método gráfico
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Mestrado Profissional em Logística 
IND 2517 \u2013 Métodos Quantitativos: Programação Matemática e Heurísticas 
Prof. Rafael Martinelli 
Lista 1 - Gabarito 
 
 
1) Geppetto\u2019s Woodcarving, Inc., fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldadinhos e trens. Um soldadinho 
é vendido por $27 e usa o equivalente a $10 de matérias-primas. Cada soldadinho que é fabricado aumenta os custos 
com mão-de-obra e outros custos indiretos $14. Um trem é vendido por $21 e utiliza o equivalente a $9 de matérias-
primas. Cada trem construído aumenta os custos com mão-de-obra e outros custos indiretos em $10. A fabricação 
de soldadinhos e trens de madeira requer dois tipos de mão-de-obra qualificada: carpintaria e acabamento. Um 
soldadinho requer 2 horas de acabamento e 1 hora de trabalho de carpintaria. Um trem requer 1 hora de 
acabamento e 1 hora de trabalho de carpintaria. A cada semana, Geppetto pode obter todo o material necessário, 
mas apenas 100 horas de acabamento e 80 horas de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas, no máximo, 
40 soldadinhos são comprados a cada semana. Geppetto quer maximizar o lucro semanal (receitas - custos). 
a) Formular um modelo matemático que pode ser utilizado para maximizar o lucro de Geppetto. 
b) Resolver o modelo matemático que maximize o lucro de Geppetto pelo método gráfico. 
c) Resolver o mesmo modelo pelo método Simplex. 
 
Solução: 
 
Modelo Matemático: 
\ud835\udc40\ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc67 = 3\ud835\udc65\ud835\udc60 +2\ud835\udc65\ud835\udc61 
s.a: 2\ud835\udc65\ud835\udc60 +1\ud835\udc65\ud835\udc61 \u2264 100 
 1\ud835\udc65\ud835\udc60 +1\ud835\udc65\ud835\udc61 \u2264 80 
 1\ud835\udc65\ud835\udc60 \u2264 40 
 \ud835\udc65\ud835\udc60 , \ud835\udc65\ud835\udc61 \u2265 0 
 
Forma Padrão: 
\ud835\udc40\ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc67 \u22123\ud835\udc65\ud835\udc60 \u22122\ud835\udc65\ud835\udc61 = 0 
s.a: 2\ud835\udc65\ud835\udc60 +1\ud835\udc65\ud835\udc61 +\ud835\udc601 = 100 
 1\ud835\udc65\ud835\udc60 +1\ud835\udc65\ud835\udc61 +\ud835\udc602 = 80 
 1\ud835\udc65\ud835\udc60 +\ud835\udc603 = 40 
 \ud835\udc65\ud835\udc60 , \ud835\udc65\ud835\udc61 , \ud835\udc601, \ud835\udc602, \ud835\udc603 \u2265 0 
 
 
 
Método Simplex: 
1) \ud835\udc65\ud835\udc60 \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc603 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 -3 -2 0 0 0 0 
\ud835\udc601 2 1 1 0 0 100 
\ud835\udc602 1 1 0 1 0 80 
\ud835\udc603 1 0 0 0 1 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O Fazendeiro Jones deve definir quantos hectares de milho e trigo irá plantar este ano. Um hectare de trigo rende 
25 sacas de trigo e requer 10 horas de trabalho por semana. Um hectare de milho produz 10 sacas de milho e requer 
4 horas de trabalho por semana. Todo o trigo pode ser vendido a $4 por saca, e todo o milho pode ser vendido a $3 
por saca. Sete hectares de terra e 40 horas semanais de trabalho estão disponíveis. Regulamentos governamentais 
exigem que pelo menos 2 hectares de milho devem ser plantados durante o ano em curso. 
2) \ud835\udc65\ud835\udc60 \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc603 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 0 -2 0 0 3 120 
\ud835\udc601 0 1 1 0 -2 20 
\ud835\udc602 0 1 0 1 -1 40 
\ud835\udc65\ud835\udc60 1 0 0 0 1 40 
3) \ud835\udc65\ud835\udc60 \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc603 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 0 0 2 0 -1 160 
\ud835\udc65\ud835\udc61 0 1 1 0 -2 20 
\ud835\udc602 0 0 -1 1 1 20 
\ud835\udc65\ud835\udc60 1 0 0 0 1 40 
4) \ud835\udc65\ud835\udc60 \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc603 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 0 0 1 1 0 180 
\ud835\udc65\ud835\udc61 0 1 -1 2 0 60 
\ud835\udc603 0 0 -1 1 1 20 
\ud835\udc65\ud835\udc60 1 0 1 -1 0 20 
xt	
xm	20	 40	 50	 80	
60	
80	
100	
z=120	
z*=180;	x*m=20,	x*t=60	
 
