Apostila-de-Teoria-das-Estruturas

Prévia do material em texto

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
Caderno de Conteúdo e Exercícios da disciplina de 
Teoria das Estruturas do Curso de Engenharia Civil da 
Estácio de Sá, Unigran e Facsul. 
 
Professor: Eng. Civil Talles Mello 
www.tallesmello.com.br 
eng.tallesmello@gmail.com 
 
 
Acadêmico: 
 
 
 
 
 
 
Campo Grande – MS 
1ª Edição 
2 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
 
 
 
 
Solicita-se aos usuários deste trabalho a 
apresentação de sugestões que tenham por 
objetivo aperfeiçoa-lo ou que se destinem à 
supressão de eventuais incorreções. 
 
As observações apresentadas, mencionando a 
página, o parágrafo e a linha do texto a que se 
referem, devem conter comentários 
apropriados para seu entendimento ou sua 
justificação. 
 
A correspondência deve ser enviada 
diretamente ao autor, por meio do e-mail: 
eng.tallesmello@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha Catalográfica 
 
Mello, Talles. 
Teoria das Estruturas /Talles Teylor dos Santos Mello–Campo Grande,MS, 
2019. 
43 p. : il. color. – (Material didático) 
 
 
Caderno de aula de exercícios da disciplina de Teoria das Estruturas da 
Estácio de Sá, Unigran e Facsul, de Campo Grande/MS. 
 
 
1. Engenharia Civil – composição, proporção, etc. 2. Estruturas. 3. 
Apostila.I. Estácio. Unigran. Facsul. Curso de Engenharia Civil.II.Título. 
 
 
CDD (20) 720.7 
3 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
SumárioSumárioSumárioSumário 
1 TRELIÇAS ................................................................................................................................ 4 
1.1. DEFINIÇÃO .............................................................................................................................. 4 
1.2. MÉTODOS DOS NÓS OU MÉTODO DE CREMONA ....................................................................... 4 
1.3. TRELIÇA: EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 5 
2. FLEXÃO SIMPLES ................................................................................................................ 10 
2.1. PROJETO DE VIGAS ................................................................................................................ 11 
2.2. FLEXÃO: EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 11 
3. DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS (FLECHA) ...................................................................... 12 
3.1. CONTRA-FLECHA .................................................................................................................. 12 
3.2. MÓDULO DE ELASTICIDADE DOS MATERIAIS ........................................................................ 12 
3.3. DESLOCAMENTO DE ACORDO O CARREGAMENTO .................................................................. 13 
4. MÉTODO DE CROSS ............................................................................................................ 14 
4.1. PRINCÍPIOS DO PROCESSO ..................................................................................................... 14 
4.1.1. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO .................................................................................. 15 
4.2. RIGIDEZ DAS BARRAS E COEFICIENTES DE TRANSMISSÃO ..................................................... 15 
4.2.1. BARRA BI-ENGASTADA .................................................................................................................. 15 
4.2.2. BARRA ENGASTADA-ROTULADA ................................................................................................... 15 
4.3. CONVENÇÃO DE SINAIS ......................................................................................................... 16 
4.4. COEFICIENTES DE DISTRIBUIÇÃO .......................................................................................... 16 
4.5. MÉTODO DE CROSS: EXERCÍCIOS .......................................................................................... 17 
5. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS..................................................................................... 29 
5.1. TABELAS .............................................................................................................................. 32 
5.2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: EXERCÍCIOS ....................................................................... 34 
6. MÉTODO DAS FORÇAS ....................................................................................................... 40 
ANEXO A ...................................................................................................................................... 42 
ANEXO B ...................................................................................................................................... 43 
 
 
4 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
1 Treliças 
 
São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas 
extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. 
Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas 
apenas por forças normais. 
Hipóteses de Cálculo: 
1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito. 
2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça. 
3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas 
extremidades. 
4) As barras são solicitadas somente por esforço normal. 
 
1.1. Definição 
 
Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras 
redondas, chatas, cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob forma geométrica 
triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, 
com a finalidade de resistir a esforços normais apenas. 
A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto 
pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, 
viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. 
Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças: 
• Método dos Nós ou Método de Cremona 
• Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior freqüência) 
 
1.2. Métodos dos Nós ou Método de Cremona 
 
A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de 
cada nó da treliça, seguindo-se os passos descritos a seguir: 
(a) determinação das reações de apoio 
(b) identificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou barra 
comprimida) 
5 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
(c) verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se sempre os cálculos pelo 
nó que tenha o menor número de incógnitas. 
 
