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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 – ÁLGEBRA SUPERIOR I
Unidade 1: Noções Preliminares - Conjuntos, Relações Binárias, Relações
de Equivalência, Relações de Ordem e Funções.
1. Seja R relação sobre Q definida por, dados x,y ∈ Q,
xRy⇔ x− y ∈ Z.
Mostre que R que uma relação de equivalência e determine a clase 1.
Solução:
(i) Dado x ∈ Q, observe que x− x = 0 ∈ Z. Portanto, xR x.
(ii) Dados x,y ∈ Q, se xRy então x− y ∈ Z. Vamos mostrar que yRx. De
fato,
y− x = −(x− y) ∈ Z⇒ yRx.
(iii) Dados x,y, z ∈ Q, se xRy e yR z, temos que
xRy⇒ x− y ∈ Z,
yRz⇒ y− z ∈ Z, Daí, vamos mostrar que xR z. De fato,
(x− y) + (y− z) = x− z ∈ Z⇒ xR z.
Como a relação acima é reflexiva, simétrica e transitiva segue que a relação
acima é uma relação de equivalência.
Relembre que neste contexto, 1 = {x ∈ Q : xR 1}. Daí, x ∈ 1 ⇔ x − 1 ∈ Z ⇔
x ∈ Z. Portanto, 1 = Z.
1
2. Seja R relação sobre C definida por
(x+ iy)R(a+ ib)⇔ x2 + y2 = a2 + b2.
Mostre que R que uma relação de equivalência sobre C e determine a clase
1+ i.
Solução:
(i) Dado ∀ x+ iy ∈ C observe que (x+ iy)R(x+ iy), pois
x2 + y2 = x2 + y2.
(ii) Se (x+ iy)R(a+ ib) então x2 + y2 = a2 + b2. Daí,
a2 + b2 = x2 + y2 ⇒ (a+ ib)R(x+ iy).
(iii) Se (x+ iy)R(a+ ib) e (a+ ib)R(c+ id), temos que,
x2 + y2 = a2 + b2 e a2 + b2 = c2 + d2.
Agora, vamos mostrar que (x+ iy)R (c+ id). De fato,
x2 + y2 = a2 + b2 = c2 + d2 ⇒ (x+ iy)R(c+ id).
Como a relação acima é reflexiva, simétrica e transitiva segue que a relação
acima é uma relação de equivalência.
Relembre que 1+ i =
{
x + iy ∈ C : (x + iy)R(1 + i)} . Daí, x + iy ∈ 1+ i⇔
x2 + y2 = 12 + 12 ⇔ x2 + y2 = 2}, isto é, a classe de equivalência 1+ i é a
circunferência de centro na origem (0, 0) e de raio
√
2 do plano.
2
3. Dada uma função f : A → B, considere a relação R sobre A tal que para
x,y ∈ A,
xRy⇔ f(x) = f(y).
Prove que R é uma relação de equivalência.
Solução: Como f(x) = f(x) segue que xR x assim a relação acima é reflexiva.
Agora suponha que xRy, por definição f(x) = f(y) assim f(y) = f(x) e yR x,
isto prova que a relação acima definida é simétrica.
Agora vamos provar que a relação acima é transitiva, se xRy e yR z então
f(x) = f(y) e f(y) = f(z), daí f(x) = f(z), isto prova que xR z e que a relação
é transitiva.
Como a relação acima é reflexiva, simétrica e transitiva segue que a relação
acima é uma relação de equivalência.
Bom Trabalho!
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