Apostila CALCULO I

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Medianeira 
UTFPR – UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Medianeira – PR 
DAMAT – Departamento de Matemática e Estatística 
Curso: ENGENHARIA DE ALIMENTOS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – 2019/1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof: Lucas S. Ribeiro 
 
 
Viver a vida sabiamente 
Alegra-te, jovem, na tua mocidade, e recreie-se o teu 
coração nos dias da tua mocidade, e anda pelos 
caminhos do teu coração, e pela vista dos teus olhos; 
sabe, porém, que por todas estas coisas te trará Deus 
a juízo. 
Lembra-te também do teu Criador nos dias da tua 
mocidade, antes que venham os maus dias, e 
cheguem os anos dos quais venhas a dizer: Não 
tenho neles contentamento; 
 
Eclesiastes 11: 9 e 12: 1 
 
 
 
Agosto, 2019 
Lucas
Texto digitado
http://www.md.utfpr.edu.br/professores/index.php?idusuario=193 
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CONTEÚDO 
1.  CONJUNTOS NUMÉRICOS ......................................................................................................... 4 
1.1  INTERVALOS NUMÉRICOS ................................................................................................ 5 
2.  FUNÇÕES ....................................................................................................................................... 6 
2.1  FUNÇÕES ALGÉBRICAS ..................................................................................................... 7 
2.1.1  FUNÇÃO POLINOMIAL ................................................................................................ 7 
2.1.2  FUNÇÃO MODULAR ................................................................................................... 11 
2.2  FUNÇÕES TRANSCENDENTES ........................................................................................ 15 
2.2.1  FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 15 
2.2.2  FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ....................................................................................... 15 
2.2.3  FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................... 17 
2.2.4  FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: ........................................................................................ 23 
2.3  FUNÇÃO INVERSA ............................................................................................................. 32 
2.4  FUNÇÃO COMPOSTA ......................................................................................................... 37 
3.  LIMITE ......................................................................................................................................... 45 
3.1  LIMITES LATERAIS ............................................................................................................ 47 
3.2  LIMITES NO INFINITO ....................................................................................................... 48 
3.3  LIMITES INFINITOS ........................................................................................................... 50 
3.4  CÁLCULO DE LIMITES: LIMITES INDETERMINADOS ............................................... 52 
3.5  LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS .................................................................... 57 
3.6  CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................... 59 
4.  DERIVADA .................................................................................................................................. 65 
4.1  INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E GERAL DA DERIVADA ..................................... 66 
4.2  REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO ........................................................................................ 67 
4.3  DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) .................................... 73 
Derivada da composta da função logaritmo natural ................................................................... 75 
4.4  DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA .......................................................................................... 80 
4.5  DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA ................................................................................ 81 
4.6  DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA ..................................... 84 
4.7  DERIVADAS DE ORDERM SUPERIOR OU SUCESSIVAS - f(n): Derivada de ordem n. 86 
4.8  DIFERENCIAIS E INCREMENTOS .................................................................................... 90 
4.9  TAXAS RELACIONADAS .................................................................................................. 92 
4.10 APLICAÇÕES DA DERIVADA: TEOREMAS SOBRE FUNÇÕES DERIVÁVEIS ......... 98 
4.10.1 REGRAS DE L’HSOPITAL .......................................................................................... 98 
4.10.2 TEOREMA DE ROLLE ............................................................................................... 105 
4.10.3 TEOREMA DO VALOR MÉDIO (OU DE LAGRANGE) ......................................... 107 
4.11 EXTREMOS DE FUNÇÕES: MÁXIMOS E MÍNIMOS ................................................... 109 
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4.12 ASSÍNTOTAS ..................................................................................................................... 114 
4.13 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ..................................................................................... 116 
5.  ANTIDERIVADA OU INTEGRAL INDEFINIDA ................................................................... 124 
5.1  INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA .............................. 125 
5.2  INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL ..................... 128 
5.3  INTEGRAL POR PARTES ................................................................................................. 133 
5.4  INTEGRAÇÃO DAS DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
 135 
5.5  SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA EM INTEGRANDOS TRIGONOMÉTRICOS 139 
5.6  INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES SENO E COSSENO DE ARCOS DIFERENTES .......... 143 
5.7  INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR MEIO DE FUNÇÕES PARCIAIS ... 144 
6.  INTEGRAL DEFINIDA ............................................................................................................. 151 
6.1  SOMA DE REIMANN ........................................................................................................ 154 
6.2  TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ................................................................ 157 
6.3  COMPRIMENTO DE ARCO .............................................................................................. 160 
6.4  VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO .................................................................... 166 
6.5  ÁREA DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ..................................................................... 168 
6.6  INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ................................................................................................ 173 
 
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1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 Os primeiros números conhecidos foram os números contáveis, ou seja, o conjunto dos 
Números Naturais, representado por IN, isto é: 
N = {0, 1, 2, 3, ...} 
A = {x / x  N} 
 As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números 
negativos, assim: 
x + a = b => x = b – a, 
onde a e b são números naturais. 
 Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos NúmerosInteiros, representado por Z, isto é: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
A = {x / x  Z} 
A resolução de equações do tipo 
bx = a => 
b
ax  
com a e b números inteiros onde b ≠ 0, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta 
forma, os números da forma 
b
a com a e b números inteiros e b ≠ 0 formam um conjunto de 
números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais 
infinitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por I. São exemplos 
de números irracionais: , e, 2 , 3 , 5 , ... 
 Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, 
então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos 
Números Reais, representado por R. 
 
 
 Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas definições e propriedades 
fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades 
são tiradas dos axiomas e teoremas. 
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1) Comutativa: a, b  R => 



abba
abba 
2) Associativa:  a, b e c  R => 



cbacba
cbacba
)()(
)()( 
3) Existência de elemento neutro: 



aaaRRa
aaaRRa
11/1,
00/0, 
4) Elemento oposto: 0)()(/)(,  aaaaRaRa 
5) Elemento inverso: 1)()(/)(, 111   aaaaRaRa 
6) Distributiva: cabacbaRcba  )(,, 
 
1.1 INTERVALOS NUMÉRICOS 
 Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente, correspondem a 
segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, então o intervalo aberto de a 
até b, denotado por (a , b), é o segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos; 
e o intervalo fechado de a até b, denotado por [a , b], é o segmento de reta que se estende de a até b, 
incluindo-se os extremos. 
Estes intervalos podem ser expressos na notação de conjuntos como 
(a , b) = {x  R / a < x < b} 
[a , b] = {x  R / a < x < b} 
. Um intervalo pode incluir um extremo, mas não outro. Estes intervalos são chamados semi-
abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Além disso, é possível um intervalo estender-se 
indefinidamente em uma ou em outra direção, escrevemos + no lugar do extremo direito, e para 
indicar que o intervalo se estende indefinidamente na direção negativa, escrevemos -, no lugar do 
extremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois números reais são chamados de 
intervalos finitos, enquanto que os que se estendem indefinidamente em uma ou em ambas as 
direções são chamados de intervalos infinitos. 
Notação de intervalo Notação de conjunto Representação geométrica 
[a , b] {x  R / a < x < b} 
[a , b[ {x  R / a < x < b} 
]a , b[ {x  R / a < x < b} 
]- , b] {x  R / x < b} 
]a , [ {x  R / x > a} 
]-  , [ {x / x  R} 
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2. FUNÇÕES 
 
SITUAÇÕES - PROBLEMA 
 
 Identifique as variáveis envolvidas em cada situação e analise a veracidade das afirmações: 
1- A área de um círculo depende da medida do raio da circunferência. Isto é, A = r². Portanto, 
dizemos que A é uma função de r. 
 
2- A população P de um país depende do tempo t. Isto é, com o passar do tempo a população pode 
aumentar ou diminuir, então, dizemos que P é função de t. 
 
3- Durante uma viagem de automóvel é feita uma tabela associando a cada hora a distância 
percorrida pelo carro desde o início do percurso, medida em quilômetros marcados no odômetro. 
Isso significa que a distância percorrida é função do tempo gasto no percurso. td 80 
 
5- A medida do lado de um quadrado determina sua área, isto é, a área do quadrado é função da 
medida do lado, ou seja, 2A . 
 
 
Definição: Uma função f é uma lei (uma relação) para a qual cada elemento x de um conjunto A faz 
corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. 
 