1.3. Treliça: Exercícios 
 
1) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
2) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
3) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf, P2 vale 4 tf e P3 
vale 0,5 tf.8 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
4) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf e P2 vale 4 tt. 
 
6) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
8) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf e P2 vale 4 tf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Calcule as forças nas barras da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
2. Flexão simples 
 
No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de 
momentos fletores. Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento 
fletor Mx conhecido na seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se: 
 
Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de 
gravidade). Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana 
após a atuação deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição 
S’ após a atuação de Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte inferior da viga, observa-se 
que o seu alongamento é proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as 
tensões normais causadas por Mx nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao 
longo de y e independentes de x. Assim, o diagrama de tensões será: 
 
De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos 
diversos pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as tensões 
normais são provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo 
x deve ser o próprio Mx. Logo a tensão normal será dada por: 
 
� � 
�
�
 . � 
 
Sendo: � → 	
��ã� 
� → ������� 
� → ����â���� �� ���ℎ� ������ ��é � ����� ���� �������� �� ���çã� �� ��������ã� 
 
11 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
2.1. Projeto de vigas 
 
O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos: 
a) Calcular o momento fletor máximo; 
b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento; 
c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do 
material; 
d) Calcular as dimensões da seção transversal. 
 
2.2. Flexão: exercícios 
 
1) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 
N/cm², verifique a sua resistência à flexão. 
 
 
 
 
 
 
2) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão 
admissível é de 150 MPa e Ix = 5140 cm
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
3. Deslocamentos elásticos (flecha) 
 
É o maior deslocamento vertical do plano da laje. Este valor deverá respeitar os limites 
prescritos pela norma NBR 6118; 
 
3.1. Contra-flecha 
 
"Procedimento construtivo que consiste na introdução de deslocamentos verticais 
ascendentes em vigotas, geralmente a meio vão, através de escoramento, de forma a prevenir a 
formação de flechas elevadas, com deformação da laje após o término da construção. Valor da 
translação vertical, de sentido oposto ao da flecha, na secção de meio vão de uma viga." 
"É o deslocamento vertical intencional aplicado nas vigotas pré-fabricadas durante a 
montagem das mesmas, por meio do escoramento, contrário ao sentido da flecha." 
 
3.2. Módulo de Elasticidade dos Materiais 
 
É uma grandeza proporcional à rigidez de um material quando este é submetido a uma 
tensão externa de tração ou compressão. Basicamente, é a razão entre a tensão aplicada e a 
deformação sofrida pelo corpo, quando o comportamento é linear, como mostra a equação E=δ/ε, 
em que: 
E= Módulo de elasticidade ou módulo de Young (Pascal) 
δ= Tensão aplicada (Pascal) 
ε= Deformação elástica longitudinal do corpo de prova (adimensional). 
Imaginando-se uma borracha e um metal, e aplicando-se a mesma tensão em ambos, 
verificaremos uma deformação elástica muito maior por parte da borracha comparada ao metal. 
Isto mostra que o módulo de Young do metal é mais alto que o da borracha e, portanto, é 
necessário aplicar uma tensão maior para que ele sofra a mesma deformação verificada na 
borracha, veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
Tabela com os módulos de elasticidade dos materiais. 
Material GPa 
Madeira 13.0 
Aço 207 
Concreto 21 
Aluminio 69 
Diamante 1000 
Cobre 124 
Vidro 65 
 
3.3. Deslocamento de acordo o carregamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
4. Método de Cross 
• Baseado no método dos deslocamentos 
• Equação de equilíbrio de forças em torno dos nós 
 
O Processo de Cross ou da Distribuição de Momentos consiste em obter os esforços nas 
barras por equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó (o aplicado mais os de 
engastamento perfeito das barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras. 
Este processo foi proposto por Hardy Cross, em 1932, no artigo intitulado Analysis of 
Continuous Frames by Distribuing Fixed End Moment, publicado no Proceedings of Americal 
Society of Civil Engineers (Transactions). Concebidos principalmente para o cálculo de sistemas 
de nós fixos cujos nós estão submetidos unicamente a rotações, o método foi generalizado para 
os sistemas de nós deslocáveis, ou seja, que podem sofrem translações. 
 
