Aplicação das Derivadas em Administração - UEMASUl - Resumo Expandido

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APLICAÇÃO DE DERIVADA EM ADMINISTRAÇÃO 
 
Anderson Cleyson Pereira da Silva* 
Acadêmico de Administração 
Universidade Estadual da Região Tocantina do Maranhão 
andersoncleyson15@gmail.com 
Bruna Larissa Mouta de Lima** 
Acadêmica de Administração 
Universidade Estadual da Região Tocantina do Maranhão 
brunnamoutta@gmail.com 
Ester de Santana Costa*** 
Acadêmica de Administração 
Universidade Estadual da Região Tocantina do Maranhão 
esterdesantanacosta@hotmail.com 
Geiciane da Silva Lacerda**** 
Acadêmica de Administração 
Universidade Estadual da Região Tocantina do Maranhão 
geicianylacerda0613@gmail.com 
Leidy Jane Sousa Gomes***** 
Acadêmica de Administração 
Universidade Estadual da Região Tocantina do Maranhão 
leidycno12@hotmail.com 
Luís Alexandre Vieira Cardozo 
Orientador 
 
 
RESUMO 
 
Desde o seu surgimento até os dias atuais, a derivada ou cálculo diferencial, assume 
fundamental importância para o desenvolvimento de outras áreas. Sendo inclusive, o principal 
instrumento matemático para que profissionais ligados à gestão empresarial utilizem de forma 
que, possam determinar o custo marginal de produção, dando condições para que eles procedam 
a sua análise, de forma eficiente e confiável. É nesse contexto que surge o custo marginal, 
importante ferramenta da economia, que ajuda tanto administradores, como economistas a 
calcular o custo de se produzir uma unidade a mais além da produção total. O presente trabalho 
tem como objetivo, abordar um pouco sobre o contexto histórico da derivada e algumas de suas 
aplicações, voltadas para administração. 
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Palavras Chaves: derivadas, aplicação, administração, custo marginal. 
 
ABSTRACT 
 
From its emergence to the present day, the derivative or differential calculus, is of 
fundamental importance for the development of other areas. In addition, it is the main 
mathematical instrument for professionals linked to business management to use in a way that 
can determine the marginal cost of production, giving them the conditions to analyze them 
efficiently and reliably. It is in this context that marginal cost emerges, an important tool of 
economics, which helps both managers and economists calculate the cost of producing a unit 
beyond total output. The present work has as objective, to address a little about the historical 
context of the derivative and some of its applications, focused on administration and economics. 
Keywords: derivatives, application, administration, marginal cost. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Descoberto por Leibniz e Newton, no século XVII, o cálculo derivado tem sido 
utilizado na descoberta da taxa de variação no comportamento de grandezas variáveis, de forças 
ou objetos em movimento. A derivada de uma função é utilizada em diversas finalidades, 
podendo ser utilizada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças 
sofridas em uma outra ou se uma função entre dois objetos existe e toma valores contínuos em 
um dado intervalo. 
Newton, fundamentando-se no estudo dos movimentos, escreve a sua obra Métodos 
dos Fluxos, no qual ele discorre sobre como uma curva é gerada e explica a relação entre as 
duas variáveis. Para ele uma curva era formada a partir do deslocamento de um ponto no espaço 
em um determinado intervalo de tempo. A partir da análise do deslocamento do ponto no plano 
cartesiano, seria possível extrair a taxa de derivação – a derivada – que ele denominou de fluxo. 
O crédito para o desenvolvimento do cálculo é tema bastante polêmica, pois uns 
defendem que foi Isaac Newton que o desenvolveu primeiro, enquanto outros acreditam que 
Gottfried Wilhelm Leibniz como o criador do cálculo. Todavia, deve-se saber que ambos 
contribuíram bastante para o cálculo. 
 
 
 
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DERIVADAS 
 
O cálculo diferencial, ou simplesmente derivado, tem seu surgimento no final do 
século XVII, atribuído aos estudos de Isaac Newton e Gottfriend Wilhelm Leibniz. 
Segundo Boyer (apud LIMA), a primeira exposição do cálculo diferencial foi 
publicada por Leibniz em 1684 sob o longo mas significado título de Nova methodus maximis 
et minimis itenque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratus (Um novo método para 
máximos e mínimos, e também para tangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais). 
Embora Leibniz tenha apresentado ao mundo essa nova ferramenta, coube ao 
matemático francês Augustin-Louis Cauchy defini-la tal qual a conhecemos hoje. Ao definir a 
derivada de y=f(x) com relação a x, ele deu à variável x um incremento Δx= e formou a razão. 
 
