motor por indução

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CAPÍTULO II 
 
MÁQ UINAS DE INDUÇÃO 
 
 
2.1) INTRODUÇÃO 
 
A máquina de indução é a mais simples das máquinas elétricas rotativas, seja sob o ponto de 
vista de sua construção, seja sob o ponto de vista de sua operação. O seu principal campo de aplica-
ção é o acionamento, isto é, ela opera sempre como motor. Apesar de eletricamente ser possível a 
máquina de indução funcionar como gerador, são raros os exemplos neste campo de aplicação. Nas 
fábricas e plantas industriais os motores de indução são encontrados às centenas. Assim, ao longo 
deste capítulo, a menos que se afirme o contrário, a máquina de indução será sempre considerada 
motor. Será visto posteriormente, seu papel como gerador e como freio. 
Como toda máquina elétrica rotativa, o motor de indução possui uma parte fixa, o estator ou 
armadura, e uma parte que gira, o rotor. Não há, praticamente, nenhuma diferença entre o estator 
de um motor ou gerador síncrono e o estator de um motor de indução de mesma potência, mesmo 
numero de polos, etc. O rotor é que é diferente. Enquanto nas máquinas síncronas o rotor de polos 
salientes é uma montagem comum, nos motores de indução ela não existe: todos os rotores de mo-
tores de indução são de polos lisos. Como toda máquina rotativa, os núcleos do rotor e do estator 
são montados com chapas de aço silício, de granulometria orientada, para reduzir a relutância do 
circuito magnético e as perdas magnéticas devidas ao fenômeno das correntes parasitas. Os pacotes 
de chapas de aço são perfurados em diversas formas (circular, retangular, etc) criando as ranhuras. 
Enquanto o estator é fixado em bases metálicas ou de concreto, o rotor é montado sobre um eixo de 
aço que se acopla, mecanicamente, ao eixo da máquina a ser acionada. 
 
 
 
 
a: Estator; b: Rotor; c: Tampas laterais; d: Ventilador; e: Grade de ventilação 
f: Caixa de terminais; g: Anéis deslizantes; h: escovas e porta escovas 
 
Fig. 2.1 – Partes componentes de um motor de indução 
 
 A figura 2.1 mostra as partes componentes de um motor de indução. Os dois tipos de rotor 
estão mostrados com mais detalhes na figura 2.2. 
 
 
35 
 
 
 Os motores de indução podem ser monofásicos ou polifásicos (trifásicos). Os moto-
res de indução monofásicos podem ser estudados como um caso particular dos motores trifásicos. 
Enquanto os motores de indução trifásicos são os acionadores mais comuns utilizados na indústria, 
praticamente em qualquer nível de potência, o principal campo de aplicação dos motores monofási-
cos é o acionamento de pequenas cargas, destacando-se as de uso doméstico (bombas dágua, gela-
deiras, ventiladores e outros). Como tais cargas são de pequena potência, menor do que 1 kW, eles 
recebem, algumas vezes, o nome de motores fracionários. Os motores monofásicos de potência 
maior do que 1 kW são usados no acionamento de cargas de uso rural e comercial, onde a tensão 
disponível é quase sempre monofásica. O estudo que será feito se inicia com os motores trifásicos. 
Isto se justifica pelo fato de a operação e mesmo a construção de um motor trifásico ser mais sim-
ples do que a de um monofásico. 
 
 
 
 
Fig. 2.2 – Tipos de rotor de motor de indução 
 
 Nas ranhuras do estator está montado um enrolamento trifásico, conforme caracterizado no 
capítulo anterior, que será percorrido por uma corrente trifásica equilibrada quando o motor for li-
gado à rede elétrica. Será criada a FMM girante do estator, conforme definido no capítulo I, que vai 
girar a uma velocidade definida pela freqüência da rede e número de polos do motor. As ranhuras 
do rotor também recebem um segundo enrolamento trifásico que é uma reprodução do enrolamento 
do estator, quando o rotor for do tipo rotor bobinado1. Um outro tipo de rotor é o chamado rotor em 
gaiola de esquilo ou, simplesmente, rotor em gaiola que é o tipo mais usado. 
 O enrolamento do rotor bobinado é, em geral, ligado em estrela e os terminais de cada uma 
das fases são soldados a três anéis de cobre montados sobre o eixo (fig. 2.2c), isolados entre si e do 
eixo, que lhe dão o seu outro nome: rotor em anéis. Sobre eles deslizam escovas de carvão que irão 
ligar os terminais do enrolamento a um reostato trifásico que terá um papel importante na partida do 
motor, como se verá mais adiante. 
 O rotor em gaiola não apresenta a forma convencional de um enrolamento, isto é, ele não é 
feito de fios enrolados formando bobinas, como o rotor bobinado. O seu “enrolamento” é feito de 
barras de cobre ou de alumínio que se acham curto-circuitadas nas suas extremidades por dois anéis 
chamados anéis de curto-circuito que lhe dão o outro nome: rotor em curto-circuito. A forma do 
conjunto lembra uma gaiola de esquilo. Como se percebe, trata-se de um enrolamento muito mais 
simples do que o de rotor bobinado e que tem uma propriedade que o rotor bobinado não tem: ele 
reproduz o número de polos do enrolamento do estator. Se o estator é um enrolamento de 2 polos, o 
rotor formará, por indução, dois polos; se o enrolamento do estator é de 4 polos, serão formados 4 
polos no rotor. Isto não ocorre com o rotor bobinado cujo enrolamento deve ser igual ao do estator 
em número de polos e de fases. 
 
1 Este tipo de rotor e seu campo de aplicação serão estudados mais adiante. 
 
 
36 
 
 
2.2) ESCORREGAMENTO 
 
 Conforme foi visto no capítulo I, o sentido de atuação do conjugado eletromagnético de uma 
máquina elétrica rotativa que opera como motor é no mesmo sentido da rotação. O rotor tende a 
acompanhar o campo girante do estator, com a sua FMM atrasada do ângulo de carga δ em relação 
à FMM do estator. Enquanto a FMM girante do estator é produzida por correntes trifásicas equili-
bradas resultantes da tensão aplicada nas três fases do enrolamento, a FMM do rotor tem sua origem 
em correntes trifásicas induzidas no seu enrolamento pelo fluxo girante do estator. Assim sendo, só 
será possível haver correntes induzidas no rotor se, de acordo com a lei de Lenz-Faraday, houver 
uma variação de fluxo através das bobinas que compõem o enrolamento. Ou, dito de outra forma, se 
os condutores das bobinas “cortarem” as linhas de força do fluxo girante do estator. Para que as 
linhas de força do fluxo girante do estator sejam “cortadas” é necessário que o rotor gire a uma ve-
locidade diferente da velocidade desse fluxo, isto é, entre a velocidade síncrona do fluxo girante do 
estator e a velocidade mecânica do rotor deve haver uma velocidade relativa. 
 Quando a máquina de indução é motor, a rotação do rotor é menor do que a velocidade sín-
crona do campo girante do estator. Se ela funciona como gerador, o rotor deve ser acionado a uma 
velocidade maior do que a velocidade síncrona. O conjugado eletromagnético resultante atua em 
sentido oposto ao da rotação. Esta diferença entre as duas velocidades é chamada escorregamento e 
ela é sempre tomada em valores percentuais ou em p.u. da velocidade síncrona. Chamando de n1 a 
velocidade síncrona do campo girante do estator e n a velocidade do rotor, o escorregamento será 
definido pela equação [2.01]. 
1
1
n
nns −= [2.01] 
] 
 Pode-se reescrever a equação [2.01] explicitando a rotação do motor, isto é: 
 ( )snn −= 11 [2.02] 
 
 A freqüência f2 das tensões e correntes induzidas no rotor será, portanto, de acordo com a 
equação [1.02], igual a: ( )
120
1
2
nnPf −= [2.03] 
 
 P é o número de polos do rotor que reproduz o mesmo número de polos do estator. Dividin-
do membro a membro as equações [2.03] e [2.01] podemos escrever: 
 
1
1
2 120
sfPnsf == [2.04] 
 
 Substituímosf por f1 e n por n1 na equação [1.02] para caracterizar grandezas do estator. 
Daqui por diante, as grandezas do estator serão identificadas com o índice 1 e as do rotor, com o 
índice 2. A velocidade do rotor, que é a velocidade do motor, será sempre designada por n. Esta 
freqüência do rotor recebe o nome de freqüência de escorregamento. Na partida, a velocidade do 
motor é zero, portanto, o escorregamento é igual a 100% ou 1 p.u., isto é, a freqüência de escorre-
gamento é igual à freqüência do estator. Se por um meio qualquer o rotor fosse impedido de girar, 
por exemplo, mantendo-o mecanicamente travado, a operação do motor seria semelhante a de um 
 
 
37 
 
 
transformador em que o estator seria o primário e o rotor o secundário. Tal condição é facilmente 
obtida no motor de rotor bobinado que, para ser travado, basta apenas levantar as escovas deslizan-
tes sobre os anéis, o que interrompe o circuito do rotor e impede a circulação de correntes. Em fun-
cionamento normal a velocidade n do motor se aproxima da velocidade síncrona. Os valores usuais 
de escorregamento, quando os motores operam nas suas condições nominais, são de 1 a 4%. Quan-
do operam a vazio, sua velocidade é quase igual à velocidade síncrona. A velocidade do rotor ja-
mais poderá alcançar a velocidade síncrona, pois se isto ocorresse não haveria velocidade relativa 
entre elas, condição essencial para haver conjugado eletromagnético. Porém, os fasores das FMM 
do campo girante do estator e do rotor devem, evidentemente, girar à mesma velocidade e manter o 
mesmo ângulo de carga entre eles. 
A FMM do rotor gira em relação a ele próprio com uma velocidade (n1-n) conforme mostra 
a equação [2.03]. O rotor gira à velocidade n. Portanto, em relação ao estator a FMM do rotor gira à 
velocidade 
(n1-n) + n = n1, 
 
 ou seja, a mesma velocidade da FMM do campo girante do estator. 
 