4.1. Princípios do Processo 
 
O processo desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução 
por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da 
estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação. Depois da aplicação das 
cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado 
é bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos 
nós não provoque mais rotações. Isto significa que o estado de equilíbrio foi atingido. 
Segundo Cross, a ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas 
resume-se em simples operações aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de 
Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três problemas: a determinação dos 
momentos de engastamento perfeito, da rigidez de cada viga e do fator de distribuição de carga 
de cada membro da estrutura em consideração. 
Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado 
que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito 
nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição. 
Para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito 
desequilibrados entre os membros conectados na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o 
momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de carga. 
Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos 
transportados sejam tão pequenos que possam sernegligenciados. Somam-se todos os momentos 
15 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. Para uma 
estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de um nó, a solução é aproximada 
(Processo Iterativo). 
 
4.1.1. Momentos de Engastamento Perfeito 
Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados em 
tabelas. O anexo B apresenta a expressão de alguns momentos de engastamento em função do 
carregamento e do tipo de vinculação das barras. 
 
4.2. Rigidez das Barras e Coeficientes de Transmissão 
 
A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento aplicado nesse nó capaz de 
provocar um giro unitário neste nó. 
 
4.2.1. Barra bi-engastada 
 
A rigidez da barra bi-engastada (Figura 1b) é dado por � !"#
$
, o qual equivale ao 
momento que surge no nó A devido ao giro unitário desse mesmo nó. 
O giro unitário do nó A produz o aparecimento de um momento no nó B de mesmo 
sentido da rotação em A (Figura 1b). Desta forma, o coeficiente de transmissão de um momento 
de um nó para outro nó engastado, supondo a barra com inércia constante, é definido como 
sendo a relação sendo MB e MA os momentos nas extremidades B e A da barra, 
devido ao giro unitário na extremidade A. 
 
(a) Viga (b) Momentos devidos ao giro unitário em A 
Figura 1: Viga bi-engastada 
4.2.2. Barra engastada-rotulada 
 
(a) Viga (b) Momento devido ao giro unitário em A 
Figura 2: Viga engastada-rotulada 
16 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
4.3. Convenção de Sinais 
 
Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado 
positivo o momento que atua no nó no sentido horário (mantendo a convenção de esforço 
positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário). 
 
(a) No nó e na barra (b) Momentos de engastamento perfeito 
Figura 3: Convenção de momentos positivos 
 
4.4. Coeficientes de Distribuição 
 
Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na Figura 4. O único grau de liberdade da 
estrutura é a rotação (ϕ) do nó A. 
 
Figura 4: Pórtico plano indeslocável 
 
Devido à atuação do binário M (Figura 5a), as barras irão se deformar e os esforços 
internos nas extremidades das mesmas serão proporcional à rigidez das mesmas e à rotação 
sofrida pelo nó A (Figura 5b). 
 
Figura 5: Pórtico sujeito a um binário M 
No nó, estes momentos atuam com o sentido inverso pois representam os esforços das 
barras sobre o nó (Figura 6). Para que haja equilíbrio deve-se ter ∑MA=0. 
k1 φ + k2 φ + k3 φ −M = 0 ou (k1 + k2 + k3 )⋅ φ = M ou ∑ ki φ = M 
 
Figura 6: Momentos atuando no nó A da Figura 4-5b. 
17 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
Como M e ki são conhecidos, logo obtém-se o valor da rotação φ em A. 
 
Os momentos nas extremidades dos elementos são determinados por: 
 
Donde podemos concluir que um binário aplicado no nó irá se distribuir pelas barras que 
concorrem neste nó proporcionalmente à rigidez de cada uma das barras deste nó. 
Chama-se de coeficiente de distribuição (βi), da barra i, a relação 
 
Já foram introduzidos todos os conceitos necessários à utilização do processo de Cross. 
No caso de existirem cargas atuando ao longo das barras, os esforços de engastamento perfeito 
devem ser levados em conta no equilíbrio dos nós. 
 