Exemplos: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 O termo função significa que há uma correspondência única e exprime uma relação de 
dependência entre as grandezas. 
 Na prática, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a variável y é função 
da variável x. Muitas vezes, traduzimos a expressão y é função de x por: y depende de x; x 
determina y ou ainda a cada x é associado um único y. 
 Muitas situações reais envolvem várias grandezas. Para expressarmos uma das grandezas em 
função da outra, é necessário fixar (considerar constantes) as demais. Assim, o gráfico de uma 
função y = f(x), é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), e para cada valor de x existe um único 
correspondente f(x). 
 
 
A B 
1 
3 
5 
1 
3 
5 
A B 
2 
 
-3 
1 
 
5 
A B 
1 
3 
-3 
1 
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DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
 Para identificarmos o domínio de uma função y = f(x), analisamos os valores que a variável 
independente pode assumir, isto é, se ela tem alguma restrição ou não. O domínio de uma função é 
o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o 
intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES 
 As funções são classificadas em: 
 



























inversasediretasasHiperbólic
lg
inversasediretasricasTrigonomét
asLogarítmic
lExponencia
ntesTranscende
sIrracionai
asFracionári
Inteiras
Racionais
sPolinomiai
ébricasA
 
 
2.1 FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
2.1.1 FUNÇÃO POLINOMIAL 
 Seja f : R ––> R definida por f(x) = anxn + an–1xn – 1 + ... + a0, com ai, i = 0; 1; ... ; n, 
constantes reais, an ≠ 0, n  N e n é o grau do polinômio. As funções constante, identidade, lineares 
e quadráticas são exemplos de funções polinomiais. 
 
Função do 1º grau. f(x) = ax + b 
* O gráfico corta o eixo y em b. 
* Se, a > 0, a função é crescente 
 e o gráfico é inclinado p/ direita. 
y = -x + 1 y = x – 1 
 
 y 
 
I y1 
M y0 
A y2 
G 
E y3 
M 
x0 x1 x2 x3 x 
 DOMÍNIO 
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* Se, a < 0, a função é decrescente 
 e o gráfico é inclinado p/ esquerda. 
 
Função do 2º grau: f(x) = ax² + bx + c 
* O gráfico corta o eixo y em c. 
* Se, a > 0, a parábola tem concavidade para cima. 
* Se, a < 0, a parábola tem concavidade para baixo. 
* 
a
bxv 2
 e 
a
y v 4
 
* f(x) = 0, tem-se as raízes ou zeros da função 
 
 
 
É possível também expressar x = f(y) e, neste caso, a função passa a ser escrita como x = ay2 + by + 
c cujo gráfico tem a forma: 
 x = y2 +1 x = y2 – 2y – 3 
 
Aplicações práticas das parábolas 
Faróis de carros e/ou lanternas: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a 
superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir 
sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que 
contém o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante 
ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino 
Fundamental. 
 
y= x2 + 2x – 3 
 
y = -x² – 2x + 3 
a > 0
a < 0 
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Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um 
conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma 
vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão 
desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um 
aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá 
transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você 
assiste normalmente. 
 
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente 
para a antena parabólica e para os faróis. 
 
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando 
alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto 
é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. 
 
 
 
Resistência dos materiais: O diagrama do momento fletor de uma viga submetida a uma caga 
uniforme é uma parábola. 
 
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Relação entre o discriminante e a concavidade 
Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do 
termo dominante da função polinomial. 
Delta A parábola no plano cartesiano 
a > 0 
concavidade 
(boca) para cima
a < 0 
concavidade 
(boca) para baixo 
 > 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontos
 = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal
 < 0 Não corta o eixo horizontal 
 
 
Exemplos) y = x3 – x y = x4 – 5x² + 4 
 
 
Aplicação da função Cúbica: Considere uma caixa em forma de paralelepípedo formada por 
cortes de quadrados nos cantos de uma folha retangular medindo 16 por 30. 
Solução: 
x = comprimento dos lados dos quadrados cortados 
V = volume (em cm³) da caixa resultante 
V(x) = 480x – 92x² + 4x³ 
 
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2.1.2 FUNÇÃO MODULAR 
 O módulo de um nº é dado por 


 0,
0,||
xsex
xsex
x 
Exemplo f(x) = | x + 1| = 



1,1
1,1
xsex
xsex 
 
 
Exemplo y = | x² – 4| = 
 

22,4
22,4
2
2
xsex
xouxsex 
 
 
 
Exemplo f(x) = -| x – 2| = 



2,2
2,2
xsex
xsex 
 
 
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2.1.3 FUNÇÃO RACIONAL 
 São funções definidas como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, )(
)()(
xq
xpxf  , 
onde q(x) ≠ 0. O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo todos os valores de x 
tais que q(x) ≠ 0: 
 
 
Aplicações da função racional: 
1) Considere uma caixa de base quadrada (paralelepípedo) com tampa de forma que, cheia, 
tenha V = 3m³ de água. Determine a função que calcula a área total desta caixa. 
Solução: At = 2x2 + 4xy; V = x2y = 3 
32 12 ( )t xA f xx
  
2) Se uma lata fechada com volume de 16 cm³ deve ter a forma de um cilindro circular reto, 
Determine a função que calcula a área total da lata. 
Solução: At = 2πr2 + 2πrh; V = πr2h = 16π 
32 32 ( )t rA f rr
   
 
 
Função Crescente: Diz-se que uma função y = f(x) é crescente em um intervalo x ϵ [a, b], se, e 
somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a, b] tem-se: x2 > x1, f(x2) > f(x1). Isto 
é, as variáveis são diretamente proporcionais. 
 
Função Decrescente: Diz-se que uma função y = f(x) é decrescente em um intervalo x ϵ [a, b], se, e 
somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a, b] tem-se: x2 > x1, f(x2) < f(x1). Isto 
é as variáveis são inversamente proporcionais. 
 
Função Par: Uma função f : A  B é par se, para qualquer x pertencente A, tem-se f(x) = f(-x). 
Numa função par, para valores simétricos do domínio, obtém-se a mesma imagem, o gráfico é 
simétrico em relação ao eixo y. 
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Função Ímpar: Uma função f : A  B é ímpar se, para qualquer x pertencente A, tem-se f(-x) = -
f(x). Numa função ímpar, para valores simétricos do domínio, obtém-se imagens opostas, o gráfico 
é simétrico em relação à origem. 
 
Exemplo1) Seja 1(x)f
x
 . 
 
 
Exemplo2) Seja f(x) = x2 + 1. 
 
 
Propriedades 
Proposição 1: Toda função f cujo domínio é ℝ ou um intervalo I simétrico em relação à origem, 
pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. 
Demonstração: Sejam g e h duas funções obtidas de f e dadas por: 
( ) ( )( ) 2
f x f xg x   e ( ) ( )h( ) 2
f x f xx   
Note que ( ) ( )( ) ( )2
f x f xg x g x     
E que h(-x) = h(x). Assim, g é uma função ímpar e h é uma função par. Para encerrar a prova note 
que f(x) = g(x) + h(x). Uma função ímpar. 
 
 
D = ℝ e im = ሾ1, ൅∞ሾ 
Para x < 0, x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1), logo, a função dada é 
decrescente. 
Para x > 0, x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1), logo, a função dada é 
crescente. 
f(-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = f(x) 
Logo, a função dada é par. 
D = ℝ∗ e im = ℝ∗ 
x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1), logo, a função dada é 
decrescente em D. 
1 1( x) ( ) (x)( )f f x fx x        
Logo, a função dada é ímpar. 
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Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade. 
Demonstração: Sejam f e g duas funções ímpares definidas em ℝ ou um intervalo I simétrico em 
relação à origem. Assim, 
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) – g(x) = -(f + g)(x) 
De modo análogo, se f e g são duas funções pares, 
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) 
 
Proposição 3: O produto de duas funções f e g de mesma paridade é uma função par, isto é, se f e g 
são funções pares ou ímpares, então a função h(x) = (f g)(x) é uma função par. 
Demonstração : Sejam f e g duas funções ímpares definidas em ℝ ou um intervalo I simétrico em 
relação à origem. Assim, f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x), logo: 
   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x f x g x          
De modo análogo, se f e g são duas funções pares, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x      
 
Proposição 4: O produto de duas funções f e g de paridades distintas é uma função ímpar. 
Demonstração: Sejam f e g duas funções ímpares definidas em ℝ ou um intervalo I simétrico em 
relação à origem. Assim, f(-x) = f(x) e g(-x) = -g(x), logo: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x f x g x          
Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar 
é uma função par. 
Demonstração: Seja f uma função par e considere a função g(x) = f’(x). Sendo f uma função par, 
f(-x) = f(x) para todo 𝑥 ∈ ℝ. Derivando ambos os lados desta expressão, tem-se: 
f '(-x) = f’(x) => -f’(-x) = f’(x) => -g(-x) = g(x) 
ou seja, g(x) é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga. 
 
