Conjuntos: Noção, Relações e Operações

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Prof. Cesar Tegani Tofanini Notas de Aula – Rev.20090401 
 
 
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Conjuntos 
Noção intuitiva. Reunião de elementos que possuem algo em comum. 
Normalmente um conjunto é representado por letras maiúsculas A, B, C, ... e os 
elementos de um conjunto por letras minúsculas a, b, c, ... 
Exemplos A = {a, b, c} A 
 
 
Relação de Pertinência 
Para indicar se um dado elemento a, pertence a um conjunto A, usamos o símbolo 
Є (pertence). Para indicar se um dado elemento a, não pertence a um conjunto A, 
usamos o símbolo  (não pertence). 
Exemplo A = {a, e, i, o, u} 
i Є A i pertence a A 
x  A x não pertence a A 
 
 
Relação de Inclusão 
Dizemos que o conjunto B é um subconjunto do conjunto A, quando todos os 
elementos de B pertencem também a A. Usamos os símbolos  (está contido) e  
(contém) pra representar esta relação. 
Exemplo A = {a, e, i, o, u} B = {a, e} 
B  A B está contido em A 
A  B A contém B 
 
 
Tipos de Conjunto 
Conjunto vazio. Não possui elementos, denotado por {} ou por Ø. 
Conjunto Universo. Todos os elementos em observação, denotado por U. 
 
a c 
 b 
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Operações com conjuntos 
Para os exemplos a seguir, considerar os seguintes conjuntos: 
X = {1, 2, 3, 4} Y = {3, 4, 5} Z = {5, 6} 
 
União 
Denotaremos por A+B ou AB o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A ou conjunto B ou a ambos. 
Exemplos XY = {1, 2, 3, 4, 5} I 
XZ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} II 
YZ = {3, 4, 5, 6} III 
 
I II III 
U
X Y
5
1
2
3
4
 
U
X
5
1
2
3
4
6
Z
 
U
Y
5
3
4
6
Z
 
 
Intersecção 
Denotaremos por A.B ou AB o conjunto formado por todos os elementos comuns 
ao conjunto A e ao conjunto B. 
Exemplos XY = {3, 4} I 
XZ = {} II 
YZ = {5} III 
 
I II III 
U
X Y
5
1
2
3
4
 
U
X
5
1
2
3
4
6
Z
 
U
Y
5
3
4
6
Z
 
 
 
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Diferença 
Denotaremos por A-B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas 
não pertencem a B. 
Exemplos 
X-Y = {1, 2} I 
Y-X = {5} II 
X-Z = {1, 2, 3, 4} III 
 
I II III 
U
X Y
5
1
2
3
4
 
U
XY
5
1
2
3
4
 
U
X
5
1
2
3
4
6
Z
 
 
Complementação 
Denotaremos por A’ ou Ac o conjunto formado por todos os elementos que não 
pertencem ao conjunto A. 
Exemplos 
X’ = U-X I 
X.Y’ = X- Y II 
 
I II 
U
X
1
2
3
4
 
U
X Y
5
1
2
3
4
 
 
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Igualdades 
Assim, considerando o conjunto universo U como 1 e o conjunto vazio Ø como 0, 
para quaisquer dois conjuntos A e B, valem as igualdades: 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 1 
A + A’ = 1 
A + B = B + A 
A + 0 = A 
A + 1 = 1 
0 . 0 = 0 
0 . 1 = 0 
1 . 0 = 0 
1 . 1 = 1 
A . A’ = 0 
A . B = B . A 
A . 0 = 0 
A . 1 = A 
 
 
Precedência das operações 
 
Operação Símbolo Ordem 
Negação ’ 1 
Intersecção . 2 
União + 3 
Diferença - 3 
 
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Exemplos 
 
Indique as operações realizadas no diagrama abaixo: 
 
 
 
Solução: A.B.C 
 
 
 
 
Desenhar o diagrama para a expressão abaixo: 
 
B . C + A . B’. C’ 
 
Solução: 
 
 
 
 
Bibliografia 
FEITOSA, H. A., PAULOVICH, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Unesp, 2005. 
DAGGLIAN, J. Lógica e álgebra de boole. 4.ed. São Paulo: Atlas, 1995.