Solução da Lista - Introd. Quimica Quantica 2

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Universidade Federal Fluminense - Departamento de Físico-química. 
Disciplina: Introdução a Química Quântica – Solução lista de exercícios 2 - Professor: Cambraia
Mostre que:
Solução
Uma massa pontual move-se em um circulo com l =1. Calcule a amplitude de seu momento angular e as possíveis projeções do momento angular em um eixo arbitrário.
Solução
Calcule as energias dos quatro primeiros níveis de rotação da molecula de HI livre para girar em tres dimensões com R = 160 pm. 
Solução
Uma função de onda rotacional em 3D tem o número quântico l igual a 2 e um momento de inercial de 4,445.10-47 kg.m2. Quais os valores numéricos possíveis de;
A energia
O momento angular total
Componente z do momento angular
Solução
Estime a componente z do momento angular e a energia cinética de uma partícula em um anel quando a função de onda (não normalizada) é:
Solução
Mostre que os três polinômios de Legendre satisfazem a equação abaixo quando m =0.
Solução
Encontre a constante de normalização e mostre que os polinômios associados de Legendre e são ortogonais.
Solução
Confirme que Y3-3 é normalizado.
Solução
Mostre que Y1-1(θ,φ) é normalizado e ortogonal a Y21(θ,φ)
Solução
Mostre que a função de onda é normalizada em todo espaço.
Solução
 Mostre que a função de onda do átomo de hidrogênio ψ210 é normalizada e ortogonal a ψ200
Solução
Porque a função de onda não existe?
Mostre que a função de onda radial 2s, tem dois extremos na sua amplitude. Localize cada um deles.
Solução
Calcule a probabilidade de um elétron descrito pela função de onda 1s do átomo de hidrogênio estar a uma distancia menor que o raio de Bohr do núcleo. R.: 0,32
Solução
Localize os nodos radiais do orbital 4p de um átomo de H onde a função de onda radial é proporcional a 20 -10ρ + ρ2.
Solução
Escreva a expressão da função distribuição radial de um elétron 3s num átomo hidrogenoide, e determine o raio m que é mais provável encontrar o elétron. 
Solução
 
 Use orbitais hidrogenoides (similar ao do hidrogênio) para calcular o raio médio de um orbital 1s. R. 
Solução
A autofunção para um elétron 1s de um átomo hidrogenoide é dada por onde a0 é o raio de Bohr. Mostre que a distância na qual a probabilidade de encontrar um elétron 1s é máxima é .
Solução
							
Calcule a probabilidade de um elétron no orbital do hidrogênio estar dentro de um raio de 2 Å a partir do núcleo. Refaça os cálculos para um elétron a uma distância de 0,25 Å de um núcleo de Be+3. Discuta os resultados.
Solução
	Carga nuclear maior atrai o elétron para mais próximo do núcleo.
 Estime os valores esperados de e no átomo de hidrogênio com a função de onda.
.
Solução
Estime os valores esperados de e no átomo de hidrogênio com as funções de onda.
Solução
 As funções de átomos hidrogenoides para n =2 sâo:
onde a0 é o raio de Bohr e explique qual é a função de onda .
Solução
 é esfericamente simétrico então é . então é . então é . então é . 
As funções de átomos hidrogenoides para n =3 sâo:
onde a0 é o raio de Bohr e explique qual é a função de onda 
.
 