2.3) TENSÕES INDUZIDAS NO ESTATOR E NO ROTOR 
 
 O fluxo girante de entreferro ou fluxo magnetizante φm criado no estator enlaça os respecti-
vos enrolamentos, induzindo em cada um deles uma tensão E por fase. O seu valor eficaz é dado 
pela equação [2.05]. (Para melhor entendimento das equações que serão escritas, o rotor será consi-
derado sempre como bobinado. O caso do rotor em gaiola será estudado em seguida). 
 
 bmfspdmfs KfNKKfNE φφ 44,444,4 == [2.05] 
 
Com relação ao estator, a equação [2.05] pode ser reescrita como segue: 
 
1111 44,4 bmKfNE φ= [2.06] 
 
 Kb1 é o Fator de Bobinagem do enrolamento do estator, N1 o número de espiras por fase em 
série, f1 a freqüência da rede a que está ligado o motor. 
 Com relação ao rotor, é preciso distinguir duas situações: a primeira, quando o rotor está 
travado e a segunda, quando ele está girando. Quando o rotor está travado, a tensão induzida em 
cada fase do enrolamento será igual a: 
 
2122 44,4 bmKfNE φ= [2.07] 
 
Kb2 e N2 têm o mesmo significado de [2.06], só que referente ao rotor. Dividindo membro a membro 
[2.06] e [2.07], obtém-se a equação [2.08] 
: 
e
e
b
b
K
EEK
KN
KN
E
E 1
2
22
11
2
1 =∴== [2.08] 
 
Ke é chamada de relação de transformação de tensões. É a mesma relação que aparece no 
transformador, relação entre os números de espiras do enrolamento primário (estator) e do secundá-
 
 
38 
 
 
rio (rotor) de uma mesma fase, só que aqui multiplicada pelos respectivos fatores de bobinagem. No 
caso dos motores de rotor bobinado, pode-se considerar Kb1=Kb2, o que tornaria 
2
1
N
NKe = , a mesma 
relação de transformação dos transformadores. Assim sendo, um motor de indução com o rotor tra-
vado opera da mesma forma que um transformador. 
 Quando o rotor está girando a freqüência do rotor é a freqüência de escorregamento dada 
pela equação [2.04]. A tensão induzida E2r, numa fase, será: 
 ( ) 22122222 44,444,4 sEKsfNKfNE bmbmr === φφ [2.09] 
 
Logo, a tensão induzida no rotor girando é igual à tensão induzida com o rotor travado, 
multiplicada pelo escorregamento. 
 
2.4) IMPEDÂNCIAS DO ESTATOR E DO ROTOR 
 
O fluxo φm que aparece nas equações acima é o fluxo que atravessa o entreferro, criado pela 
componente magnetizante da corrente do estator. Porém, as correntes do estator e do rotor produ-
zem também os chamados fluxos de dispersão do estator e do rotor, que não chegam a atravessar o 
entreferro. Por exemplo, as linhas de força ao redor das cabeças das bobinas do estator ou do rotor. 
Como estes fluxos de dispersão circulam pelo ar, cuja permeabilidade magnética é constante, eles 
podem ser considerados diretamente proporcionais às respectivas correntes do estator e do rotor e 
em fase com elas. Estes fluxos enlaçam uma parte dos seus respectivos enrolamentos e induzem 
neles tensões, da mesma forma que o fluxo φm de entreferro. A expressão das tensões induzidas por 
esses fluxos, a partir da lei de Lenz-Faraday, pode ser escrita sob a seguinte forma: 
 
dt
diLed −= [2.10] 
 
 L é a indutância de dispersão do enrolamento considerado. Sendo tIi ωsenmax= , a equação 
[2.10] pode ser escrita conforme [2.11]: 
 
tLIed ωω cosmax−= [2.11] 
 
 O valor máximo, em módulo, será LIEm ωmax= . O valor eficaz será obtido dividindo ambos 
os membros por 2 . Para o estator e rotor as tensões eficazes induzidas pelos respectivos fluxos de 
dispersão serão: (o sinal negativo devido à lei de Lenz está sendo mantido para mostrar, claramente, 
que a tensão induzida na bobina é igual e oposta à queda de tensão na reatância indutiva correspon-
dente). 
: 
11111 XjILIEd −=−= ω sXjIXjILIE rd 2222222 −=−=−= ω [2.12] 
 
Ed1 e Ed2 são as tensões induzidas no estator e no rotor pelos respectivos fluxos de dispersão, 
iguais e opostas às respectivas quedas de tensão nas reatâncias de dispersão X1 e X2r. I2 é a corrente 
do rotor por fase. As reatâncias são iguais a: 
 
 
 
39 
 
 
111 2 LfX π= ; ( ) 221222 22 sXLsfLfX r === ππ [2.13] 
 
 X2r é a reatância de dispersão do rotor girando, portanto, reatância à freqüência f2; X2 é a 
reatância do rotor travado, à freqüência f1. L1 e L2 são as correspondentes indutâncias de dispersão. 
Portanto, a reatância com o rotor girando é igual à reatância com o rotor travado multiplicada pelo 
escorregamento. 
 A corrente I1 que circula por uma fase do estator é, de acordo com a lei de Ohm, igual a: 
 
11111
1
111
1 )()( IREEVR
EEVI dd +−+−=∴++= [2.14] 
 
A tensão por fase V1 aplicada ao motor é equilibrada pelas tensões induzidas pelos fluxos 
magnetizante e de dispersão e pela queda de tensão na resistência ôhmica R1 do enrolamento. Subs-
tituindo Ed1 pelo seu valor dado em [2.12], será obtida a equação [2.15]: 
 
111111111 )()( ZIEXjIRIEV +−=++−= [2.15] 
 
 Esta equação é chamada equação de equilíbrio de tensões do estator. Pode-se fazer a se-
guinte leitura: a tensão aplicada a uma fase do enrolamento do estator possui três componentes, a 
primeira, )( 1E− , equilibra a tensão 1E induzida no próprio enrolamento do estator pelo fluxo de 
entreferro; a segunda, I1R1, igual à queda de tensão na resistência própria do enrolamento; a terceira, 
a queda de tensão jI1X1 na reatância de dispersão X1, que equilibra a tensão induzida Ed1 pelo fluxo 
de dispersão do estator. A componente )( 1E− é igual à queda de tensão mm XjI na reatância magne-
tizante do motor como se verá na seção 2.7. 
Algumas vezes, para simplificar a análiseda operação do motor de indução, a queda de ten-
são I1Z1 na impedância é desprezada, pois seu valor é pequeno, comparado com o valor de E1. A 
equação [2.14] torna-se então 11 EV ≅ . A equação [2.06] permite escrever: 
 
111
1
11111 44,4
44,4
b
mbm KfN
VKfNEV =∴=≅ φφ [2.16] 
 
 Sendo a tensão V1 constante, o fluxo de entreferro φm torna-se constante e praticamente in-
dependente da carga que o motor aciona. Isto quer dizer que, tal como no transformador, o fluxo 
magnetizante de entreferro, com o motor operando a vazio, é o mesmo com o motor operando a 
plena carga. A equação [2.16] permite determinar qual a tensão mais adequada a ser aplicada ao 
motor quando ele é ligado a uma rede de freqüência diferente da nominal. 
 Quanto ao rotor, a equação de equilíbrio é mais simples, pois não há tensão aplicada. Estan-
do o motor operando, a tensão sE2, induzida pelo fluxo de entreferro, será equilibrada somente pela 
queda de tensão na impedância do rotor, ou seja: 
 
 
( )
22
2
22222 jsXR
sEIjsXRIsE +=∴+= [2.17] 
 
 
 
40 
 
 
2.5) CORRENTES DO ESTATOR E DO ROTOR 
 
 As correntes I1 e I2, definidas pelas equações [2.14] e [2.17], ao circularem pelos respectivos 
enrolamentos criam as FMM que se compõem para criar um fluxo resultante. Os seus valores má-
ximos são dados pelas equações [2.18] e [2.19]: 
 
 
P
NIKmF bm π
1
11
1
1
42
2
= [2.18] 
 
P
NIKmF bm π
2
22
2
2
42
2
= [2.19] 
 
 Nestas equações, o número de fases do estator é igual a m1 e o do rotor m2. Os valores má-
ximos das correntes, Im1 e Im2 foram substituídos por 12I e 22I , para introduzir seus respectivos 
valores eficazes. A soma vetorial das equações [2.18] e [2.19] dá a FMM resultante Fer que está 
associada ao fluxo resultante φer. Tal como no transformador, este fluxo resultante deve ser, prati-
camente, igual ao fluxo φm criado pela componente magnetizante, isto é: 
 
mbbbermm INK
m
P
INKm
P
INKm
P
FFF 1112222111121 2
24
2
24
2
24
πππ =+==+ [2.20] 
 
 Eliminando os fatores comuns pode-se escrever: 
 
mbbb INKmINKmINKm 11122221111 =+ [2.21] 
 
Teoricamente, se o motor gira a vazio, não há carga, isto é, a corrente I2 é nula. (Na realida-
de esta situação não existe, pois mesmo girando a vazio o motor possui uma pequena carga consti-
tuída pelo atrito de seus mancais, o atrito com o ar, a própria ventilação e as perdas magnéticas). 
Portanto, a vazio, a corrente I1 é a corrente magnetizante.2 Se o motor é acoplado a uma carga, en-
tão aparece no rotor a corrente I2 e a corrente do estator passa de Im para I1, ou seja, à corrente Im se 
soma uma componente que resulta em I1, de modo a manter o fluxo de entreferro inalterado. A e-
quação pode ser reescrita conforme abaixo: 
 
'
212
111
222
1 IIIIINKm
NKmI mm
b
b +=∴=+ [2.22] 
Foi feito 
ib
b
K
II
NKm
NKmI 22
111
222'
2 −=−= , sendo 
222
111
NKm
NKmK
b
b
i = a relação de transformação de 
correntes. ´2I é a corrente I2 do rotor referida ao estator. 
 
2 Como será visto mais adiante, na realidade, a corrente a vazio do motor possui duas componentes: a corrente magneti-
zante que é a maior e a corrente que alimenta as perdas magnéticas, quase sempre desprezíveis. 
 
 
 
41 
 
 
Se m1=m2 e Kb1=Kb2, como ocorre no rotor bobinado, a relação de correntes se torna igual à 
do transformador, ou seja, 
e
i K
K 1= . 
 
