Ma calculo III

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Faculdade redentor
MILENA TAVARES FERNANDES
Aplicação da integral dupla no curso de engenharia civil
 Campos Dos Goytacazes - RJ
2019
Faculdade redentor
Aplicação da integral dupla no curso de engenharia civil
Trabalho apresentado para a disciplina de Cálculo Diferencial E Integral III, do Curso de Engenharia Civil, da Faculdade Redentor, como requisito parcial e somativo da nota de metodologia ativa da disciplina.
Professora: Gilza Santos Simão Ferreira
Aluna:Milena Tavares Fernandes
Matricula:1900061
Campos Dos Goytacazes - RJ
2019
SUMÁRIO
1 	INTRODUÇÃO		03
2 	DESENVOLVIMENTO 				04
3 	APLICAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA	 06
4	CONSIDERAÇÕES FINAIS	 08
5	REFERÊNCIAS 	 09
	
INTRODUÇÃO
Ao longo dos séculos os seres humanos buscam meios para promover o seu desenvolvimento científico, uma das maiores descobertas foi a do cálculo diferencial e integral criado por Newton e Leibniz. Através desta descorberta surgiram várias ferramentas que contribuíram e muito para solucionar problemas na engenharia civil, os quais até então eram bem difíceis de encontrar respostas.
Entre essas ferramentas podemos destacar a integral dupla que surge a partir da extensão dos conceitos e propriedades de integral simples. No entanto, para muitos matemáticos essa ferramenta apresenta um alto grau de complexividade e acaba sendo rotulada como inútil.
Através da integral dupla vários problemas geométricos foram solucionados, entre eles podemos citar com ênfase problemas de áreas e volumes. Outra grande contribuição da integral dupla foi a possibilidade de solucionar problemas de massa, centro de massa, momento de inércia, entre outros.
Esta pesquisa tem por objetivo geral mostrar conceitos fundamentais de integrais duplas, mostrando situações cotidianas na engenharia e no cálculo de projetos em que as integrais duplas podem ser utilizadas de modo prático e funcional.
2 desenvolvimento
A integral dupla é semelhante a integral comum, na qual vimos em calculo I, se lembra que na integral comum tínhamos sempre uma função a ser integrada, e essa função dependia somente de uma unica variável, y=f(x) , ou seja, a função depende exclusivamente de x.
E denotamos a integral de f como:
∫baf(x)dx
Agora na integral dupla teremos algo semelhante, porém a nossa função a ser integrada pode ser uma função de duas variáveis. E a integral dupla da função z=f(x,y)  é denotada:
∫dc∫baf(x,y)dxdy
A primeira coisa a se atentar é que, a função z=f(x,y) é uma função que depende de x,y diferentemente da integral comum.
Outra novidade é o dxdy. Na integral comum aparecia o dx, esse símbolo só significa que estamos integrando em relação a variável x. O dxdy simboliza que iremos realizar uma integração em relação a x e um um integração em relação a y.
Qual o significado geométrico da integral dupla?
Na integral comum o significado geométrico era muito simples.
A integral ∫62f(x)dx  simboliza a área abaixo da função f(x) :
	
	
Área abaixo da função f(x)
Já a integral dupla pode ser interpretada como o VOLUME abaixo da superfície gerada pela função f(x,y)
Ou seja, a integral: ∫dc∫baf(x,y)dxdy
	
 
	
