GCET061_Lista1

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Lista de Exercícios - GCET061
Anderson Reis da Cruz
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - UFRB
Parte I
Vetores, soma de vetores, multiplicação por escalar.
Exercício 1. Dados os vetores ~u, ~v e ~w como na figura abaixo, desenhe representantes para os vetores:
1. 13 · ~u+ 2 · ~w −
1
2
~v;
2. −~u+ 35 · ~a+ ~w;
3. ~a+ ~w;
4.
3
4
~v +
1
3
· ~u+ 1
3
~w.
Exercício 2. Nas figuras abaixo, os hexágonos são regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores indicados.
1
2
Respostas:
Exercício 3. Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar resolva as equações nas
incógnitas ~x, ~y e ~z, isto é, escreva os vetores ~x, ~y e ~z em função de ~u,~v e ~w abaixo:
3
1.
{
3~x+ ~y = 2~u
~x− ~y = ~u+ ~v
2.

~x+ ~y + ~z = ~u
~x− ~z = ~v
3~x− 2~y = ~w
Exercício 4. Dado um vetor não nulo ~v, obtenha ~u de norma 6 tal que ~v e ~u sejam paralelos e de mesmo sentido.
Exercício 5. Encontre um vetor unitário que tenha a mesma direção e sentido que ~v =
(
1,
√
3, pi
)
.
Exercício 6. Sabendo que ~u+ 3~x = 2~v + ~w e que ~u = (1, 1, 1) e ~v = (−1, 0,−2) e ~w = (3, 7, 9), determine ~x.
Exercício 7. Determine os valores de a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2,−1) e ~v = (a+ 6, 10, b+ 10) sejam
paralelos.
Exercício 8. Determine o valor de a para que o vetor ~v = (a, 3a, 2a) seja um vetor unitário.
Exercício 9. Sejam ~u = (1, 2, 3) e ~v = (3, 5, 7) . Determine os vetores unitários que têm a mesma direção de ~u+~v.
Exercício 10. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5) e D = (2, 1, 3) são vértices de um
paralelogramo.
Exercício 11. Sejam ~u = (1, 0) e ~v = (0, 1) encontre um vetor de módulo 15 que tem o mesmo sentido de ~u− ~v.
Parte II
Produto interno, produto vetorial e produto misto
Exercício 12. Diga se é verdadeira ou falsa as seguintes afirmações. Justifique a sua resposta.
1. Se ~u · ~v = ~u · ~w então ~v = ~w.
2. Se ~u e ~w são vetores ortogonais então ~v = proj~u~v + proj~w~v.
3. (~u× ~v)× ~w = ~u× (~v × ~w), para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w.
4. É verdade que se ~u× ~v = ~u× ~w então ~v = ~w.
5. ~u× ~w = − (~w × ~u).
Exercício 13. Calcule proj~u~v nos seguintes casos:
1. ~v = (2, 3, 5), ~u = (1, 0, 1);
2. ~v =
(√
2, pi, e
)
e ~u =
(
10
√
2, 10pi, 10e
)
;
3. ~v = (1, 0, 0) e ~u = (0, 0, 1);
4. ~v = (1, 1, 1) e ~u = (2, 3, 3);
5. ~v = (1, 2, 3) e ~u =
(
1
3 ,
1
5 ,
1
7
)
.
Exercício 14. Mostre que ~u · ~v = 12
(
‖~u+ ~v‖2 − ‖~u‖2 − ‖~v‖2
)
.
Exercício 15. Determine o ângulo entre os vetores ~u e ~v nos seguintes casos:
1. ~u = (1, 0, 0) e ~v = (0, 1, 0);
2. ~u = (3, 5, 9) e ~v = (2, 1, 1);
3. ~u =
(
1
2 ,
1
3 ,
1
4
)
e ~v = (2, 3, 4);
4. ~u =
(
pi, 0, pi2
)
e ~v =(1, 1, 1);
5. ~u = (2000000, 1000000, 7000000) e ~v = (1000000, 4000000, 9000000).
Exercício 16. Determine ~u tal que ~u é ortogonal a ~v = (2, 3,−1) e a ~w = (2,−4, 6) e ‖~u‖ = 3√3.
4
Exercício 17. Sejam A, B e C vértices de um triângulo equilátero de lado unitário. Calcule:
~AB · ~BC + ~BC · ~CA+ ~CA · ~AB.
