exemplos de modelagem

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RESUMO
A Modelagem Matemática tem sido amplamente utilizada, não só como instrumento 
de pesquisa, mas também como metodologia de ensino em diversos níveis de 
aprendizagem. Apresenta-se, neste artigo, o processo investigativo resultante de 
uma Modelagem Matemática desenvolvida na disciplina de Cálculo Diferencial e 
Integral, do curso de Engenharia Mecânica da Universidade de Passo Fundo, referente 
ao problema do cálculo do volume de um cilindro horizontal, o qual foi desenvolvido, 
inicialmente, em sala de aula, devido à necessidade de resolução de um problema 
real trazido por um aluno. No processo de modelagem matemática, foram aplicados 
diferentes conceitos matemáticos, tanto de geometria quanto de cálculo diferencial e 
integral. Assim, acredita-se que os processos de resolução apresentados possam ser 
utilizados como exemplos de “Modelação” tanto no Ensino Médio quanto no superior.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ensino-Aprendizagem.
ABSTRACT
Currently, the Mathematical Modeling has been widely used, not only as a research 
instrument, but also as a methodology of education in several levels of learning. This 
article presents the investigative process resulting from a mathematical modeling 
developed in the course of Differential and Integral calculus offered in the Mechanical 
Engineering at University of Passo Fundo, referring to the problem of calculating the 
volume of a horizontal cylinder, which was developed initially in the classroom because 
of the need to solve a real problem brought by a student. In the process of mathematical 
modeling were applied different mathematical concepts, both geometry and differential 
and integral calculus. Thus, it is believed that the processes of resolution presented 
can be used as an example of modeling applied in middle school as well as in college.
Keywords: Mathematical Modeling; Teach-Learning.
INTRODUÇÃO
O processo de modelagem matemática utilizada como ferramenta auxiliar no processo 
ensino pode contribuir para que a aprendizagem seja não somente mais significativa, 
mas também pode despertar o interesse dos alunos na aplicação das teorias em 
resoluções de problemas reais de seu cotidiano.
Nesse sentido, em uma aula sobre aplicações de integrais definidas, ao ser abordado o 
assunto cálculo de volume de sólidos de revolução, na disciplina de Cálculo Diferencial 
Aplicação de modelagem matemática no ensino básico de 
engenharia
Mathematical modeling application in engineering school
Neuza Terezinha Oro1
Rosana Maria Luvezute Kripka2
1 Instituto de Ciências 
Exatas e Geociências (ICEG), 
Universidade de Passo 
Fundo (UPF)
neuza@upf.br 
 