4.5. Método de Cross: Exercícios 
 
Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. 
Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços 
solicitantes. 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Os 
trechos têm inércias, EI, distintas. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. 
Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços 
solicitantes. 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
4.6. Método de Cross: Exemplo 
 
Figura 8.6 – Viga contínua com duas deslocabilidades. 
 
Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 8.12. 
Os cálculos destes coeficientes para o primeiro nó são: 
&'( �
)"#
*
)"#
*
+
!"#
,
� 0,36 � &'( �
!"#
,
)"#
*
+
!"#
,
� 0,64 
Para o segundo nó, tem-se: 
&2' � &23 �
!"#
,
!"#
,
+
!"#
,
� 0,50 
 
Figura 8.12 – Processo de Cross para a viga contínua da Figura 8.6 (momentos em kNm). 
 
O processo mostrado na Figura 8.12 inicia no Estágio 0, que corresponde a uma situação 
de engastamento perfeito. Observa-se que existe desequilíbrio de: 
–64,0 + 114,0 = +50,0 kNm 
No primeiro nó. O segundo nó tem um desequilíbrio de: 
–114,0 + 84,0 = –30,0 kNm. 
No Estágio 1, o primeiro nó é equilibrado. No caso geral de uma estrutura com várias 
deslocabilidades, não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós: qualquer nó 
27 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado. Entretanto, o processo converge mais 
rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele 
instante for o nó a serequilibrado. . O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas 
equilibrantes: 
– (+50,0) ⋅0,36 = –18,0 kNm; 
– (+50,0) ⋅0,64 = –32,0 kNm. 
Conforme está mostrado na Figura 8.12, após o equilíbrio do nó as parcelas equilibrantes 
são sublinhadas para indicar que os momentos fletores acima naquele nó estão em equilíbrio 
(somados dão um valor nulo). O equilíbrio desse nó não transmite momento fletor para a 
esquerda pois a extremidade oposta da barra à esquerda é articulada. A parcela transmitida para a 
direita é igual à metade da parcela equilibrante (t = 1/2): 
–32,0 ⋅1/2 = –16,0 kNm. 
Esta parcela transmitida vai se somar ao momento fletor na seção à esquerda do segundo 
nó. Como este nó ainda não foi equilibrado, o seu desequilíbrio total agora é: 
–114,0 + 84,0 – 16,0 = –46,0 kNm. 
No Estágio 2, o equilíbrio do segundo nó resulta em parcelas equilibrantes iguais (as 
parcelas aparecem sublinhadas na Figura 8.12): 
–(–46,0) ⋅0,50 = +23,0 kNm. 
As parcelas transmitidas nesse equilíbrio são iguais também: 
+23,0 ⋅1/2 = +11,5 kNm. 
A parcela transmitida para a direita vai para a seção do engaste. A única consequência é 
que esta parcela se soma ao momento fletor inicial na seção do engaste (que absorve qualquer 
valor de momento fletor). A parcela transmitida para a esquerda, por sua vez, desequilibra o 
primeiro nó já equilibrado. Não tem problema: é só começar um novo ciclo de equilíbrio nodal, 
iterando até convergir. O desequilíbrio de +11,5 kNm no primeiro nó é equilibrado no Estágio 3. 
As parcelas equilibrantes são: 
– (+11,5) ⋅0,36 = –4,1 kNm; 
– (+11,5) ⋅0,64 = –7,4 kNm. 
Estes valores foram aproximados de tal maneira que, utilizando uma casa decimal, 
resultasse em uma soma exatamente igual a –11,5 kNm, dessa forma forçando o equilíbrio de 
momentos fletores dentro da precisão desejada. 
Observa-se que um procedimento semelhante é feito no Estágio 4, que equilibra a parcela 
transmitida de –3,7 kNm. Os valores das parcelas equilibrantes de +1,9 kNm e +1,8 kNm foram 
obtidos de maneira a somar exatamente +3,7 kNm, mesmo que em princípio eles devessem ser 
28 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
iguais (os dois coeficientes de distribuição de momento no nó são iguais a 0,50). Com esse 
procedimento, os momentos fletores finais do processo vão satisfazer o equilíbrio com o número 
de casas decimais especificados para precisão. 
No Estágio 4 as parcelas transmitidas para a esquerda e para a direita são iguais (+0,9 
kNm). Como se está utilizando apenas uma casa decimal para representar os valores de 
momentos, o arredondamento da metade de +1,9 kNm poderia ter sido para cima ou para baixo. 
Optou-se por arredondar para baixo pois isso vai fazer o processo iterativo convergir mais 
rapidamente. Observe que as diferenças de valores são muito pequenas (da ordem da precisão 
especificada). 
No último estágio (Estágio 6) ocorre o mesmo que no Estágio 4. As parcelas 
equilibrantes de +0,1 kNm e +0,2 kNm não são iguais, mas equilibram o momento 
desequilibrante de –0,3 kNm com uma casa decimal. Neste estágio, a parcela transmitida para a 
esquerda (metade de +0,1 kNm) foi arredondada para um valor nulo. Dessa forma o primeiro nó 
permaneceu em equilíbrio e o processo termina. Deve-se observar que as parcelas transmitidas 
sempre decrescem em módulo, o que garante a convergência do processo iterativo. Isso se deve a 
dois motivos. Primeiro, as parcelas equilibrantes decrescem em módulo em relação ao momento 
desequilibrante em cada nó pois os coeficientes de distribuição de momento são no máximo 
iguais a uma unidade (em geral, menores do que uma unidade). Segundo, porque os coeficientes 
de transmissão de momento também são menores do que uma unidade. 
Os valores dos momentos finais nas extremidades de todas as barras, mostrados no final 
da tabela da Figura 8.12, são determinados com base no acúmulo (soma com sinal) dos 
momentos fletores de todos os estágios do processo. O diagrama de momentos fletores na viga 
contínua é mostrado na Figura 8.13 desenhado do lado da fibra tracionada. 
 