2.6) NÚMERO DE POLOS E DE FASES DO ROTOR EM GAIOLA 
 
Nas equações anteriores que se referem ao rotor, aparecem os parâmetros número de fases 
m2 e número de espiras em série por fase N2. Quando se trata do rotor bobinado, m2=m1, pois neste 
tipo de rotor o enrolamento é construído com o mesmo número de polos e de fases do enrolamento 
do estator. Quando o rotor é em gaiola, o número de fases do rotor e o número de espiras em série 
não são claramente visualizados, pois o rotor não possui um enrolamento convencional semelhante 
ao do estator, mas várias barras unidas em paralelo por dois anéis, conforme mostra a figura 2.2a. 
Se o enrolamento de um rotor bobinado de dois polos fosse substituído por três barras, defa-
sadas espacialmente 120º elétricos, unidas em suas extremidades por dois anéis, seria formada uma 
gaiola de apenas três barras. (Fig. 2.03a) 
 
 
 
 
Fig. 2.03 – Número de fases do rotor em gaiola 
 
 As tensões induzidas em cada uma das barras pelo fluxo girante magnetizante serão, respec-
tivamente, Ea,,Eb e Ec, defasadas entre si, no tempo, de 120º. O diagrama fasorial mostra que no 
rotor foi criado um sistema trifásico. Nesse caso, o número de barras do rotor é igual ao número de 
fases. Se, em lugar de três o rotor tivesse 12 barras, como na figura 2.03b, cada uma delas defasa-
das, no espaço, de um ângulo o
o
30
12
360 ==α elétricos (no caso, igual a 30o graus geométricos), as 
tensões induzidas em cada barra estariam defasadas de 30º elétricos no tempo, conforme mostra o 
diagrama fasorial. Pode-se concluir que para uma máquina de dois polos o número de fases do ro-
tor é igual ao número de barras. 
 Por sua vez, N2 representa o número de espiras em série de uma bobina, por fase. Uma bobi-
na, seja de uma só espira ou de N2 espiras, possui dois lados, isto é, cada lado é a metade de uma 
bobina. Quando se trata de bobina de uma só espira, cada lado é igual a um condutor. Como no ro-
tor em gaiola cada barra é uma única fase de um só condutor, cada barra representa meia espira em 
série por fase. Em outras palavras, no motor de indução de dois polos, o número de espiras em série 
por fase é sempre igual a 
2
1 . Além disto, o Fator de Bobinagem Kb2 para o rotor em gaiola será 
sempre igual a 1. 
 Para um número p de pares de polos ou P polos, as seguintes igualdades podem ser escritas 
para os dois parâmetros m2 e N2: 
 
 
 
42 
 
 
P
Q
p
Qm 222
2== 
422
PpN == [2.23] 
 
Q2 é o número de barras do rotor. 
 Os parâmetros resistência por fase R2 e reatância por fase sX2 se referem à resistência e rea-
tância de uma barra. A corrente I2 é a corrente que circula por uma barra e a tensão sE2 por fase é a 
tensão induzida em uma barra. 
 
2.7) CIRCUITO EQUIVALENTE 
 
 As equações [2.17] e [2.24] mostram as relações existentes entre as grandezas elétricas em 
uma fase no rotor de um motor de indução. Estas relações podem ser visualizadas, pelos circuitos 
elétricos da fig. 2.04. 
 
 
 
 
Fig. 2.04 – Circuito equivalente de uma fase do rotor 
 
 A equação [2.17] foi obtida a partir do circuito da fig. 2.04a e a [2.24], a partir do circuito 
da figura 2.04b. 
2
2
2
2
jX
s
R
EI
+
= [2.24] 
 
 A equação [2.24] é a mesma equação [2.17] em que o numerador e o denominador foram 
divididos por s. Esta simples operação traz uma mudança conceitual importante na equação [2.17], 
pois substitui a tensão induzida sE2, com o rotor girando, por E2, tensão induzida com o rotor trava-
do e introduz a grandeza fictícia 
s
R2 , uma resistência variável com o escorregamento. Sendo E2 e X2 
grandezas de freqüência igual à do estator, a corrente do rotor calculada pela equação [2.24] é 
uma corrente de mesma freqüência do estator, mesmo estando o rotor girando. Assim, o rotor gi-
rando a uma velocidade n correspondente ao escorregamento s, pode ser substituído, em termos de 
grandezas elétricas, por um rotor travado desdeque sua resistência por fase R2 seja substituída por 
s
R2 . Isto simplifica o entendimento da operação do motor, pois ela se assemelha à de um transfor-
mador não somente na condição de rotor travado, mas também na condição de rotor girando. 
 
 
43 
 
 
Por outro lado, a equação [2.14] corresponde exatamente à equação do primário de um trans-
formador e pode ser representada pelo circuito elétrico equivalente da fig. 2.05. 
 
 
 
Fig. 2.05 – Circuito equivalente de uma fase do estator 
 
 Os circuitos das figuras 2.04 e 2.05 estão acoplados magneticamente pelo fluxo magnético 
girante do entreferro que, conforme visto anteriormente, induz em cada uma das fases do estator e 
do rotor as tensões E1 e E2. O acoplamento será representado pelas bobinas do estator e do rotor 
formando o circuito equivalente completo de uma fase do motor, como mostra a fig. 2.06. 
 
 
 
 
Fig. 2.06 – Circuito equivalente completo de uma fase do motor de indução 
 
 Para que o circuito equivalente da fig. 2.06 seja apenas um circuito elétrico, é necessário 
eliminar o acoplamento magnético de modo a se poder aplicar todas as leis básicas dos circuitos 
elétricos. Para isto, a tensão 2E será substituída por 
eK
E1 , de acordo com [2.08] e 2I por iKI
´
2− , de 
acordo com [2.22]. Substituindo estes valores na equação [2.17] obtém-se a equação [2.25]. 
 
ie
e
i
KKjX
s
R
EI
jX
s
R
K
E
KI


 +
=∴
+
=
2
2
1´
2
2
2
1
´
2 [2.25] 
 
A equação [2.25] indica que o acoplamento magnético pode ser eliminado desde que a cor-
rente 2I seja substituída por 
´
2I e a impedância do rotor seja multiplicada por KeKi . Os terminais do 
circuito do rotor poderão então ser ligados diretamente à tensão E1, eliminando-se a tensão E2. (O 
sinal negativo da corrente ´2I foi desconsiderado para não complicar a equação, pois ele significa 
apenas que ela tem um sentido contrário a 2I ). A impedância do rotor multiplicada por KeKi é cha-
mada de impedância do rotor referida ao estator ou seja: 
 
 
 
44 
 
 
ieKKjXs
RjX
s
R 

 +=+ 22'2
'
2 [2.26] 
 
 O circuito elétrico da fig. 2.07 é o resultado das substituições efetuadas. Ele está de acordo 
com as equações [2.15] e [2.25]. É chamado circuito equivalente de um motor de indução, para 
uma fase. A tensão E1 é comum aos circuitos do estator e do rotor. Ela é induzida pelo fluxo magne-
tizante do entreferro φm, o qual, por sua vez, é criado por uma corrente magnetizante Im. A tensão E1 
é igual e oposta à queda de tensão jImXm, isto é, ( ) mm XjIE =− 1 . Na figura vê-se que além da rea-
tância Xm está indicada uma resistência Rm pela qual passaria uma corrente não indicada na figura. 
Essa corrente é que alimenta a perda magnética do estator ou perda no ferro que ocorre no núcleo 
do estator devida ao fenômeno da histerese magnética e das correntes parasitas. Essa corrente é 
muito pequena comparada com a corrente Im e, por isto essa resistência é eliminada do circuito, co-
mo se verá mais adiante. Todavia, a perda magnética correspondente não é desprezada, ela é incor-
porada à perda mecânica do rotor, formando as perdas rotacionais a vazio que são determinadas no 
ensaio a vazio do motor. Neste ensaio, o motor gira sem carga no seu eixo e a corrente que circula 
pelo estator é a soma da corrente magnetizante com a corrente que alimenta as perdas magnéticas 
formando a corrente a vazio do motor, Io 
 
 
 
 
Fig. 2.07 – Circuito elétrico equivalente de uma fase de um motor de indução 
 
2.8) DIAGRAMA FASORIAL 
 
 As equações [2.15] e [2.25] bem como a fig. 2.07 permitem traçar o diagrama fasorial do 
motor de indução que nos fornece uma radiografia das relações entre as grandezas que atuam duran-
te a operação do motor, fig. 2.08. O diagrama fasorial será construído no primeiro e no terceiro 
quadrantes. No primeiro quadrante estarão representadas as grandezas que aparecem no circuito 
equivalente e as relações de fase entre elas. No terceiro quadrante serão representadas as grandezas 
reais do rotor, isto é, não referidas ao estator. Portanto, não aparecem no circuito equivalente. 
Para iniciar a construção do diagrama, o fluxo φm será tomado como fasor de referência e po-
sicionado na horizontal. A corrente magnetizante Im que o cria está em fase com ele. Pela lei de 
Lenz-Faraday as tensões induzidas E1 e E2 estão atrasadas 90º de φm. A tensão E2, que no diagrama 
do circuito equivalente não é representada, possui duas componentes: a queda de tensão s
RI 22 , em 
fase com 2I e a queda de tensão 22 XjI , adiantada 90° de 2I . O ângulo de fase ψ2 entre a corrente I2 
 
 
45 
 
 
e a tensão E2 pode ser determinado pelo seu cosseno, fator de potência do rotor, isto é, 
2
2
2
2cos
jX
s
R
R
+
=Ψ . 
No primeiro quadrante, a corrente Im em fase com φm, se soma com a corrente que alimenta 
as perdas magnéticas do rotor para formar a corrente Io. A corrente ´2I é de sentido oposto a 2I e igual 
a I2 multiplicada por Ki, ou seja, é a corrente I2 referida ao estator. A soma de Io e ´2I é igual à cor-
rente 1I . A tensão V1 será a soma de ( ) mm XjIE =− 1 com a queda de tensão )( 11111 jXRIZI += .A 
queda de tensão jImXm está adiantada 90° de Im. Observar que E1 poderia ser calculado também pela 
soma das quedas de tensão 
s
RI
'
2'
2 e 2
'
2 XjI não representadas no diagrama. O cosseno do ângulo 
entre 1V e 1I é o fator de potência do motor. 
 
 
 
Fig. 2.08 – Diagrama fasorial do motor de indução 
. 
 Com relação ao conjugado eletromagnético que o motor de indução desenvolve, uma análise 
do diagrama fasorial permite tirar uma expressão mais adequada do que a expressão geral definida 
pela equação [1.32]: 
erre
o FF
g
DlPC δπµ sen
22
⋅⋅−= [1.32] 
 
 Fe e Fr são, como já foi visto, os valores máximos das respectivas FMM do estator e do ro-
tor. O ângulo de carga δer é o ângulo espacial entre os eixos das FMM, ou seja, entre os eixos da 
corrente magnetizante Im e da corrente I2 do rotor, indicado na figura 2.08. Pela figura, temos: 
 
22 cossen90 Ψ=∴Ψ+= eroer δδ 
 
 
 
46 
 
 
Por outro lado, podemos substituir Fe e Fr pelos seus valores dados pela equação [2.20]. 
Substituindo estas expressões na equação [1.32], substituindo Im por mmm IL=φ e fazendo as simpli-
ficações necessárias obtém-se a equação [2.27]: 
 
22 cosΨ= IKC mφ [2.27] 
 
 K é uma constante que engloba todas as constantes. O fator de potência do rotor é um valor 
muito alto, principalmente para os motores de rotor em gaiola. Em muitos casos práticos ele é con-
siderado igual a um. Pode-se interpretar a equação [2.27] da seguinte maneira: o conjugado desen-
volvido pelo motor de indução é diretamente proporcional ao produto do fluxo magnetizante pela 
componente ativa da corrente do rotor. 
 