2 Instituto de Ciências 
Exatas e Geociências (ICEG), 
Universidade de Passo 
Fundo (UPF)
rkripka@upf.br
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e Integral do curso de Engenharia Mecânica da Universidade de Passo Fundo/RS, um 
aluno, buscando resolver um problema prático da empresa de sua família, questionou 
sobre como obter o volume do líquido contido num cilindro “deitado” com comprimento 
igual a L, cuja altura do líquido fosse h, conforme pode ser visualizado na Figura 1.
Figura 1: Representação gráfica do problema.
A empresa do aluno produz tanques para o transporte de combustível. Tais tanques 
têm a forma de cilindros horizontais (ver Figura 2). Nas especificações técnicas da peça 
fabricada, é necessário informar o volume do líquido contido no tanque em diversas 
alturas. Existem tabelas que fornecem valores de volumes para alturas fixas, mas a 
curiosidade do aluno estava em calcular volumes referentes a alturas intermediárias. 
Um exemplo importante, que pode ser utilizado por muitas pessoas numa cidade, é 
a obtenção da quantidade de combustível disponível em postos de gasolina, para o 
controle do abastecimento (ver Figura 3).
Inicialmente, a solução construída foi obtida através de aplicações de integrais de 
Riemann. Essa solução foi apresentada em outro semestre a uma turma do curso 
de Matemática, quando outro aluno questionou sobre a possibilidade de resolver o 
mesmo problema usando somente conceitos de Geometria Euclidiana. Motivados por 
essa curiosidade, obteve-se outra forma de resolução envolvendo apenas conceitos de 
geometria.
Em ambas as resoluções dos problemas propostos, foram necessárias modelagens 
matemáticas adequadas aos objetivos, que permitissem aplicação das técnicas 
matemáticas de que se dispunha.
Nesse sentido, nos dois casos, foi gratificante para os alunos a retomada de diversos 
conceitos necessários para a resolução do problema e a percepção da inter-relação 
existente entre eles. 
A forma de resolução desse problema pode ser aplicada na determinação de volumes 
de líquidos em quaisquer recipientes cilíndricos horizontais. 
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Figura 2: Tanque estacionário horizontal para armazenamento de derivados de combustível automotivo e aviação, com 
plataforma para acessórios de abastecimento. (Fonte: TANKAR, 2010)
Figura 3: Tanque estacionário horizontal térmico e maçarico para armazenamento de derivados de asfalto, com 
capacidade volumétrica de 2000 a 30.000 l. (Fonte: TANKAR, 2010)
A resolução desse problema ajudou a tornar a aula mais interessante para os alunos e, 
com certeza, fez com que a aprendizagem fosse mais significativa.
A modelagem matemática como metodologia de ensino é uma das tendências que 
tem sido muito pesquisada e utilizada por diversos educadores na área de matemática 
e afins.
Modelagem matemática do cálculo do volume do cilindro 
horizontal
O termo modelagem matemática é empregado, na área de matemática aplicada, 
para designar o processo de representação simplificada de problemas reais por meio 
de modelos matemáticos, sendo a resolução desses problemas feita por técnicas 
adequadas, de modo que a solução teórica obtida possa ser uma alternativa exequível 
para o problema real em questão.
Devido à sua importância, diversos trabalhos vêm sendo desenvolvidos nessa área 
(D’AMBRÓSIO, 1986; BURAK, 1987; BIENBENGUT, 1999; SCHEFFER, 1999; GOLDBARG; 
LUNA, 2000; BEAN, 2001; BASSANEZZI, 2002; MÜHL et al., 2004). A modelagem 
matemática como instrumento de pesquisa pode estimular a criatividade na busca 
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de novas ideias e técnicas experimentais e, ainda, propiciar o entrosamento entre 
pesquisadores de diversas áreas do conhecimento, pois a compreensão de um problema 
real requer a interação de conhecimentos de várias ciências (BASSANEZZI, 2002).
Além disso, a modelagem matemática tem sido empregada na área de educação como 
metodologia de ensino, de maneira simplificada, por meio de resolução de problemas 
reais em sala de aula, visando a dar significado a conteúdos ou conceitos matemáticos 
já previstos no currículo escolar. Esse tipo de metodologia de ensino tem sido chamado 
pelos educadores matemáticos de “modelação” (BURAK, 1987; BIENBENGUT, 1999; 
SCHEFFER, 1999; BEAN, 2001; MÜHL et al., 2004).
Na Universidade de Passo Fundo, temos desenvolvido pesquisas nas quais se utiliza 
modelagem matemática. Os resultados já foram divulgados em diversas revistas 
ou congressos da área (ORO; KRIPKA; MAZIERO, 2000; KRIPKA; ORO; MAZIERO, 
2001; MAZIERO; ORO; KRIPKA, 2003; KRIPKA; ORO; KRIPKA, 2005). Dessa forma, 
naturalmente, aparecem, em sala de aula, problemas reais propostos por alunos, os 
quais são discutidos e resolvidos por meio da modelagem matemática. 
Apresentamos, neste artigo, o processo investigativo de uma modelagem matemática 
específica para o problema do cálculo do volume do cilindro deitado, resultante de um 
problema real trazidopor um aluno da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, que 
poderá ser utilizado como exemplo de “modelação” aplicado tanto no Ensino Médio 
quanto no superior.
Modelagem Matemática utilizando conceitos de Geometria 
Euclidiana
Neste caso, foram consideradas duas situações para o cálculo do volume do cilindro 
horizontal representado na Figura 1. Inicialmente, foi considerado que a altura do 
líquido fosse menor ou igual à medida do raio (ver Figura 4). Note-se que a área da 
região hachurada (A), neste caso, corresponde à área do segmento circular. Assim, 
teríamos:
 (1)
onde: : Área do segmento circular;
 : Área do setor circular;
 : Área do triângulo isósceles AOB.
AOB∆
−== AAAA ssc
scA
sA
AOB∆A
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Figura 4: Representação da área do segmento circular.
Figura 5: Representação do triângulo retângulo AOC.
Para se encontrar a área do triângulo isósceles AOB, inicialmente, calculou-se a 
medida do lado AB. Para tanto, foi considerado que , onde foi 
determinado a partir do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo da 
Figura 5. Assim, temos que:
ou seja,
 
