 
Do mesmo modo, A X (B + C) 
e 0 vetor obtido multiplicando-se 
B'+C por A e girando o vetor re­
sult.ante de 90" para a posi9ao indi-
cada. 
---"xc I --1 ',-t+ � 
I '""� I 
A><B1 .,,. I 1 ,0 I l ' I 
-- ' I -- --'S 
Como A X (B + C) e a diagonal do paralelogramo cujos Jados siio A X B 
e�A]X C temos A X (B + C) .=A X B +A X C. 
26. Provar que AX (B +C) = AX B +AX C no caso geral de A, B 
e c_.:nao serem complanares. 
Decomponhamos B em dois vetores, uni perpendicular e outro parale•o a 
A, e OS designemos por BJ. e B11, respectivamente. Logo, B =BJ. +Buse 8 e 0 
Bu 
BJ. 
il.ngulo formado por A e B, entii.o 
BJ. = B sen 8. 0 m6dulo de A X B1 
e AR sen 8, o mesmo que o m6dulo 
de AX B. E tambem, a dire9ao e 
sentido de A X Bi siio as mesmas 
de AX B. Logo, AX Bi=A X B. 
Da mesma forma, se decompuser­
mos C, em dois vetores CJ. e C111 um • 
paralelo e outro perpendicular a A, 
teremos A X CJ. = A +C. 
Alem disso, como B + C = BJ.+ 
+ Bu + CJ. + C11 = (BJ. +CJ.) + 
+ (B11 + C11 ) segue-se que 
AX (BJ. +CJ.)= AX (B +C). 
32 ANALISE VETORIAL 
Mas B.l e C.l siio vetores perpendiculares a A e entiio, pelo Problema 25, 
temos 
Logo 
A X (B.l +C.l) =AX B.l +A X C.l. 
A X (B + C) =A X B +A X C 
e .se verifica a lei distributiva. Multiplicando por -1, pelo Prob. 21, ficamos 
corn (BXC) X A= B X A+CXA. 
Note-se que a ordem dos fa<orcs � importante nos produtos vetoriais. As 
leis usuais da algebra aplicam-se somente se fOr mantida a devida ordem. 
27. Se A = Aii + A2.i +Ask e B = Bii + B?,j 4- Bsk, provar que 
j k 
- A X B = Ai A2 Aa 
Bi B2 Ba 
A XB = (Aii + A� + Aak) X (B1i + B2j + Bak) 
= A1i X (B1i + B2.i +Bsk) + A2.i X (B1i + B2j +Bak) + 
+ Aak X (B1i + B� + Bsk) = . 
= AiB1i X i + A1B2i Xj + A1Bai Xk + A2BJ Xi+ A2B� Xj + 
+ A2BajX k+ AaB1kXi + AaB2kXj + AaBakXk = 
• . k . 
= (A2Ba-AsB2)i + (AsB1-A1Bs)j + (AiB2-A2B1)k= �1 �2 As,. 
B1 B2 Ba 
28. Se A = 2i - 3j - k e B = i + 4j - 2k, achar 
(a) AXB, (b) BXA, (c) (A+B) X (A-B). 
I� j k (a) AXB = (2i - 3j - k) x (i + 4j - 2k) = -3 -1 4 -2 
• 1
-3 
=1 
-
11
-
j1
2 -
11 1
2 
-2 
+ k 
1 
-:1 = lOi + 3j + llk 4 Outro MeUJdo. -2 1 
(2i - 3j - k) x (i + 4j - 2k) = 
- 2i x (i+4j-2k) - 3j x (i+4j-2k) - k x (i+4j-2k) = 
-2iX i +Si X j-4iXk-3j X i-12j X j +6j X k-kXi- 4kXj+2kXk-= 
- 0 + 8k + 4j + 3k - 0 + 6i - j + 4i + 0 = lOi + 3j + Uk 
j 
(b) B X A = (i + 4j - 2k) X (2i - 3j - k) = 1 4 2 -3 k l -21 = -1 
,;., i I 4 -21- j 11 -21 + k 11 - 41 = -lOi - 3j - Uk. -3 -1 2 -1 2 -3 
Comparando corn (a), A X B = - B X A. Note-se que �sse resultado � 
equivalente ao teorema: Se se trocarem 2 filas de um determinantc· entre si, 
o determinante muda de sinal. 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 
(c) A + B = (2i - 3j - k) + (i + 4j - 2k) = 3i + j - 3k 
A - B = (2i - 3j - k) - (i + 4j -2k) = i ,.... 7j + k. 