2.9) ANÁLISE DO CIRCUITO EQUIVALENTE 
 
 A maior utilidade do circuito equivalente está na facilidade que ele oferece para se analisar o 
desempenho do motor. A análise é feita para uma fase supondo uma operação equilibrada da má-
quina, isto é, o que ocorre numa fase ocorre igualmente nas demais. As constantes do circuito equi-
valente são determinadas pelos ensaios a vazio e em curto-circuito do motor. 
 Para melhor entender o desempenho do motor através de seu circuito equivalente, a resistên-
cia variável 
s
R2 introduzida pela equação [2.24], considerando que o escorregamento s é um núme-
ro menor do que 1, pode ser considerada como soma da própria resistência R2 com uma resistência 
adicional Rx, ou seja: 
 
( )s
s
RRRR
s
R
xx −=∴+= 1222[2.28] 
 
 Portanto, o circuito equivalente da fig. 2.07 pode ser substituído pelo da fig. 2.09. 
 
 
 
 
Fig. 2.09 – Forma alternativa do circuito equivalente 
 
Chamando P1 a potência que entra pelos terminais do motor, ∆Pj1 a perda jóulica na resis-
tência do enrolamento do estator e ∆Pfe a perda magnética no núcleo do estator e sendo ϕ o ângulo 
de fase entre V1 e I1, a potência que será transferida ao rotor pelo campo magnético girante, através 
do entreferro, denominada potência eletromagnética, será igual a: 
 
 
 
 
47 
 
 
( ) ( )211111 cos jjfejem PPIVPPPP ∆+Α−=∆+∆−= φ [2.28] 
 
 Esta é a expressão da potência eletromagnética vista pelo lado do estator. Quando vista pelo 
lado do rotor, ela será igual à potência consumida na única resistência existente no rotor, ou seja: 
 
( ) ( ) ememem PssPss
RIRI
s
RIP −+=−+== 1122'222'222'2 [2.29] 
 
 Portanto, da potência que é transferida do estator para o rotor, uma parte, 2
2
2 RI , é dissipada 
sob a forma de calor na resistência própria do rotor e a outra, ( )s
s
RI −1222 , a maior delas, é “consu-
mida” na resistência fictícia ( )s
s
R −12 . A potência “consumida” na resistência fictícia do circuito 
equivalente é a potência mecânica que será utilizada no acionamento das cargas mecânicas acopla-
das ao eixo do motor. Esta potência é chamada potência mecânica interna, Pmi, isto é: 
 
( ) ( ) emmi Psss
RIP −=−= 11222 [2.30] 
 
 No rotor em movimento ocorrem as perdas mecânicas ∆Pmec (atrito + ventilação) e mais as 
perdas magnéticas do rotor. Estas, sendo proporcionais à freqüência de escorregamento do rotor que 
é um valor muito baixo, são sempre desprezadas. As perdas mecânicas e as perdas magnéticas do 
estator quando somadas, constituem as perdas rotacionais a vazio ∆Pv. Estas perdas estão embuti-
das na potência mecânica interna Pmi. Para se achar a potência mecânica útil disponível no eixo do 
motor é preciso subtrair de Pmi as perdas rotacionais a vazio isto é: 
 
vmi PPP ∆−= [2.31] 
 
 As perdas magnéticas significativas ocorrem no estator. Elas serão somadas às perdas mecâ-
nicas para constituir as perdas rotacionais a vazio quando, no circuito equivalente, a resistência Rm 
em paralelo com a reatância magnetizante tenha sido eliminada. Quando isto não ocorrer, a potência 
útil será achada subtraindo-se da potência mecânica interna somente as perdas mecânicas, pois as 
perdas magnéticas já terão sido subtraídas da potência eletromagnética transferida ao rotor. 
 O conjugado eletromagnético interno associado à potência mecânica interna será igual a: 
 
( )
( ) s
RIm
s
s
s
RImPmC mimi
1
2
2'
21
1
22'
21
1
1
1
ωωω =−
−
== [2.32] 
 
 Introduzimos na equação [2.32] o fator m1 para indicar o número de fases do motor. Para um 
motor trifásico 31 =m . Se Pmi for dada em watts e ω em rad/s, o conjugado será obtido em Nm. Da 
mesma forma que em [2.32], o conjugado útil ou de saída no eixo do motor será igual a: 
 
 
 
48 
 
 
ω
PC = [2.33] 
 
 Os modelos de circuito equivalente das figuras 2.07 e 2.09 dão resultados bastante precisos 
para o cálculo de desempenho dos motores. Estes cálculos são, em geral, trabalhosos. Por exemplo, 
quando se deseja calcular a potência mecânica ou o conjugado útil, é necessário calcular a corrente 
'
2I , que sempre apresenta mais dificuldades. Para reduzir este trabalho, se opta, quando é possível, 
por uma simplificação do modelo, perdendo-se em precisão, mas ganhando em facilidade. Esta 
simplificação está indicada na fig. 2.10 que mostra o ramo contendo a reatância Xm e a resistência 
Rm tirado de sua posição original e ligado diretamente à tensão da rede. Desta forma, a corrente '2I é 
facilmente calculada por meio da equação [2.34]. 
 Neste modelo, a tensão V1 é igual à tensão induzida E1 e o fluxo φm pode ser calculado de 
acordo com a equação [2.16]. 
 
 
 
 
Fig. 2.10 – Modelo simplificado do circuito equivalente 
 
( )'21'21
1'
2
XXj
s
RR
VI
++


 +
= &&& [2.34] 
 
 Substituindo [2.34] em [2.32], será obtida uma nova expressão do conjugado eletromagnéti-
co interno, em função das constantes do circuito equivalente. 
 
( )2'21
2'
2
1
2
1
1
'
21
XX
s
RR
V
s
RmCmi
++


 +
= ω [2.35] 
 
ω1 é velocidade síncrona do campo girante dada em rad/s e V1 é a tensão aplicada ao motor, por 
fase, em volts. Cmi será obtido em Nm. 
A análise da equação [2.35] mostra a grande influência que a tensão exerce sobre o conjuga-
do do motor: ele varia com o seu quadrado. Os parâmetros da equação [2.35] são considerados 
constantes para cada motor. Para uma tensão aplicada constante pode-se dizer que Cmi é uma função 
 
 
49 
 
 
somente do escorregamento, isto é, ( )sfCmi = . Tanto na equação [2.32] quanto na equação [2.35], 
se forem atribuídos a s valores dentro de seu campo de variação serão obtidas curvas denominadas 
características do conjugado em função do escorregamento. As curvas obtidas de uma ou da outra 
equação pouco diferem na sua configuração mostrada na fig. 2.11. 
O primeiro quadrante é o campo de variação do escorregamento para a operação da máquina 
de indução como motor, isto é, 1≥ s > 0. É o caso mais comum de operação da máquina de indução. 
 
 
 
 
Fig. 2.11 – Característica conjugadoxescorregamento de uma máquina de indução 
 
 Nesse campo, a característica de conjugado apresenta alguns pontos notáveis identificados 
na figura 2.11. Se nas equações [2.32] ou [2.35] s for tomado igual a 1, resulta para o conjugado um 
valor inicial chamado Conjugado de Partida, Cp. Se a equação [2.35] for derivada em relação a s e 
o resultado igualado a zero, determina-se qual o valor da variável s para o qual se tem o máximo 
valor de conjugado. Este valor é dado pela equação [2.36]. 
 
( )2'2121
'
2
max
XXR
Rs
++
= [2.36] 
 
Substituindo este valor na equação [2.35] será encontrado o valor do conjugado máximo do motor. 
 
( )  +++
=
2'
21
2
111
2
11
max
2 XXRR
VmC
ω
 [2.37] 
 
 No primeiro quadrante está indicada também uma curva designada por Cr que representa a 
característica mecânica da máquina que está sendo acionada pelo motor. No caso, trata-se de uma 
característica parabólica típica de várias máquinas como sopradores de ar, exaustores, bombas cen-
trífugas, etc. Se o motor opera na sua condição nominal, o ponto de encontro das duas característi-
cas representa esta condição operacional em que o conjugado, a potência e a rotação que o motor 
desenvolve são valores nominais fornecidos na sua placa de identificação. 
 
 
50 
 
 
 O escorregamento que o motor apresenta na condição nominal de operação é o escorrega-
mento nominal sn que, substituído na equação [2.35] fornece o conjugado nominal. Os valores de Cp 
e Cmax são fornecidos, em geral, em p.u. ou percentagem do conjugado nominal. 
 O quarto quadrante mostra uma curva inversa da curva do primeiro quadrante. O escorrega-
mento assume valores negativos, ou seja, o seu campo de variação se estende para além do zero. Se 
o escorregamento é negativo, isto significa que a velocidade do rotor é maior do que a do campo 
girante do estator. Isto só será possível se o eixo do motor for acionado por um órgão externo, por 
exemplo, uma turbina, de modo a fazer o rotorgirar a uma velocidade maior do que a síncrona. 
Nesta condição a máquina de indução funciona como um gerador. 
Teoricamente, o campo de variação de s é 0>s>-∞, ou seja, o rotor poderia ser acionado a 
velocidades muito superiores à síncrona. Se isto ocorresse, o escorregamento seria muito grande e 
as perdas jóulicas do rotor, que dependem do escorregamento, conforme mostra a equação [2.29], 
seriam extremamente elevadas e produziriam uma quantidade de calor tal que destruiria a máquina. 
Em termos práticos, o escorregamento da máquina funcionando como gerador deve ser o mesmo, 
em valor absoluto, do seu escorregamento como motor. Por questão de simetria, a fig. 2.11 mostra o 
campo de variação do escorregamento do gerador de indução apenas entre 0 e –1. 
 É muito difícil encontrar uma máquina de indução funcionando como gerador. A sua potên-
cia de excitação (VAR necessário para criar o campo magnético girante) é muito maior do que a 
potência de excitação correspondente para o gerador síncrono. Por outro lado, para um gerador de 
indução operar é necessário que a rede elétrica já exista para que ele possa absorver a corrente mag-
netizante necessária para criar o campo magnético. Desta forma ele deve ser ligado à rede como um 
motor, a vazio, e depois receber o conjugado externo para operar como gerador. 
 No terceiro quadrante, o campo de variação do escorregamento se estende para além de 1. 
Isto significa que o rotor está sendo acionado no sentido contrário ao do campo girante do estator. 
Se isto acontecesse, o escorregamento seria ainda maior do que no caso anterior em que o rotor era 
acionado no mesmo sentido do campo girante do estator. Isto agravaria ainda mais o problema do 
aquecimento provocado pelas perdas jóulicas do rotor. Portanto, em termos práticos, o rotor não 
pode ser acionado como gerador em sentido oposto ao do campo girante. 
 Pode-se, entretanto, obter uma situação equivalente se, estando o motor operando normal-
mente, forem invertidos dois terminais da rede à qual ele está ligado. Ao se fazer isto, inverte-se o 
sentido do campo girante do estator. O rotor tende a acompanhar o campo girante do estator, mas 
para isto ele terá de inverter a sua rotação. Durante um curto período de tempo, a energia cinética 
armazenada na massa girante do rotor o mantém girando, no mesmo sentido, até que ele pare e in-
verta a rotação. Durante este período, o escorregamento passa a ser: 
 ( ) s
n
snn
n
nn
n
nns −=−+=+=−
−−= 21
1
11
1
1
1
1' [2.38] 
 