Exercício 18. Se ~u+ ~v + ~w = ~0, ‖~u‖ = 32 , ‖~v‖ = 12 e ‖~w‖ = 2 então calcule
~u · ~v + ~v · ~w + ~w · ~u.
Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2
e que a medida do ângulo ABˆC = 2pi3 rad, calcule:
1. ~AB · ~CD
2. ~AB · ~AD
3. ~BA · ~BC
4. ~DA · ~BC
5. ~AB · ~BC + ~AB · ~DC
Exercício 20. Sabendo que ] (~u,~v) = pi
4
rad, ‖~u‖ = √5 e ‖~v‖ = 1, calcule ] (~u+ ~v, ~u− ~v).
Exercício 21. Determine o vetor ~u tal que ‖~u‖ = 2√2 e o ângulo entre ~u e ~v = (1,−1, 0) é pi
3
rad e ~u é ortogonal
a ~w = (1, 1, 0).
Exercício 22. Sabendo que ‖~u‖ = 1, ‖~v‖ = 7 e ] (~u,~v) = pi
6
rad, calcule ‖~u× ~v‖ e ‖ (4 · ~u)× (9 · ~u) ‖.
Exercício 23. Calcule a área do triângulo ABC, sendo
−−→
AB = (−1, 1, 0) e −→AC = (0, 1, 3).
Exercício 24. Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo
−−→
AB = (1, 1,−1) e −−→AD = (2, 1, 4).
Exercício 25. Calcule ~u× ~v e ~v × ~u nos seguintes casos:
1. ~u = (6,−2, 4) e ~v = (−1,−2, 1).
2. ~u = (7, 0, 5) e ~v = (1, 2,−1).
3. ~u = (300, 800, 700) e ~v = (600, 1600, 1400).
Exercício 26. Determine ~x de modo que:
1.
{
~x×~j = ~k
~x · (4,−2, 1) = 10
2.
{
~x× (2,−1, 3) = ~0
~x · (1, 2,−2) = 12
Exercício 27. Determine um vetor que seja simultaneamente ortogonal a ~u + 2~v e a ~v − ~u, onde ~u = (−3, 2, 0) e
~v = (0,−1,−2).
Exercício 28. Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A = (2,−4, 0) e B = (1,−3, 1) e o ponto médio
das diagonais é M = (3, 2,−2). Calcule a área deste paralelogramo.
Exercício 29. Sabendo que ‖~u‖ = 3√2 e ‖~v‖ = 2√3 e ^ (~u,~v) = pi6 , calcule:
1. a área do triângulo determinado por ~u e ~v.
2. a área do paralelogramo determinado por ~u e ~v.
3. a área do paralelogramo determinado por ~u+ ~v e ~u− ~v.
Exercício 30. Determine z de modo que os pontos A = (2, 0, 0), B = (0, 0, 2) e C = (0, 0, z) formam um triângulo
de área 6.
Exercício 31. Determine ~x de modo que ~x é ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), ‖~x‖ = √3 e cos (^ (~x, (0, 1, 0))) > 0.
Exercício 32. Mostre que se ~u+ ~v + ~w = 0 então ~u× ~v = ~v × ~w = ~w × ~u.
5
Exercício 33. Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é dada por
h =
∣∣∣[ ~AB, ~AC, ~AD]∣∣∣∥∥∥ ~AB × ~AC∥∥∥ .
Exercício 34. Dados A = (2, 1, 1), B = (−1, 0, 1) e C = (3, 2,−2), determine o ponto D no eixo oz de modo que
o paralelepípedo determinado por ~AB, ~AC e ~AD seja 25.
Exercício 35. Sabe-se que os vetores ~AB = (2, 1,−4), ~AC = (m,−1, 3) e ~AD = (−3, 1,−2) determinam um
tetraedro de volume 6. Calcule o valor de m.
Parte III
Problemas suplementares
Exercício 36. Considere um triângulo ABC. Seja P o ponto médio de AB, Q o ponto médio de BC e R o ponto
médio de CA. Mostre que APQR é um paralelogramo.
Exercício 37. Prove que as diagonais de um paralelogramo tem os mesmos pontos médios.
Exercício 38. Sejam ABCD um quadrilátero e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento que
une os pontos médios das diagonais AC e BD. Mostre que
P = O +
1
4
(
~OA+ ~OB + ~OC + ~OD
)
.
