prova final objetiva Trigonometria e números complexos

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1. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d´água a 50 m 
de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d´água, e o ângulo formado pelas direções 
caixa-d´água - bomba e caixa-d´água - casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo 
ponto de captação diretamente até a casa, quantos metros de canos serão necessários 
aproximadamente? (Dados: sen 60º = 0,87, cos 60º = 0,5 e tg 60º = 1,73). 
 a) 87 m. 
 b) 130 m.
 c) 25 m. 
 d) 70 m. 
 
2. O dimensionamento de uma instalação elétrica em uma residência deve seguir uma série de pré-
requisitos e cálculos. Alguns conceitos básicos, como a área e o perímetro, são fundamentais 
para o dimensionamento. O perímetro é definido como o contorno da extremidade de uma figura 
geométrica plana. A área, por sua vez, o espaço plano ocupado por um certo cômodo, e este é 
medido com base em quadrados. Um certo cômodo de uma casa possui forma triangular ABC. O 
cômodo possui as seguintes características: 
O segmento AB mede 15 m 
O segmento AC mede 10 m 
O ângulo  mede 60° 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o perímetro deste cômodo: 
 
(sen 60° = 0,866; cos 60° = 0,5; tg 60° = 1,732) 
 a) 38,23 m.
 b) 13,23 m.
 c) 42,57 m.
 d) 23,23 m.
 
3. Na metrologia, goniômetro é um instrumento utilizado para traçar ou medir ângulos. Se ele medir 
62º, qual é a opção que representa a alternativa CORRETA se sua medida fosse convertida para 
radianos? 
 
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
4. As curvas das estradas devem obedecer a critérios de angulação para que, no momento em que 
um veículo comece a fazer uma curva, o motorista não necessite fazer correções do decorrer do 
percurso, mantendo assim o volante em uma posição estável. A ilustração anexa representa uma 
curva com um raio de 100 m em uma certa rodovia. Assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o menor comprimento total desta curva: (dado pi = 3,14) 
 
 a) 314 m.
 b) 471 m.
 c) 253 m.
 d) 157 m.
 
5. Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. 
Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. 
As extremidades dos ângulos de 20° e de 1430° pertencem, respectivamente: 
 a) Aos quadrantes I e II. 
 b) Aos quadrantes IV e III.
 c) Aos quadrantes I e IV. 
 d) Aos quadrantes III e I. 
 
6. Um grande mistério da matemática está relacionado a um teorema muito conhecido o Teorema 
de Pitágoras. O mistério se dá pelo fato de não se saber ao certo por quem foi desenvolvido, ou 
seja, se foi realmente Pitágoras ou um de seus discípulos. Este teorema serve para resolver vários 
problemas com triângulos retângulos envolvendo seus lados como base na resolução. Sabendo 
que os dois maiores lados de um triângulo retângulo estão definidos pela equação a seguir, 
determine o valor do outro lado deste triângulo. 
 
x² - 18x + 80 = 0 
 a) 6.
 b) 2.
 c) 4.
 d) 8.
 
7. A trigonometria tem importantes aplicações, como, por exemplo, nas engenharias e nas 
telecomunicações, sendo um dos conteúdos estudados no Ensino Médio. O Teorema de Pitágoras 
é um dos primeiros conteúdos abordados nessa área. Com base na figura a seguir, calcule qual 
deve ser a altitude do balão para que sua distância até o topo do prédio seja de 10 km. 
 
 a) A altura será de 6 km. 
 b) A altura será de 6.200 m. 
 c) A altura será de 11.200 m.
 d) A altura será de 4 km. 
 
8. Em geometria, quadrante é qualquer das quatro partes iguais em que se pode dividir uma 
circunferência com uma reta horizontal e outra vertical. Para os ângulos a seguir, determine a 
alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
395°; 1000°; 444° e 621°. 
 a) 2º, 3º, 1º e 1º quadrante.
 b) 1º, 4º, 1º e 3º quadrante.
 c) 1º, 3º, 2º e 3º quadrante.
 d) 2º, 4º, 2º e 1º quadrante.
 
9. Os GPS usam o sistema de triangulação para determinar a localização de um receptor em terra. 
No caso da situação anexa, um barco, que partiu do ponto A com destino ao ponto D, 
movimentou-se por 12 km em linha reta, chegando no ponto C. Há uma cidade conhecida por 
Bertilabia, localizada no ponto B, que possui um farol, servindo de guia e orientação para os 
navios. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a distância aproximada do navio no 
ponto C até o farol localizado na cidade de Bertilabia: 
 
(sen 30° = 0,5; sen 45° = 0,707; cos 30° = 0,866; cos 45° = 0,707) 
 
 a) 7,256 km.
 b) 5,784 km.
 c) 8,487 km.
 d) 9,189 km.
 