a) Formular um modelo de programação linear cuja solução irá dizer ao fazendeiro Jones como maximizar a 
sua receita total. 
b) Resolver o modelo matemático que maximize o lucro do fazendeiro Jones pelo método gráfico. 
c) Resolver o mesmo modelo pelo método Simplex. 
 
Solução: 
 
Modelo Matemático: 
\ud835\udc40\ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc67 = 100\ud835\udc65\ud835\udc61 +30\ud835\udc65\ud835\udc5a 
s.a: 1\ud835\udc65\ud835\udc61 +1\ud835\udc65\ud835\udc5a \u2264 7 
 10\ud835\udc65\ud835\udc61 +4\ud835\udc65\ud835\udc5a \u2264 40 
 1\ud835\udc65\ud835\udc5a \u2265 2 
 \ud835\udc65\ud835\udc5a, \ud835\udc65\ud835\udc5a \u2265 0 
 
Forma Padrão: 
\ud835\udc40\ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc67 \u2212100\ud835\udc65\ud835\udc61 \u221230\ud835\udc65\ud835\udc5a = 0 
s.a: 1\ud835\udc65\ud835\udc61 +1\ud835\udc65\ud835\udc5a +\ud835\udc601 = 7 
 10\ud835\udc65\ud835\udc61 +4\ud835\udc65\ud835\udc5a +\ud835\udc602 = 40 
 1\ud835\udc65\ud835\udc5a \u2212\ud835\udc521 +\ud835\udc4e1 = 2 
 \ud835\udc65\ud835\udc61 , \ud835\udc65\ud835\udc5a, \ud835\udc601, \ud835\udc602, \ud835\udc521 \u2265 0 
 
 
Método Simplex: 
1) \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc65\ud835\udc5a \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc521 \ud835\udc4e1 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 0 0 0 0 1 0 
\ud835\udc601 1 1 1 0 0 0 7 
\ud835\udc602 10 4 0 1 0 0 40 
\ud835\udc4e1 0 1 0 0 -1 1 2 
 
2) \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc65\ud835\udc5a \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc521 \ud835\udc4e1 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 0 0 0 1 1 0 
\ud835\udc601 1 0 1 0 1 -1 5 
\ud835\udc602 10 0 0 1 4 -4 32 
\ud835\udc65\ud835\udc5a 0 1 0 0 -1 1 2 
 
3) \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc65\ud835\udc5a \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc521 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 0 0 0 10 10 380 
\ud835\udc601 0 0 1 -1/10 3/5 9/5 
\ud835\udc65\ud835\udc61 1 0 0 1/10 2/5 16/5 
\ud835\udc65\ud835\udc5a 0 1 0 0 -1 2 
 
