Segunda prova - Geometria analítica e algebra vetorial

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Acadêmico: Nelson Antonio Barbosa Margalho Junior (1541541)
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:455729) ( peso.:1,50)
Prova: 12945964
Nota da Prova: 9,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Considere o ponto A (1, 2). Sabe-se que o vetor OA, onde O é a origem do sistema cartesiano, e o vetor OB
definem um paralelogramo. O vetor OB é obtido através de uma dilatação do vetor OA, no sentido do mesmo, de
fator 3/2, seguida por uma rotação de 30° no sentido horário. Sobre determinar a área aproximada do
paralelogramo definido por esta rotação, assinale a alternativa CORRETA:
 a) 2,23 u.a.
 b) 3,37 u.a.
 c) 10,67 u.a.
 d) 5,34 u.a.
2. A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H.
Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices
(excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA:
 a) AD.
 b) AC.
 c) AB.
 d) AE.
3. Seja uma transformação linear de R² em R², em relação as bases canônicas:
 a) As opções II e III estão corretas.
 b) As opções I e II estão corretas.
 c) As opções I e IV estão corretas.
 d) As opções III e IV estão corretas.
4. As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações,
podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os
vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), quanto à opção que apresenta o vetor resultante da operação w = u - 2v, classifique
V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) w = (4,5).
( ) w = (-1,-1).
( ) w = (-5,4).
( ) w = (2,-1).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - V - F.
 b) V - F - F - F.
 c) V - V - F - V.
 d) F - V - F - F.
5. Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as soluções de
equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais de vibração de um instrumento
musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender corretamente
este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o
conceito de autovetor de transformação:
 a) É um número real que anula a transformação.
 b) É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
 c) É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
 d) É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
6. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos
acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas
sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de
estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais
complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de
telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações
residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação
apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a
alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) V - V - V - F.
 c) F - F - F - V.
 d) F - V - F - F.
7. Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área
do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os
dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a
metade da área do paralelogramo. Baseado nisto, determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1)
e v = (1,1,2). Analise as opções a seguir:
I- Raiz de 3.
II- 9.
III- Raiz de 18.
IV- 6.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
8. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo,
mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo
problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente
ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v =
(3,0,2), analise as opções a seguir:
I- u x v = (4,6,-6).
II- u x v = (0,6,4).
III- u x v = (0,-6,6).
IV- u x v = (-4,6,-6).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
9. Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem,
juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto,
considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador:
 a) 1.
 b) 2.
 c) 3.
 d) 0.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
10. Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que normalmente já
conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear ligar dois conjuntos através
de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação opera com vetores e não com números reais
como de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
( ) A sua imagem tem dimensão 2.
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - V - F - V.
 b) V - V - F - F.
 c) F - V - F - V.
 d) V - F - V - V.
Prova finalizada com 9 acertos e 1 questões erradas.