 Portanto, ao se trocar dois terminais de alimentação do motor entre si, o escorregamento 
inicial do motor é praticamente igual a 2 e atingiria 1 (motor parado) após um tempo muito curto. 
Esta condição operacional do motor é chamada de frenagem e ela ocorre quando o motor é desliga-
do no instante antes de inverter a rotação. Ela é conhecida na prática como plugueamento. O tempo 
de frenagem deve ser muito curto para evitar a destruição do motor pelas elevadas perdas jóulicas, 
se o tempo fosse longo. Se o motor não for desligado, ele inverte sua rotação, uma prática muito 
usada nas plantas industriais. 
 
 
 
 
51 
 
 
2.10) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
2.10.1) Um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, 220 V, 60 Hz, 6 polos, ligado em es-
trela, aciona uma carga com um escorregamento igual a 2%. As perdas rotacionais a vazio são cons-
tantes e iguais a 403 watts. As constantes do circuito equivalente têm os seguintes valores em 
ohms/fase: 
 
R1 = 0,294; 144,0'2 =R ; X1 = 0,503; 209,0'2 =X ; Xm = 13,25; Rm = ∞ 
Pede-se: 
a) A velocidade do motor em RPM e rad/s 
b) A corrente do estator em A. 
c) O fator de potência do motor. 
d) A potência de entrada. 
e) A corrente do rotor em A. 
f) A potência eletromagnética em watts. 
g) A potência mecânica interna em watts. 
h) O conjugado eletromagnético interno em Nm. 
i) A potência útil ou de saída em watts. 
j) O conjugado útil ou de saída em Nm. 
k) O rendimento. 
 
SOLUÇÃO: a partir do circuito equivalente da fig. 2.09 
 
a) A velocidade será, de acordo com [2.02], igual a: 
 ( ) ( ) 117602,01120011 =−=−= snn RPM = 123,15 rad/s (R) 
 
b) A impedância equivalente à reatância magnetizante em paralelo com a impedância do ro-
tor será: 
 
 Esta impedância, somada com a do estator, 111 jXRZ += , dará a impedância total do 
motor, ou seja: 
 
 
 
 A corrente do estator será igual a: 
 [ omotZ
VI 35,3281,18
º35,32752,6
3
220
1
1 −∠=== (R) 
 
c) ( ) 845,0º35,32coscos =−=ϕ (R) 
 
o
e
me
jZ
jjjX
s
RjXZ
89,29240,611,341,5
209,0
02,0
144,0
1
25,13
1111
'
2
'
2
∠=+=∴
+
+=
+
+=
( ) ( ) oemot jZZZ 35,32752,611,3503,041,5294,01 ∠=+++=+=
 
 
52 
 
 
d) 60,6056845,0.18,18.220.3cos3 111 === ϕIVP watts (R) 
 
e) mIII −= 1'2 = ( ) ( ) ojj 17,4757,15582,8368,090728358,15 −∠=−−−− |(R) 
 
E1 e Im calculados conforme abaixo. 
 
 
m
mmm jX
EIXjIE 11 −=∴=− ; 1E , por sua vez, é igual a: 
 
ooo
eZIE 46,244,11389,29240,635,3218,1811 −∠=∠×−∠== 
 
 [ ] om jI 46,9259,82,13
46,244,113 −∠=−−= (R) 
 
f) ( ) 91,5362
02,0
144,0757,1533 2
'
22'
2 === s
RIPem watts (R) 
 
g) ( ) ( ) 65,525591,536202.011 =−=−= emmi PsP watts (R). Como a resistência Rm foi despre-
zada, a perda magnética do estator foi transferida para o rotor e somada à perda mecânica, 
cuja soma, igual a 403 watts constitui as perdas rotacionais a vazio que estão embutidas na 
potência Pmi. 
 
h) 67,42
15,123
65,5255 === ω
mi
mi
PC Nm (R) 
 
i) 65,485240365,5255 =−=∆−= vmi PPP watts (R) 
 
j) 40,39
15,123
65,4852 === ω
PC Nm (R) 
 
k) %12,80
6,6056
65,4852
1
===
P
Pη 
 
2.10.2) Resolver o mesmo problema anterior utilizando o modelo de circuito equivalente 
simplificado, de acordo com a figura 2.10. 
 
SOLUÇÃO: a partir do circuito equivalente da figura 2.10 
 
a) O mesmo resultado do item a) anterior. 
 
b) A impedância total do motor será obtida conforme abaixo: 
 
 
53 
 
 
 
 
 A corrente do estator será, portanto igual a: 
 
o
o
o
I 65,3318,20
63,33295,6
0
3
220
1 −∠=∠
∠
= (R) 
 
c) cós(-33,65o) = 0,832 (R) 
 
d) Potência de entrada: 12,6401083218,202203cos3 111 =×××== φIVP W (R) 
 
e) A impedância do rotor é igual a: 
 
( ) orot jXXjsRRZ 43,5528,7712,0494,7'21
'
2
1 ∠=+=++


 += 
 A corrente do rotor será: oo
o
I 43,5873,16
43,5528,7
0
3
220
'
2 −∠=∠
∠
= A (R) 
 
f) Pelo modelo de circuito equivalente, não há perdas no estator. Logo, a potência eletro-
magnética transferida ao rotor é a própria potência de entrada, isto é: 
 
12,64011 == PPem W (R) 
 
g) A potência eletromagnética transferida ao rotor se divide em duas parcelas: as perdas por 
efeito joule que se dissipam e a potência mecânica interna. Esta será, portanto, igual à potência ele-
tromagnética menos as perdas jóulicas, ou seja: 
 ( ) ( )( ) 03,6027873,16144,0294,0312,64013 22'2'21 =+−=+−= IRRPP emmi W (R) 
 
h) 94,48
15,123
03,6027 === ω
mi
mi
PC Nm (R) 
 
i) 03,562440303,6027 =−=∆−= vmi PPP W (R) 
 
( ) ( )
o
mot
mmot
jZ
jXXj
s
RR
jXZ
63,33295,6488,324,5
209,0503,0
02,0
144,0294,0
1
25,13
1111
'
21
'
2
1
∠=+=
∴
++

 +
+=
++


 +
+=
 
 
54 
 
 
j) 67,45
15,123
03,5624 === ω
PC Nm (R) 
 
k) %86,87
12,6401
03,5624
1
===
P
Pη 
 
(R) 
 
Análise comparativa dos resultados obtidos: 
 
 Considerando as mesmas condições para ambos os modelos de circuito equivalente, vemos 
que a corrente I1 do modelo aproximado ficou 073,1
81,18
18,20 = vezes maior do que a do modelo com-
pleto isto é, um aumento de apenas 7%. Quantoàs correntes do rotor, a relação ficou aproximada-
mente a mesma de I1 , isto é: 071,1
757,15
873,16 = . Essas diferenças podem ser aceitáveis, dependendo da 
aplicação que se quer dar aos resultados. No que se refere à potência eletromagnética Pem, as dife-
renças percentuais aumentam, isto é: 194,1
91,5362
12,6401 = . Esta diferença é muito significativa e já não 
pode ser aceitável. Esta diferença será também significativa na potência mecânica interna e na po-
tência útil pois em ambos os casos, essas potências são aproximadamente proporcionais ao quadra-
do da corrente do rotor, ou seja, a diferença de 7,1% existente entre os dois valores da corrente pas-
sa a ser ( ) 147,1071,1 2 = vezes maior na potência. O rendimento sofre também alteração significati-
va: passa a ser 097,1
12,80
86,87 = vezes maior, o que para rendimento de motor é uma diferença muito 
grande e inaceitável. 
 Em conclusão, podemos dizer que o uso do circuito equivalente aproximado oferece resulta-
dos bem diferentes dos resultados do circuito equivalente completo. Obviamente que os percentuais 
obtidos podem variar de acordo com as constantes do circuito e serem mais aceitáveis ou não, po-
rém, de uma maneira geral, não se deve usar tal modelo. A única simplificação que pode ser feita é 
apenas a de eliminar a resistência Rm. 
 
2.11) ANÁLISE DO CIRCUITO EQUIVALENTE PELO TEOREMA DE THÉVÉNIN 
 
 Na seção 2.9 afirmamos que para tornar os cálculos do desempenho do motor de indução 
menos trabalhosos optou-se por um modelo de circuito equivalente conforme o da fig. 2.10 que, 
todavia, produzia resultados menos precisos do que os dos circuitos completos das figuras 2.07 e 
2.09. Quando se deseja dar ênfase à potência e ao conjugado do motor, que dependem da corrente 
do rotor, o modelo de circuito equivalente apresentado por A.E. Fitzgerald em seu livro Máquinas 
Elétricas3, baseado no teorema de Thévénin, facilita os cálculos do desempenho do motor, sem per-
der a precisão. No modelo de Thévénin, a resistência Rm é removida permanecendo apenas a reatân-
 
3 A. E. Fitzgerald; Charles Kingsley Jr; Alexander Kusko – Máquinas Elétricas- Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda. 
 
 
55 
 
 
cia Xm, conforme mostra a fig. 2.12. As perdas magnéticas são transferidas ao rotor e somadas às 
perdas mecânicas, formando as perdas rotacionais a vazio. 
 
