Atividade 3 Cálculo I - UAM 2019-08

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Execute o que se pede para a função f(x) = x4 - 2x³. 
 
a) Encontre os pontos críticos. 
b) Encontre pontos de inflexão. 
c) Encontre intervalos de crescimento e decrescimento. 
d) Estude a concavidade. 
e) Determine os extremos relativos. 
f) Determine os extremos absolutos. 
g) Esboce o gráfico. 
f(x)=x⁴–2x³ 
f'(x)=4x³-6x² 
4x³-6x²=0 
2x² (2x-3) 
2x = 0 
x = 0/2 
x = 0 
2x – 3 = 0 
2x = 3 
x = 3/2 
g(x) = 2x² 
h(x) = 2x – 3 
Sinais 
f'(-1) = 4 (-1)³ - 6 . 1² = - 4 - 6 = - 10 
f'(1) = 4 . 1³ - 6 . 1² = 4 - 6 = - 2 
f'(2) = 4 . 2³ - 6 . 2² = 32 - 24 = 8 
Sinal da primeira derivada 
+ derivada crescente 
- derivada decrescente 
g(x) > 0 para todo x real 
h(x) = 2x – 3 
h(x) > 0 se x > 3/2 se h(x) < 0 se x < 3/2 
f'(x) < 0 se x < 0 função decrescente e f'(x) > 0 se x > 3/2 função crescente 
Concavidades 
f'' = 12x² - 12x = 0 
12x (x - 1) = 0 
x = 0 
x = 1 
4 . 1³ - 6 . 1² = 4 - 6 = -2 
4 . (-1)³ - 6 . (-1)² = - 4 - 6 = - 10 
(Analisar o sinal em volta de x = 0 e x = 1, determina a concavidade) 
Respostas: 
a) Pontos críticos em x = 0 e x = 3/2 
b) Ponto de inflexão em x = 0 e x = 1 
c) A função é decrescente em (-∞, 3/2) e a função é crescente em (3/2, +∞) 
d) Concavidade para baixo (0,1) e concavidade para cima (-∞, 0), (1, +∞) 
e) Não há extremos relativos tendo em vista que os únicos pontos críticos são x = 0 que é uma inflexão e x = 
3/2 o mínimo absoluto 
f) A mudança de sinal na função ao passar pelo ponto 3/2, sendo negativo pela esquerda e positivo pela direita 
caracteriza o mínimo absoluto dessa função 
g)