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prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos AULA 02 Movimento Harmônico 1 • Movimento Harmônico • Expansão de funções em séries de Fourier prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Movimento Harmônico 2 prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Movimento Harmônico 3 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br MOVIMENTO PERIÓDICO • Ocorre quando o movimento se repente em intervalos de tempo iguais MOVIMENTO HARMÔNICO • O movimento harmônico simples é uma forma de movimento periódico CICLO • Movimento de um corpo vibratório de sua posição de repouso ou equilíbrio até sua posição extrema em um sentido, então até a posição de equilíbrio, daí até sua posição extrema no outro sentido e de volta à posição de equilíbrio AMPLITUDE • O máximo deslocamento de um corpo vibratório em relação à sua posição de equilíbrio Movimento Harmônico 4 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br PERÍODO DE OSCILAÇÃO • O tempo que leva para concluir um ciclo de movimento FREQUÊNCIA DE OSCILAÇÃO • O número de ciclos por unidade de tempo • Geralmente expresso em Hz (Hertz = 1 ciclo por segundo) FREQUÊNCIA NATURAL • Se, após uma perturbação inicial, um sistema continuar a vibrar por si próprio sem a ação de forças externas, a frequência com que ele oscila é conhecida como sua frequência natural • Um sistema vibratório com N graus de liberdade terá, em geral, N frequências naturais de vibração distintas. OITAVA • Quando o valor máximo de uma faixa de frequência é o dobro do valor mínimo, essa faixa é conhecida como oitava Movimento Harmônico 5 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br ÂNGULO DE FASE • Considerando dois sinais x1 e x2, síncronos (possuem a mesma frequência angular (omega) a diferença angular entre eles é denominado ângulo de fase Movimento Harmônico 6 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br BATIMENTO • Quando dois movimentos harmônicos cujas frequências estão próximas uma da outra são somados, o movimento resultante exibe um fenômeno conhecido como batimentos. Movimento Harmônico 7 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br Decibel • As várias quantidades encontradas na área da vibração e do som (como deslocamento, velocidade, aceleração, pressão e força) são frequentemente representadas usando a notação de decibel. • O decibel foi originalmente concebido a partir de uma relação de potências: • Na prática a notação também é usada para expressar as razões entre outras quantidades • De modo geral os valores de referência geralmente usados em vibrações são: Movimento Harmônico 8 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br • O movimento harmônico pode ser decomposto em X e Y, sendo assim cada componente pode ser descrita como: • Um número complexo e representado como uma parte real e uma imaginária: • Sendo assim, também podemos representar o movimento harmônico na forma complexa: Representação de funções harmônicas 9 prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Álgebra de números complexos 10 O número complexo i, as vezes denotado como j, possui a seguinte relação: prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Operações com funções harmônicas 11 Usando a representação por números complexos, podemos expressar o movimento harmônico como: A diferenciação do movimento harmônico em relação ao tempo resulta em: prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Operações com funções harmônicas 12 Como consequência da notação complexa se o movimento for dado pela porção real, podem obter: Deslocamento Velocidade: Aceleração: Se o movimento for dado pela porção imaginária temos: Deslocamento Velocidade: Aceleração: prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Operações com funções harmônicas 13 Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente: onde: prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Análise Harmônica Expansão em Séries de Fourier 15 VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br • Embora o movimento harmônico seja o mais simples de tratar, o movimento de muitos sistemas vibratórios não e harmônico. • Contudo, em muitos casos, as vibrações são periódicas. • Felizmente, qualquer função periódica de tempo pode ser representada por série de Fourier como uma soma infinita de termos em seno e co-seno. Análise Harmônica 16 Função original Aproximação da função original por soma de senos e co-senos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Expansão em série de Fourier 17 Toda função periódica pode ser expressa por uma série de somas infinitas de senos e co-senos abaixo. Esta série é conhecida como Os coeficientes são dados por: Período da função Frequência fundamental prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Expansão em série de Fourier 18 Visto que uma função de senos e co-senos pode ser expressa na forma complexa, também podemos ter a série de Fourier expressa em termos de um somatório de números complexos Período da função Frequência fundamental VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br • Quando uma função periódica é representada por uma série de Fourier, pode-se observar um comportamento anômalo. • À medida que o número de termos (n) aumenta, pode-se perceber que a aproximação melhora em todos os lugares, exceto na vizinhança da descontinuidade (ponto P da figura). • Nesse caso, o desvio em relação à verdadeira forma da onda estreita-se cada vez mais, porém não diminui quase nada em relação à amplitude. • Observou-se que o erro na amplitude permanece em aproximadamente 9%. • Esse comportamento é conhecido como fenômeno de Gibbs, nome que se deve a seu descobridor. Fenômeno de Gibbs 19 prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Espectro de frequência 20 As funções harmônicas São denominadas as harmônicas da função periódica A harmônica de ordem n tem um período Espectro de frequência prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Domínio do tempo e domínio da frequência 21 A expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função periódica usando uma representação no domínio do tempo ou da frequência. Domínio do tempo Domínio da frequência FUNÇÃO: prof. Cleiton Silvano Goulart cleiton.goulart@facthus.edu.br VSM Vibrações em Sistemas Mecânicos Domínio do tempo e domínio da frequência 22 A expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função periódica usando uma representação no domínio do tempo ou da frequência. Domínio do tempo Domínio da frequência FUNÇÃO: onda triangular (dente de serra) Exemplo - Representação em Séries de Fourier 23
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