 
 
 
 
 
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2.2 FUNÇÕES TRANSCENDENTES 
2.2.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Dado um número real “a”, tal que a > 0 e a  1, chamamos função exponencial de base “a” a 
função f de R em R que associa a cada “x” real o número ax. f : R  R. 
f(x) = k ax + b, com k e b  R, sendo y = b assíntota horizontal. 
 
 
 
2.2.2 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Considerando-se dois números “x” e “a” reais e positivos com a  1, a > 0 e x > 0, existe 
sempre um número “y” tal que: ay = x. A esse expoente “y” damos o nome de logaritmo de “x” na 
base “a” e definimos como: 
y = loga (x)  ay = x 
De modo geral: y = k loga (x) + b, em que k e b  R, sendo x = b assíntota vertical. 
 
 
Aplicações de funções exponenciais e logarítmicas: 
a) JURO COMPOSTO: Se a taxa de juros é de i por cento ao ano, pagável (isto é, composta) k 
vezes ao ano, uma quantia C de dinheiro torna-se após n anos: 1
n kiM C
k
     . 
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16
 
Exemplo 1) Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em quanto tempo ele terá um 
montante de R$ 8954,24. 
a) se o juro é pagável anualmente; 
b) se o juro é pagável trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) CRESCIMENTO BIOLÓGICO 
Muitas leis de crescimento biológico são representadas pela equação to RNN  , onde N é 
o número de indivíduos de uma população no instante t, No é o número inicial de indivíduos da 
população no instante zero e R > 0 é a taxa de crescimento. 
 
 
 
Exemplo 2) O número de indivíduos de uma população de bactérias no instante t é definido pela 
função f (t) = 30.31095t, sendo t o tempo dado em minutos. Em quanto tempo esta população chegará 
a 11100 bactérias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
a) M = 5000(1 + 0,06)t  8954,24 = 5000(1,06)t 
 logo t  10 anos 
 
b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t  8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t 
logo t  9 anos e 9 meses 
 
Solução 
11.100 = 30 (31095 t) 
370 = 31095t 
log(370) = 1095t.log(3) 
1095 t = log(370)/log(3) 
t  0,29 s 
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Exemplo 3) Certo tratamento médico consiste na aplicação, no paciente, de uma determinada 
substância. A quantidade Q da substância que permanece no paciente, t horas após a aplicação, é 
dada, em miligramas, por tQ 1,01250  . Determine: (1,0 ponto) 
a) A quantidade de substância em mg aplicada ao doente; Q(0) = 250 mg 
b) A quantidade de substância em mg que permanece no paciente após 8 h. Q(8) = 3,017 mg 
 
 
2.2.3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Definição (Função Trigonométrica): Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chama-se de 
função seno ou função cosseno a função que associa a cada 𝑥 ∈ ℝ uma única imagem chamada f(x) 
e indica-se por: 
f(x) = sen(x) ou f(x) = cos(x). 
com D = ℝ e Im = [-1 , 1]. 
Genericamente escreve-se: f(x) = a sen(bx + c) + d ou f(x) = a cos(bx + c) + d 
A função é periódica e o período é 
b
P 2 
b => é a frequência da função 
d => é o deslocamento vertical 
c => é o deslocamento horizontal 
 
 
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18
Exemplo1) f(x) = 2sen(x) + 1 D = R; A = 2; im = [-1, 3] 
 
 
Exemplo 2) )cos(
)()(
x
xsenxtgy  


  ZkkxRxD ,2/ 
 e im = ℝ 
 período =  
 
Exemplo 3) cos( )( ) ( )
xy cotg x
sen x
   / ,D x R x k k Z     e im = ℝ 
 período =  
 
 
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Exemplo 4) 1sec( ) cos( )y x x  período = π 
 


  ZkkxRxD ,2/ 
 e im = ሿ െ ∞, 1ሿ ∪ ሾ1, ൅∞ሾ 
 
 
 
Exemplo 5) 1cossec( ) s ( )y x en x  período = π 
 


  ZkkxRxD ,2/ 
 e im = ሿ െ ∞, 1ሿ ∪ ሾ1, ൅∞ሾ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20
Aplicações de funções trigonométricas: 
Exemplo1) 
 
Exemplo 2) 
 
 
 
 
 
Exemplo 3) Conforme mostra a figura em anexo, uma câmera é montada em um ponto a 900 da 
base de um foguete. Quando lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de elevação da 
câmera é constantemente ajustado para seguir a base dele. 
 
 
 
 
a) Expresse a altura como uma função do ângulo de elevação. x = 900tg() 
b) Determine o domínio e a imagem da função. 
c) Calcule a altura do foguete quando seu ângulo de elevação for /3. 
x = 1558,84m 

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Exemplo 1) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y = 2x + 4. 
Solução: Neste caso não há nenhuma restrição para a variável x, que é a variável independente, 
portanto: 
D = {x  R / x = R} ou D = R 
Im = {y  R / y = R} ou Im = R 
 
 
 
Exemplo 2) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 2
1
 xy . 
Solução: Aqui temos uma função racional, isto é, a variável independente está no 
denominador. A restrição que temos é que: 
x + 2  0 => x  -2 
D = {x  R / x  -2} ou D = R – {2} 
Im = {y  R / y = R*} 
 
 
 
Exemplo 3) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 42  xy . 
Solução: Neste caso, temos uma função irracional, isto é, a variável está no radicando. A 
restrição é que: 
2x – 4  0 => x  2 
D = { x  R / x  2} ou D = [2 , ) 
Im = {y  R / y  0} ou Im = [0 , ) 
 
 
 
 
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Exemplo 4) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y² = x + 5. 
Solução: Aqui temos que: 5 xy 
x + 5  0 => x  -5 
D = { x  R / x  -5} ou D = [-5 , ) 
Im = {y  R / y = R} ou Im = R 
ou Im = (- , ) 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Analise as seguintes funções determinando o domínio, a imagem e esboço do gráfico. 
a) y = 8 5x  b) y = x2 16 
c) y = x x2 5 4  d) y = 5x
1
2  
e) 
x
xf 2)(  f) 82
1)( 2  xxf 
g) f(x) = 6 – 5x + x² h) y = ex + 1 
i) f(x) = 2sen(x) j) f(x) = sen(2x) 
k) y = 3cos(x) l) f(x) = cos(3x) 
 
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23
2.2.4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: 
 Certas combinações de ex e e-x aparecem frequentemente em aplicações da matemática que 
recebem nomes especiais. Três destas funções são: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente 
hiperbólica. Os valores destas funções estão relacionados com as coordenadas dos pontos de uma 
hipérbole equilátera. E vale salientar que estas funções não são periódicas. 
 Deve-se lembrar que as equações paramétricas cos( )( )
x t
y sen t
  , com 𝑡 ∈ ሾ0 , 2𝜋ሿ, representam um 
círculo de raio unitário x² + y² = 1, pois x² + y² = cos²(t) + sen²(t) = 1. 
 Analogamente, as equações cosh( )( )
x t
y senh t
 
, com 𝑡 ∈ ሿ െ ∞ , ൅∞ሾ, representam uma parte 
(metade direita) da curva x² – y² = 1 chamada hipérbole equilátera unitária. Esta é a razão pela 
qual estas funções são chamadas de funções hiperbólicas. 
 
Função Cosseno Hiperbólico: 
definida por cosh( ) 2
x xeey x
  , onde o D = ℝ e Im = [1, +[. 
Função Seno Hiperbólico: 
definida por ( ) 2
x xe ey senh x
  , onde o D = ℝ e Im = R. 
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24
 
OBSERVAÇÃO: Relação entre as funções exponenciais, com base e, e as funções seno 
hiperbólico e cosseno hiperbólico. 
 
2
xey  ; 2
xey

  e y = senh(x); 2
xey  ; 2
xey

 e y = cosh(x); 
 
 
Função tangente hiperbólica: 
definida por ( )
x x
x x
e ey tgh x
e e


   , onde D = ℝ e Im = ]-1, 1[. 
 