Como , ou seja, , obtém-se a medida da 
área do triângulo isósceles AOB pela expressão (2).
 (2)
( ) a2ABmed = a
( ) 222 ahRR +−=
22 hRha −=
( ) a2ABmed = ( ) 222ABmed hRh −=
( ) 2
AOB
2 hRhhRA −−=∆
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Sabe-se que a área de um setor circular de raio e ângulo , conforme apresentado 
na Figura 6, pode ser calculada pela seguinte proporção (DOLCE; POMPEO, 1993):
 ________ 
 ________ 
Dessa forma, temos a área do setor dada pela seguinte expressão:
 (3)
Observe-se nas Figuras 4, 5 e 6 que e pode ser expresso em termos das 
medidas e , que são as medidas conhecidas no problema.
Figura 6: Representação da área do setor.
Pelo triângulo representado na Figura 5, temos:
 , para .
Dessa forma, a área do setor circular pode ser expressa por:
 (4)
Tomando-se as expressões (2) e (4) e substituindo em (1), obtemos a área do segmento 
circular apresentada na expressão (5).
 para . (5)
Assim, na primeira situação considerada, podemos obter a medida do volume pela 
expressão (6).
 para . (6)
Em seguida, considerou-se a situação em que a altura do líquido fosse maior que 
medida do raio e menor ou igual à medida de (ver Figura 7).
R α
rad 2π 2Rπ
rad α sA
2
2α
=
RAs
θ=α 2
R h





 −=θ
R
hR1-cos ⇒ 




 −=α
R
hR1-cos2 π≤α≤0





 −= −
R
hRRAs
12 cos
( ) 212 2cos hRhhR
R
hRRAsc −−−




 −= − Rh ≤≤0
( ) 





−−−




 −= − 212 2cos hRhhR
R
hRRLV Rh ≤≤0
h
R R2
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Observe-se que, nessa situação, a área da região hachurada (A) pode ser determinada 
pela expressão:
 (7)
onde:
 : Área do círculo;
 : Área do triângulo isósceles MON;
 : Área do setor circular.
A área do triângulo isósceles MON foi calculada de forma análoga ao caso anterior, 
considerando-se que , determinada a partir do teorema de 
Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo da Figura 8.
Figura 7: Representação da área da região hachurada.
 
 
Figura 8: Representação do triângulo retângulo MOP.
MOQ
2
2
1
MON SC AAAA ++= ∆
CA
MON∆A
MOQSA
( ) 22PMmed hRh −=
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Dessa forma, a medida da área do triângulo isósceles MON é obtida pela expressão:
 
 (8)
A área do setor circular MOQ conforme a expressão (3), considerando o ângulo 
central , é obtida pela expressão:
 
Pelas Figuras 7 e 8, pode-se afirmar que , onde .
Assim, temos:
 (9)
Considerando-se que a área do círculo é dada pela expressão (10) e substituindo-se as 
expressões (8), (9) e (10) na expressão (7), obtém-se a expressão (11).
 (10)
 , para (11)
Observa-se também que outra forma de se obter a mesma expressão da área para 
 seria considerar que:
 
onde:
 : Área do círculo;
 : Área do setor circular dado por (5), onde a altura representada por 
deve ser substituída por (ver Figura 7)
Assim: 
 
 
( ) 2
MON
2 hRhRhA −−=∆
β
2
2
MOQ
β
=
RAs
θ−
π
=β
2





 −=θ −
R
Rh1cos











 −−
π
= −
R
RhRAs
1
2
MOQ cos22
2RAc π=
( ) 2122 2cos hRhRh
R
RhRRA −−+




 −−π= − RhR 2≤≤
RhR 2≤≤
SCC AAA −=
CA
CSA h
hRy −= 2
( ) 212 2cos yRyyR
R
yRRAsc −−−




