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Movimento Harmônico

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prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
AULA 02
Movimento Harmônico
1
• Movimento Harmônico
• Expansão de funções em séries de Fourier
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Movimento Harmônico
2
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Movimento Harmônico
3
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
MOVIMENTO PERIÓDICO
• Ocorre quando o movimento se repente em intervalos de tempo iguais
MOVIMENTO HARMÔNICO
• O movimento harmônico simples é uma forma de movimento periódico
CICLO
• Movimento de um corpo vibratório de sua posição de repouso ou equilíbrio até sua 
posição extrema em um sentido, então até a posição de equilíbrio, daí até sua 
posição extrema no outro sentido e de volta à posição de equilíbrio
AMPLITUDE
• O máximo deslocamento de um corpo vibratório em relação à sua posição de 
equilíbrio
Movimento Harmônico
4
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
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PERÍODO DE OSCILAÇÃO
• O tempo que leva para concluir um ciclo de movimento
FREQUÊNCIA DE OSCILAÇÃO
• O número de ciclos por unidade de tempo
• Geralmente expresso em Hz (Hertz = 1 ciclo por segundo)
FREQUÊNCIA NATURAL
• Se, após uma perturbação inicial, um sistema continuar a vibrar por si próprio sem a 
ação de forças externas, a frequência com que ele oscila é conhecida como sua 
frequência natural
• Um sistema vibratório com N graus de liberdade terá, em geral, N frequências 
naturais de vibração distintas.
OITAVA
• Quando o valor máximo de uma faixa de frequência é o dobro do valor mínimo, essa 
faixa é conhecida como oitava
Movimento Harmônico
5
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
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ÂNGULO DE FASE
• Considerando dois sinais x1 e x2, síncronos (possuem a mesma 
frequência angular (omega) a diferença angular entre eles é 
denominado ângulo de fase
Movimento Harmônico
6
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
BATIMENTO
• Quando dois movimentos harmônicos cujas frequências estão próximas uma da 
outra são somados, o movimento resultante exibe um fenômeno conhecido como 
batimentos. 
Movimento Harmônico
7
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
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Decibel
• As várias quantidades encontradas na área da vibração e do 
som (como deslocamento, velocidade, aceleração, pressão e 
força) são frequentemente representadas usando a notação de 
decibel.
• O decibel foi originalmente concebido a partir de uma relação 
de potências:
• Na prática a notação também é usada para expressar as 
razões entre outras quantidades
• De modo geral os valores de referência geralmente usados em 
vibrações são:
Movimento Harmônico
8
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
• O movimento harmônico pode ser 
decomposto em X e Y, sendo assim 
cada componente pode ser descrita 
como:
• Um número complexo e representado 
como uma parte real e uma imaginária:
• Sendo assim, também podemos 
representar o movimento harmônico na 
forma complexa:
Representação de funções harmônicas
9
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Álgebra de números complexos
10
O número complexo i, as vezes 
denotado como j, possui a seguinte 
relação:
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Operações com funções harmônicas
11
Usando a representação por números 
complexos, podemos expressar o 
movimento harmônico como:
A diferenciação do movimento 
harmônico em relação ao tempo 
resulta em:
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Operações com funções harmônicas
12
Como consequência da notação complexa se 
o movimento for dado pela porção real, 
podem obter:
Deslocamento
Velocidade:
Aceleração:
Se o movimento for dado pela porção 
imaginária temos:
Deslocamento
Velocidade:
Aceleração:
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Operações com funções harmônicas
13
Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente:
onde:
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Análise Harmônica
Expansão em Séries de Fourier
15
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
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• Embora o movimento harmônico seja o mais simples de tratar, o movimento de 
muitos sistemas vibratórios não e harmônico. 
• Contudo, em muitos casos, as vibrações são periódicas.
• Felizmente, qualquer função periódica de tempo pode ser representada por série 
de Fourier como uma soma infinita de termos em seno e co-seno.
Análise Harmônica
16
Função original Aproximação da função original por soma de senos e co-senos
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Expansão em série de Fourier
17
Toda função periódica pode ser expressa por uma série de somas infinitas de senos e co-senos abaixo. Esta série é conhecida como
Os coeficientes são dados por:
Período da função
Frequência fundamental
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Expansão em série de Fourier
18
Visto que uma função de senos e co-senos pode ser expressa na 
forma complexa, também podemos ter a série de Fourier expressa em 
termos de um somatório de números complexos
Período da função
Frequência fundamental
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
• Quando uma função periódica é representada por uma série de Fourier, pode-se 
observar um comportamento anômalo.
• À medida que o número de termos (n) aumenta, pode-se perceber que a aproximação 
melhora em todos os lugares, exceto na vizinhança da descontinuidade (ponto P da 
figura). 
• Nesse caso, o desvio em relação à verdadeira forma da onda estreita-se cada vez 
mais, porém não diminui quase nada em relação à amplitude.
• Observou-se que o erro na amplitude permanece em aproximadamente 9%.
• Esse comportamento é conhecido como fenômeno de Gibbs, nome que se deve a seu 
descobridor.
Fenômeno de Gibbs
19
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Espectro de frequência
20
As funções harmônicas
São denominadas as harmônicas da função periódica
A harmônica de ordem n tem um período 
Espectro de 
frequência
prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br
VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Domínio do tempo e domínio da frequência
21
A expansão por série de Fourier permite a descrição de 
qualquer função periódica usando uma representação no 
domínio do tempo ou da frequência.
Domínio do tempo Domínio da frequência
FUNÇÃO:
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VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos
Domínio do tempo e domínio da frequência
22
A expansão por série de Fourier permite a descrição de 
qualquer função periódica usando uma representação no 
domínio do tempo ou da frequência.
Domínio do tempo Domínio da frequência
FUNÇÃO: onda triangular (dente de serra)
Exemplo - Representação em Séries de 
Fourier
23