 
3) Truckco fabrica dois tipos de caminhões: 1 e 2. Cada caminhão deve passar pelo processo de pintura e de 
montagem. Se o processo de pintura fosse completamente dedicado à pintura de caminhões tipo 1, então poderiam 
ser pintados 800 caminhões por dia; se o processo de pintura fosse completamente dedicado à pintura de 
caminhões tipo 2, então poderiam ser pintados 700 caminhões por dia. Se o processo de montagem fosse totalmente 
dedicado à montagem de caminhões do tipo 1, poderiam ser montados 1.500 caminhões por dia; se o processo de 
montagem fosse totalmente dedicado à montagem de caminhões do tipo 2, poderiam ser montados 1.200 
caminhões por dia. Cada caminhão tipo 1 contribui com $300 para o lucro; cada caminhão tipo 2 contribui com 
$500. 
a) Formular um modelo de programação linear que irá maximizar o lucro diário do Truckco. 
b) Resolver o modelo que maximize o lucro diário da Truckco pelo método gráfico. 
c) Resolver o mesmo modelo pelo método Simplex. 
 
 
 
Solução 
 
1) \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc65\ud835\udc5a \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc521 \ud835\udc4e1 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 -1 0 0 1 0 -2 
\ud835\udc601 1 1 1 0 0 0 7 
\ud835\udc602 10 4 0 1 0 0 40 
\ud835\udc4e1 0 1 0 0 -1 1 2 
2) \ud835\udc65\ud835\udc61 \ud835\udc65\ud835\udc5a \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc521 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 -100 0 0 0 -30 60 
\ud835\udc601 1 0 1 0 1 5 
\ud835\udc602 10 0 0 1 4 32 
\ud835\udc65\ud835\udc5a 0 1 0 0 -1 2 
 
Modelo Matemático: 
\ud835\udc40\ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc67 = 300\ud835\udc651 +500\ud835\udc652 
s.a: 1/800\ud835\udc651 +1/700\ud835\udc652 \u2264 1 
 1/1500\ud835\udc651 +1/1200\ud835\udc652 \u2264 1 
 \ud835\udc651, \ud835\udc652 \u2265 0 
 
Forma Padrão: 
\ud835\udc40\ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc67 \u2212300\ud835\udc651 \u2212500\ud835\udc652 = 0 
s.a: 1/800\ud835\udc651 +1/700\ud835\udc652 +\ud835\udc601 = 1 
 1/1500\ud835\udc651 +1/1200\ud835\udc652 +\ud835\udc602 = 1 
 \ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc601, \ud835\udc602 \u2265 0 
 
 
Método Simplex: 
1) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 -300 -500 0 0 0 
\ud835\udc601 1/800 1/700 1 0 1 
\ud835\udc602 1/1500 1/1200 0 1 1 
 
4) Leary Chemical fabrica três produtos químicos: A, B, e C. Estes produtos químicos são produzidos através de dois 
processos de produção: 1 e 2. Executar o processo 1 por uma hora custa $4 e produz 3 unidades de A, 1 de B e 1 de 
C. Executar processo 2 por uma hora custa $1 e produz 1 unidade de A e 1 de B. Para atender a demandas dos 
clientes, pelo menos 10 unidades de A, 5 de B, e 3 de C devem ser produzidas por dia. 
a) Formule um modelo de programação linear que minimize os custos diários de produção da Leary Chemical 
b) Resolva o modelo que minimiza os custos da Leary Chemical pelo método gráfico 
c) Resolva o mesmo modelo pelo método Simplex 
 
Solução 
 
Modelo Matemático: 
\ud835\udc40\ud835\udc56\ud835\udc5b \ud835\udc67 = 4\ud835\udc651 +1\ud835\udc652 
s.a: 3\ud835\udc651 +1\ud835\udc652 \u2265 10 
 1\ud835\udc651 +1\ud835\udc652 \u2265 5 
 1\ud835\udc651 \u2265 3 
 \ud835\udc651, \ud835\udc652 \u2265 0 
 