 
Fig. 2.12 – Circuito equivalente desprezando a resistência Rm 
 
Os circuitos equivalentes das figuras 2.07 e 2.09 podem então ser substituídos pelos da figu-
ra 2.12a e 2.12b. Os pontos a e b dividem o circuito equivalente em duas partes distintas: à esquer-
da, as grandezas do estator e à direita, as grandezas referidas do rotor. 
A aplicação do teorema de Thévénin, consiste em obter a impedância equivalente do estator 
em série com a impedância do rotor. Dessa forma, a corrente que vai circular por todo o circuito 
equivalente é a corrente do rotor. Aplicando o teorema de Thévénin entre os pontos a e b da fig. 
2.12, a tensão da fonte equivalente entre os terminais a e b, estando o circuito à direita de a e b a-
berto, será igual a: 
 
( )
11
1111 jXR
jX
VjXRIVV mmTh +=+−= [2.39] 
 
 A impedância de Thévénin equivalente à impedância do estator será a existente entre os pon-
tos a e b, com os terminais da fonte de tensão V1 curto-circuitados, ou seja: 
 ( )
( )m
m
ThThTh
mTh XXjR
jXRjXjXRZ
jXjXRrZ ++
+=+=∴++= 11
11
11
111
 [2.40] 
 
 Os circuitos equivalentes da fig. 2.12 se transformam nos circuitos equivalentes da fig. 2.13 
com a introdução dos valores obtidos nas equações [2.39] e [2.40]. 
 
 
Fig. 2.13 – Circuito equivalente do motor de indução pelo teorema de Thévénin 
 
 
 
 
56 
 
 
A partir do circuito equivalente de Thévénin, a corrente '2I é facilmente determinada o que 
permite calcular, em seguida, o conjugado eletromagnético pela equação [2.32]. O conjugado pode 
também ser calculado, diretamente, substituindo '2I da mesma forma como foi feito na equação 
[2.35], obtida a partir do circuito simplificado da figura 2.10. As constantes R1 e X1 serão substituí-
das, respectivamente, por RTh e XTh e a tensão por fase do estator por VTh.. A expressão do conjuga-
do eletromagnético interno será: 
 
( )2'2
2'
2
2
1
'
212'
2
1
'
21
XX
s
RR
V
s
RmI
s
RmC
ThTh
Th
mi
++


 +
== ωω [2.41] 
 
A expressão do conjugado máximo, da mesma forma, será idêntica à expressão [2.37], subs-
tituindo R1 e X1 por RTh e XTh, respectivamente, ou seja: 
 
( )  +++
=
2'
2
2
1
2
11
max
2 XXRR
VmC
ThThThω
 [2.42] 
 
2.12) EQUAÇÕES NORMALIZADAS DO CONJUGADO 
 
 As equações [2.35] e [2.43] apresentam um grande número de parâmetros (as constantes do 
circuito equivalente). É possível simplificar estas equações escrevendo-as sob a forma de valores 
relativos dos parâmetros e de conjugados, substituindo os valores absolutos por valores adimensio-
nais, em p.u. ou em porcentagem. 
 Se as equações [2.41] e [2.42] forem divididas membro a membro será obtida a seguinte 
igualdade: 
( )
( )2'2
2'
2
'
22'
2
2
max
2
XX
s
RR
s
RXXRR
C
C
ThTh
ThThTh
mi
++


 +


 +++
= [2.44] 
 
 A partir da equação [2.36] o valor de '2R pode ser obtido de acordo com [2.45]: 
 
( )2'22max'2 XXRsR ThTh ++= [2.45] 
 
 Substituindo, em [2.44], '2R pelo seu valor obtido em [2.45] e fazendo as devidas reduções 
algébricas obtém-se a seguinte igualdade: 
 
 
 
57 
 
 



 +++
++=
s
s
s
sQ
Q
C
Cmi
max
max
2
2
max
2
1
1
11
 [2.46] 
 
 Nesta equação foi feito 
Th
Th
R
XX
Q
'
2+= . 
 De modo semelhante pode-se obter uma relação entre a corrente do rotor, '2I , corresponden-
te a uma condição operacional qualquer do motor, e a corrente ' max2I correspondente ao conjugado 
máximo Cmax, a partir da equação [2.32]. ( )
2
2
2
2
2
2
'
max2
'
2
11
11
QQ
s
s
QQ
I
I
m +

 ++
+++= [2.47] 
 
Q tem o mesmo significado da equação [2.46]. Para a grande maioria dos motores de indu-
ção a relação Q se situa entre 3 e 7. 
A fig. 2.14 mostra as curvas resultantes considerando agora as variáveis 
maxC
Cmi no eixo das 
ordenadas e
maxs
s no eixo das abscissas. Vê-se a pouca influência que a relação Q exerce sobre a 
configuração das curvas, mesmo se seu valor se torna infinito. 
 
 
 
 
Fig. 2.14 – Curvas normalizadas conjugadoxescorregamento 
 
 
 
58 
 
 
Fazer ∞=Q , significa dizer que RTh é igual a zero, ou seja, é possível se desprezar a resis-
tência do estator sem com isto introduzir erros significativos nas características dos motores. Se isto 
for feito as equações [2.46] e [2.47] se simplificam4 mais ainda, ou seja: 
 
s
s
s
sC
Cmi
max
max
max
2
+
= [2.48] 
 
1
2
2
maxmax2
2
+


=
s
sI
I
 [2.49] 
 
2.13) VARIAÇÃO DA RESISTÊNCIA DO ROTOR: ROTOR BOBINADO 
 
 A equação [2.45] mostra que o escorregamento correspondente ao conjugado máximo é di-
retamente proporcional à resistência do rotor. De outro lado, a equação [2.46] mostra que o conju-
gado máximo não depende da resistência do rotor. Portanto, se ela for aumentada, o escorregamento 
smaxaumenta na mesma proporção, fazendo a curva de conjugado se deslocar para a esquerda, con-
forme mostra a figura 2.15. 
 
 
 
 
Fig. 2.15 – Efeito do aumento da resistência do rotor 
 
Á medida que a curva se desloca para a esquerda, o valor inicial do conjugado de partida va-
ria, aumentando o seu valor até que o escorregamento smax seja igual a 1, isto é, o conjugado de par-
tida é igual ao conjugado máximo. A partir deste valor, se a resistência for aumentada o conjugado 
 
4 Ao se fazer RTh=∝ nas equações [2.46] e[2.47] elas se tornam indeterminadas. A indeterminação é levantada dividin-
do-se o numerador e o denominador por Q. 
 
 
59 
 
 
máximo se dará no segundo quadrante e o conjugado de partida passa a diminuir de valor. A possi-
bilidade de variar a resistência do rotor só é possível no motor de rotor bobinado por meio da intro-
dução de resistências externas, em série com as bobinas de cada fase, através dos anéis. Estas resis-
tências são introduzidas durante o processo de partida do motor quando se deseja manter um alto 
conjugado de aceleração e retiradas após o motor atingir sua velocidade de regime. 
O equipamento que permite fazer este tipo de operação é chamado reostato de partida. A 
fig. 2.16 mostra o diagrama esquemático de um reostato de partida. Ele introduz inicialmente, o 
maior número dos estágios de resistência disponíveis no momento da partida do motor e, à medida 
que ele se acelera, os estágios vão sendo retirados. Ao final do processo de aceleração todos os es-
tágios de resistência terão sido retirados e os anéis são, então, curto-circuitados. A operação de par-
tir um motor por meio de um reostato é toda automática, feita por contatores eletromagnéticos co-
mandados por relés de tempo e outros dispositivos de controle. 
 Os estágios de resistência são calculados em função dos valores de corrente de partida e de 
conjugado máximo que se deseja limitar. Para a corrente de partida se limita o valor máximo que 
ela pode atingir e para o conjugado, o mínimo valor. Para simplificar o cálculo dos estágios de re-
sistência que irão compor o reostato de partida, a parte estável da característica do motor de indução 
– região da curva entre o conjugado máximo e o conjugado zero – é considerada reta. 
 
 
 
 
Fig. 2.16 – Reostato de partida de um motor de rotor bobinado 
 
2.14) IDÉIAS PRELIMINARES SOBRE CONTROLE DE VELOCIDADE 
 
 Após ter sido ligado à rede de alimentação e atingir a sua velocidade de regime, o motor de 
indução, em especial o de rotor em gaiola, é um motor de velocidade praticamente constante. Mes-
mo quando há variação da carga e, conseqüentemente, uma variação do escorregamento, sua velo-
cidade varia muito pouco. Entretanto, em muitos acionamentos realizados pelos motores de indução 
é exigido um controle de sua velocidade dentro de certos limites que pode ser alcançado por diver-
sos modos, dependendo do grau de controle que se deseja. 
 Pode-se controlar a velocidade de um motor de indução usando os seguintes métodos: 
 
a) Alterando o número de polos do enrolamento do estator. (Aplicado apenas aos motores 
de rotor em gaiola que têm a propriedade de reproduzir automaticamente o número de 
polos do estator). 
b) Alterando a tensão aplicada ao estator. (Aplicado a ambos os tipos) 
c) Alterando a resistência do circuito do rotor. (Aplicado apenas aos motores de rotor bobi-
nado). 
 
 
60 
 
 
d) Alterando a freqüência da fonte que alimenta o motor. (Aplicado a ambos os tipos) 
 
a) ALTERANDO O NÚMERO DE POLOS DO ESTATOR 
 
 A equação [1.02] mostra que a velocidade síncrona do campo girante do motor depende da 
freqüência da rede e do número de polos do rotor, ou seja: 
 
P
fn 12011 = [2.50] 
 
 A alteração do número de polos do estator não representa, na realidade, um controle de ve-
locidade do motor, pois o que se consegue é apenas obter, num mesmo motor, duas ou no máximo 
três velocidades diferentes. 
O número de polos do motor pode ser alterado de duas maneiras. A primeira, dividindo cada 
fase do enrolamento do estator em duas partes iguais. Os terminais de cada uma das partes são leva-
dos à caixa de ligação do motor de modo a permitir que sejam feitas conexões externas por meio de 
contatores. Estas conexões são feitas de modo a mudar o sentido da corrente em uma das partes ao 
se comutar o enrolamento de uma ligação em série para uma ligação em paralelo. Ao se fazer esta 
comutação o número de polos será reduzido à metade e, portanto, a velocidade do motor dobra. 
 A figura [2.17] mostra, esquematicamente, como são feitas as conexões para dobrar ou redu-
zir o número de polos. 
 
