aula 4

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 4: Integrais Duplas
Apresentação
Na aula passada �zemos um estudo das derivadas das funções de várias variáveis, agora iremos continuar utilizando o
conceito de funções com várias variáveis, reconhecendo as integrais duplas. 
Abordaremos a relação das integrais duplas e o cálculo das áreas, que na disciplina de Análise Matemática I eram vistos
somente como sendo feitos a partir da utilização das integrais de�nidas.
Objetivos
Compreender o conceito de Integral Dupla;
Reconhecer o estudo das integrais em formato retangular;
Reconhecer o estudo das integrais em formato não retangular.
Integral Dupla
Muitos livros começam a abordagem desse conceito com vários teoremas, nós daremos início a esse conteúdo fazendo
referência àquele abordado na aula passada: as derivadas parciais em funções de várias variáveis.
Quando estudamos funções durante o estudo das funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhíamos
uma das várias variáveis.
Somos obrigados a partir de uma de�nição que nos norteia com relação a qual função nos
referimos na hora de efetuar a derivada, tornando a outra variável uma constante, o que nos
levar a utilizar todos os conceitos vistos em Análise Matemática I.
Esse mesmo procedimento será utilizado aqui, para que seja possível uma melhor introdução ao conceito de integral dupla.
Exemplo
Seja a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 𝑦, encontre a sua primitiva em relação à variável x.
 
Resolução: Quando falamos em primitiva, falamos em integrar uma função, como essa função possui duas variáveis, devemos
observar o que pede o exercícios, que é a primitiva em relação a x. Resumidamente o que queremos calcular ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥, sendo
assim temos:
 
∫3𝑥2 𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 𝑦 + 𝑐
Lembrando que essa função foi integrada em relação a x; se tivesse sido em relação a y teríamos:
 
( 3x ^ 2y ^ 2 )
2 +C
Vale ressaltar ainda que na resolução da primeira integral o “+C” refere-se a uma constante de y, podendo ser representada por: C
(y) = ay + by + cy+3 o que nos leva a ter como uma das primitivas da função f(x,y) apresentada, a seguinte função:
 
𝑥3 𝑦 + 𝑎𝑦3 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑦 + 3
 
Para saber se essa resposta é válida basta fazermos a prova real, que seria a derivada parcial de x, pois foi feita a integração
parcial em x, �cando da seguinte maneira:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 𝑦 + 𝑎𝑦3 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑦 + 3𝑓 𝑥 = 3𝑥
2𝑦 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3𝑥2𝑦
( )
3 2
( )
Com esse exemplo, vemos que a integração dupla funciona também como processo inverso da derivada parcial, o que facilitará
muito a nossa compreensão do conteúdo.  
Consideremos uma função f de duas variáveis de�nidas por um retângulo fechado onde:
𝑅 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑[ ] [ ] {( ) }
Supondo que 𝑓(𝑥,𝑦)≥0, o grá�co 𝑓 é uma superfície com equação 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦), com a integral dupla iremos estimar o volume
aproximado do sólido delimitado, de maneira superior, por 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) e por 𝑧=0 onde seu limite lateral é demarcado pela curva
fechada que delimita a região.
Sendo assim, de�nimos a integral dupla de f sobre o retângulo R da seguinte
maneira:
∫ ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
Uma informação com a qual devemos ter muita atenção, quando vamos fazer uso da
integral dupla, é o reconhecimento do domínio de integração ou dos limites de
integração, bem como com as curvas que delimitam essas regiões.
Assim como nas integrais cuja função é de uma variável, nas integrais duplas
temos algumas propriedades que servem para facilitar o cálculo, são elas:
Integrais Iteradas
Calcular integrais de funções de uma variável real, fazendo uso da de�nição da integral geralmente é difícil, porém, o
Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece uma maneira mais fácil para calcularmos essa integral, e é assim que
faremos com relação à integral com duas variáveis.
 