I i j k I Entao (A+B) x (A -B) = (3i+j -3k) x (i-7j +k) = 3 ,1 -3 1 -7 1 
33 
= 
i 1 1 -3 1 1 3 -3 , 1 3 1 1 - j + k = - 20i -6j ·- 22k. 1 1 1 -7 I 
Outro M etodo 
-7 1 
(A +B) X (A -B) = A X (A -B) + B X (A -B) = 
= AXA-A XB+BXA-BXB = O-AXB-AXB-0 = 
= -2A X B = 
= -2 (10i + 3j +Ilk)= -20i -6j -22k, 
aproveitando o resultado de (a) . 
/ 29. Se A = 3i - j + 2k, B = 2i + j - k, e C = i - 2j + 2k, achar 
(a) (A X B) X C, (b) A X (B X C). 
I i j k I (a) AX B = 3 -1 2 = - i + 7j + 5k. 
2 1 -1 
Logo (AXB)XC.,. (-i+7j+5k)X(i- 2j+2k) = l -� j � I= 24i + 7j-5k. 
I i j k I (b) B X C = 2 1 -1 = Oi - 5j -5k = -5j - 5k. 1 -2 2 
I i j k I LogoAX(BXC)=(3i-j+2k)X(-5j-5k)= 3 -1 2 =15i+15j-15k. 0 -5 -5 
Assim, (A X B) X C -;t. A X (B X C), mostrando a necessidade do par�n­
tesis em A X B X C para evitar ambigUidade. 
30. Provar que a 11rea de um pa-
ralelogramo cujos lados eao A e B � 
IA X BI. 
Area do paralelogramo .,. 
= hlBI = 
-= IAI sen8 IBI = 
= IA X BI. 
Note-se que a area de um tridngulo 
cujoe lados sao A e B = ! I A X BI • B 
34 ANALISE VET"ORIAL 
:n. Achar a lirea do triangulo de vertices em P(l,3,2), Q(2, -1; 1), 
R( -11 2, 3). 
PQ = (2 -1) i + ( -1 -3) j + (1 -2) k = i - 4j - k 
PR = ( -1 -1) i + (2 - 3) j + (3 - 2) k = - 2i - j + k. 
Do Problema 30, temos 
area do triangulo 
= ! I PQ x PR I = ! I (i - 4j - k) x ( -2i - j + k) I 
=t1 j � . -2 j -4 -1 kl � -� 1 = ! 1-si + j - 9kl = !vc -s)1+(1)2+c -9)2 = !v101. 
32. Determinar um vetor unitario perpendicular ao piano de 
A 
= 2i - 6j - 3k e B = 4i + 3j - k. 
A X B e um vetor perpendicular ao piano de A e B. 
AXB= 
j 
-6 
3 
Um V\!tor paralelo a A x B e 
�
3 1 -1 = 15i - lOj + 30k 
A X B = 15i - lOj + 30k = � i _ _! j + � k. IA x BI v (15)2 + ( -10)2 + (30)2 7 7 7 
Um outro vetor unitario, de sentido oposto, e ( -3i + 2j - 6k)/7. 
Comparar com o Probiema 16. 
33. Provar a lei dos senos para os triangulos pianos. Representemos por 
a, b e c os lados do tridngulo ABC, conforme mostra a figura ao lad.o; entiio 
a + b + c = 0. Fazendo sucessivamente o produto vetorial por a, h e -c vem 
i.e. 
OU 
aXh=bXc=cXa 
ab sen C 
= 
be sen A =.ea sen B 
sen A sen B sen C 
-a-= -b= -c-
A 
34. Os vetores V11 V21 Va, v, tern m6dulos iguais., respectivamente, as areas 
das faces Fi, F2, Fa e F4 de um tetraedro e dire�<>es perpendiculares a essas faces 
e dirigidos do dentro para fora. Provar que V1 + V2 +Va + V4 = 0. 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 35 
Pelo Problema 30, a area de uma fac� triangular determinada por R e S 6 
! IR x SI. 
Os vetores ligados a cada ·uma das faces do tetracdro sao 
V1 =!A X B, V2 =!B X C, Va=! C X A, v, = ! (C -A) X (B -A). 
Logo 
V1 + V2 +Va+ v, = ! [AXB + BXC +CxA +(C-A)X(B-A)] = 
= !!AXB +BXC +CXA +CXB -CXA -AXB +AXA]= O. 
Este resultado pode ser generalizado para qualquer poliedro e, no limite, 
para qualquer superffcie fechada .. 
Por causa desta aplicac;iio e £8 vezes conveniente dar-se um sentido a area 
e, cntao, referimo-nos a area vetorial. 
/ 35. Achar uma expressao para o momento da f6rc;a Fem relac;ao ao ponto P. 