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25
Função Cotangente Hiperbólica: 
definida por cot ( )
x x
x x
e ey gh x
e e


   , onde D = ℝ
* e Im = ]-, -1[  ]1, +[. 
 
Função Secante Hiperbólica: 
definida por 2sec ( ) x xy h x e e   , onde D = ℝ e Im = ]0, 1]. 
 
Função Cossecante Hiperbólica: 
definida por 2cossec ( ) x xy h x e e   , onde D = ℝ
* e Im = ]-, 0[  ]0, +[. 
 
 
 
 
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26
Identidades das funções hiperbólicas: 
i) cosh²(x) – senh²(x) = 1 
ii) senh(x) + cosh(x) = ex 
iii) cosh(x) – senh(x) = e-x 
iv) 1 – tgh2(x) = sech2(x) 
v) 1 – cotgh2(x) = cossech2(x) 
vi) senh (x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y) 
vii) cosh (x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y) 
viii) senh(2x) = 2senh(x) cosh(x) 
ix) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x) 
x) 2
1)2cosh()(2  xxsenh 
xi) 2
1)2cosh()(cosh 2  xx 
 
Aplicações das funções hiperbólicas: 
 As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos, e 
mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia mecânica é gradualmente absorvida 
pelo meio ambiente. Elas também ocorrem quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso entre 
dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes. Tais cabos formam uma curva chamada 
catenária (em latim, catena significa “cadeia ou corrente”). 
O CABO SUSPENSO 
Um cabo flexível homogêneo é suspenso por suas extremidades em dois pontos de altura igual e a 
única força atuando sobre ele é seu próprio peso. É claro que o cabo descreve uma curva, como 
mostra a figura abaixo, obtida no site: 
http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/Activities/Matching/answers/Catenary.htm. 
Qual a equação desta curva? 
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27
 
Galileu (1564-1642) achava que era uma parábola. Jungius, em 1669, argumenta que Galileu estava 
errado. Mas só em 1691 é que Leibniz, Huyghens e Johann Bernoulli dão sua equação, respondendo 
a um desafio colocado por Jacob Bernoulli. Leibniz a chama de catenária (do latim catena que quer 
dizer corrente). 
A catena´ria, que e´ a curva descrita pelo cabo suspenso, e´ enta˜o o gra´fico do cosseno hiperbo´lico: 
( ) cosh xf x a b a
a
      
onde Ha
g e sendo  a densidade de massa do cabo; g a aceleração da gravidade e H é a tensão 
no ponto mais baixo da curva. 
 
Alguns exemplos da “natureza” 
GRÁVIDA 
 
 
 
 
 
 
OVO 
 
 
 
 
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28
TEIA DE ARANHA 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações da curva catenária para Física e Engenharia: 
 Ponte Hercílio Luz, Florianópolis, Brasil 
TÚNEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29
LÂMPADAS 
 
 
 
 
 
 
 
IOGURTES E FERMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDOS DE LATAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES 
Função Injetora 
 Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, dois elementos distintos quaisquer do 
domínio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1  A e x2  A, temos: x1  x2, f(x1)  f(x2). 
Função Sobrejetora 
 Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD(f ). 
Função Bijetora 
 Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora. 
 
Reconhecimento de função injetora, sobrejetora ou bijetora através do gráfico 
 Devemos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x, conduzidas 
por cada ponto (0, y) em que y  B (contradomínio de f) 
 
 
1º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função é 
injetora. 
Exemplo 5) 
 f: R  R b) f: R+  R 
 f(x) = x f(x) = x2 
 
 
2º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é sobrejetora. 
 
Exemplo 6) 
 f: R  R b) f: R  R+ 
 f(x) = x -1 f(x) = x2 
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3º) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora. 
 
Exemplo 7) 
 f: R  R b) f: R  R 
 f(x) = 2x f(x) = x3 
 
 
 
 
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32
2.3 FUNÇÃO INVERSA 
 Seja uma função f bijetora, isto é, injetora e sobrejetora simultaneamente. A sua inversa 
denotada por existe se o ponto (a , b) estiver no gráfico de f e o ponto (b , a) estiver no gráfico 
de . Os ponto (a , b) e (b , a) são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, 
os gráficos de f e são simétricos em relação à reta bissetriz y = x, e então o domínio de f torna-
se a imagem de e a imagem de f torna-se o domínio de . 
 
 
MODO PRÁTICO: Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma: 
a) trocamos x por yna função f ; 
b) isolamos y. 
 
IMPORTANTE: Função inversa não é inverso da função, isto é: . 
 
Exemplo 8) Determinar a função inversa de f(x) = senh(x). 
)()( ysenhxxsenharcy  
22
yyyy eexeesenhyx
  
2x = ey – e-y => 2x – ey + e-y = 0 ( ey) 
e2y – 2xey –1 = 0 => 2
)1.(1.4)2(2 2  xxe y 
1xxe 2y  
1xxe 2y  => )1xx(lneln 2y  
)()1(ln 12 xfxxy  
 
 
 
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Exemplo 9) Seja y = 2x + 3. Determine a sua inversa, se existir. 
x = 2y + 3 
2
31  xy 
logo 2
3)(1  xxf 
 
 
 
Gráficos de outras inversas 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Trigonométricas Inversas 
y = sen(x) f -1(x) = arcsen(x) 


 2,2
D e im = [-1 , 1] 

 2,2
im e D = [-1 , 1] 
 
 
y = x f 
f -1 
 
3 xy 
y = x3 
 
y = log(x) 
y = 10x 
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y = sen(x) f-1(x) = arcsen(x) 


 2,2
D e im = [-1 , 1] im = R e D = [-1 , 1] 
 
y = tg(x) f -1(x) = arctg(x) 


  2,2
D e im = ]- , [ D = ]- , [ e 

  2,2
im 
 
 
 
 
 
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35
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
Função Arg Seno Hiperbólico: é definida por y = argsenh(x) = )1(ln 2  xx , 
onde o D = R e a Im = R. 
 
 
 
 
 
Função Arg Cosseno Hiperbólico: é definida por y = argcosh(x) = )1(ln 2  xx , 
onde o D = [1, [ e a Im = [0, [. 
 
 
 
 
 
 
Função Arg Tangente Hiperbólica: é definida por y = argtgh(x) = 





x
x
1
1ln , 
 onde o D = ]-1, 1[ e a Im = R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36
Função Arg Cotangente Hiperbólica: é definida por y = argcotgh(x) = 





1
1ln
x
x , 
onde D = ]-, -1[ ou ]1, [ e a Im = R-{0} 
 
 
 
 
 
 
 
Função Arg secante Hiperbólica: é definida por y = argsech(x) = 


 
x
x 211ln , 
onde D = ]0, 1[ e a Im = R 
 
 
 
Função Arg cossecante Hiperbólica: é definida por y = argcossech(x) = 


 
||
11ln
2
x
x , 
onde D = R* e a Im = R* 
 
 
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37
 
 
 
2.4 FUNÇÃO COMPOSTA 
Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, 
depende de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de 
monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros 
que trafega por ela, porém a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a 
concentração de monóxido de carbono varia com o tempo. 
Na linguagem de função dizemos que: a concentração de monóxido de carbono na atmosfera é uma 
função da quantidade de carros, a quantidade de carros é uma função do tempo e, portanto, a 
concentração de monóxido de carbono na atmosfera é uma função do tempo. 
Dessa maneira, a concentração de monóxido de carbono na atmosfera, como função do tempo, é 
uma função composta. 
Nessas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar a quantidade 
original como função da última variável. 
 
Definição: Sejam g: A  B e f: Im(g)  C. Definimos a composta de f com g e denotamos 
por f g , à função dada por    ( ) ( )f g x f g x . A função  ( ) ( )h x f g x é, então, 
denominada função composta de f com g, aplicada em x . 
 
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38
Exemplo 1) Se vaza óleo de um navio tanque, a área da superfície do óleo aumenta com o tempo. 
Supondo que o óleo se espalha formando sempre um círculo perfeito, a área de superfície do óleo é 
função de seu raio r. 
A = π r2 = f(r) 
Como o raio aumenta à medida que mais óleo vaza, o raio também é uma função do tempo t. 
Vamos então supor que que o raio seja dado pela função: 
r = t + 2 = g(t) 
Então, a área de superfície do óleo pode ser escrita como função do tempo pela substituição de r = t 
+ 2 na expressão da área A = π r2. 
A = f(t + 2) = π (t + 2)2 
Neste caso estamos pensando em A como uma “função composta” ou uma “função de uma função” 
que é escrito como: 
     
 
2 2
2
g(t) (t) 2
( ) 2
A f g t
A t t
 

   
  
 
IMPORTANTE: A variável independente é dita argumento da função, assim, uma função apenas 
da variável independente não pode der dita função composta. 
( )f x x não é função composta 
f (x) = cos(x) não é função composta 
 
Exemplo 2) Sejam ( )f x x e g(x) = x2 – 1, determine: 
a) h(x) = f(g(x)) 
  2 2( ) 1 1h x f x x    => D = [1 , +∞[ 
b) h(x) = g(f(x)) 
    2( ) 1
( ) 1
h x g x x
h x x
  
 
 => D = [0 , +∞[ 
 
 
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39
Exemplo 3) Vamos supor que certo organismo tenha forma esférica. Seu volume V pode ser obtido 
a partir de seu raio r (em mm), isto é 3r3
4)r(VV  mm3. Suponhamos, ainda, que o raio varie 
com o tempo (em s) e que a relação entre r e t seja dada por r = r(t) = 0,02t2. Então o volume V é 
função de t, mediante 
632 t000008,03
4)t02,0(3
4)t(VV  
Exemplo 4) Imaginemos que uma mancha de óleo sobre uma superfície de água tenha a forma de 
um disco de raio r (em cm). Então, sua área A (em cm2) é função do raio, sendo dada por: 
 A =A(r) =r2cm2 
Por outro lado, considere que o raio cresça em função do tempo t (em min), obedecendo à seguinte 
relação r = r(t) = 15t + 0,5cm. 
 Sem dificuldades, usando a noção de função composta, pode-se determinar a área ocupada 
pela mancha em função do tempo. De fato, quando t varia a partir do instante inicial (t = 0), o raio 
passa a crescer a partir de ro = 0,5cm. Como A = A(r) está definida para todos os valores de r  0, 
podemos calcular a função composta: 
 A(t) = (15t + 0,5)2cm2 
 
 
Exemplo 5) Dadas as funções f(x) = 4x – a e g(x) = 3x + 4. Calcule o valor de a para que f(g(x)) = 
g(f(x)). 
Solução: para que f(g(x)) = g(f(x)) 
4(3x + 4) – a = 3(4x – a) + 4 => a = -6 
 
 
Exemplo 6) Seja f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x – 5. Calcule f -1(g(x)). 
Solução: Neste caso, devemos fazer a composta e depois a inversa 
f(g(x)) = 3(2x – 5) + 2 => f(g(x)) = 6x – 13 
6
13))((1  xxgf 
 
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40
EXERCÍCIOS: Achar o domínio e imagem das funções e esboçar o gráfico: 
1) y = 2x + 1 2) 3
92


x
xy 
3) 







xse
xse
xse
y
24
211
13 4) 3 xy 
5) 92  xy 6) 22 xxy  
7) 




xsex
xsex
y 1
123
2 8) y = x2 – 3x + 2 
9) 5
2
2 

x
xy 10) y = 2x + 1 
11) 2 xy 12) y = 3cos(x) – 1 p/ 0 < x < 2 
13) x2 + y2 = 4 14) 2
1
x
y  
15) y = x3 + 2 16) xy  3 
17) 
x
y 1 18) 62  xxy 
19) 2
42


x
xy 20) y = ln(x – 1) 
 
EXERCÍCIOS GERAIS 
1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos (3,4) e (-5,2) 
2) Ache o ponto de intersecção das retas representadas pelas equações 3x – 4y + 6 = 0 e 
 x – 2y – 3 = 0 
3) Calcular f -1(x), de y = 2x –1 e representá-las graficamente no mesmo plano cartesiano. 
4) Uma panela, contendo uma barra de gelo a –400C, é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas 
condições, o gráfico abaixo nos mostra a evolução da temperatura da água em função do tempo. 
Pergunta-se: 
a) Qual é a lei que descreve essa evolução nos dois primeiros minutos? E nos oito minutos 
seguintes? E nos dez minutos que se seguem? 
b) O que significam as diferentes inclinações dos três segmentos que compõem o gráfico? 
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41
 
5) Os cabos de um lado de uma ponte com cargas uniformemente distribuídas tomam a forma de 
uma parábola. As torres de suporte dos cabos têm 60 m de altura e o intervalo entre as torres é de 
600 m. O ponto mais baixo fica a 18 m do nível da ponte (conforme figura). Determine a função 
que descreveo comprimento (L) dos fios e determine o comprimento de um dos fios de sustentação 
situado a 100 m do centro da ponte. L = 22,67m 
 
 
6) Na fabricação de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido através de uma 
taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. 
Determinar: 
a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida; 
b) o gráfico dessa produção; 
c) o custo de fabricação de 15 unidades; 
d) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 5.250,00. 
7) Um vendedor de carros recebe um ordenado fixo calculado em 5 salários mínimos mais uma 
comissão de 2 salários para cada carro vendido. 
a) Num dado mês qual foi seu ordenado total bruto? 
b) No mês de abril ele recebeu 13 salários mínimos. Quantos carros ele vendeu neste mês? 
8) João Carvoeiro e sua família trabalham para uma fábrica de carvão. O patrão paga R$ 0,20 por 
saco de carvão produzido. Toda a comida da família é comprada no armazém do patrão, e dá um 
total de 120,00 u.m. por mês. Quantos sacos de carvão a família terá de produzir para pagar a conta 
do armazém? 
9) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função de x, com x 0, 
cujo gráfico está representado abaixo: 
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42
 
Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 
10) Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em quanto tempo ele terá um montante de 
R$ 8954,24. 
a) se o juro é pagável anualmente; t  10 anos 
b) se o juro é pagável trimestralmente? t  9 anos e 9 meses 
Solução 
a) M = 5000(1 + 0,06)t  8954,24 = 5000(1,06)t logo t  10 anos 
b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t  8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t logo t  9 anos e 9 meses 
11) Uma determinada população de bactérias no instante t é dado por P(t) = 3031095 t, sendo t o 
tempo dado em minutos. Em quanto tempo esta população chegará a 11100 bactérias? t  0,29 s 
12) Nível sonoro (N) de um som é o quociente entre suas intensidades i e i0, onde i0 é a menor 
intensidade do som detectável pelo ouvido humano dado por N = 10 log 



0i
i . A unidade do nível 
sonoro é o decibel (dB), sendo i (W/m2) a intensidade sonora. Submetido a níveis sonoros 
superiores a 80 dB, o ouvido humano pode perder irrecuperavelmente a sensibilidade auditiva. No 
interior de um consultório dentário, os motores funcionam de forma inadequada e o nível sonoro é 
de 100dB. Considerando que a mínima intensidade sonora audível é i0 = 10-12 W/m2, determinar, a 
intensidade sonora (i). logo, i = 10-2W/m2 
13) Há dois sistemas comum para medir temperatura, Celsius e Fahrenheit. A água congela a 0 ºC e 
a 32 ºF, e ferve a 100 ºC e 212 ºF. 
a) Sendo as temperaturas Celsius (Tc) e Fahrenheit (Tf) expressas como uma função linear, encontre 
Tc em função de Tf. 9
1605  xTC 
b) Qual é a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit é a mesma? -40º 
c) A temperatura normal do corpo humano é 98,6 ºF. Quanto é em ºC? TC = 37 ºC 
d) Esboce o gráfico de Tc versus Tf e determine o domínio e a imagem. 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 98
520
400
C(x)
x (litros)
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43
14) Conforme mostra a figura em anexo, uma câmera é montada em um ponto a 900 da base de um 
foguete. Quando lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de elevação da câmera é 
constantemente ajustado para seguir a base dele. 
 
15) O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma parábola conforme o desenho. 
Sendo assim, determine a altura máxima atingida pelo mesmo. 3,2 m 
 
16) Um foguete experimental é disparado do topo de uma colina, toca a extremidade superior de 
uma árvore, sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura anexa. Determine a altura 
máxima atingida. 
 
 
 
 
17) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em 
relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: tPtP 25,04)0()(  . 
Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos 
após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à metade. 
 R: 2 anos 
18) O lucro de uma empresa é expresso pela função L(x) = 100(10 – x)(x – 2), em que x é a 
quantidade vendida num mês qualquer. Determine a quantidade vendida para maximizar o lucro, 
diga qual é o lucro máximo obtido e faça um esboço completo do gráfico. R: 1600,00 
19) Uma escada está encostada numa parede vertical formando com ela um ângulo de 60°. Sabendo 
que o pé da escada está a uma distância de 5m da parede. Calcule o comprimento da escada. 
 R: 5,77m 
 
a) Expresse a altura como uma função do ângulo de elevação. x = 900tg() 
b) Determine o domínio e a imagem da função. 
c) Calcule a altura do foguete quando seu ângulo de elevação for /3. 
x = 1558,84m 

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44
20) Combine cada função com seu gráfico correspondente: a) 5 x ; b) y = 2x5 ; c) 81xy  ; 
d) y = 8x; e) 4 2 xy ; f) xy 8
1 
 
21) Sejam as funções f(x) = x² + 3 e g(x) = x . Determine f(g(x)) e g(f(x)). 
22) Sejam as funções f(x) = ln(x), g(x) = x e h(x) = sen(x² + 1). Determine f(g(x)) e g(f(h(x))). 
23) Seja )1(2)(  x
xxf . Verifique se f(x + 1) = f(x) + x. 
24) Seja f(x) = ln(x), verifique se: 
a) f(x) + f(y) = f(xy) 
b) )(2)(2 vfuf
u
vf
v
uf 



 
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45
3. LIMITE 
 Limite é um tema que está relacionado com todos os aspectos da nossa vida. Nós temos 
limites tanto físicos quanto psicológicos, emocionais, etc. 
 Matematicamente o estudo de limite de uma função é muito importante, pois, possibilita a 
análise de uma serie de informações sobre o comportamento do gráfico desta função, na 
“vizinhança” de um ponto, por exemplo. 
 Na vida prática tem muita relevância. Por exemplo: considere o custo (y) de uma conta de 
energia elétrica, sendo R$ 0,40 por kw/h o custo num determinado mês. Suponha que, no mês de 
março, deseja-se ter uma conta de R$ 40,00 com uma tolerância de R$ 5,00 para mais ou para 
menos. Qual a faixa de consumo x de energia elétrica em kw para que a conta fique dentro da 
tolerância do custo estabelecido? 
Solução: x = consumo de energia em kw; y = custo final da conta de energia 
A função custo é: y = 0,4x com 35 < y < 45 e a < x < b 
f(a) = 35 => 0,4a = 35 => a = 87,5 
f(b) = 45 => 0,4b = 45 => b = 112,5 
 
Conta (y) 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 
Consumo (x) 87,5 90 92,5 95 97,5 ? 102,5 105 107,5 110 112,5 
Pode-se observar que há uma relação direta entre a tolerância do valor da conta de energia () com a 
tolerância do consumo de energia elétrica (). Sendo assim, podemos escrever: seja uma tolerância 
 > 0 (na conta y), é possível determinar uma tolerância  > 0 (consumo de energia) tal que: 
| y – 40 | <  sempre que | x – 100 | <  
 
 Nota-se que à medida que x se aproxima de 100, y se aproxima de 40, ou seja, quando x tende 
para 100 (x 100), y tende para 40 (y 40). Simbolicamente escreve-se: 
404,0lim100  xx 
 Vemos que é possível fazer o valor de f(x) tão próximo de 40 quanto desejarmos, tornando x 
suficientemente próximo de 100, isto é, podemos tornar o valor absoluto da diferença entre f(x) e 40 
tão pequeno quantodesejarmos, tornando o valor absoluto da diferença entre x e 100 
suficientemente pequeno. 
 
 
x  [87,5 ; 112,5] 
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46
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO: Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto 
possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e 
escrevemos, 
Lxf
ax
 )(lim 
se para todo  > 0, existe um  > 0, tal que  Lxf )( sempre que  ax . 
 
Exemplo 1) Provar que 2)13(lim
1


x
x
 
  2)13( x sempre que  10 x 
  33x 
  )1(3 x 
 331
 x 
então,  2)13( x sempre que  10 x . 
 
 
Exemplo 2) Provar que  )13(lim2 xx 7 
 
Exemplo 3) Provar que 

 3
9lim
2
3 x
x
x
 6 
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3.1 LIMITES LATERAIS 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o 
limite à direita da função f quando x tende para "a" pela direita, e escrevemos: 
 Lxf
ax
 )(lim isto é, todos os valores de x são sempre maiores do que "a". 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o 
limite à esquerda da função f quando x tende para "a" pela esquerda, e escrevemos: 
 Lxf
ax
 )(lim isto é, todos os valores de x são sempre menores do que "a". 
 
TEOREMA: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto 
possivelmente no ponto a, então: 
 
Lxf
ax
 )(lim se e somente se: Lxfxf axax    )(lim)(lim 
 
Lê-se: limite de f de x, quando x tende a a é L 
 
 
Exemplos 4) Verifique se existe o limite da função f(x) = x² + 1, quando x tende a 1. 
Solução: 1lim 2
1
 xx = (1)² + 1 = 2 
 1lim 2
1
 xx = (1)² + 1 = 2 
Como 2)(lim)(lim
11
   xfxf xx , logo, 21lim
2
1  xx 
 
 
 
 
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Exemplo 5) Verifique se existe o limite de 



 1,2
1,1)(
xsex
xsex
xf , em x = 1. 
Solução: 
1lim
1
 xx = 1 + 1 = 2 
x
x
 2lim1 = 2 – 1 = 1 
 
Como )(lim)(lim
11
xfxf
xx  
 , Logo, existenãoxf
x
 )(lim1 
 
 
3.2 LIMITES NO INFINITO 
 Uma função f(x) tem limite b quando x tende ao infinito positivamente, se para qualquer 
número  positivo por pequeno que seja, é possível indicar um M positivo, tal que, para todo x que 
satisfaz x > M se verifica | f(x) – b | < . Isto é, 
MxsebxfquetalMbxf
x
  |)(|0,0)(lim 
Geometricamente: 
 
 
 Uma função f(x) tem limite b quando x tende ao infinito negativamente, se para qualquer 
número  positivo por pequeno que seja, é possível indicar um N negativo, tal que, para todo x que 
satisfaz x < N se verifica | f(x) – b | < . Isto é, 
NxsebxfquetalNbxf
x
  |)(|0,0)(lim 
Geometricamente: 
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Exemplo 6) Considere a função 1)(  x
xxf . Pelo gráfico de f(x) podemos notar que o limite é 
aproximadamente igual a 1. Este fato é escrito da seguinte forma 
11lim 


 x
x
x
 
Solução:   > 0,  N < 0 tal que | f(x) – 1 | <  se x < N. 







|1|
1
1
1
11
x
x
Nxse
x
x
 


1111
:
1|1|


xx
módulodeepropriedadPor
x
 
Como x < N, logo, 
11N 
 
Se,  = 0,01 => N = -101 
 
 
DEFINIÇÃO: Seja f: B  R uma função, B um conjunto que não é limitado superiormente 
(inferiormente) e L  R. Dizemos que 
Lxfxf
xx
  )(lim)(lim 
 
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3.3 LIMITES INFINITOS 
 Uma função y = f(x) torna-se infinitamente grande positivamente quando x  a se o valor de 
f(x) se torna e permanece maior do que qualquer número positivo M devidamente escolhido, por 
maior que seja. Isto é, 
  ||)(0,0)(lim axquesempreMxfquetalMxfax 
Geometricamente: 
 
 
 Uma função y = f(x) torna-se infinitamente grande negativamente quando x  a se o valor de 
f(x) se torna e permanece menor do que qualquer número negativo N devidamente escolhido, por 
maior que seja. Isto é, 
  ||)(0,0)(lim axquesempreNxfquetalNxfax 
Geometricamente: 
 
 
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Exemplo 7) Determine 


 1
2lim1 xx 
Solução: 
  ||)(0,0)(lim axquesempreMxfquetalMxfax 
MM
x
xquesempreM
x
22|1|
|1|1
2




 
se  = 0,01 => M = 200 
 
 0
2
11
2
1
2lim
1 xx
 
 
Propriedades dos Limites 
P1) cc
ax
lim 
P2) ax
ax
lim 
P3) )(lim)(lim xfcxfc
axax   
P4)   )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax   
P5)   )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax   
P6) )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax


  
P7)   n
ax
n
ax
xfxf 



)(lim)(lim 
P8) n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim   
P9) )(limlog)(loglim xfxf
axbbax   com f(x) > 0 
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3.4 CÁLCULO DE LIMITES: LIMITES INDETERMINADOS 
 No estudo do limite de uma função é considerada uma indeterminação quando ocorrer uma 
das seguintes situações: 
0,,1,,0
0,0 
  e 00. 
 Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminação de limite devemos simplificar a função. 
 
 
Exemplo 8) Calcule o limite de 4
168lim
2
4 

 x
xx
x
. 
Solução: 0
0
44
16)4(8)4(lim
2
4


x indeterminação. 
0444lim4
)4(lim4
168lim
4
2
4
2
4




x
x
x
x
xx
xxx
 
 
 
 
Exemplo 9) Calcule 4
2lim
4 

 x
x
x
. 
Solução: 
0
0
44
24lim
4


x indeterminação. 
4
1
22
1
2
1lim)2)(4(
4lim2
2
4
2lim
444




 xxx
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 
 
 
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Exemplo 10) Calcule 1
1lim
3
1 

 x
x
x
 
Solução: 0
0
1
1lim
3
1 

 x
x
x
 indeterminação 
Definindo x = t6. Se x  1, então, t  1, assim: 
3
2
1
1lim1
1lim
1
1lim 213
2
16
3 6
1





 tt
t
t
t
t
t
ttt
 
 
 
Exemplo 11) Calcule 
xx
x
x 35
52lim 2
2


 
Solução: 


 xx
x
x 35
52lim 2
2
 indeterminação 
Colocando x² em evidência, obtemos: 
5
2
35
52
lim 2 



x
x
x
 
 
 
Exemplo 12) Calcule 3
21lim
3 

 x
x
x
 
Solução: 0
0
3
21lim
3


 x
x
x
 indeterminação 
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, obtemos: 
22
1
)21()3(
3lim21
21
3
21lim 33 



 xx
x
x
x
x
x
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54
EXERCÍCIOS 
1) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: 
a) )(lim
3
xf
x 
= b) )(lim
3
xf
x 
 = c) )(lim3 xfx = 
d) f(3) = e) )(lim xf
x  = f) )(lim xfx  = 
2) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: 
a) )(lim
0
xf
x 
= b) )(lim
0
xf
x 
 = c) )(lim0 xfx = 
d) f(0) = e) )(lim xf
x  = f) )(lim xfx  = 
3) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: 
a) )(lim
0
xf
x 
= b) )(lim
0
xf
x 
 = c) )(lim0 xfx = 
d) f(0) = e) )(lim xf
x  = f) )(lim xfx  = 
4) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: 
a) )(lim
4
xf
x 
= b) )(lim
4
xf
x 
 = c) )(lim4 xfx  = 
d) f(-4) = e) )(lim xf
x  = f) )(lim xfx  = 
 
5) 





 1,2
1,1
)(
2
xsex
xsex
xf )(lim1 xfx resp: ñ existe 
6) 



 0,0
0,12)(
xse
xsex
xf )(lim0 xfx resp: ñ existe 
7) 2
4lim
2
2 

 x
x
x
 resp: 4 
8) 
x
x
x 

 1
1lim
2
1 resp: 2 
9) 



 2,
2,2)( 2 xsex
xsex
xf )(lim2 xfx resp: 4 
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55
10) 2
2lim
2
2 

 x
xx
x
 resp: -2 
11) 
xx
xx
x 

 2
3
0lim resp: -1 
12) 2
652lim
23
2 

 x
xxx
x
 rep: 15 
13) 
xx
xxxx
x 

 2
234
1
252lim resp: 3 
 14) 832lim 241  xxxx resp: -8 
15) 52
12lim
2
1 

 x
xx
x
 resp: 4/7 
16) 4
6lim 2
2
2 

 x
xx
x
 resp: 5/4 
17) 112lim 22  xxx resp:  
18) 1
1lim
3
1 

 x
x
x
 resp: 3 
19) 8
4lim 3
2
2 

 x
x
x
 resp: 1/3 
20) 
xx
x
x 3
24lim 2
2
0 

 resp: 0 
21) 64 )4(
12lim 

 x
x
x
 resp:  
22) 1
142lim 23
23


 xxx
xx
x
 resp: 2 
23) 12
3lim
2


 x
xx
x
 resp: ½ e -½ 
24) 3
1lim
3 3


 x
xx
x
 resp: 1 
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56
25) 
xxx
x
x 

 3
3lim 2 resp: 1/2 
26) )(lim xarctg
x 
 resp: /2 
27) 
xxx  1
3
1
1lim
1
 resp:  
28) 1
1lim 4
3
1 

 x
x
x
 resp: 4/3 
29) 2
33 2
1 )1(
12lim 

 x
xx
x
 resp: 1/9 
 
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57
3.5 LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS 
 Os limites fundamentais auxiliam no cálculo de limites indeterminados do tipo 0
0 , 1 e 0. 
I) Proposição 1)sen(lim0 


 x
x
x
 
 
TEOREMA DO CONFRONTO OU SANDUÍCHE: Suponhamos que g(x) < f(x) < h(x) para 
qualquer x em um intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também 
que: 
Lxhxg
cxcx
  )(lim)(lim , então, Lxfcx  )(lim 
Para mostrarmos que a proposição I é verdadeira vamos considerar 20
 x , com x = . 
 
Área OAP < área do setor OAP < área OAT 
 
Pode-se expressar as áreas em termos de  da seguinte maneira: 
 
Área OAP = )sen(2
1)sen()1(2
1
2
1   hb 
 
Área do setor OAP =  2
1)1(2
1
2
1 2 r 
 
Área OAT = )(2
1)()1(2
1
2
1  tgtghb  
 
Logo, )(2
1
2
1)sen(2
1  tg 
 
multiplicando por 2, obtém-se: 
 
sen() <  < tg() => )cos(
)sen()sen( 
  
dividindo por sen(), obtemos: )cos(
1
)sen(1 
  
 
invertendo as frações, temos: )cos()sen(1 
  
 
Aplicando o limite, obtemos: 1)cos(lim1lim 00    
 
0
 
tg() 
y 
1
T
 x 
A(1,0)
P 
cos() 
 Q 
1 sen() 
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58
 Conclusão: 1)sen(lim0 


 

 
De modo geral pode-se escrever: 1)(
))((lim
0)(




 xf
xfsen
xf
 
 
 
II) Proposição 0)(
))((cos1lim
0)(



 
 xf
xf
xf
 
Caso Particular: 0)cos(1lim
0
 x
x
x
 
Substituindo-se 1 – cos(x) = 


22
2 xsen 














  2
2
2lim
2
2lim2
2
lim)cos(1lim 0
2
0
2
00
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
x
xxxx
 
 0012lim
2
2lim 00 





 
xsen
x
xsen
xx
 
 Finalmente: 0)cos(1lim0 

 x
x
x
 
 
 
III) Proposição    ex x
x

11lim
0 
 
IV) Proposição e
x
x
x


 
11lim 
 
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59
V) Proposição )ln()(
1lim
)(
0)(
a
xf
a xf
xf
 
Caso Particular: )ln(1lim0 ax
a x
x
 
 
Substituindo u = ax – 1 => ax = u + 1 
ln(ax) = ln(u + 1) => x ln(a) = ln(u + 1) => )ln(
)1ln(
a
ux  
se x  0, u  0, assim: 
)ln(
)1ln(lim
)ln(lim
)1ln(
)ln(
)1ln(
)ln(
)1ln(
)ln(
)ln(
)1ln(lim 1
0
0
10
a
u
a
u
a
u
u
a
u
au
a
u
u
u
u
u
u
u







 
Finalmente: )ln(1lim0 ax
a x
x
 
 
 
 
3.6 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 
Continuidade de uma função num ponto 
Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior c do seu domínio quando: 
)()(lim)(
)(lim)(
)()(
cfxfIII
xfII
cfI
cx
cx




 
Continuidade num intervalo: Uma função y = f(x) é contínua à direita em x = a ou é contínua à 
esquerda em x = b, então a função é contínua no intervalo fechado x  [a , b]. 
 