Vamos supor que f seja uma função de duas variáveis onde a sua integração aconteça no retângulo 𝑅=[𝑎,𝑏]𝑥[𝑐,𝑑].
Para solucionarmos essa integral usaremos a notação ∫dc𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 , essa representação da integral signi�cará que o x será
mantido �xo e 𝑓(𝑥,𝑦) é um integração em y, com y variando de c até d.
( )
Esse procedimento é chamado de geração parcial em relação a y (essa é uma
semelhança com a derivada parcial), isso faz com que ∫dc𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 , por ser um
número dependente de x, de�na uma função de x como no exemplo abaixo.
( )
Exemplo
𝐴 𝑥 = ∫dc𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Agora, se entregamos a função A em relação à variável x, com x variando de a até b, temos:
( ) ( )
∫ba𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
b
a ∫
d
c𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
A representação da direita é o que chamamos de integral iterada, utilizamos a mesma sem os colchetes, �cando da
seguinte forma:
∫ba∫
d
c𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Resumindo, esse tipo de integração signi�ca que podemos fazer a integração em qualquer ordem, pois, no �nal seu resultado
será o mesmo.
Antes de continuar, veja um exemplo <galeria/aula4/anexo/exe01.pdf> de como calcular o valor das integrais iteradas.
( ) [ ( ) ]
( )
Vimos no exemplo que ambos os resultados foram iguais. Essa é uma
propriedade das integrais iteradas, tendo a sua representação no Teorema de
Fubini, o qual diz:
Se f for uma contínua no retângulo 𝑅={(𝑥,𝑦)/ 𝑎≤𝑥≤𝑏, 𝑐≤𝑦≤𝑑} então:
∫ ∫𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = ∫ba ∫
d
c𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 = ∫
d
c∫
b
a𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚( ) ( ) ( )
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, exemplo <galeria/aula4/anexo/exe02.pdf> de aplicação do Teorema de Fubini.
Integração dupla sobre regiões gerais
Para uma integral dupla sobre uma região D (cuja área está sendo calculada), vale a seguinte relação:
𝑫 = 𝒙, 𝒚 ⁄ 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐, 𝒇1 𝒙 ≤ 𝒚 ≤ 𝒇2 𝒙{( ) ( ) ( )}
O que consequentemente leva a:
Se f for uma contínua em uma região D (cuja área está sendo calculada), 𝐷={(𝑥,𝑦)/ 0≤𝑥≤2, 𝑓_1 (𝑥)≤𝑦≤𝑓_2 (𝑥)} o que nos
conduz a:
∫ ∫𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴_ = ∫ba∫ 𝑓2 xf1 x
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥( ) ( )( ) ( )
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação.
Exemplo
Calcular a ∬Rsin𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 onde R é retângulo 0 ≤ 𝑦 ≤
𝜋
2 𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 
Resolução: Integrando na ordem que aparecem as variáveis, teremos : ∫
π
2
0∫
π
2
0 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Integrando primeiro y, temos:
 
∫
π
20 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦
π
20 𝑑𝑥 ∫
π
20 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 
π
2 - 𝑐𝑜𝑠 0 𝑑𝑥
∫
π
20 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥(-1)𝑑𝑥
∫
π
20 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1𝑑𝑥
−𝑐𝑜𝑠 𝑥|
π
2
0
− 𝑐𝑜𝑠 
π
2 − 𝑐𝑜𝑠 0 = 1
Antes de encerrar seus estudo, veja mais alguns exemplo <galeria/aula4/anexo/exe03.pdf> .
( )
( )
( )
Com esses exemplos vemos que o cálculo de uma integral dupla não é algo complicado, basta apenas �carmos atentos na
hora da integração da mesma. Na próxima aula continuaremos com o cálculo da integral dupla, porém utilizando funções
polares.
Atividade
1. Calcular a integral iterada ∫10∫
2
0 𝑥
2 + 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥.( )
a) 32/2
b) 32/3
c) 32/5
d) 32/4
e) 32/6
2. O Teorema de Fubini é utilizado em que tipo de integral?
a) Integral iterada.
b) Todos os tipos de integral dupla.
c) Integral com várias variáveis.
d) Integral cujo os limites são funções.
e) Em todos os tipos de integrais.
3. Calcule a integral dupla ∫ ∫𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝐴 , onde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) / 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋}:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 0
4. Calcule ∫ ∫ 𝑥2 + 2𝑦 𝑑𝐴 onde a sua área e a região limitada pelas parábolas 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 1.( )
a) 16/5
b) 16/6
c) 16/7
d) 16/9
e) 16/10
5. Determine a área limitada pelas funções 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 contidas no paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 no plano xy.
a) 748/35
b) 638/35
c) 738/35
d) 838/35
e) 938/35
NotasReferências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, R. L.; WEIR,M. D.; GIORDANO, F. R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
MORETTIN, P. A; HAZZAN, S.; BUSSAND, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2013.
STEWART, James. Cálculo Volume 2. São Paulo: Cegage Learning, 2013.
Próxima aula
Estudo das integrais múltiplas começando pela integral dupla na forma cartesiana;
Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares;
Integral dupla na forma polar.
Explore mais
Nos links abaixo você poderá usufruir de objetos de aprendizagem que oferecem uma visão mais ampla do conteúdo apresentado
até aqui.
Objetos de aprendizagem:
UNIVERSIDADE Federal de Lavras. DEX – Departamento de ciências exatas. Áreas e integrais duplas.
<http://www.dex.u�a.br/Ivana/integracaomultipla/dupla.htm>
Exercícios de integral 1:
BRZEZINSKI, Tim.Áreas & volumes: Culminating Activity. <https://www.geogebra.org/m/CbRs2prh>
Exercícios de integral 2:
BECK, Kristen. Integrais iteradas. <https://www.geogebra.org/m/KtskFc4a>
FRIGHETTO, Daiane e LUVISA, André. Integral dupla. <https://www.geogebra.org/m/Cy3hufJF>