0 momento M de F em relaitao a P e, em grandeza, igual a F vezes a dis­
tiincia de p a linha de ac;ii.o de F. Logo, SC r e 0 vetor que liga p a origem 
Q de F, 
M = F(rsen8) = rFsen8 = lr X FI 
se concebermos um saca-r6lhas em P, perpendicular ao piano de r e F, quando 
a f6rc;a F agir, o saca-r6lhas se deslocara no sentido de r X F. Por isso, .e conve­
niente definir o momento como o vetor M = r X F. 
p 
I 
\ 
� I 
W! \ " I 
Q) \ 
I 
-
-
- ..J.. -
- Q 
__ ....1..--
36. Um corpo rlgido gira em t6rno de um eixo que passa pelo ponto 0 corn 
uma velocidade angular w. Provar que a velocidade linear v de um ponto P 
do corpo, cujo vetor posiQii.O e r, e dada por V = W « r, onde W e Uffi vetor de 
m6dulo w, de direitii.o do eixo c sentido do deslocamento de um saca-r6lhas que 
girasse corn o corpo. 
Como P percorre uma circunferencia de raio r sen 8, o m6dulo do vetor velo­
cidade linear v e w (r sen 8) = I w X r I. Ademais, v deve ser perpendicular a 
w, a· r e e ta! que forme corn w e r um triedro positivo. 
Logo, v coincide tanto cm m6dulo como em direitii.o e sentido corn w1X r; e, 
portanto, v = w X r. 0 vctor w e chamado vetor velocidade angular. 
36 ANALISE VETORIAL 
Produtos triplos. 
37. Mostrar que A · (B X C) e, em valor absoluto igual ao volume de um 
I 
I 
A h l-----� ---
C I 
B 
paralelepfpedo cujas arestas sao A, 
Be C. 
Seja n um unitario normal ao 
paralelogramo I, tendo direi;ao e sen­
tido de B X C, e seja h, a altura 
em que fica a extremidade de A aci­
ma do paralelogramo I. 
Volume do paralelepfpedo =(al­
tura h) X (area de I) = 
=(A • n )(IB XCI) 
= A· { IB XClnl =A· (B XC). 
Se A, B e C nao formam um triedro positivo, A • n < 0 e o volume = 
-IA·(B XC)j. 
38. Se A = A1i + A� + Aak, B = B1i + B2j + Bak, C ... C1i + c� +Cak 
mostrar que 
A· (BXC) = 
12 �31 = 
C2 Ca 
= (A1i + A2.i + Aak) · [(B2Ca - BaC2) i + (BaC1 - B1Ca) j + 
+ (B1C2 - B2C1)k] .., 
= A1 (B2Ca - BaC2) + Ai (BaC1 - B1Ca) + Aa (B1C2 - B2C1) -
39. Calcular (2i - 3j) • [(i + j - k) X (3i - k)]. 
Pelo Prob. 38, o resultado e I� 
Outro Mttodo. 0 resultado e igual a 
-3 
1 
0 
-� 1 -1 4. 
(2i - 3j) . [i x (3i - k) + j x (3i - k) - k x (3i - k)] 
= 
- (2i - 3j) . [3i x i - i x k + 3j x i - j x k - 3k x i + k x kl = 
.. (2i - 3j) . (0 + j - 3k - i - 3j + 0) .. 
- (2i - 3j) . ( - i - 2j - 3k) = (2) ( -1) + ( -3) ( -2) + (0) (-3) = 4. 
40. Provar qYe A · (B X C) = B • (C X A) = C · (A X B). 
PRODUTO ESCALAB E PRODUTO VETORIAL 37 j Ai A2 Aa I Pelo Problema 38, A·(BXC) = Bi B2 Ba Ci C2 Ca 
Como, quando se trocam entre si duas filas paralelas de um determinante 
ele muda de sinal, temos 
Ai A2 Aa I I B1 B2 Ba I I Bi B2 Ba I Bi B2 Ba Ai A2 Aa Ci C2 Ca B · (C X A) Ci C2 Ca Ci C2 Ca Ai A2 Aa 
Ai A2 c, C2 C2 
Bi B2 
Aa I Ba = - I Bi B2 Ca I Ba . I C1 Ai A2 Ca I Aa = C ·(AX B) Ci C2 Ca Ai A2 Aa Bi B2 Ba 
41. Mostrar que A • (B X C) = (A X B) • C. 
Do Problema 40, A · (B X C) = C · (A X B) = (A X B) · C 
As vezes A · (B X C) aparece escrito sem os parentesis: A · B X C. Neste 
Caso nao pode haver ambigiiidade porque as unicas interpretaQoes poss(veis Sa.O 
A · (B X C) e (A · B) X C. Esta ultima, no entanto, nao tern significaQiiO algu­
ma, visto como o produto vetorial de um escalar por um vetor nao tern sentido. 