 
 
Fig. 2.17 – Diagrama esquemático para mudança de polos 
 
Na figura 2.17 as letras (A1, X1) e (A2, X2) representam os terminais de uma bobina qualquer 
(começo e fim da bobina) e a letra grega τ o passo polar. Os diagramas a e b da figura 2.17 mostram 
conexões em série das bobinas para obter a mudança de polos. Se a conexão inicial é a da figura 
 
 
61 
 
 
2.17a, temos 4 polos (4 passos polares indicados pela letra τ). Fazendo a mudança das conexões 
conforme a figura 2.17b (conexão série) ou 2.17c (conexão paralela), obtemos dois polos (dois pas-
sos polares τ). 
 A figura 2.18a mostra a conexão que deve ser feita para mudar um enrolamento de 2P polos 
para P polos, cujas duas metades estão ligadas em estrela-série. A conexão passa de estrela-série 
(2P polos) para estrela em paralelo (P polos). Na figura 2.18b, o enrolamento de 2P polos está liga-
do em triângulo-série e a conexão a ser feita que irá mudá-lo para estrela-paralelo. 
Estas conexões são normalizadas. Nos diagramas da figura 2.18 a figura central mostra co-
mo deve ser feita a conexão e a figura da direita o resultado obtido. Obviamente, a conexão pode ser 
feita no sentido de dobrar ou reduzir à metade o número de polos. O motor que permite estes tipos 
de conexão é conhecido como motor tipo Dahlander. 
A segunda maneira de se mudar o número de polos de um motor é construindo um estator de 
forma que suas ranhuras comportem dois enrolamentos distintos, eletricamente isolados um do ou-
tro. Neste caso, o motor poderá operar, ora com um enrolamento, ora com outro e a relação entre as 
velocidades não precisa ser igual a dois, como no caso precedente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.2.18 – Conexões de enrolamentos para dobrar o número de polos 
 
b) ALTERANDO A TENSÃO APLICADA AO MOTOR 
 
O conjugado eletromagnético desenvolvido pelo motor de indução é função do quadrado da 
tensão aplicada em seus terminais, conforme mostram as equações [2.35] e [2.41]. Assim sendo, ao 
variar a tensão aplicada aos terminais do motor, a sua curva característica se modifica proporcio-
nalmente aos valores do quadrado da tensão, conforme mostra a figura 2.19 que supõe uma redução 
de 50% da tensão. 
 
 
62 
 
 
 
 
 
Fig. 2.19 – Variação da velocidade com variação da tensão 
 
A velocidade em que o motor opera é determinada pelo encontro da curva característica do 
conjugado motor com a curva característica da máquina acionada. Quando a tensão aplicada é V1, o 
ponto de encontro das duas curvas determina a velocidade n1. Quando a tensão é 2
1V , o ponto de 
encontro das curvas dará a velocidade n2. A tensão variável a ser aplicada ao motor poderá ser obti-
da por meio de conversores estáticos. No caso de ventiladores domésticos que operam com 3 a 4 
velocidades, a tensão variável é obtida por queda de tensão em resistores. Para os motores industri-
ais, em geral, motores de grande porte, este método de controle não é muito usado por ser caro e 
produzir perdas jóulicas significativas. 
 
c) ALTERANDO A RESISTÊNCIA DO ROTOR 
 
Na seção 2.13 ficoudemonstrado que quando se altera a resistência de um rotor bobinado, o 
escorregamento correspondente ao conjugado máximo se altera na mesma proporção, modificando 
a configuração da curva de conjugado para cada valor de resistência. Assim, da mesma forma que 
no caso anterior, a cada ponto de encontro da curva de conjugado da carga com as curvas do conju-
gado motor obtidas pela alteração da resistência rotórica, corresponderá uma velocidade de opera-
ção do motor, como mostra a figura 2.20. 
 
 
 
Fig. 2.20 – Velocidades por meio de resistências do rotor 
 
 
63 
 
 
 
 Diferentemente do reostato de partida em que as resistências são retiradas após o motor atin-
gir sua velocidade de regime, no caso do controle feito por resistências, estas permanecem inseridas 
no circuito do rotor enquanto se desejar o controle da velocidade. Por isto, as perdas jóulicas do 
rotor aumentam, reduzindo o rendimento do motor o que torna este método pouco utilizado na pra-
tica. Da mesma forma como foi observado para o cálculo do reostato de partida na seção 2.13, para 
facilitar o cálculo das resistências a serem inseridas no circuito do rotor, a parte da curva caracterís-
tica do conjugado situada entre o conjugado máximo e o conjugado nulo é considerada reta. 
 
d) ALTERANDO A FREQUÊNCIA DA TENSÃO APLICADA 
 
 O controle da velocidade de um motor de indução pela variação da freqüência da rede é 
previsto a partir da equação [2.50]. É praticamente o único método de controle usado atualmente, 
graças aos conversores de freqüência estáticos. Estes dispositivos eletrônicos permitem variar de 
forma contínua a freqüência da fonte que alimenta o motor de forma a se obter uma ampla faixa de 
controle da velocidade.5 
 Ao se variar a freqüência da fonte, é necessário fazer com que as características de conjuga-
do do motor mantenham suas configurações ao longo de toda a faixa de controle da velocidade e 
não permitir que ele perca sua capacidade de sobrecarga momentânea dada pelo valor do seu conju-
gado máximo. Isto se consegue fazendo o motor operar com seu fluxo magnético mantido constante 
para todos os valores de freqüência. Para tanto, a relação φ×= const
f
V
1
1 , obtida a partir da equação 
[2.16] deve se manter constante. Isto significa que, ao se variar a freqüência, a tensão deve ser vari-
ada no mesmo sentido da variação da freqüência. 
 
. 
 
 
 
Fig. 2.21 - Características do conjugado de um motor de indução com freqüências diferentes 
 
 A figura 2.21 mostra um conjunto de curvas características de um motor de indução obtidas 
a partir da variação da freqüência da rede, proporcionalmente à variação da tensão. Como se pode 
perceber, à medida que a freqüência aumenta, o conjugado máximo se mantém praticamente inalte-
rado. Somente nas freqüências mais baixas, devido ao aumento relativo da influência da queda de 
 
5 Este assunto será estudado em detalhes na disciplina de Acionamentos Elétricos I 
 
 
64 
 
 
tensão na resistência do estator, o fluxo magnético sofre um significativo decréscimo. Como conse-
qüência, o conjugado máximo reduz o seu valor. Isto pode ser visualizado pela equação [2.37] ou 
[2.45]. Nas freqüências mais altas, R1 se torna pequena comparada com as reatâncias e pode ser 
desprezada. A equação [2.37] se transforma em: 
 
( ) ( ) 21
2
11
'
211
2
11
2'
211
2
11
max 22 fconst
Vm
XX
Vm
XX
VmC ×=+=

 +
= ωω
 [2.51] 
 
 Nas freqüências mais baixas, o valor relativo de R1 em relação às reatâncias já não pode ser 
desprezado e valor do conjugado máximo se reduz. Para manter o conjugado máximo com valores 
iguais em alta e baixa freqüência, a tensão deve ser reduzida em um grau menor do que a redução 
da freqüência. 
 
2.15) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 2.15.1) Um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, 4 polos, 60 Hz, gira com um escor-
regamento igual a 0,03. Pede-se: 
 
a) A velocidade do rotor em RPM. 
b) A freqüência de escorregamento. 
c) A velocidade do campo girante do rotor em relação à carcaça do estator. 
d) A velocidade do campo girante do rotor em relação ao campo girante do estator. 
 
SOLUÇÃO 
 
 a) ( ) ( ) 174603,01180011 =−=−= snn RPM (R) 
 
b) 8,16003,012 =×== sff Hz (R) 
 
f) A velocidade do campo girante do rotor é igual à velocidade mecânica do rotor mais o es-
corregamento absoluto. Chamando de n2 a velocidade co campo girante do rotor, tem-se: 
 ( ) 1800112 ==−+= nnnnn RPM (R) 
 
g) Não há velocidade relativa entre os campos magnéticos. Eles giram à mesma velocidade. 
 
2.15.2) Um motor de indução trifásico, rotor bobinado, 220 V, 6 polos, 60 Hz, possui o seu 
enrolamento do estator ligado em triângulo e o do rotor em estrela. O número de espiras em série 
por fase do enrolamento do rotor é a metade do número de espiras em série por fase do enrolamento 
do estator. Os fatores de bobinagem de ambos os enrolamentos são iguais. Pede-se: 
 
a) O escorregamento a 1110 RPM. 
b) A tensão induzida entre os anéis com o rotor travado. (Admitir que a tensão aplicada é 
praticamente igual à tensão induzida no estator) 
c) A tensão induzida por fase com o escorregamento calculado em a). 
 
 
65 
 
 
d) A freqüência do rotor. 
 
SOLUÇÃO 
 
 a) 075,0
1200
11101200
1
1 =−=−=
n
nns (R) 
 
 b) De acordo com a equação [2.08] tem-se: 
e
e
b
b
K
EEK
KN
KN
E
E 1
2
22
11
2
1 =∴== 
 22011 =≅ VE V; 2=eK 1102
220
2 ==∴E V. Este é o valor induzido por fase. Como o 
enrolamento do rotor está ligado em estrela e os anéis ligados aos terminais do enrolamento, a ten-
são induzida entre os anéis será 52,1903110 = V (R) 
 
 c) A tensão induzida por fase com o motor operando com o escorregamento calculado em a) 
será igual a 25,8110075,022 =×== sEE r V (R) 
 
 d) 5,460075,012 =×== sff Hz (R) 
 
 2.15.3) Um motor de indução trifásico, rotor bobinado, 4 polos, 60Hz, possui um estator 
ligado em estrela com 48 ranhuras e 10 condutores por ranhura. O passo das bobinas que compõem 
o enrolamento é igual a 10 ranhuras. Pede-se: 
 
a) O fator de bobinagem do enrolamento do estator. 
b) O fluxo máximo por pólo quando ele for ligado a uma tensão de 220 V. (Considerar a 
tensão induzida praticamente igual à tensão aplicada). 
 