Solução 
Os planos nodais são, z = 0 e x = 0, então este é o orbital .
	Os planos nodais são, x2-y2 = 0, ou, x = y. Então este é o orbital 	
tem simetria esférica, então é .
Os planos nodais são, z = 0 e y = 0, então este é o orbital .
Descreva a aproximação de Born-Oppenheimer. Considere as moléculas diatômicas de H2 e Cs2. Para qual delas a aproximação introduz menor erro? Por que?
Solução
	A aproximação de Born-Oppenheimer considera que os núcleos, por serem mais massivos que os elétrons, apresentam energia cinética muito menor, e que o termo referente a mesma pode ser desconsiderado na resolução da equação de Schrodinger. Então, esta aproximação apresenta menor erro para moléculas diatômicas com núcleos mais massivos, que neste caso é o Cs2. 
Encontre a degenerescência orbital dos níveis em um átomo hidrogenoide (Z entre parênteses) que tem energia 
a. 
b. - (4)
c. - 
Solução
Qual é o momento angular orbital de um elétron nos orbitais: (a) 4d, (b) 2p, (c) 3p? Dê o numero de nós angulares e radiais em cada caso.
Solução
Escreva a equação de Schodinger completa para o He e indique que termos no operador tornam a equação insolúvel. 
Solução
 Com a aproximação de Born-Oppenheimer fica: 
O termo de interação inter-eletrônica, que depende da distancia entre os dois elétrons, faz com que a equação não possa ser resolvida analiticamente. 
Escreva a equação de Schodinger completa para o Li e indique que termos no operador tornam a equação insolúvel. 
Os orbitais spin são produtos das funções de onda espacial e do spin. Para o átomo de He existem varias possibilidades tais como
ou combinações destas. Dentre estas possibilidades descreve e justifique qual o orbital spin apropriado para descrever o átomo de He.
Solução 
Os orbitais não são aceitáveis porque leva a um componente z do spin não nulo, que não é observado experimentalmente.
		Os outros dois podem ser utilizados, mas como os elétrons são indistinguíveis, a função apropriada para descrição do átomo é dada pela combinação linear destes orbitais. 
		A combinação linear deve ser antissimétrica para seguir o postulado de Pauli, Se os elétron forem trocados, a função de onda completa deve mudar de sinal. Portanto, não é aceitável e orbital apropriado é:
Quais das seguintes funções não-normalizadas podem ser usadas no tratamento variacional para uma partícula em uma caixa de comprimento L? Justifique.
Solução
As funções tentativas no tratamento variacional devem obedecer as condições de contorno, do sistema analisado. Para uma caixa de comprimento L a função deve ser nula em x = 0 e x = L. Portanto, a função da letra a pode ser usada e a da letra b não, pois não é nula em x = L. 
Use a função tentativa da forma para calcular a energia do estado fundamental de um átomo de hidrogênio. 
Solução
A função tentativa para a partícula numa caixa é , determine os parâmetros variacionais c1 e c2. 
 
Solução
Use o principio variacional para estimar a energia do estado fundamental de um oscilador harmônico usando a função tentativa 
Solução
Suponha que a função de , onde A é a constante de normalização e α um parâmetro ajustável, é usada como uma função de onda tentativa para o orbital 1s do átomo de hidrogênio. A energia desta função de onda tentativa é Qual a energia mínima associada a esta função tentativa. 
Solução
 Usando o operador Hamiltoniano para a partícula numa caixa mostre que as integrais H12 e H21 são iguais com funções tentativas: e 
Solução
Usando as funções tentativas: e calcule as integrais de recobrimento S11, S12 e S22 para uma caixa unidimensional de largura unitária. 
Solução
Assuma que, para um sistema real, uma função de onda é a combinação linear de duas funções-base ortonormais , onde as integrais de energia do método variacional são (em unidades arbitrarias de energia) : H11 = -15, H12 = H21 = -1 e H22 = -4. Calcule a energia aproximada do estado fundamental do sistema e determine os coeficientes da expansão: .
Solução
 Em uma partícula na caixa com comprimento a, ao invés de a energia potencial na caixa ser zero, ela é uma função linear da posição. Isto é, V = kx. Usando a teoria da perturbação, estime a energia média de uma partículacom massa m e cujo movimento é descrito pela função de onda de menor energia (n =1). 
Solução
No experimento de Stern-Gerlach foram utilizados átomos de prata. Explique por que a prata foi uma boa opção para se observar o momento angular intrínseco do elétron. 
Solução
	A configuração dos átomos de prata é 5s1, ou seja, apresenta simetria esférica. Na ausência de momento angular intrínseco do elétron o resultado esperado ao passar um feixe destes átomos por um campo magnético seria uma mancha continua em torno do centro do feixe. Entretanto o resultado observado, o desdobramento do feixe em duas posições definidas só pode ser explicado pela existência do momento angular intrínseco do elétron, ou momento angular de spin eletrônico.
Encontre a função de onda normalizada no modelo LCAO.
 
Solução
 Mostre que no modelo LCAO a energia de antiligação é dada por: 
Solução
 Normalize o orbital molecular em função do parâmetro λ e da integral de sobreposição S
Solução
Suponha que um orbital molecular tem a forma Encontre uma combinação linear dos orbitais A e B que é ortogonal a esta combinação.
Solução
Utilizando o modelo de combinação linear dos orbitais moleculares, explique por que não observa-se a molécula de He2.
Solução
 
	A representação dos orbitais moleculares da molécula de H2 é:
A diferença de energia entre o orbital 2 e os átomos separados é maior do que entre 1 e os átomos separados, então o orbital 2 é instável e os átomos permanecem separados. 
Ou, numero de elétrons em orbitais ligantes e antiligantes são iguais. Elétrons em orbitais ligantes tendem a aproximar os núcleos e em orbitais antiligantes tendem a afastar. Neste caso, os efeitos se cancelam e não existe ligação química.
Mostre que os três orbitais híbridos sp2 são mutuamente ortogonais. 
Solução
Mostre que os orbitais híbridos da água e são ortogonais e que o ângulo entre eles é 104,5 o 
Solução
	O orbital 2s é simétrico então a direção será dada pelas contribuições de 2py e 2pz