A propriedade A · B X C = A X B · C e, As vezes, enunciada da seguinte 
maneira: o resultado de um produto triplo nao se altera quando se trocam 011 
produtos escalar e vetorial.42. Provar que A · (AX C) = O. 
Do Problema 41, A · (A X C) = (A X A) · C = 0. 
43. Provar que a c6ndigao necessaria e suficiente para que os vetores A, 
B e C sejam complanares e que A · B X C = O. 
Note-se que A· B X C nao pode ter outra significaQao senao a de A·(BXC). 
Se A, B e C sao complanares o volume do paralelep!pedo por eles formados 
e zero. Entao pelo Problema 37, A • B X C = 0. 
Reclprocamente, se A · B X C = 0 o volume do paralelep!pedo formado 
pelos vetores A, B e C e zero, e, portanto, os vetores devem estar num mesmo 
piano. 
44. Sendo ri = xii + yij + z1k, 
os vetores posiQaO dos pontos P1 (x1, 
yi, z1), P2 (x2, y2, z2) e Pa (xa, ya, za), 
achar a equaQii.O do piano que passa 
por esses tres pontos. 
Suponhamos que Pi, P2 e Pa nii.o 
estejam cm linha reta, logo, determi­
nam um piano. 
Designemos por r == xi + yj +zk 
o vetor posigii.o de qualquer ponto 
P (x, y, z) do piano. 
Os vetores Pi P2 = r2 r1, 
P1 Pa = ra - ri e P1Pa = ra - r1 es­
t!o todoe nesse piano. 
z 
38 ANALISE VETORIAL 
Pelo Problema 43, P1P • P1P2 X P1Pa - 0 ou 
(r -r1) · (r2 -r1) X (ra -r1) = 0 
que se transforma em 
[(x - x1) i + (y - Y1) j + (z - z1) kl · [(x2 - x1) i + (Y2! - u1) j + (z2 - z1) kl X 
X [(xa - x1) i + (ys - Y1) j + (za - z1) kl = 0 
e, utilizando o results.do do Problema 38, temos 
I 
x - x1 y - Y1 z - z1 
I X2 - X1 Y2 - Y1 Z2 - Z1 = 0. Xa - X1 Ya - Yl Za - Z1 
45. Achar a equa9iio do piano aeterminado pclos pontos P1 (2, -1, 1), 
P2 (3, 2, -1) e Pa ( -1, 3, 2). 
Os vetores posi9iio de P1, P2, Pa e um ponto qualquer P (x, y, z) siio respec­
tivamente r1 = 2i-j+k, r2 = 3i+2j-k, ra = -i+3j+2k e r = xi+yj+zk. 
Entiio PP1 = r -r1, P:iP1 = r2 -r1, Pa P1 = ra - r1 estiio todos no piano 
pedido, de modo que temos 
(r -r1) • (r2 -r1) X (ra -r1) = 0 
lsto e 
(x -2) i + (y + 1) j + (z - 1) kl · [i + 3j -2kl X I -3i + 4j + k) = 0 l<x -2) i + (y + 1) j + (z - 1) kl • [11i + 5j + 13kl = 0 
11 ( x - 2) + 5 (y + 1) + 13 (z - 1) = 0 ou llx + 5y + 13z = 30. 
46. Se os pontos P, Q e R, niio estiio em linha reta e tern a, b e c como 
vetores posi9iio, em rela9iio a uma dada origem, mostrar que aXb + bXc + cXd 
e um vetor perpendicular ao piano de P, Q e R. 
Seja r o vetor posi9iio de um ponto qualquer do piano de P, Q e R. Entiio 
os vetores r - a, b -a e c - a sil.o complanares, logo, pelo Problema 43, temos 
(r -a) · (b - a) X (c -a) = 0 ou (r - a) ·(a X b + hXc + cXa) = 0. 
Assim aXb + hXC! + cXa e perpendicular a r - a e e portanto, perpen­
dicular ao piano de P, Q e R. 
47. Provar que: (a) AX (BXC) = B(A·C) -C(A·B), (b) (AXB) X C = 
= B (A · C) -A (B · C). 
(a) Sejam A
= A1i + A2j + Aak, B=B1i + B2j + Bak, C=C1i + C2j + Cak. 