Figura 8.13 – Diagrama de momentos fletores da viga contínua da Figura 8.6. 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
5. Método dos Deslocamentos 
 
Neste método determinam-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, a partir 
destes, os esforços; as incógnitas são os deslocamentos. 
O método pode ser usado para analisar qualquer estrutura, isostática ou hiperestática. A 
única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a viga bi-engastada. 
No caso de estruturas reticuladas, que são formadas por barras ligadas por pontos nodais 
denominados “nós”, o número de incógnitas será o número de deslocamentos nodais ou o 
número total de “graus de liberdade” (GL) de todos os nós da estrutura. 
Define-se grau de liberdade de um nó a direção possível deste se deslocar. No caso de 
estruturas planas, no plano XY (Figura 1a), existem três direções possíveis de deslocamento para 
cada nó: translação paralela ao eixo X; translação paralela ao eixo Y e rotação em torno do eixo 
Z (Figura 1b). 
Em uma extremidade livre, assim como numa extremidade ligada a um vínculo, também 
existe um nó. 
 
(a) Sistema de referência (b) Direções possíveis de deslocamento 
Figura 1: Sistema de referência e direções possíveis de deslocamento 
No caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá 
apenas 2GL: translação paralela ao eixo Y (1) e rotação em torno do eixo Z (2) (Figura 2). 
 
Figura 2: Graus de liberdade de uma viga 
Quando existirem forças horizontais aplicadas nas vigas, estas serão modeladas como 
pórtico plano. 
O método consiste em inicialmente fixar a estrutura, introduzindo-se vínculos fictícios, 
tornando a estrutura cinematicamente determinada, com grau de hiperestaticidade maior do que a 
estrutura real, porém, mais fácil de se resolver. Consideram-se as cargas aplicadas nas barras e 
calculam-se os esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa (sistema principal). 
Impõem-se em seguida os deslocamentos nos nós e calculam-se os esforços decorrentes 
destes na estrutura. Por superposição de efeitos calculam-se os esforços totais que devem estar 
30 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós. Chega-se a um sistema de equações de 
equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura. 
Para estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de 
todos os nós. É por isto que este método é mais conveniente para utilização em programas 
computacionais de que o Método das Forças. 
 
Exemplo - Viga engastada-apoiada 
 
Seja a viga engastada-apoiada de rigidez à flexão EI mostrada na Figura 4a. Esta viga 
apresenta apenas um grau de liberdade, a rotação em B (θB) (Figura 4b). As vigas de maneira 
geral apresentam 2 graus de liberdade por nó. 
 