Exercício 39. Você dispõe de uma folha de papel circular, de centro O. Diga se é verdadeira a seguinte assertiva:
existem pontos A e B na borda da folha tais que não é possível desenhar representantes de ~OA+ ~OB e ~OA− ~OB
nesta folha.
Exercício 40. Dados ~u, ~v, ~w e ~z tais que ~w = ~u+ ~v e ~u é paralelo a ~z, prove que ~w é paralelo a ~z se, e somente se
~v é paralelo a ~z.
Exercício 41. Seja G o baricentro de um triangulo ABC, ou seja, o ponto de interseção das medianas de ABC.
Prove que ~GA+ ~GB + ~GC = ~0.
Exercício 42. Sejam ~u = (1, 0, 1), ~v = (1, 0, 0) e ~w = (0, 1, 0). Mostre que para todo vetor ~x existem números reais
a, b e c tais que ~x = a~u+ b~v + c~w.
Exercício 43. Prove que as diagonais de um paralelogramo tem comprimentos iguais, se, e somente se o paralelo-
gramo é um retângulo.
Exercício 44. Prove que as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares se, e somente se, o paralelogramo
é um losango.
Exercício 45. Prove que as diagonais de um losango estão contidaas nas bissetrizes dos ângulos internos.
6
Respostas
Exercício 1
Exercício 2
7
8
Exercício 3
1. ~x =
3
4
· ~u+ 1
4
· ~v e ~y = −1
4
· ~u− 3
4
· ~v
2. ~x =
2
7
· ~u+ 2
7
· ~v + 1
7
· ~w, ~y = 3
7
· ~u+ 3
7
· ~v − 2
7
· ~w e ~z = 2
7
· ~u− 5
7
· ~v + 1
7
· ~w
Exercício 4 ~u = 6 · ~v0.
Exercício 5
1√
4 + pi2
· ~v ou −1√
4 + pi2
· ~v
Exercício 6 ~x =
(
0, 2,
4
3
)
Exercício 7 a = 9 e b = −15
Exercício 8 a = ± 1√
14
.
Exercício 9
1√
165
· (4, 7, 10) e −1√
165
· (4, 7, 10)
Exercício 11
15√
2
(1,−1)
Exercício 12
1. (Falso)
2. (Verdadeiro)3. (Verdadeiro)
4. (Falso)
5. (Verdadeiro)
Exercício 13
1.
(
7
2
, 0,
7
2
)
2.
(√
2, pi, e
)
9
3. (0, 0, 0).
4.
(
8
11
,
12
11
,
12
11
)
5.
(
70
31
,
42
31
,
30
31
)
Exercício 15
1. ] (~u,~v) = arccos(0) = pi/2rad
2. ] (~u,~v) = arccos
(
20√
690
)
3. ] (~u,~v) = arccos
(
36√
1769
)
4. ] (~u,~v) = arccos
(√
3
5
)
5. ] (~u,~v) = arccos
(
23
7
√
12
)
Exercício 16 ~u = (−3, 3, 3) ou ~u = (3, 3,−3).
Exercício 17
3
2
Exercício 18
−26
8
Exercício 19
1. −4
2. 2
3. −2
4. −4
5. −2
Exercício 20 arccos
(
4
26
)
Exercício 21 ~u =
(
1, 1,
√
6
)
ou ~u =
(
1, 1,−√6)
Exercício 22 ‖~u× ~v‖ = 7
2
e ‖ (4 · ~u)× (9 · ~u) ‖ = 126.
Exercício 23
√
19
2
u.a.
Exercício 24
√
62u.a.
Exercício 25
1. ~u× ~v = (6,−10,−14)
2. ~u× ~v = (−10, 12, 14)
3. ~u× ~v = ~0
Exercício 26
1. ~x = (1,−3, 0)
2. ~x = (−4, 2,−6)
Exercício 27 λ · (−4,−6, 3) com λ ∈ R.
Exercício 28
√
456
Exercício 29
1. 3
√
6u.a.
2. 6
√
6u.a.
10
3. 12
√
6u.a.
Exercício 30 z = −4.
Exercício 31 ~x = (−1, 1,−1)
Exercício 34 D = (0, 0,−10) ou D = (0, 0, 15)
Exercício 35 m =
−35
2
ou m =
37
2
.
11