Logo 
I i j k I AX (BXC) = (A1i + A2j + Aak)X B1 B2 Ba = 
C1 C2 Ca I 
= (A1i + A2j + Aak) X ([B2Ca - BaC2] i + [BaC1 -B1Ca) j + [B1C2-B2C1l k) = 
= (A2B1C2 - A2B2C1 - AaBaC1 + AaB1Ca) i + (AaB2Ca - AaBaC2 - A1B1C2 + 
+ A1B2C1) j + (A1BaC1 - A1B1Ca - A2B2Ca + A2BaC2) k 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 39 
Por outro lado B(A ·C) -C(A · B) = 
-(B1i +BJ +Bak) (A1C1 +A2C2+AaCa) - (C1i +CJ +Cak) (A1B1 +A2B2+AaBa) = 
-(A2B1C2 +AaB1Ca -A2C1B2 -AaC1Ba)i +(B2A1C1 + B2AaCa -C2A1B1 -C2AaBa)j + 
+ (BaA1C1 + BaA2C2 - CaA1B1 - CaA2B2) k 
que e o mesmo resultado eneontrado para A X (B X C). 
(b) (A XB) X C= -C X (A XB)= -(A(C ·B)-B(C ·A)} = 
-B (A · C)-A (B · C) pela substitui<;iio de A, Be C em (a) por C, A e B respecti­
vamente. 
Note-se que A X (B X C) ;'! (A X B) X C, isto e a lei associative. para pro­
dutos escalares niio e valida para quaisquer vetores A, B e C. 
48. Provar que: (A XB) · (C XD) = (A · C) (B · D) -(A · D) (B · C). 
Do Problema 41, X · (C XD) = (X XC) ·D. Fai;amos X = A X B; logo 
(A XB) 
· 
(CXD) = ((A XB) XC) · D = (B(A ·C) -A(B ·C)) · D = 
=(A· C)(B · D) -(A· D)(B · C), utilizando o Problema 47 (b). 
49. Provar que: A X (BXC) +B X (C XA) + C X (A XB) = O. 
Pelo Problema 47 (a), 
A X (BXC) = B(A · C) -C(A · B) 
B X (C X A) = C(B ·A) -A(B · C) 
C X (A XB) = A(C · B) -B(C ·A). 
Somando membro a membro chegaremos ao resultado desejado. 
50. Provar que: (A XB) X (C XD) = B (A · C XD) - A (B · C XD) = 
= C(A · BXD) -D(A · BXC). 
Pelo Problema 47 (a), 
X X (C X D) = C(X • D) - D(X · C). Fa<;amos X = A X B; logo 
(A X B) X (C X D) = C (A X B · D) - D (A X B · C) = 
= C (A · B X D) -D (A · B X C). 
Pelo Problema 47 (b), 
(A X B) X Y = B (A · Y) -A (B · Y). Fa<;amos Y = C X D; logo 
(A X B) X (C X D) = B (A · C X D) -A (B · C X D). 
51. Sendo PQR um tridngulo esferico cujos lados p, q, r siio arcos de gran­
dee circulos, provar que 
sen p sen q sen r 
Suponhamos que a esfera (veja a figura na pagina seguinte) tenha raio uni­
tario, e tracemos os vetores unitarios A, B e C do centro 0 da esfera para P, Q 
e R respectivamente. Do 'Problema 50, temos 
(1) (A X B) X (A X C) "" (A · B X C) A 
40 ANALISE VETOBIAL 
Um vetor unitario perpendicular a A X B e A X C e A, de modo que (1) 
se transforma em 
(2) sen r sen q sen P A = (A · B X C) A 
OU 
(3) sen r sen q sen P = A · B X C. 
Pela permuta�ii.o circular de p, q, 
r; P, Q, R e A, B, C obtemos 
(4) sen p sen r sen Q = B · C X A 
(5) sen q sen p sen R = C · A X B. 
Como os membros direitos de (3), 
(4) e (5) sii.o iguais (Problema 40) temos 
sen r sen q sen P = sen p sen r 
sen Q = �en q sen p sen R 
donde tiramos 
sen P sen Q sen R 
--
= -- =--scn p sen q senr 
que e a lei dos senos para os. triangulos esfericos. 
52. Provar que: (AX B) • (B X C) X (C X A) =(A · B X C)2• 
Pelo Problema 47 (a), 
X X (C X A) = C (X • A) - A (X · C). Fai;amos X = B X C; logo 
(B X C) X (C X A) = C (B X C • A) - A (B X C · C) = 
= C (A · B X C) - A (B · C X C = C (A · B X C). 
Don de 
(A X B) · (B X C) X (C X A) = (A X B) · C (A · B X C) = 
= (A X B · C) (A · B X C) = (A · B X C)2. 