Δ𝑦
Δ𝑥
 = 
𝑓 (𝑥 + 𝑖) − 𝑓(𝑥)
𝑖
 
 
Graficamente, o conceito de derivadas é o de encontrar retas tangentes a uma função 
dada. De acordo com Iezzi, 2009 (apud LIMA), a derivada de uma função f no ponto xo é igual 
ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa xo. 
 
CUSTOS 
 
Para Martins, 1995 (apud LIMA), o custo é um “gasto relativo à bem ou serviço 
utilizado na produção de outros bens ou serviços”. Os custos desempenham um papel 
fundamental nas decisões das empresas. 
Segundo Porter (apud LIMA), os custos podem orientar as empresas a aumentarem 
suas vantagens competitivas, exercendo uma forte influência sobre a estrutura industrial. 
 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS NA ADMINISTRAÇÃO 
 
Em determinadas situações, é necessário tomar decisões de curto prazo em relação 
à produção de um determinado bem, tal fato realça a importância de estudo dos custos 
marginais. No conceito de custo marginal, pode-se identificar uma relação de proximidade com 
algo bem comum na definição de derivadas: variação. 
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Matematicamente, se C(x) é o custo total de produção de x unidades de um produto, 
então o custo marginal quando x=xo, é dado por C’(xo), caso exista. A função C(x) é chamada 
de função custo marginal. Com isso, se a função de custo de um certo bem é derivável, então o 
custo marginal é a taxa instantânea com a qual aumenta ou diminui o custo para produzir uma 
unidade adicional do bem. 
 
DETERMINANDO O CUSTO MARGINAL 
 
Menezes (apud LIMA), aborda uma aplicação de derivadas para se determinar a 
taxa de variação de um produto dado. Vejamos: 
1 – Uma mineradora determina que sua função de custo total para a extração de 
certo tipo de ferro é dada por C(x) = 2.5x2 + 4.32x + 1200 em R$, onde x é dada em toneladas 
de ferro. Determine o custo adicional quando a produção aumenta de 10 para 11 toneladas de 
ferro. Ache o custo marginal para 10 toneladas. 
Primeiramente, calculamos o custo que a mineradora tem ao produzir 10 
toneladas C(10) e terá ao produzir 11 toneladas C(11), aplicados na função: 
 
 
 
 
 
Realizando a diferença entre as duas produções C(11) = 1.550,02 e C(10) = 
1.493,20, teremos: 
C(11) – C(10) = 56,82 R$. 
Derivando agora a função custo para encontra o custo marginal C(10), temos: 
C(x) = 2.5x2 + 4.32x + 1200 
C’(x) = 2 x 2.5x2-1 + 1 x 4.32x1-1 + 1200 
C’(x) = 5x + 4.32 
Aplicando agora o C(10) de produção na nova função de custo, temos: 
C(10) = 5x + 4.32 
C(10) = 5 x 10 + 4.32 
C(10) = 50 + 4.32 
C(10) = 54.32 R$ 
C(10) = 2.5 x 102 + 4.32 x 10 + 1200 
C(10) = 250 + 43.2 + 1200 
C(10) = 1.493,20 
 
C(11) = 2.5 x 112 + 4.32 x 11 + 1200 
C(11) = 302.5 + 47.52 + 1200 
C(11) = 1.550,02 
 
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Isto significa que se a extração de ferro é incrementada em 1 tonelada, de 10 para 
11 toneladas a mudança do custo é, aproximadamente, de 54,32 R$. Em outras palavras, extrair 
uma tonelada adicional de ferro custa 54,32 R$. 
 
CONCLUSÃO 
 
O cálculo, desde o seusurgimento, continua a ser aplicado em vários ramos do 
conhecimento. Como demostrado aqui, vimos a importância do mesmo para a administração, 
assim como para a economia. Vimos como essa ferramenta, sendo utilizada no plano 
empresarial pode ajudar as empresas a descobrir qual o custo de se produzir uma unidade 
adicional de um determinado produto, facilitando assim, no controle dos custos de produção e 
no aumento da eficiência sobre os mesmos. 
O mesmo também pode ser aplicado em situações cotidianas, o que amplia ainda 
mais a gama de influência desta área. 
 
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REFERÊNCIAS 
 
LIMA, Abizai Campos. As derivadas e sua aplicação na Análise Marginal de Custos na 
Economia. Trabalho apresentado Faculdade de Tecnologia e Ciências, 2012, Bahia. 
 
LIMA, Diogo de Azevedo. Aplicações de Derivadas na Administração. Faculdade de 
Espirito Santo, 2012.