10. Os triângulos podem ser classificados pelo tamanho de seus lados ou pela medida de seus 
ângulos. Dado que um triângulo equilátero possui 24 cm de perímetro, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta, respectivamente, a medida da sua altura e de sua área: 
 
 a) I e IV. 
 b) II e III. 
 c) I e III. 
 d) II e IV.
 
 
 
Prova 2 
 
1. As funções trigonométricas, por apresentarem características de periodicidade e por serem 
cíclicas, muitas vezes podem apresentar o mesmo valor para dois arcos diferentes. Analisando 
isto, imagine dois ângulos distintos, menores que 360°, que possuem para seno o mesmo valor 
positivo. Assinale a alternativa CORRETA que representa a soma desses ângulos: 
 a) É igual a 180°.
 b) É igual a 270°.
 c) É igual a 45°. 
 d) É igual a 90°. 
 
2. Muitas vezes, em trigonometria, e em especial no estudo da trigonometria no ciclo 
trigonométrico, várias questões podem ser analisadas de forma gráfica e assim podemos aferir 
outros resultados. Sendo assim, determine o valor de cos x, sabendo que sen x = 0,6 e que x 
pertence ao segundo quadrante e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) É 0,67.
 b) É 0,79.
 c) É -0,8. 
 d) É -0,5. 
 
3. Muitas vezes, em trigonometria, e em especial no estudo da trigonometria no ciclo 
trigonométrico, várias questões podem ser analisadas de forma gráfica e assim podemos aferir 
outros resultados. Sendo assim, dado que tg x = 4/3 e que x pertence ao primeiro quadrante, qual 
o valor de sec x? 
 a) É 3/4.
 b) É 3/5.
 c) É 5/3.
 d) É 4/3.
 
4. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a 
outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana, como a 
Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil etc. Uma grande 
fundamentação para estes estudos são as funções trigonométricas inversas. Sobre o valor de sec 
210°, analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta.
 
5. A cotangente é a proporção entre o cateto adjacente a um determinado ângulo agudo de um 
triângulo retângulo e o cateto oposto a este mesmo ângulo. O valor desta proporção é fixo para 
cada valor dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Baseado nesta definição, calcule o valor 
de cotg 60°, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
6. O círculo trigonométrico é dividido em quatro quadrantes. A unidade usual para a medição de 
ângulos no círculo trigonométrico é o radiano, que é a unidade padrão no Sistema Internacional 
de Medidas. O radiano utiliza como base a quantidade de vezes que o raio de uma circunferência 
contorna a própria circunferência. Determine o quadrante a que pertence à extremidade do arco 
 
 a) Terceiro Quadrante. 
 b) Primeiro Quadrante.
 c) Segundo Quadrante.
 d) Quarto Quadrante. 
 
7. O triângulo retângulo é compostopor três lados nomeados de hipotenusa e catetos. Os catetos 
podem receber uma segunda classificação quando escolhido um dos ângulos (com exceção do 
reto) do triângulo retângulo para servir de ponto de referência, classificando-os em cateto oposto 
e cateto adjacente. As razões trigonométricas relacionam a razão entre dois lados do triângulo 
retângulo, sendo seis as possibilidades de relacionamento: seno, cosseno, tangente, cossecante, 
secante e cotangente. Se sen x = -3/5 e x pertence ao Terceiro Quadrante, então: 
 a) cos x =3/5. 
 b) cos x = -4/5.
 c) cos x =-2/5. 
 d) cos x = 4/5. 
 
8. Em trigonometria, o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização 
destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência 
orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou 
seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no 
ponto onde elas se cortam. Este círculo é bastante útil para identificar graficamente os valores 
das razões trigonométricas. Imaginando um círculo trigonométrico, analise as opções a seguir: 
 
I- sen 40° < sen 50°. 
II- cos 190° > cos 200°. 
III- tg 60° = tg 240°. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As opções I e III estão corretas. 
 b) As opções II e III estão corretas.
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) As opções I e II estão corretas. 
 
9. Uma equação trigonométrica é uma equação contendo uma ou mais funções trigonométricas da 
variável trigonométrica. Resolver o valor de x significa encontrar os valores dos arcos 
trigonométricos cujas funções trigonométricas tornam a equação verdadeira. Sobre a Segunda 
Equação Fundamental, analise as sentenças a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras 
e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - V - F. 
 b) F - F - F. 
 c) F - F - V. 
 d) V - V - V.
 
10. A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento 
da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, 
Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. Um 
dos fatores que contribuíram para esta evolução que podemos destacar são as relações 
trigonométricas. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e depois assinale a 
alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - V - F - V. 
 b) V - V - V - V.
 c) F - V - V - F. 
 d) F - F - V - V. 
 