SOLUÇÃO: 
 
 a) 111 pdb KKK = ; Sendo
2
sen
2
sen
1 γ
γ
n
n
K d = e 2sen1
πλ=pK . A letra n representa o número de 
ranhuras por pólo, por fase, isto é: 4
34
48 =×=n ; γ é o ângulo elétrico entre duas ranhuras contí-
guas, ou seja: 015
2
4
48
360 =×=γ 9576,0
2
15sen4
2
154sen
1 =
×
=∴ dK ; 
λ é a relação entre o passo da bobina e o passo polar, ambos medidos em número de ranhuras, isto 
é: 9659,0
212
10sen
12
10
1 =×=∴= πλ pK . Portanto, 9249,09659,09576,01 =×=bK (R) 
 
c) De acordo com [2.05] temos: 
 
 
66 
 
 
bpd KNfKKNfE φφ 44,444,4 == 0064,09249,0608044,4
3
220
44,4 111
1 =×××==∴ bKfN
Eφ Wb (R) 
 
 Sendo N1 calculado como segue: 
 
=1N número de espiras em série por fase = 802
10
3
48
=
×
. 
 
 2.15.4) Supondo que o rotor do problema anterior possua o enrolamento ligado em estrela, 
com 36 ranhuras, 6 condutores por ranhura e um passo de bobina igual a 9 ranhuras, determinar a 
relação de transformação de tensões do motor. 
 
SOLUÇÃO 
 A relação de tensões é dada por: 
2
1
2
1
b
b
e K
K
N
NK ×= . Os dados com relação ao rotor serão obti-
dos como segue: 
9598,0
2
20sen3
2
203sen
2
sen
2
sen
2 =
×
== γ
γ
n
n
Kd ; sendo 334
36 =×=n e 
o20
2
4
36
360 =×=γ . 
1
29
9
2
sen2 =×== ππλpK . O número de espiras em série por fase será: 362
6
3
36
2 =×
=N . 
Substituindo os valores na expressão de Ke tem-se: 
 
1414,2
9598,0
9249,0
36
80 =×=eK (R) 
 
2.15.5) Determinar a tensão gerada em um único condutor do rotor do problema anterior 
quando ele gira a 1740 RPM. 
 
SOLUÇÃO 
 
A tensão gerada por fase com o rotor operando será igual a: 
 9772,1
1414,2
3
220
1800
17401800
22 =×−== sEE r V. Esta tensão é obtida nos terminais das 36 es-
piras por fase. Portanto, em cada condutor será induzida a tensão de 0275,0
236
9772,1
2 =×=cE V (R) 
 
 
 
67 
 
 
2.15.6) Um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, 440 V, 60 Hz, 6 polos, possui o en-
rolamento do estator ligado em estrela. O número de espiras por fase é igual a 180, sendo 0,93 o seu 
fator de bobinagem. O número de ranhuras do rotor é 48. Pede-se: 
 
a) A tensão por fase induzida no rotor quando ele estiver travado. 
b) Idem, quando ele estiver girando a 1180. 
c) A freqüência de escorregamento no caso do item b). 
 
SOLUÇÃO 
 
a) O número de fases e o número de “espiras” para um rotor do tipo gaiola são conceitos que 
foram definidos na seção 2.6. A tensão induzida por fase será:
1
2
1
2
12
b
b
K
K
N
N
EE ×= . Os valores das 
grandezas são os seguintes: 5,1
2
3
2
;180 21 ==== pNN . O número de fases do rotor será igual a 
16
3
482 ==
p
Q
. Substituindo os valores obtidos tem-se: 
 
2763,2
93,0
1
180
5,1
3
440
2 =××=E V (R) 
 
 b) 0379,02763,2
1200
11801200
22 =×−== sEE r V. (R) 
 
 c) 160
1200
20
12 =×== sff Hz (R) 
 
 2.15.7) Um motor de indução trifásico, rotor bobinado, 4 polos, 60 Hz, funciona na sua con-
dição nominal com um escorregamento igual a 0,05. A potência eletromagnética é igual a 120 kW. 
As seguintes perdas foram determinadas: 
 
31 =∆ jP kW; 7,1=∆ feP kW; 2=∆ mecP kW 
 Pede-se: 
a) Calcular a perda jóulica do rotor. 
b) A potência útil ou de saída. 
c) O rendimento do motor. 
 
SOLUÇÃO 
 
a) De acordo com a equação [2.29] as perdas jóulicas do rotor são iguais a: 
 
612005,02 =×==∆ emj sPP kW (R) 
 
b) A potência útil é igual à potência mecânica interna menos as perdas mecânicas, ou seja: 
 
 
 
68 
 
 
( ) ( ) 112212005,011 =−−=∆−−=∆−= mecemmecmi PPsPPP kW (R) 
 
c) ( ) ( ) %8,89267,13112 112211 =++++=∆+∆+∆+∆+=∆+== mecjfej PPPPP
P
PP
P
P
Pη (R) 
 
P1 é a potência de entrada e poderia ser também calculada como sendo igual à potência ele-
tromagnética mais as perdas do estator, ou seja: 
 ( ) ( ) 7,1247,1312011 =++=∆+∆+= fejem PPPP 
 
 2.15.8) Uma máquina de indução trifásica, 6 polos, 60 Hz, funciona como gerador. O órgão 
primário acionador acoplado diretamente ao eixo do rotor desenvolve um conjugado igual a 402 
Nm a uma velocidade de 1260 RPM. As perdas jóulicas do estator são iguais a 1,4 kW, as perdas 
magnéticas 1,6 kW e as perdas mecânicas, 1 kW. Calcular o rendimento do gerador. 
 
 SOLUÇÃO 
 
 Tratando-se de um gerador o fluxo de potência se inverte em relação ao motor, isto é, a po-
tência mecânica entra pelo eixo do rotor e sai potência elétrica pelos terminais do enrolamento do 
estator. A potência que o rotor recebe no eixo é igual a: 04,53
9550
1260402
9550
=×== CnP kW. O es-
corregamento é negativo pois a velocidade do rotor é maior do que a do campo girante do estator. O 
escorregamento será: 05,0
1200
12601200 −=−=s 
 A potência eletromagnética será igual a: ( ) 56,4905,01
04,53
11
=+=+=−−= s
P
s
PPem kW. 
 A potência de saída será igual à potência eletromagnética menos as perdas no estator, ou 
seja: 
 ( ) ( ) 56,466,14,156,4911 =+−=∆+∆−= fejem PPPP kW 78,8704,53 56,461 ===∴ PPη % (R) 
2.15.9) Um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, desenvolve a sua potência nominal com um 
escorregamento igual a 8,5%. O seu conjugado máximo, igual a 2,5 p.u. do conjugado nominal, se 
dá para um escorregamento de 50%. Desprezando-se as perdas magnéticas e mecânicas (perdas 
rotacionais a vazio), pede-se: 
a) Determinar o conjugado de partida, em p.u. 
b) Determinar a corrente de partida do rotor em p.u. 
 
SOLUÇÃO 
 
 a) Este problema será resolvido por meio das equações normalizadas [2.46] e [2.47]. Substi-
tuindo Cmax e smax pelos valores dados e fazendo s= sn= 0,085 em [2.47], obtém-se o seguinte valor 
para o parâmetro Q: 
 
 
69 
 
 



 +++
++=
s
s
s
sQ
Q
C
Cmi
max
max
2
2
max
2
1
1
11
021,3
085,0
50,0
50,0
085,0
2
1
1
11
5,2
1
2
2
=∴


 +++
++=∴ Q
Q
Q
 
 
 Voltando à mesma equação e agora com o valor de Q conhecido, faz-se s = 1, para cujo va-
lor corresponde o conjugado de partida Cp, ou seja: 
 
 1,2
1
50,0
50,0
1
2
1021,3
1
1021,31
5,2 2
2
=∴


 +++
++= pp C
C
p.u. (R) 
 
 b) A corrente de partida será obtida pelo mesmo processo usando a equação [2.47] 
 ( ) ( )
8667,3
021,31021,3
085.0
50,01
021,31021,311
11
11 '
2
2
2
2
2
2
2
'
22
2
2
2
2
2
'
2
'
2 =∴
+

 ++
+++=∴
+

 ++
+++= m
mmm
I
I
QQ
s
s
QQ
I
I
p.u. 
 
 Voltando à mesma equação e substituindo agora o valor de '2mI e fazendo s = 1, tem-se o 
valor de 5'2 =pI p.u. (R). 
 
 2.15.10) A resistência medida entre os anéis deslizantes do rotor de um motor de indução 
trifásico, 60 Hz, 16 polos, 224 kW é igual a 0,035 ohms. Com os anéis curto-circuitados o escorre-
gamento a plena carga é 0,025. O motor aciona um soprador de ar que requer uma potência de 224 
kW à velocidade nominal do motor. O conjugado requerido pelo soprador varia com o quadrado da 
velocidade. Supondo que a região estável da característica de conjugado do motor (região entre o 
conjugado máximo e o conjugado zero) seja reta, conforme mostra a fig 2.22, que valor de resistên-
cia por fase deve ser adicionada em série com os anéis do rotor de modo que o motor gire a 300 
RPM? 
 
 
 C (p.u.) 
 
 
 B A 
 1,00 
 
 0,467 M 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
 1 0,713 0,333 0,025 0 S 
 
Fig. 2.22 – Variação do conjugado motor com a resistência do rotor (características retas) 
 
SOLUÇÃO 
 
A velocidade do motor a plena carga será: ( ) ( ) 439025,0145011 =−=−= snn RPM. O con-
jugado que o soprador de ar vai requerer a esta velocidade é igual ao conjugado nominal de plena 
carga tomado como conjugado base. Seu valor é igual a 89,4872
439
2249550 ==nC Nm. e poderá ser 
considerado igual a 1 p.u. 
Na velocidade de 300 RPM, o conjugado que o soprador vai requerer será igual a 
64,2275..467,0
439
3001
439
300 22
439300 ==

=

= upCC Nm. O escorregamento correspondente à 
velocidade de 300 RPM será: 333,0
450
300450
300 =−=s . 
 
A reta OA constitui a característica do motor na condição nominal de operação e a reta OM 
a característica para a condição nominal com a velocidade de 300 RPM. A reta OM encontra a reta 
de conjugado igual a 1 p.u. no ponto A ao qual corresponde o escorregamento de 0,713 obtido por 
semelhança de triângulos. Portanto, para o mesmo valor de carga no eixo, o escorregamento aumen-
tou de 0,025 para 0,713, ou seja, 52,28
025,0
713,0 = vezes. Chamando de Rx a resistência a ser acrescen-
tada em série com o rotor, a resistência do rotor deverá aumentar na mesma proporção: 
 
482,0
2
035,0
2
035,052,28
2
035,052,282
'
2 =−=∴=+= xx RRRR ohms/fase. (R) 
 
2.16) PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 2.16.01) Um motor de indução trifásico, rotor bobinado, 6 polos, 60Hz, com o enrolamento 
do estator ligado em estrela, possui 54 ranhuras, 12 condutores por ranhura e passo de bobina igual 
a 7 ranhuras. Pede-se: