Movimento Oscilatório com Lei de Hooke

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10/04/2015 
1 
MOVIMENTO OSCILATÓRIO 
Gilson Amorim 
1 
• Nessa aula estudaremos corpos que 
oscilam sinusoidalmente com o 
tempo (função seno ou co-seno do 
tempo). 
2 
• Ver-se-á corpos que oscilam 
obedecendo a lei de Hooke, regidos 
por uma oscilação sinusoidal. Será 
também estudado o movimento de 
corpos em equilíbrios estáveis, os 
quais obedecem um comportamento 
também sinusoidal. 
3 
A Força Harmônica 
Definição – É toda força sobre um 
corpo proporcional ao deslocamento 
da origem e sempre dirigida para 
origem. 
 
 
4 
Tomando-se a direção do 
deslocamento com o eixo x, a 
expressão 
 
 (1) 
 
F kx 
5 
 Representa uma força harmônica, 
em que x é o deslocamento da 
posição de equilíbrio. 
 
6 
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2 
 O melhor exemplo de um fenômeno 
regido por esta expressão é o caso 
de um sistema massa-mola conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
7 
• Sistema massa-mola 
m 
8 
A expressão (1) pode ser escrita 
segundo a relação 
 
 
onde x1, é a posição de equilíbrio. 
A constante k é a constante de 
elasticidade da mola, para x1=0, dada 
por 
 
 
 
 
 
1( )F k x x  
9 10 
Movimento Harmônico Simples 
(MHS) 
Tome-se FR= ma, em que FR é a força 
exercida pela mola, ou seja 
 
escrevendo a aceleração , 
 
 
2
2
d x
a
dt

kx ma 
11 
http://phet.colorado.edu/sims/mass-
spring-lab/mass-spring-lab_en.html 
Sistemas Massa-Mola 
12 
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3 
 
 que é a segunda derivada da posição 
em relação ao tempo, tem-se: 
 
 
 ou (3) 
 
2
2
d x
kx m
dt
 
2
2
d x k
x o
dt m
 
13 
 
Buscando-se a solução da equação 
diferencial de segunda ordem (3), 
obtém-se: 
 (4) 
 
dadas as condições iniciais de x0=0 
para t=0 
 
 
 
 
 
0 cosx x wt
14 
 
 
 x é a posição da partícula onde, x0 é a 
amplitude de oscilação máxima, é a 
velocidade angular. 
Testando a solução, tem-se: 
 
 (5) 
 
0
dx
x wsenwt
dt
 
w
15 
 
Derivando novamente, tem-se: 
 
 (6) 
 
Substituindo-se (6) e (4) em (3), resulta 
em: 
 
2
2
2
coso
d x
x w wt
dt
 
2 cos cos 0o o
k
x w wt x wt
m
  
16 
 
 
 de onde se deduz que: 
 
 
A expressão (5) representa a velocidade, 
enquanto que (6) expressa a acele-
ração do sistema. 
2 kw
m

17 
 Da expressão (5), deduz-se que a 
velocidade máxima será: 
 
 (7) 
 
 
 
0máxV wx
18 
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4 
 
quando x=0. 
Observa-se também que (6) pode ser 
reescrita como 
 
 
 (8) 
 
 
2
2
2 o
d x
w x
dt
 
19 
O Período 
Toda vez que uma função periódica se 
repete, a este ciclo denomina-se 
período. 
Para encontrá-lo, basta que se analise 
por exemplo, a expressão 
 
 
 
0 cosx x wt
20 
tomando-se t=T, onde T é o período 
da função. 
Para que a função co-seno se repita, é 
necessário que 
ou seja 
 
2wT 
2
T
w


21 
 
O número de oscilações num tempo T 
é: 
 
 
O primeiro membro é conhecido como 
frequência de oscilação 
representado por f: 
 (9) 
1
n
T

1
f
T

22 
 
 
 
Sabendo que e , 
 
pode-se escrever como: 
2 kw
m

2
T
w


2
m
T
k

23 
 que é o período de oscilação de uma 
massa m presa a uma mola fixa na 
outra extremidade, e a mola tem 
constante elástica k. 
 
24 
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5 
Exemplo 1 
 Um bloco de 3,94 kg distende uma mola 
de 15,7 cm, em relação a sua posição 
não-deformada. O bloco é, então, 
substituído por um objeto de 0,520 kg 
que é posto a oscilar. Determine o 
período de oscilação desse movimento. 
 
25 
m1= 3,94 kg 
x=15,7 cm=0,157 m 
m2=0,520 kg 
 
A massa m1 exercerá uma força 
equivalente ao seu peso, desta forma 
tem-se: 
 
Exemplo 1 - Solução 
2
m
T
k

F
F kx k
x
  
26 
F=3,94 (kg) 9,8 (m/s2)=38,61 kg m/s2= 
38,61N 
Obtêm-se daí a constante da mola 
F=kx donde, 
 
38,61
0,157
F N
k
x m
 
Exemplo 1 - Solução 
27 
 
k=245,94 N/m 
 
Calcula-se agora o período solicitado, 
desta vez usa-se a massa m2: 
Exemplo 1 - Solução 
28 
 
 
 
 
 
 
 
T=0,289 s 
2
2
0,520
2 2
245,94
m kg
T
mk
kg
s
m
  
Exemplo 1 - Solução 
29 
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples (MHS) 
 Para o caso em que não há forças 
dissipativas a energia total do sistema 
se conserva, ou seja 
 ETotal=Ec+U (10) 
30 
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6 
Sabendo-se que a força do MHS é dado por 
 
 
e que a energia potencial pode ser escrita 
como: 
0
x
U Fdx 
F kx 
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples (MHS) 
31 
 
Obtém-se daí, , ou seja 
 
 (11) 
 
Substituindo (11) em (10) e sabendo-se que 
 , tem-se: 
 
 (12) 
0
( )
x
U kx dx  
21
2
U kx
21
2
cE mv
2 21 1
2 2
Total xE mv kx 
32 
Sabendo-se que a posição da partícula 
é dada por , tem-se U em 
função do tempo: 
 
 (13) 
cosox x wt
2 21 cos
2
oU kx wt
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples (MHS) 
33 
 Por outro lado, pode-se obter a 
velocidade derivando a posição x em 
relação ao tempo, ou seja 
( cos ) ( )x o o
dx d
v x wt x wsen wt
dt dt
   
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples (MHS) 
34 
 
 
 
 Substituindo este valor na expressão da 
energia cinética, tem-se: 
 
 como , fica: 
 
 (14) 
 
2 2 21
2
c oE mx w sen wt
2k mw
2 21
2
c oE kx sen wt
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples (MHS) 
35 
 
 
 Substituindo (14) e (13) em (10), tem-se: 
 
 
2 2 2 21 1 cos
2 2
Total o oE kx sen wt kx wt 
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples (MHS) 
36 
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7 
 
Da identidade trigonométrica, 
 , é correto afirmar que: 
 
 (15) 
 
O gráfico abaixo mostra a variação das 
energias cinética e potencial em função 
do tempo de um MHS 
 
2 2cos 1sen   
21
2
Total oE kx
A Energia do Movimento 
Harmônico Simples(MHS) 
37 
( ) ( )cE t U t
tempo
E
n
e
r
g
i
a 
1
2
T T
Energia Cinética e Potencial em 
função do tempo 
38 
Energia Cinética e Potencial em 
função da posição 
E
n
e
r
g
i
a 
+xo 
posição
-xo 
( ) ( )cE x U x
39 
Lembrando que e que 
 
 , tem-se: 
 
 
 
 
Obtém-se o valor de 
 
21
2
c oE U kx 
21
2
c xE mv
2 2 21 1 1
2 2 2
x omv kx kx 
xv
40 
 
 
 
 
 
 
 
 (16) 
 
 
 
 
vx é máximo p/ x=0 
vx é nulo p/ x= x0 
 
2 2 2
x omv kx kx 
1
.
m
2 2 2( )x o
k
v x x
m
 
2 2( )x o
k
v x x
m
 
41 
vx é máximo p/ x=0 
vx é nulo p/ x= x0 
42 
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8 
Exemplo 2 
 
 Um estilingue grande (hipotético) é 
distendido 1,53m a fim de lançar um projétil 
de 130 g com velocidade suficiente para 
escapar da Terra (11,2 Km/s). 
(a) Qual deve ser a constante elástica desse 
dispositivo supondo que toda a energia 
potencial seja convertida em energia 
cinética? 
43 
(b)Admita que uma pessoa normal possa 
exercer uma força de 220 N. 
 Quantas pessoas são necessárias para 
distender este estilingue? 
 
