p2_calc3_2018-1_T01

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 05/07/2018
2a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a
−→
F (x, y) = (x sen y, y)
para movimentar um objeto sobre a para´bola y = x2 do ponto (−1, 1) ate´ o ponto (2, 4),
nesse sentido. (2,0 pt)
2a Questa˜o: Considere a func¸a˜o escalar f expressa por f(x, y, z) = ex + z2 cos y e o
campo gradiente
−→
F =
−→
∇f . Calcule o trabalho realizado pelo campo
−→
F para mover um
objeto do ponto P = (0, 0, 1) ao ponto Q = (1, 0, 0), nesse sentido, ao longo de uma curva
lisa qualquer ligando esses dois pontos. (1,0 pt)
3a Questa˜o: Considere C a fronteira da regia˜o plana, no 1o quadrante, delimitada pelo
eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x3. Use o Teorema de Green para encontrar
o trabalho realizado pelo campo vetorial
−→
F (x, y) =
(
2xy3, 4x2y2
)
para mover uma part´ıcula ao redor dessa curva C uma u´nica vez no sentido anti-
hora´rio. (2,5 pt)
4a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
y, xz, x2
)
em R3.
(a) Calcule o rotacional de
−→
F . (1,0 pt)
(b)
−→
F e´ um campo vetorial conservativo? Justifique. (0,5 pt)
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
−→
F · d~r,
onde C e´ a fronteira da parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, orientada no
sentido anti-hora´rio, quando vista de cima. (3,0 pt)
Boa Prova!