 
Prova 3 
 
1. Alguns matemáticos tiveram problemas ao resolver equações do 2° grau, pois não havia solução 
quando o discriminante era negativo, porém, não foi este o motivo pelo qual os números 
complexos surgiram. O mesmo problema aconteceu tempos depois para equações do 3º grau, 
onde que se percebeu que os números reais não seriam suficientes para resolver este tipo de 
equação. Assim, então, surgiu a problemática de ter que construir um novo conjunto de números, 
os complexos. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O módulo representa o comprimento do número no Plano de Argand-Gauss. 
( ) O conjugado representa também a reflexão do número em torno do eixo imaginário. 
( ) O argumento nada mais é que o ângulo formado pelo eixo real e o vetor do número. 
( ) A forma trigonométrica é de grande utilidade nas operações de soma e subtração. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V - F. 
 b) F - V - F - F. 
 c) V - V - V - V.
 d) F - F - V - V. 
 
2. A trigonometria tem importantes aplicações, como, por exemplo, nas engenharias e nas 
telecomunicações, sendo um dos conteúdos estudados no Ensino Médio. O Teorema de Pitágoras 
é um dos primeiros conteúdos abordados nessa área. Com base na figura a seguir, calcule qual 
deve ser a altitude do balão para que sua distância até o topo do prédio seja de 10 km. 
 
 a) A altura será de 6.200 m. 
 b) A altura será de 6 km. 
 c) A altura será de 4 km. 
 d) A altura será de 11.200 m.
 
3. No telhado de um prédio, há três cabos de aço que estão ligados à superfície por meio de 
ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a altura da torre é de 30 metros e que a 
distância dos ganchos até a base da torre é de 40 metros, determine quantos metros de cabo 
precisam ser comprados. 
 a) Precisam ser comprados 100 metros.
 b) Precisam ser comprados 80 metros. 
 c) Precisam ser comprados 50 metros. 
 d) Precisam ser comprados 150 metros.
 
4. Quando encontramos uma função trigonométrica que apresenta alguma incógnita em pelo menos 
um dos membros da equação, dizemos que esta equação é trigonométrica. Para resolvê-las, é 
necessário o conhecimento tanto das relações trigonométricas quanto de algumas identidades 
importantes. Baseado nisto, sendo sen x = ½, com x pertencente ao primeiro quadrante, o valor 
da expressão 
cos² x.sec² x + 2sen x: 
 a) É 1. 
 b) É 3. 
 c) É zero.
 d) É 2. 
 
5. Uma torre vertical, de altura 12 m, é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra 
a uma distância x da sua base, e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. 
Determine a distância x, sabendo que tg 30° = 0,58. 
 a) É aproximadamente 17,9.
 b) É aproximadamente 27,2.
 c) É aproximadamente 20,7.
 d) É aproximadamente 38,5.
 
6. Dentro do Conjunto dos Complexos, assim como outros conjuntos, existe a possibilidade de 
realizar as operações de adição e multiplicação, entre outras. Obviamente, as propriedades 
operatórias devem respeitar os ciclos existentes nos valores de i. Baseado nisto, sendo i a unidade 
imaginária e efetuando-se a multiplicação (5+i) (2-i), obtemos como produto: 
 a) 11+3i.
 b) 11-3i. 
 c) 8+2i. 
 d) 8+3i. 
 
7. As identidades trigonométricas configuram-se como igualdades de funções trigonométricas em 
que ambos os lados da igualdade são válidos dentro do domínio das funções envolvidas. A 
resolução destas identidades, pode ser realizada, utilizando relações já conhecidas para sua 
formulação. Com as identidades formuladas, podemos então concluir outras identidades. A 
seguir há o desenvolvimento de uma suposta identidade. Analise o desenvolvimento a seguir. A 
partir de qual item o processo de resolução está incorreto? 
 
 a) A partir de III. 
 b) Não há nenhum processo errado.
 c) A partir de IV. 
 d) A partir de II. 
 
8. O módulo de um número complexo é a distância do número complexo à origem. Podemos 
associar este conceito ao teorema de Pitágoras, que nos auxiliará no processo de cálculo. Sendo 
assim, calculando o módulo do número complexo z = 4-i, obtemos: 
 a) Raiz quadrada de 17.
 b) 2. 
 c) 5. 
 d) 4. 
 
9. A possibilidade de representar um número complexo em formas diferentes, onde cada caso 
possibilita ao observador extrair dados relevantes. Observe o número complexo a seguir, que se 
apresenta na forma polar. Após, analise cada uma das sentenças, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - V - V - F. 
 c) V - F - V - F. 
 d) V - V - F - V.
 
10. Na resolução de operações trigonométricas, devemos ter como base o conhecimento prévio do 
resultado das principais relações que envolvem estas operações, como: soma, subtração e 
multiplicação. Sendo assim, dados dois arcos complementares x e y, determine o resultado da 
expressão (cos x - cos y)² + (sen x + sen y)²: 
 a) É igual a 1/2.
 b) É igual a 2. 
 c) É igual a 1. 
 d) É igual a 0.