53. Dado os vetores 
I b X C b' C X 3 a =a·bXc ' = a·bXc 
aXb 
e c' == --'--'---a· b Xc' 
mostrar que, se a • b X c � 0, 
(a) a' · a = b' · b = c' · c = 1, 
(b) a' · b =a' · c =- O, b' · a = b' · c = O, c' · a = c' · b = 'o, 
(c) Se a· b X c = V. Entii.o a' · b' X c' = 1/V, 
(d) a', b' e c' nii.o sii.o complanares se a, b e c nii.o o forem. 
(a) 
(b) 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 
, , b Xc a ·a = a ·a = a · ---- = 
a· b Xc 
b'. b = b. b' = b . 
cXa 
a· b Xc 
c' · c = c · c' = c · aXb 
a ·b X c 
a'· b = b ·a' = b · b Xc 
a· b Xc 
a· b Xc =1 
a· b Xc 
b · c X a a· bXc 
a· b X c a· b Xc 
c · a X b a· b Xc 
a· b Xc a· b Xc 
b · b Xc b X b · c 
a· b Xc a· b Xc 
41 
= 1 
= 1. 
=0. 
De modo analogo se mostram as outras igualdades. Podemoe tam�lil 
chegar a �sses resultados, notando que a' tern a direi;ao de b X c logo, deve ser 
perpendicul,ar a b e c, donde a' · b = 0 e a' · c = 0, 
De (a) e (b) verificamos que os conjuntos de vetores a, b, c e a',b',c' sio re­
cfprocos. Veja tambem os Problemas Propostos 104 e 106. 
(c) , 
b Xc 
a =-� v ' 
Logo, 
._, = c X a u . . v ' 
, aXb c = --v 
(b X c) · ( c X a) X (a X b) 
a' · b' X c' = �-�-�-�-�---'---ya 
(a X b) 
· (b X c) X (c X a) 
ya 
(a· b X c)2 
ya empregando o resultado do Problems 52. 
(d) Pelo Problema 43, se a, b e c nao sao complanares a· b X c � 0. 
Logo, do item (c) segue-se que a' · b' X c' � 0, donde a', b' e c' nao sio com­
planares. 
54. Mostrar que um vetor qualquer r pode ser expresso em fun980 doa 
vetores reclprocos do Prob. 53 pela seguinte equai;ao: 
r = (r · a') a + (r · b') b + (r · c') c • 
Do Problema 50, 
B (A · C X D) -A (B · C X D) = C (A · B X D) - D (A · B X C). 
Don de 
D = A(B ·C X D) _ 
!J(A · C X D) + C(A ·BX D) 
A·BXC A·BXC A·BXC 
Fai;amos A = a, B = b, C = c e D = r. Logo, 
r·hXc +r·cXab+
r· aXb r=
a·bXc3 a·bXc a·bXc
c= 
=r· ( h
Xc 
)a+r· ( cXa )b+r·( aXb )c= a·bXc a·bXc a·bXc 
= (r · a')a +(r · b' )b +(r · c')c. 
42 ANALISE VETORIAL 
PROBLEMAS PRQPOSTOS 
55. Calcular: 
(a) k · (i + j), (b) (i - 2k) · (j + 3k), (c) (2i - j + 3k) · (3i + 2j - k). 
Resp. (a) O; (b) - 6 ; (c) I. 
56. Se A = i + 3j - 2k e B = 4i - 2j + 4k, ar,har: 
(a) A 
· 
B, (b) A, (c) B, (d) I 3A + 2B I, (e) (2A + B) · (A - 2B). 
Resp. (a) - 10; (b) V i-:i-; (c) 6; (d) V 150 ; (e) - 14. 
57. Achar o :1ngulo cntre: 
(a) A =·3i + 2j - 6k e B = 4i - 3j + k, (l.i)C = 4i - 2j + 4k e 
D = 3i - 6j - 2k. 
Resp. (a) 90°; (b) arc cos 8/21 = 67°36'. 
58. Para que valores de a sao A = ai - 2j + k e B = 2ai + aj - 4k 
perpendiculares? 
Resp. a= 2, -1. 
59. Achar os :1ngulos agudos que a reta que liga os pontos (1, -3, 2) e 
(3, -5, 1) faz corn os eixos coordenados. 
Resp. arc cos 2/3, arc cos 2/3, arc cos 1/3 ou 48°12', 48°12', 70032'. 
60. Achar os co-senos diretores da reta que passa pelos pontos (3, 2, -4) 
e (1, - 1 , .2) . 
Resp. 2/7, 3/7, -6/7 ou - 2/7, - 3/7, 6/7. 
61. Dois dos lados de um tri:1ngulo siio os vetores A = 3i + 6j - 2k e 
B = 4i - j + 3k. Determinar os :1ngulos do tri:1ngulo. 
Resp. arc cos 7/V 75 , arc cos V 26/V 75, 900 ou 36°4', 53°56', 900. 
