AULA 06 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES - ELIMINAÇÃO DE GAUSS

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AULA 06 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
1. Introdução 
Um problema fundamental que normalmente é encontrado na descrição matemática de fenômenos 
de engenharia é o da solução simultânea de um conjunto de equações. Tais fenômenos passam a ser 
descritos por um conjunto de m equações em que se deseja determinar a solução de n variáveis de 
interesse, normalmente chamadas de incógnitas. Esse conjunto é chamado de sistema de equações 
lineares, se o sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com m = n, pode ser 
representado pela equação matricial Ax = b, sendo A uma matriz quadrada de ordem n, x é uma matriz 
de ordem n x 1 e b também tem ordem m x 1. 
 
{
𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛 . 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛 . 𝑥𝑛 = 𝑏2
……………………………… . .
𝑎𝑚1. 𝑥1 + 𝑎𝑚2. 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛 . 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
1.1 Matrizes associadas a um sistema linear 
 
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… … … …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
] [
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑚
] 
 
 
 
Assim um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial 
Ax = B. Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do 
sistema. 
 
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2
… … … … …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A x B 
2 
 
2. Exemplos de aplicações na Engenharia: 
 
 Lei de Kirchhoff em circuitos: a soma algébrica de diferença de potencial em qualquer circuito fechado 
é nula; 
 
 
 
 
 
 
 
{
𝒊𝟏 + 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐
𝒊𝟏 + 𝒊𝟒 = 𝒊𝟐
𝒊𝟑 + 𝒊𝟔 = 𝒊𝟓
𝒊𝟒 + 𝒊𝟔 = 𝒊𝟓
 
 Relação entre matéria-prima e produtos na elaboração de produção; 
 
 
 
 
 
 
 Relação entre cargas e momentos em uma estrutura em balanço; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
𝑳
𝑬𝑨
𝟎 𝟎
𝟎
𝑳𝟑
𝟑𝑬𝑰
𝑳𝟐
𝟐𝑬𝑰
𝟎
𝑳𝟐
𝟐𝑬𝑰
𝑳
𝑬𝑰 )
 
 
 
 
(
𝑿
𝒀
𝑴
) = (
𝜹𝒙
𝜹𝒚
∅
) 
 
3 
 
 Considere, por exemplo, o problema de determinar as componentes horizontal e vertical das forças 
que atuam nas junções da treliça abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Classificação de sistemas lineares 
Um sistema de equações lineares pode ter solução ou não. 
 
I) Possível ou compatível 
 
Há duas possibilidades de solução. 
Possível e determinado  O sistema admite uma única solução. 
Possível e indeterminado  O sistema admite infinitas soluções. 
 
 
 
 
 
 
 
Possível determinado Possível indeterminado 
 
 
 
 
4 
 
II) Impossível ou incompatível. 
Quando o sistema não admite solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 Impossível 
4. Eliminação de Gauss 
Considere o sistema Ax = b onde det(Ak)  0, k = 1, ..., n. 
Algoritmo de Gauss: 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑎𝑘𝑗 .
𝑎𝑖𝑘
𝑎𝑘𝑘
 
𝑏𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑏𝑘 .
𝑎𝑖𝑘
𝑎𝑘𝑘
 
 onde k = 1,2,...,n – 1 ; i = k + 1,...,n e j = k,...,n 
A ideia é transformar a matriz aumentada numa matriz triangular superior. Para isso executamos as 
seguintes etapas: 
i. Montar a matriz aumentada; 
ii. Determinar o pivô akk (elemento da diagonal principal); 
iii. Definir os multiplicadores de cada linha abaixo do pivô: 𝒎𝒊𝒌 =
𝒂𝒊𝒌
𝒂𝒌𝒌
 ; 
iv. Atualização das linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear {
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 7
3𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 7
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
5. Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial 
Exemplo: Resolva {
0,0001𝑥1 + 1,00𝑥2 = 1,00
1,00𝑥1 + 1,00𝑥2 = 2,00
 com t = 3 (três algarismos significativos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial consiste em, a cada passo 𝑘 do algoritmo, escolher na 
coluna 𝑘 o maior elemento possível (em módulo), da diagonal (inclusive) para baixo, e fazer a operação 
elementar de permutar linhas para posicionar tal elemento na posição do pivô. Assim, no momento da 
operação elementar que zera os elementos abaixo do pivô, o multiplicador 
𝑎𝑖𝑘
𝑎𝑘𝑘
terá módulo menor ou igual a 
1. Isso minimizará a propagação do erro cometido pelo arredondamento a cada operação. 
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Exercícios: 
1. Considere o sistema linear: 
(
𝟐 −𝟑 𝟏
𝟒 −𝟔 −𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
)(
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
) = (
−𝟓
−𝟕
𝟒
) 
a) Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss. 
b) Calcule o determinante de A usando a matriz triangular obtida no item a). 
2. Verificar, usando o método de Eliminação de Gauss, que o sistema linear: 
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 5
3𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 = 1
 
não tem solução. 
3. Usando o método de Eliminação de Gauss, verificar que o sistema linear: 
{
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝛼𝑥3 = 6
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝛼𝑥3 = 3
𝛼𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 5
 
a) Possui uma única solução quando  = 0, 
b) Possui infinitas soluções quando  = 1 e 
c) Não tem solução quando  = - 1. 
4. Considere um sistema linear de ordem 4 que tem a matriz de Hilbert como matriz dos coeficientes 
e que a solução exata seja o vetor que possui todas as componentes iguais a 1. Resolva o sistema 
linear usando: 
Considere t = 3 (três algarismos significativos). 
a) O método de Eliminação de Gauss; 
b) O método de Eliminação de Gauss com pivotamento parcial. 
A matriz de Hilbert é famosa por produzir um exemplo de sistema linear que, se não utilizarmos 
pivotamento, a solução obtida poderá estar complemente errada. Os elementos desta matriz são 
dados por: 
𝒉𝒊𝒋 =
𝟏
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
, 𝒊 = 𝟏, 𝟐,… , 𝒏 ; 𝒋 = 𝟏, 𝟐,… , 𝒏. 
Assim, a matriz de Hilbert de ordem 4 é dada por: 
(
 
 
 
 
 
1
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
1
4
1
5
1
6
1
7)
 
 
 
 
 
 
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5. Um engenheiro de Produção supervisiona a produção de quatro tipos de computadores. Existem 
quatro espécies de recursos necessários à produção: mão-de-obra, metais, plásticos e 
componentes eletrônicos. As quantidades destes recursos, necessárias para produzir cada 
computador são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere um consumo diário de 504 h de mão-de-obra, 1970 kg de metais, 970 kg de plásticos e 
601 componentes. Use o método de eliminação de Gauss para calcular o número de 
computadores (número inteiro) de cada tipo produzidos por dia. 
 
Respostas: 
1. a) 𝑥 = (
1
2
−1
) b) det(A) = - 21 
2. Verificação 
3. Verificação 
4. 𝑥 = (
−4
60
−180
140
) 
5. x1 = 10 ; x2 = 12 ; x3 = 18 ; x4 = 15