Forma Padrão: 
\ud835\udc40\ud835\udc56\ud835\udc5b \ud835\udc67 \u22124\ud835\udc651 \u22121\ud835\udc652 = 0 
s.a: 3\ud835\udc651 +1\ud835\udc652 \u2212\ud835\udc521 +\ud835\udc4e1 = 10 
 1\ud835\udc651 +1\ud835\udc652 \u2212\ud835\udc522 +\ud835\udc4e2 = 5 
 1\ud835\udc651 \u2212\ud835\udc523 +\ud835\udc4e3 = 3 
 \ud835\udc651, \ud835\udc652 \ud835\udc521, \ud835\udc522, \ud835\udc523, \ud835\udc4e1, \ud835\udc4e2, \ud835\udc4e3 \u2265 0 
 
Método Simplex 
1) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc521 \ud835\udc522 \ud835\udc523 \ud835\udc4e1 \ud835\udc4e2 \ud835\udc4e3 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 0 0 0 0 1 1 1 0 
\ud835\udc4e1 3 1 -1 0 0 1 0 0 10 
\ud835\udc4e2 1 1 0 -1 0 0 1 0 5 
\ud835\udc4e3 1 0 0 0 -1 0 0 1 3 
 
1) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc521 \ud835\udc522 \ud835\udc523 \ud835\udc4e1 \ud835\udc4e2 \ud835\udc4e3 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 -5 -2 1 1 1 0 0 0 -18 
\ud835\udc4e1 3 1 -1 0 0 1 0 0 10 
\ud835\udc4e2 1 1 0 -1 0 0 1 0 5 
\ud835\udc4e3 1 0 0 0 -1 0 0 1 3 
 
2) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc521 \ud835\udc522 \ud835\udc523 \ud835\udc4e1 \ud835\udc4e2 \ud835\udc4e3 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 -2 1 1 -4 0 0 5 -3 
2) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc601 \ud835\udc602 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 275/2 0 350000 0 350000 
\ud835\udc652 7/8 1 700 0 700 
\ud835\udc602 0 0 -7/12 1 5/12 
 
\ud835\udc4e1 0 1 0 -1 1 1 0 -3 1 
\ud835\udc4e2 1 0 0 0 -1 0 1 -1 2 
\ud835\udc651 1 0 0 0 -1 0 0 1 3 
 
3) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc521 \ud835\udc522 \ud835\udc523 \ud835\udc4e1 \ud835\udc4e2 \ud835\udc4e3 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 0 -1 1 2 2 0 -1 -1 
\ud835\udc652 0 1 -1 0 3 1 0 -3 1 
\ud835\udc4e2 0 0 1 -1 -2 -1 1 2 1 
\ud835\udc651 1 0 0 0 -1 0 0 1 3 
 
4) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc521 \ud835\udc522 \ud835\udc523 \ud835\udc4e1 \ud835\udc4e2 \ud835\udc4e3 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc64 0 0 0 0 0 1 1 1 0 
\ud835\udc652 0 1 0 -1 1 0 1 -1 2 
\ud835\udc521 0 0 1 -1 -2 -1 1 2 1 
\ud835\udc651 1 0 0 0 -1 0 0 1 3 
 
4) \ud835\udc651 \ud835\udc652 \ud835\udc521 \ud835\udc522 \ud835\udc523 \ud835\udc45\ud835\udc3b\ud835\udc46 
\ud835\udc67 0 0 0 1 3 14 
\ud835\udc652 0 1 0 -1 1 2 
\ud835\udc521 0 0 1 -1 -2 1 
\ud835\udc651 1 0 0 0 -1 3 
 
5) Furnco fabrica mesas e cadeiras. Cada mesa usa 4 unidades de madeira, e cada cadeira usa 3 unidades. Uma mesa 
contribui com $40 para o lucro, e uma cadeira contribui com $25. Restrições de comercialização exigem que o 
número de cadeiras produzido seja pelo menos duas vezes o número de mesas produzidas. A Furnco