I 
62. As diagonais de um paralelogramo siio dadas por A = 3i - 4j - k e 
B = 2i + 3j - 6k. Mostrar que o paralelogramo e um losango e determinar o 
comprimento dos seus lados e os :1ngulos. 
Resp. 5v3/2' arc cos 23/75, 180° - arc cos 23/75 OU 4,33; 72°8', 107°52'. 
63. Achar a projec;iio do vetor 2i - 3j + 6k s6bre o vetor i + 2j + 2k. 
Resp. 8/3. 
64. Achar a projec;iio do vetor 4i - 3j + k sobre a reta que passa pelos 
pontos (2, 3, -1) e (-2, -4, 3). 
Resp. 1. 
65. Se A = 4i - j + 3k e B = - 2i + j - 2k, achar um vetor unitario 
perpendicular a A e a B. 
· Resp. ± (i - 2j - 2k)/3. 
66. Achar o :1ngulo agudo formado por duas das diagonais de um cubo. 
Resp. arc cos 1/3 ou 70° 32'. 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 43 
67. Achar um vetor unitario paralelo ao piano xy e perpendicular ao 
vetor 4i - aj + k. 
Resp. ± (3i + 4j)/5. 
68. Mostrar qua A= (2i-2j+k)/:�, B = (i+2j+2ki,;l e C=(2i+j-2k)/3 
sao vetores unitarios perpendiculares entre si. 
69. Achar o trabalho feito quando se move um ohjeto, ao longo de uma 
reta, do ponto (3, 2, -1) ao ponto (2, -1, 4) num campo de fon;a dado por 
F = 4i - 3j + 2k. 
Resp. 15. 
70. Se F for um campo de fOr<;a vetorial constante, mostrar que e nulo o 
trabalho realizado para se movimentar um ohjeto ao longo de um pollgono fechado. 
71. Provar que um angulo inscrito num semicfrculo e um angulo reto. 
-2 -2 -2 72. Se A.BCD for um paralelogra�o, provar que AB + BC +CD + 
+ DA2 = AC2 + BD2• 
73. Se ABCD tor um quadrihitero qualquer, e p e Q OS pontos medios das 
diagonais, provar que AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 +BD2 + 4PQ2• 
Este problema e uma generaliza<;ii.o do anterior. 
74. (a) Ar.har a equa<;ii.o de um piano perpendicular a um dado vetor A e 
distante p da origem. 
tesianas. 
Resp. 
(b) Escrever a equac;:io encontrada no item (a) em coordenadas car-
(a) r · n = p onde n = A/A; 
75. Se r1 e r2 forem vetores unitarios situados no piano xy e que fazem os 
Angulos a e /3 corn o sentido positivo .do eixo dos x, 
(a) provar que r1 = cos a i + sen aj e r2 = cos f3 i + sen {3j; 
(b) aplicando o produto escalar r1 · r2, provar as formulas trigonomctricas. 
cos (a -{3) = cos a ·cos f3 +sen a ·sen f3 e cos (a +{3) = cos a ·cos {3-sen a ·sen f3. 
76. Se a for o vetor posic;iio de um ponto· dado (x1i Yli z1) er o de um ponto 
qualquer (x, y, z). Que lugar descreve r se (a) lr - a l = 3, (b) (r - a) ·a = 0, 
(c) (r - a) · r = 0. 
Resp. (a) Esfera de centro em (x1i Yli z1) e raio 3; 
(b) Piano perpendicular a a, passando pela sua extremidade; 
(c) Esfera de centro em (x1/2, Y1/2, z1/2) e raio igual a 
! V x12 + y12 + z12, ou uma esfera cujo diametro e a. 
77. Se A = 3i + j + 2k e B = i - 2j - 4k forem os vetores poRic;ii.o dos 
pontos P e Q respectivamente, (a) achar a equac;ii.o do piano que passa por Q 
e e p<>rpendicular a reta PQ; (b) achar a distancia do ponto ( -1, 1, 1) a esse piano. 
Resp. (a) (r-B) (A-B) ... 0 ou 2x + 3y + 6z = - 28; (b) 5. 
44 AN ALISE VETORIAL 
78. Calcular: 
(a) 2j X (3i - 4k), 
(b) (i + 2j) x k, 
(c) (2i -'- 4k) X (i + 2j), 
(d) - (4i + j - 2k) x (3i + k), 
(e) (2i + j - k) X (3i - 2j + 4k). 
Resp. (a) -Si - 6k; (b) 2i - j; (c) Si - 4j + 4k 
(d) i - 10j - 3k; (e) 2i - llj -7k. 