(a) Viga engastada-apoiada (b) Deformada da viga engastada-apoiada 
Figura 4: Viga engastada-apoiada e sua deformada 
 
Primeiramente fixa-se a estrutura e calculam-se os esforços de engastamento perfeito. 
Calcula-se, para a estrutura fixa, o esforço (momento) que surge na barra na direção do GL 
devido ao carregamento externo (Figura 5). 
 
Figura 5: Esforços devidos ao carregamento externo 
Em seguida, impõe-se o deslocamento θB no nó e calculam-se os esforços 
correspondentes. Como na verdade a estrutura não é fixa, o nó B sofre um deslocamento θB. 
Impõe-se este deslocamento no nó e calcula-se o esforço correspondente na barra, na direção do 
GL (Figura 6). Este esforço será proporcional ao deslocamentoimposto (θB), proporcionalidade 
está dada pelo coeficiente de rigidez da barra (4EI /l). 
 
Figura 6: Esforço devido ao deslocamento θB imposto 
31 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
-1 
= . 
 
Finalmente efetua-se o equilíbrio de forças em torno do nó B. Por superposição de efeitos 
calcula-se o esforço total na extremidade da barra e iguala-se à força (momento) aplicada no nó 
 
Resolvendo-se esta equação, cuja incógnita é θB, obtém-se: 
 
De uma maneira geral, pode-se escrever a equação de equilíbrio de forças: 
 
Sendo FEP o esforço de engastamento perfeito; S o coeficiente de rigidez; d o 
deslocamento e A a ação (força ou binário) aplicada no nó. 
Para sistematizar o Método dos Deslocamentos, ao invés de se impor os deslocamentos 
reais, impõem-se deslocamentos unitários na direção dos GL. Para d1 = 1 tem-se 
(Figura 7). Logo, para d1 = θB tem-se ou MB =S11.θB = S11.d1, onde S11 
representa o esforço na barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1. 
 
Figura 7: Esforço na barra causado por um deslocamento unitário 
De uma maneira geral, tem-se para um grau de liberdade a seguinte equação de equilíbrio 
de forças na direção 1: 
 
Para muitos graus de liberdade encontra-se um sistema de equações de equilíbrio de 
forças: 
Onde {FEP} é o vetor de esforços de engastamento perfeito; [S] é a matriz de rigidez da 
estrutura; {D} é o vetor de deslocamentos nodais e {A} é o vetor de ações nodais. Cada 
coeficiente Sij da matriz de rigidez (onde: i = efeito, j = causa), representa o esforço na barra na 
direção ou GL i, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de liberdade j. 
 
Δ1 β11 β12 β10 
Δ2 β21 β22 β20 
 
32 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
5.1. Tabelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
5.2. Método dos deslocamentos: Exercícios 
 
1. Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas 
abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de 
esforços solicitantes. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Utilize o Método dos deslocamentos e o método de Cross para encontrar as reações de 
apoio das vigas abaixo. Os trechos têm inércias, EI, distintas. Trace, também, os 
diagramas de esforços solicitantes. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
3. Utilize o Método dos deslocamentos e o método de Cross para encontrar as 
reações de apoio das vigas abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, 
também, os diagramas de esforços solicitantes. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
6. Método das Forças 
 
A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática 
é somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não 
satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para a superposição 
restabelecer as condições de compatibilidade. 
Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoladamente todas as 
condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam reestabelecidas quando se 
superpõem todos os casos básicos. 
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura 
isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. Essa estrutura 
isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos 
liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos. 
 
6a) O Método das Forças propriamente 
Seja a estrutura abaixo, 3 (três) vezes hiperestática que desejamos resolver: 
 
6a2) Forma Principal 
 
6a3) Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos 
 
 
 
 
6a4) Equações de Compatibilidade 
 
O giro em A deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) 
 
O giro em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) 
 
O deslocamento horizontal em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de 
terceira espécie (engaste) 
41 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
 
Assim possuímos um sistema de 3 (três) equações e com 3(três) incógnitas, que pode ser 
resolvido por qualquer processo. 
Os deslocamentos são os deslocamentos em uma estrutura isostática onde: 
 
Reescrevendo o sistema de equações de forma matricial teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a5) Cálculo das solicitações finais que podem ser obtidas pelo Princípio da Superposição 
de Efeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz de Flexibilidade 
Vetor de incógnitas 
Vetor de Termos Independentes 
42 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
Anexo A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br 
 
Anexo B