)()(lim)()(lim bfxfouafxf
bxax
   
 
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60
TEOREMA: Se a função f(x) não é definida para x = a e se o Lxf
ax
 )(lim , então, a função f(x) 
será contínua em x = a se o valor L for atribuído à f(x) para x = a. Isto é: 




axseL
axsexf
xf ,
,)()( 
 
Exemplos 16) Analise a continuidade da função 1
1)(
2


x
xxf 
 Solução: D = R – {1}. Não é definida em x = 1. 
21lim1
)1()1(lim1
1lim
11
2
1







 xx
xx
x
x
xxx
 
)1()(lim1 fxfx  , portanto, a função dada tem descontínua removível em x = 1. 
Redefinindo a função, obtemos: 







1,2
1,1
1
)(
2
xse
xse
x
x
xf 
 
 
Exemplo 17) Analise a continuidade da função: 


 1,1
1,3)(
xsex
xsex
xf 
Solução: Seja a  R. 
 se a > -1, temos f(a) = a + 3 
 33lim  axax 
 se a < -1, temos f(a) = -a + 1 
 11lim  axax 
se a = -1, temos f(-1) = -1 + 3 = 2 
23lim
1
 xx , 21lim1  xx , logo, 2)(lim1  xfx 
A função dada é contínua em todos os pontos do seu domínio.UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira 
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61
Exemplo 18) Analise a continuidade da função: 





2,3
2,2
1
)(
xse
xse
xxg 
Solução: D = R – {-2} 
 2
1lim
2 xx
 
portanto, a função dada tem uma descontínua essencial em x = -2. 
 
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62
EXERCÍCIOS 
1) Analise as seguintes funções, verificando a continuidade. 
a) 



 1,4
1,1)(
2
xsex
xsexxf 
b) 



 2,2
2,3)(
xse
xsex
xf 
c) 6
3)( 2  xxxf 
d) 2
1)( 2 

xx
xxf 
e) 4)(  xxf 
f) 1
2
 x
xy 
g) 
x
xy 1 
2) Calcule os seguintes limites: 
a) 
x
x
x
)5sen(lim0 resp: 5 
b) )(cos.lim0 xecxx resp: 1 
c) 


 x
x
x
6senlim0 resp: 0 
d) 


 x
xsen
x 32lim
 resp: 2
3 
e) )15sen(
)9sen(lim
0 x
x
x resp: 5
3 
f) )2sen(
)8sen(lim
0 x
x
x resp: 4 
g) 
x
x
x 7
)sen(lim0 resp: 0 
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63
h) 


 28
2cos3lim
x
x
x
 resp: 2
23 
i) 


 x
x
x 21
3cos2lim  resp: 0 
j) 

  112lim 2x
xsen
x
 resp: 1,19 
k) 30
)()(lim
x
xsenxtg
x


 resp: ½ 
l)  )ln()1ln(lim xx
x
 resp: 0 
m) 2
)2()(lim
2 

 x
senxsen
x
 resp: cos(2) 
n) 
x
ex x
x 2
1lim
2
0

 resp: 3/2 
o) 20
)2cos()cos(21lim
x
xx
x


 resp: -1 
p) )2(
1lim
)(
0 xsen
e xsen
x

 resp: ½ 
q) )()cos(
)(1lim
4 xsenx
xtg
x 


 resp: 2 
r) 1
1lim 55
22
1 



 x
x
x e
e resp: 2/5 
s) 
x
xsenx
x
)(3lim
2
0

 resp: -3 
t) 3
)3ln()ln(lim
3 

 x
x
x
 resp: 1/3 
u)   )(cot2
0
2)(31lim x
x
xtg resp: e3 
v) 

  xxxxlim resp: ½ 
x) )()2(
52lim
0 xsenxsen
xx
x 

 resp: 


5
2ln 
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64
z) )(
5434lim
0 xsen
xx
x

 resp: 


5
3ln4 
aa) 1
16316lim
0 

 x
x
x e
 resp: 16 ln(3) 
bb) )1ln(
93lim
2
0 

 x
x
x
 resp: 9 ln(3) 
 
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65
4. DERIVADA 
 
Introdução: A reta tangente 
 
Seja f uma função contínua e P(x, f(x)) um ponto sobre 
a curva y = f(x). Analisaremos agora, o cálculo da 
inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva 
traçada por f no ponto P. Para analisarmos esta questão, 
escolhemos um número pequeno x = x – xo, diferente de 
zero. Sobre o gráfico, marcamos o ponto Q(x+x, 
f(x+x)). Traçamos uma reta secante que passa pelos 
pontos P e Q. A inclinação desta reta é dada por: 
 
x
xfxxfmPQ 
 )()( (quociente de Newton) 
 Vamos fixar o ponto P, e Q ao longo da curva, aproximando-se de P. Logo, x  0 (dizemos 
que x tende a 0). Note que a reta secante PQ se aproxima a uma posição limite. Desejamos que 
essa posição limite seja a reta tangente. Assim, caso a reta tangente à curva de f no ponto P exista, 
PQm também se aproxima do coeficiente angular desta reta: x
xfxxfm
x 
 
)()(lim
0
. 
 
Derivada de uma função y = f(x) num ponto em que x = x0 
 Considere a figura acima, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num 
intervalo de números reais. 
 A operação para encontrarmos a derivada de uma função chama-se diferenciação. Calculamos 
a derivada utilizando o conceito de limites: aplicando a fórmula: 
 
x
xfxxfxf
x 
 
)()(lim)('
0 
 
lê-se: derivada de f em relação a x. 
xo = valor inicial no eixo x; f(xo) = valor inicial no eixo y 
x = valor final no eixo x; f(x) = valor final no eixo y 
x = x - xo; y = f(x) - f(xo) variações de x e y 
 
 
 
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66
4.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E GERAL DA DERIVADA 
 * Genericamente, a Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = xo pode ser entendida 
como a taxa instantânea da variação de y em relação a x no ponto (xo ; yo). 
 * Geometricamente, a derivada de uma função f num ponto xo é o coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa xo. 
Notações para a derivada de uma função y = f(x): 
 f'(x), fx(x), Dxf(x), y’ e 
dx
dy 
 Se a função é diferenciável em xo, então a equação da reta tangente ao gráfico da função f no 
ponto (xo , f(xo)) é: 
y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) 
 
 
Exemplo 1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 3x2 – 12 no ponto (1 , -9). 
Solução: 
x
xfxxfxf
x 
 
)()(lim)('
0
 
xxf
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
xxxxf
xxx
xx
6)('
)6(lim)6(lim)(6lim
12312)(63lim)123(12)(3lim)('
00
2
0
222
0
22
0









 
f’(1) = 6(1) = 6 
y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) 
y = 6(x – 1) – 9 
y = 6x - 15 
 
 
 
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67
INTERPRETAÇÃO MECÂNICA DA DERIVADA 
Velocidade média Velocidade instantânea Aceleração média 
Aceleração 
instantânea 
t
Sv 
 
dt
ds
t
Sv
t

  0lim t
va 
 
dt
dv
t
va
t

  0lim 
 
 
4.2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 
Derivada da Função Constante 
y = k => y’ = 0 0lim'
0

  x
kky
x
 
 
Derivada da Função Identidade 
y = x => y’ = 1 1lim'
0

  x
xxxy
x
 
 
Derivada da Função Potência 
y = xn => y’ = n xn – 1 
x
xxxy
nn
x 
 
)(lim'
0 
x
xxxxnxxnnxxnx
y
xxxnxxnnxxnxxx
quesetemNewtondebinômioPelo
nnnnnn
x
nnnnnn








)()(...)(2
)1(
lim'
)()(...)(2
)1()(
:
1221
0
1221
 
11221
0
1221
0
)()(...)(2
)1(lim'
)()(...)(2
)1(
lim'








nnnnn
x
nnnn
x
xnxxxnxxnnxny
x
xxxnxxnnxxn
y
 
Finalmente: 10
)(lim'  
 n
nn
x
xn
x
xxxy 
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68
Derivada do produto de uma constante por uma função 
Seja g(x) = k f(x) => g’(x) = k f’(x) 
)(')('
)()(lim)()(lim)()(lim)('
000
xfkxg
x
xfxxfk
x
xfxxfk
x
xfkxxfkxg
xxx




 
 
 
Derivada da soma e diferença de funções 
Seja h(x) = f(x)  g(x) => h’(x) = f’(x)  g’(x) 
 
x
xgxxg
x
xfxxfxh
x
xgxxgxfxxf
x
xgxfxxgxxfxh
xx
xx







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)()(lim)()(lim)('
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00
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Finalmente: h’(x) = f’(x)  g’(x) 
 
 
Derivada do Produto de funções 
Seja f(x) = u(x)v(x)