79. Se A = 3i - j -2k e B = 2i + 3j + k, achar: 
(a) IA XBI, (b) (A +2B) X (2A -B), (c) ICA +B) X (A -B>I� 
Resp. (a) V195; (b) - 25i + 35j - 55k; (c) 2Vl95.' 
80. Se A = i - 2j - 3k, B = 2i + j -k e C = i + 3j - 2k, achar: 
(a) I (A X B) X Cl, (c) A 
· 
(B X C), (e) (A X B) X (B X C), 
(b) IA x (B x C)I, (d) (A x B)-C, (j) (A x B) (B . C). 
Resp. (a) 5V26; (b) 3Vl0; (c) -20, (d) -20; 
(e) - 40i - 20j + 20k;. (j) 35i -35j + 35k. 
81. Mostrar que �e A � 0 e se siio satisfeitas simultAneamente as con­
di90es de (a) A · B = A · C e (b) A X B =A X C, entao B = C, mas que, se 
apenas uma das condi90es acima e satisfeita, entiio B � C, necessariamente. 
82. Achar a area do paraielogramo cujas diagonais siio A = 3i + j - 2k 
e B = i - 3j + 4k. 
Resp. 5 v3. 
83. Achar a area do triAngulo que tern OS vertices 1108 pontos (3, - 1 , 2), 
(1, -1, -3) e (4, -3, 1). 
Resp. ! V165. 
84. Se A = 2i + j - 3k e B = i - 2j + k, achar um vetor que tinha 
m6dulo igual a 5 e que .'!eja perpendicular a A e B ao mesmo tempo. 
Resp. 
sv3. . ±-3-.(i +J +k). 
85. Deduzir as seguintes f6rmulas empregando o estabelecido no Pro­
blema 75: 
sen (a - {1) = sen a cos f1 -cos a sen f1 e 
sen (a + {1) = sen a cos f1 + cos a sen {1. 
86. Achar o momento de uma f6r9a F aplicada no ponto (i, -1 , 2) em re­
la9iio ao ponto (2, -1, 3). 
Resp. 2i -7j -2k. 
87. A velocidade angular de um corpo rfgido que gira em t6rno de um eixo 
e dada por w = 4i + j - 2k. Achar a velocidade linear de um ponto P do 
corpo, cujo vetor posi9iio em rela9iio a um ponto do eixo de rota9iio e 2i-3j +k. 
Resp. -5i -Sj - .14k. 
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 
88. Simplificar (A + B) · (B + C) X (C +A). 
45 
Resp. 2 A · B X C. 
I A ·a·A ·b A ·c 1 89. Provar que (A · B X C) (a · b X c) = B · a B · b B · c • C ·a·C ·b C ·c 
90. Achar o volume do paralelepfpedo cujas arestas siio representadas por 
A = 2i - 3j + 4k, B = i + 2j - }{ e C = 3i - j + 2k. 
Resp. 7. 
91. Se A · B X C = 0, mostrar que ou (a) A, B e C siio complanares mas 
que em nenhuma das combinai;oes de dois desses vetores aparecem dois coli­
neares, ou (b) dois desses vetores siio colineares ou (c) todos os vetores A, B e C 
siio colineares. 
92. Achar o valor de a para o qua! os vetores 2i - j + k, i + 2j - 3k e 
3i + aj + 5k siio complanares . 
Resp. a= -4. 
93. Se A = x1a + y1b + z1c, B = x2a + Y2b + Z2C e C = xaa + yab+ zac, 
provar que 
A · B X C = I �� t! �! I (a · b X c). 
xa ya za 
94. Provar que a condii;ao necessaria e suficiente para que A X (B X C) ""' 
= (A X B) X C e que (A X C) X B = 0. Discutir os casos em que A · B = 0 
OU B . c = 0. 
95. Se r1 = 3i - 2j - k, r2 = i + 3j + 4k forem os vetores posii;iio doe 
pontos P, Q e Rem relai;iio a uma origem 0, aehar a distAncia de P ao_ piano 
OQR. 
Reap. 3. 
96. Achar a distancia do ponto (6, -4, 4) A reta que passa pelos pontos 
(2, I, 2) e (3, -1, 4). 
Resp. 3. 
97. Dados os pontos P (2, 1, 3), Q (1, 2, 1), R ( -1, -2, -2) e S (1, -4, 0), 
achar a menor distancia entre as retas PQ e RS. 
Resp. 3 v2 . 
. 98. Provar que as perpendiculares baixadas dos vertices de um triangulo 
aos lados opostos (prolongados se necessario) encontram-se num ponto (o orto­
centro do triangulo). 
99. Provar que as mediatrizes dos lados de um triangulo encontram-ee 
num ponto (o centro do triangulo). 
100. Provar