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ANÁLISEVETORIAL-Luis Fernando

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Luis Fernando Coelho Amaral 
Análise 
Vetorial 
 ∑ ∆ ∯ 
 α Rot div 
 
UNIVERSIDADE 
FEDERAL 
DO 
MARANHÃO 
Luís Fernando Coelho Amaral
Análise
Vetorial
Universidade Federal do Maranhão
1
Lu´ıs Fernando Coelho Amaral
A` minha Famı´lia e a meu Pai
2
Prefa´cio
O Texto foi elaborado com o objetivo de ser utilizado num curso introduto´rio de
Ana´lise Vetorial oferecido pelo Departamento de Matema´tica da Universidade
Federal do Maranha˜o - UFMA, principalmente para os cursos de Matema´tica,
F´ısica e Engenharia.
O aluno, ao estudar este texto, deve estar familiarizado com, pelo menos, o conteu´do
de Geometria anal´ıtica no R3 e com o Ca´lculo Diferencial e Integral [5],[6], este
u´ltimo com um enfoque em Integrac¸a˜o mu´ltipla (dupla e tripla).
No Cap´ıtulo 1, consideramos as func¸o˜es de uma varia´vel real que sera˜o u´teis
para o desenvolvimento teo´rico das curvas no R2 e no R3.
No Cap´ıtulo 2, estudamos as curvas[2] no R2 e no R3, com o cara´ter mais de-
talhado que o necessa´rio para o desenvolvimento do resto do conteu´do. O objetivo de
estudar as curvas de forma mais detalhada e´ de tentar suprir a falta de conhecimento
dos alunos que terminam o curso, por exemplo, de Matema´tica e na˜o cursam a dis-
ciplina Geometria Diferencial [1],[2], tambe´m do Departamento de Matema´tica da
UFMA.
No Cap´ıtulo 3, faremos uma pequena introduc¸a˜o a` Topologia no R3. Este
cap´ıtulo poderia ser considerado como um apeˆndice, pore´m a opc¸a˜o de torna´-lo um
cap´ıtulo e´ de tentar motivar os alunos a` estudarem alguns conceitos interessantes e
u´teis para os cap´ıtulos posteriores.
No Cap´ıtulo 4, estudaremos as func¸o˜es vetoriais de va´rias varia´veis, princi-
palmente os campos de vetores, tais como o Rotacional, o Divergente e o Gradi-
ente [4], tanto em coordenadas cartesianas quanto em coordenadas curvil´ıneas
No Cap´ıtulo 5, faremos a integral de linha de campo escalar e a integral
de linha de campo vetorial com o objetivo principal de estudar o Teorema de
Green[4],[7] no plano.
No Cap´ıtulo 6, estudaremos as superf´ıcies parametrizadas [1],[2]. Tal como
em curvas, a parte inicial de superf´ıcies tera´ um pouco mais de detalhe ale´m do ne-
cessa´rio, pelos mesmos motivos como em curvas, e claro, estudaremos as integrais de
superf´ıcies e os Teoremas de Stokes e Gauss [4],[7].
No Apeˆndice, e´ apresentado um resumo de vetores no Espac¸o, [9] algumas
operac¸o˜es e propriedades, com o propo´sito de auxiliar na revisa˜o de alguma propriedade
utilizada no texto.
Para finalizar, gostaria de agradecer a todos os professores do Departamento de
Matema´tica da UFMA, em especial aos professores Marcos Antoˆnio Ferreira Arau´jo
3
e Elivado Rodrigues Macedo, que muito contribu´ıram com va´rias sugesto˜es e cr´ıticas
para o desenvolvimento deste trabalho ao longo de alguns anos. Gostaria tambe´m de
agradecer, mas sem citar nomes, aos alunos do Curso de Matema´tica que cursaram esta
disciplina ao longo desses anos e que observaram va´rios erros de digitac¸a˜o, contribu´ındo
assim para melhoria do material para que novos alunos tenham um material mais
adequado.
Lu´ıs Fernando Coelho Amaral
Suma´rio
1 Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel 7
1 Func¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 A´lgebra de func¸o˜es vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Limite de uma func¸a˜o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Derivac¸a˜o e Integrac¸a˜o de func¸a˜o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Curvas no R2 e no R3 18
1 Curva Parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Comprimento de Arco de Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Teoria Local das Curvas no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Teoria Local das Curvas no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Torc¸a˜o de uma curva em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Algumas proposic¸o˜es sobre curvas no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8 He´lices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Algumas Noc¸o˜es Topolo´gicas em R3 45
1 Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Conjunto Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Conjunto Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Conjunto Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Func¸o˜es Vetoriais de Va´rias Varia´veis 49
1 Func¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Limite e Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
SUMA´RIO 5
3 Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano em coordenadas carte-
sianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Campo Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Campos Vetoriais em Coordenadas Curvilineas Ortogonais . . . . . . . 63
6.1 Coordenadas Curvilineas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Gradiente, Divergente e Rotacional em Coordenadas Curvil´ıneas
Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Integral de Linha 87
1 Integral de Linha de Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Integral de Linha de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3 Determinac¸a˜o de uma Func¸a˜o Potencial por integral indefinida . . . . . 98
4 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Formas tangencial e normal do Teorema de Green . . . . . . . . . . . . 104
6 Campos Vetoriais Conservativos no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7 Determinac¸a˜o de uma Func¸a˜o Potencial usando integral definida . . . . 107
8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Integral de Superf´ıcie 114
1 Superf´ıcie Parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2 Superf´ıcie Parametrizada Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3 A´rea de Superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 Integral de Superf´ıcie de Func¸a˜o Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Integral de Superf´ıcie de Func¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Teorema de Gauss(da Divergeˆncia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8 Algumas Identidades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
SUMA´RIO 6
9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A Vetores 155
1 Equipoleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.1 Propriedadas de Equipoleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2 Classe de

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