Lista 1 Integrais Dupla/Resolução - UFLA

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Universidade Federal de Lavras
Lista 01 de exercício - Cálculo III
Professora: Graziane Sales Teodoro BOM TRABALHO!
Integrais duplas
Questão 1. Calcule as integrais iteradas.
a)
∫ 1
0
∫ 2
0
(x+ 3) dy dx
b)
∫ ln 3
0
∫ ln 2
0
ex+y dy dx
c)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dy dx
d)
∫ 1
0
∫ 1
0
x
(xy + 1)2
dy dx.
Questão 2. Calcule a integral dupla.
a)
∫∫
R
xy2
x2 + 1
dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1,−3 ≤ y ≤ 3}
b)
∫∫
R
ye−xy dA, R = [0, 2]× [0, 3].
Questão 3. Use integral dupla para calcular o volume sob o plano z = 2x + y e acima do retângulo
R = {(x, y)|3 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2}.
Questão 4. Calcule a integral escolhendo uma ordem de integração conveniente:∫∫
R
x cos(xy) cos2(pix) dA,
sendo R = [0, 1
2
]× [0, pi]
Questão 5. Suponha que f(x, y) = g(x)h(y) e R = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Mostre que∫∫
R
f(x, y) dA =
[∫ b
a
f(x)dx
] [∫ d
c
g(y)dy
]
.
Integrais duplas em regiões não-retangulares
Questão 6. Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas. Primeiro tratando
R como uma região do tipo I e depois tratando R como uma região do tipo II.
a)
∫∫
R
x2 dA, R é a região delimitada por y = 16
x
, y = x e x = 8.
b)
∫∫
R
3x− 2y dA, R é a região compreendida pelo círculo x2 + y2 = 1.
Questão 7. Calcule as integrais duplas.
a)
∫∫
R
1− x dA, R é a região do primeiro quadrante compreendida por y = x e y = x3.
b)
∫∫
R
y2 dA, R é a região triangular com vértices em (0, 1), (1, 2) e (4, 1).
1
Questão 8. Use integral dupla para calcular a área da região plana compreendidas pelas curvas y2 =
9− x, y2 = 9− 9x.
Questão 9. Use integral dupla para calcular o volume do sólido:
a) limitado acima pelo parabolóide z = 9x2 + y2, abaixo pelo plano z = 0 e lateralmente pelos planos
x = 0, y = 0, x = 3 e y = 2.
b) abaixo da superfície z = xy e acima do triangulo com vértices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2).
c) limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x+ 2y + z = 6.
Questão 10. Calcule
∫∫
R
sin(y3) dA, onde R é a região limitada por y =
√
x, y = 2 e x = 0. Atenção
na escolha da ordem de integração.
Questão 11. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada∫ 1
0
∫ 1−x
0
1− x− y dy dx.
Integrais duplas em coordenadas polares
Questão 12. Calcule a integral iterada. ∫ pi
2
0
∫ sin θ
0
r cos θ dr dθ
Questão 13. Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita.
a) A região do primeiro quadrante limitada por r = 1 e r = sin(2θ), com pi
4
≤ θ ≤ pi
2
.
b) A região dentro do círculo (x− 1)2 + y2 = 1 e fora do círculo x2 + y2 = 1.
Questão 14. Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
a)
∫∫
R
e−(x
2+y2) dA, onde R é a região contida no círculo x2 + y2 = 1.
b)
∫∫
R
1
1 + x2 + y2
dA, onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por y = 0, y = x e x2+ y2 = 4.
c)
∫∫
R
sin(x2+ y2) dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem
e raios 1 e 3.
Questão 15. Encontre o volume do sólido utilizando uma integral dupla em coordenadas polares.
2
Questão 16. Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume de um cilindro de
raio a e altura h.
Questão 17. Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido acima do plano xy, no inte-
rior do cilindro x2 + y2 − ay = 0 e contido no elipsóide x
2
a2
+
y2
a2
+
z2
c2
= 1, com 0 < c < a. Use:∫
sinn u du = − 1
n
sinn−1 u cosu+
n− 1
n
∫
sinn−2 u du
Questão 18. Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
a)
∫ 2
0
∫ √2x−x2
0
√
x2 + y2 dy dx
b)
∫ √2
0
∫ √4−y2
y
1√
1 + x2 + y2
dx dy
c)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
sin(x2 + y2) dy dx
Questão 19. Mostre que a área sombreada da figura abaixo é a2φ = 1
2
a2 sin 2φ.
Questão 20. Esboce a região cuja área é dada pela integral
∫ 3pi
4
pi
4
∫ 2
1
r dr dθ e calcule-a.
Questão 21. Calcule
∫∫
R
x2dA na região R mostrada na figura abaixo.
3