Exemplo 2 
44 
Exemplo 2 - Solução 
y0=1,53 m 
m= 130 g =0,13 kg 
Vy=11,2 km/s =11.200m/s 
(a)No ponto de velocidade máxima, y=0 
 e sabendo que 
 
 tem-se: 
 
Total cE E
21
2
Total oE ky
45 
 
 Evidenciando o valor de k, fica: 
2 2
0
1 1
2 2
yky mv
2 2
2 2
(11.200 / )
0,13
(1,53 )
y
o
v m s
k m kg
y m
 
6.966.209,58 /N m
46 
 
 (b) Sabendo que F=-kx , podemos 
calcular o módulo da força total para 
distender o estilingue. 
 
 
 
66,97 10 1,53
N
F kx m
m
 
     
 
10.658.300,66F 
N
47 
 Dividindo este valor pela força de 1 
pessoa tem-se: 
 48.446,82 pessoas 
48 
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9 
O Pêndulo Simples 
49 
 Definição- É um instrumento ou 
montagem que consiste em uma 
partícula suspensa por um cabo com 
massa desprezível e inextensível. 
O Pêndulo Simples 
50 
 A figura abaixo mostra um pêndulo 
simples onde é o ângulo entre uma 
linha vertical e a posição do cabo, L é 
o comprimento do cabo, é a tensão 
no cabo, é o peso da partícula de 
massa m. 

T
mg
O Pêndulo Simples 
51 
T

mg
mgsen
cosmg 

52 
 
 O peso é decomposto em duas 
componente: a componente radial é 
 . Ela é responsável pela 
restauração do movimento, atuando 
sempre no sentido oposto ao 
movimento (indicado pelo sinal 
menos), e pode ser escrita como: 
 (17) 
 
mgsen
xF mgsen 
53 
 
 onde o sinal negativo indica que, 
 para qualquer ângulo não podemos 
afirmar que o movimento é harmônico 
simples. Entretanto, se o ângulo for 
inferior a 15º, é correto afirmar que 
 com isso a expressão (17) 
ficará: 
 (18) 

sen 
x
x mg
F mg mg x
L L
        
 
54 
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 Conforme mostra a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 Comparando (17) com a equação da força 
do sistema massa-mola, 
 tem-se: 
x
sen
L
 
L
x
y
55 
 
 
 
 
 
 
onde , é correto afirmar que, 
 
F kx 
x
mg
F x
L
 
  
 
mg
k
L
 
  
 
O Pêndulo Simples 
56 
 
o período 
2 2
m m
T
mgk
L
  
2
L
g

O Pêndulo Simples 
57 
 É importante notar que o 
período independe da 
massa da partícula. 
O Pêndulo Simples 
58 
Simulação do Pêndulo Simples 
• http://phet.colorado.edu/sims/pendulum-
lab/pendulum-lab_en.html 
59 
Exemplo 3 
 Considere que o pêndulo de um 
relógio seja simples e que ele oscila 
20 cm de um lado a outro em cada 
segundo sendo, o período Total T=4s. 
(a)Qual o comprimento do pêndulo? 
(b)Qual sua velocidade máxima? 
 
60 
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11 
Exemplo 3 - Solução 
Sabendo-se que o período de um 
pêndulo simples é dado por: 
 
 , tem-se: 2 LT
g

2 2
2 49,8 /
2 2
T s
L g m s
 
   
    
   
61 
Exemplo 3 - Solução 
 
 
 
 
(b) É correto afirmar que: 
 
2
2 2
4 39,2
9,8 3,97
9,86
m s m
L m
s   
max
2
o ov wx x
T

 
62 
Exemplo 3 - Solução 
 
em que 
 
 
logo, 
0,20
0,10
2
o
m
x m 
max
2
0,10 0,0785 /
4
v m m s
s

 
63 
Referências 
64 
• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. 
Fundamentos de Física. V.2. 8.Ed. Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 2007. 
• SERWAY, Raymond A. Princípios de 
Física; tradução técnica André Koch 
Torres Assis.São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2004.