A integral dupla calcula o volume abaixo da superfície
Como calcular uma integral dupla?
A integração da integral dupla é simples, nada complexo para quem tem um bom entendimento de DERIVADAS PARCIAIS. Uma coisa na qual devemos nos atentar é a ORDEM DE INTEGRAÇÃO, lembra que na integral dupla temos aquele elemento dxdy, que como foi dito acima simboliza a integração em x e a integração em y.
 Por isso devemos ter cuidado, pois existe uma ordem correta de integração, se você não respeitar a ordem seu resultado vai estar errado!
Calma que vamos ver qual a ordem correta.
Podemos visualizar a integral dupla como duas integrais comuns:
∫dc∫baf(x,y)dxdy
Ou seja, o que precisamos fazer é calcular a integral de dentro e depois a integral de fora. Porém a integral de dentro é um integral em dx por isso vamos integrar em ralação a x. E depois calculamos a integral em relação a y.
Vamos fazer um exemplo na prática. f(x,y)=4xy+2y
∫∫(4xy+y)dxdy
A primeira coisa que temos que fazer é integrar em relação a x, para realizar essa integral é so imaginar y como uma constante ( igual nas derivadas parciais ).
daí ficamos com
∫(2x2y+2yx)dy
Agora é só integrar em relação a y  e fazendo x como constante.
∫(2x2y+2yx)dy=x2y2+yx2
3 APLICAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA
Volume
Dada uma função de duas variáveis f(x, y)f(x,y)f, você pode encontrar o volume entre esse gráfico e uma região retangular do plano xyxyx, y calculando a integral de uma integral
y1​y2​​(∫x1​x2​​f(x,y)dx)​ dy​
Isso é uma função de y​dy
Isso é chamado de integral dupla.
Você pode calcular esse mesmo volume mudando a ordem de integração:
∫x1​x2​​(∫y1​y2​​f(x,y)dy) ​Isso é  uma função de x​dx​
O cálculo vai parecer ser muito diferente, mas ainda vai dar o mesmo resultado.
Momentos e Centro de Massa
Suponha que uma lâmina ocupe uma região D e que tenha ρ(x, y) como função densidade. O momento da lâmina inteira em relação ao eixo x é Mx = Z Z D yρ(x, y)dA. Analogamente, o momento em relação ao eixo y é My = Z Z D xρ(x, y)dA. Finalmente, as coordenadas do centro de massa (x¯, y¯) são x¯ = My m = 1 m Z Z D xρ(x, y)dA e y¯ = Mx m = Z Z D yρ(x, y)dA, em que a massa m é dada por m = Z Z D ρ(x, y)dA. O equilíbrio ocorre no centro de massa
Momento de Inércia
Suponha que uma lâmina ocupe uma região D e que tenha ρ(x, y) como função densidade. O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x é Ix = Z Z D y 2 ρ(x, y)dA. Analogamente, o momento de inércia em relação ao eixo y é Iy = Z Z D x 2 ρ(x, y)dA. Finalmente, o momento de inércia em relação a origem, também chamado momento polar de inércia, I0 = Z Z D (x 2 + y 2 )ρ(x, y)dA.
Observe que I0 = Ix + Iy .
Probabilidade
Considere um par de variáveis aleatórias X e Y. Por exemplo, X e Y podem representar o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de um indivíduo. A função densidade conjunta de X e Y é uma função f de duas variáveis tais que a probabilidade de que (X, Y) esteja em uma região D seja P (X, Y) ∈ D = Z Z D f(x, y)dA. Em particular, a função densidade conjunta satisfaz f(x, y) ≥ 0 e Z Z R2 f(x, y)dA = 1, em que a integral dupla sobre R 2 é definida em termos das seguintes integrais impróprias: Z Z R2 f(x, y)dA = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ f(x, y)dxdy. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com funções densidades fX e fY , respectivamente. Dizemos que X e Y são variáveis aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto das densidades individuais, ou seja,
 f(x, y) = fX (x)fY (y).
Valor Esperado
Se X e Y são variáveis aleatórias com função densidade conjunta f, definimos a média X e a média Y, também chamados valores esperados de X e Y, como µx = Z Z R2 xf(x, y)dA e µy = Z Z R2 yf(x, y)dA. Observe a semelhança das expressões para µx e µy com os momentos Mx e My de uma lâmina com função densidade ρ.
 
4 Considerações finais
Podemos analisar que a integral dupla é semelhante a integral comum onde a função a ser integrada pode ser uma função de duas variáveis, onde também vimos a novidade do aparecimento do Dy, onde significa que estamos integrando a y.
Mostramos que, se a integral dupla existe, então ela pode ser calculada usando as integrais iteradas
 I(f) = Z Z Q f(x, y)dA = Z b a Z c d f(x, y)dydx = Z d c Z b a f(x, y)dxdy
Com isso conseguimos resolver diversas questões utilizando as integrais duplas, nas quais podem ser aplicadas no curso de engenharia civil, onde foi visto na disciplina de cálculo diferencial e integral III 
5 REFERÊNCIAS
https://www.engquimicasantossp.com.br/2016/05/integral-dupla-ou-multipla.html
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula12.pdfhttps://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/double-integrals
http://msproblemas.blogspot.com/2017/01/integral-dupla-introducao.html