 −= −
( ) ( )( ) ( ) ( )2122 22222cos hRhRRhRR
R
hRRRRA −−−−−+




 −−−= −π
( ) ( )222122 4424cos hRhRRhRRh
R
RhRRA +−−−−+




 −−= −π
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 , para 
a qual corresponde à expressão (11) obtida anteriormente.
Dessa forma, na segunda situação considerada, temos a medida do volume dada 
pela expressão (12).
 para (12)
Modelagem Matemática utilizando conceitos de Cálculo Integral
Neste caso, para o cálculo da área, usaremos o conceito de Integral de uma função 
real, assunto lecionado nos primeiros semestres de cursos da área de ciências exatas, 
que têm a Matemática como embasamento teórico fundamental.
Este problema será reduzido ao cálculo da área da região sombreada no círculo 
mostrado na Figura 7, uma vez que, para o cilindro mostrado na Figura 1, a área da 
seção transversal é sempre a mesma.
Primeiramente, construiremos a circunferência de raio R com centro no ponto (0,R) 
e identificaremos essa região sombreada como a região localizada dentro do círculo, 
acima da reta y = 0 e abaixo da reta y = h, onde h é a altura do líquido (ver Figura 9). 
Devido à simetria da área sombreada do círculo em relação ao eixo y, calculou-se 
somente a área localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano, por meio da 
operação de integração, e multiplicou-se a mesma por dois, ou seja:
 (13)
A equação da circunferência será dada por:
 (14)
Para obtermos foi isolada a variável x na expressão (14) e foi considerado o 
cálculo da área somente para valores positivos de x, conforme pode ser observado 
na Figura 9.
 
( ) 2122 2cos hRhRh
R
RhRRA −−+




 −−= −π RhR 2≤≤
( ) 





−−+




 −−π= − 2122 2cos hRhRh
R
RhRRLV RhR 2≤≤
( )dyyfA ∫=
h
0
 2
( ) 222 RRyx =−+
( )yf
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Figura 9: Representação da área sombreada.
Assim, obteve-se: 
Dessa forma, a área da região sombreada ( ) é obtida pela expressão (15).
 (15)
Para resolvermos a integral da expressão (15) foi realizada uma substituição 
trigonométrica. 
Tem-se que a relação trigonométrica (16) é válida no triângulo retângulo representado 
na Figura 10.
 (16)
Figura 10: Representação do triângulo retângulo.
( ) ( )22 RyRxyf −−==
A
( ) dyRyRA ∫ −−=
h
0
22 2
( ) θ=− cosRRy
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Além disso:
 (17)
e, ainda, em relação ao limite inferior de integração, que inicialmente era , 
passa a ser , pois: 
 e 
e, em relação ao limite superior, que era , passa a ser , pois: 
 e .
Chamando: e e substituindo esses valores e as expressões
(16) e (17) na expressão (15), obteve-se:
 
Como: , temos: . 
Substituindo por , temos: 
 
 
 (18)
Substituindo e na segunda integral da expressão (18) obtém-se:
Como , temos:
 
Sendo: e , temos que:
 (19)
θθ−= dRdy sen
0=y
π=θ
( ) θ=− cosRRy 0=y ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒1cos −=θ π=θ
hy = 




 −=θ −
R
Rh1cos
( ) θ=− cosRRy hy =
R
Rh −
=θcos 




 −=θ −
R
Rh1cos
π=a 




 −= −
R
Rhb 1cos
( ) θθ−θ−= ∫ dRRRA sen cos 2
b
a
222 ( ) θθ−θ−= ∫ dRRA sen cos1 2
b
a
2
θ=θ− 22 sencos1θθ−= ∫ dsRA en 2
b
a
22
θ2sen
2
2cos1 θ−
( )
θ
θ−
−= ∫ dRA 2
2cos1 2
b
a
2 ( ) θθ−−= ∫ dRA 2cos1
b
a
2








θθθ−= ∫∫ ddRA 2 cos- 
b
a
b
a
2
u=θ2
2
dud =θ








θ−= ∫∫ duudRA cos2
1- 
b
a
b
a
2
b
a
RA 


 θθ−= 2sen
2
1- 2
θθ=θ cossen22sen
[ ]aaabbbRA cossencossen- 2 +−−=
π=a 




 −= −
R
Rhb 1cos






+π−










 −





 −





 −−= −− 0cossen-cos 112
R
Rh
R
Rh
R
RhRA
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Considerando o triângulo retângulo representado na Figura 8, podemos afirmar que:
 (20)
 
Substituindo a expressão (20) em (19), obtém-se finalmente a expressão (21) para o 
cálculo da área representada na Figura 9.
 para (21)
Portanto, o volume do cilindro deitado pode ser calculado pela expressão (22). 
 para (22)
Ainda, nesse segundo processo de modelagem, o problema do cálculo do volume do 
cilindro deitado poderia ser utilizado como exemplo de aplicação de integrais duplas, 
ou seja:
 (23)
onde A representa a região de integração apresentada na Figura 9. 
A simetria da área em relação ao eixo y permite trabalhar somente com a metade da 
mesma. Pela análise da região A podemos substituir os limites de integração conforme 
apresentado na expressão (24).
 (24)
ou seja, 
 
 (25)
Observe-se que a integral definida na expressão (25) já foi calculada anteriormente, 
estando identificada pela expressão (15). Assim, o volume pode ser calculado pela 
expressão (22).
Discussão dos resultados
A modelagem matemática utilizando conceitos de Geometria Euclidiana, desenvolvida 
no item 1.1, resultou em duas expressões para o cálculo da área. Obteve-se a expressão 
(5), ou seja: 
R
hRh
R
Rh 21 2sencossen −=θ=










 −−
( ) 2122 2cos hRhRh
R
RhRRA −−+




 −−π= − Rh 20 ≤≤
( ) 





−−+




 −−π= − 2122 2cos hRhRh
R
RhRRLV Rh 20 ≤≤
∫∫=
A
 dydxLV
( )
∫ ∫
−−
=
h RyR
dxdyLV
0 0
22
2 
( ) dyRyRLV
h
∫ −−=
0
222 
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 para 
e a expressão (11):
 para 
Porém, considerando que , temos que:
 (26)
Substituindo (26) em (5), obtém-se:
 para
 
que equivale à expressão (11).
Ao utilizarmos conceitos de Cálculo Integral, obteve-se a expressão (21), onde 
 , que equivale às expressões (5) e (11) obtidas pela abordagem por meio 
de conceitos de Geometria. 
Dessa forma, podemos concluir, devido ao processo investigativo empregado, que o 
volume do cilindro deitado pode ser obtido utilizando-se somente a única expressão 
dada pela equação (22).
CONCLUSÕES
O problema apresentado e resolvido é muito interessante, do ponto de vista matemático, 
pois pode ser utilizado como exemplo de aplicação de modelação, resultante do 
processo de modelagem matemática, em diferentes níveis de aprendizagem.
 
A primeira abordagem, que considera somente conceitos básicos de Geometria 
e trigonometria, já pode ser desenvolvida no Ensino Médio, em que o aluno tem 
conhecimento de áreas de figuras geométricas, de volumes de sólidos e das relações 
trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo.
A segunda abordagem utiliza técnicas mais elaboradas, do ponto de vista matemático, 
e requer o conhecimento de conceitos de cálculo integral e diferencial. Dessa forma, 
poderia ser desenvolvido em disciplinas específicas de cálculo diferencial e integral 
que ocorrem nos primeiros semestres de cursos de Matemática ou de áreas afins.
Percebemos que a modelagem matemática, ao ser aplicada na resolução de problemas 
reais, como o exemplo aqui proposto, ajuda a dar significado a conceitos abstratos, 
tornando o aprendizado da matemática mais eficaz e atraente. Ao incluirmos atividades 
dessa natureza em sala de aula, utilizando a modelação como metodologia de ensino, 
( ) 212 2cos hRhhR
R
hRRAsc −−−




 −= − Rh ≤≤0
( ) 2122 2cos hRhRh
R
RhRRA −−+




 −−π= − RhR 2≤≤
( ) ( )xx −−π= −− 11 coscos





 −−π=




 − −−
R
Rh
R
hR 11 coscos
( ) 2122 2cos hRhRh
R
RhRRA −−+




 −−π= − Rh ≤≤0
Rh 20 ≤≤
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70 | artigo
podemos propiciar que o aluno relacione teoria e prática, fazendo com que ele perceba 
que a matemática pode e deve ser utilizada como um instrumento na resolução de 
problemas de sua própria realidade.
REfERêNCIAS 
BASSANEZZI, C. R. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: 
Contexto, 2002.
BEAN, D. O que é modelagem matemática. Educação Matemática em Revista. Sociedade 
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BIENBENGUT, M. S. Modelagem matemática & implicações no ensino-aprendizagem 
de matemática. Blumenau: Ed. da Furb, 1999.
BURAK, D. Modelagem matemática: uma metodologia alternativapara o ensino da 
matemática na 5ª série. 186p. Dissertação (Mestrado em Ensino Matemática) – IGCE, 
Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho - UNESP, Rio Claro –SP, 1987.
D’AMBRÓSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. 4 ed. São 
Paulo: Summus, 1986.
DOLCE, O.; POMPEO, J.N. Fundamentos de Matemática Elementar, 10: Geometria 
espacial, posição e métrica. 5 ed, São Paulo: Atual, 1993.
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| Recebido em: 15/07/2010 | Aceito em: 13/04/2011
| Educ. Tecnol. | Belo Horizonte | v. 16 | No 1 | p.57-70 | jan./abr. 2011 |