-Calculo-de-Pilares-de-Concreto-Armado

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Curso ABECE - Calculo de pilares clco CC)I-;CriilO .J( ,\i:xic
1 Sobre o tema
o c6lculo de pilares de concreto armodo e. sem sombra de duvidcs. um dos temas
mois interessantes e instigantes de toda Engenharia de Estruturas. Trata-se de um
assunto que esta sempre em yoga, e cercado por muitas discuss6es e, naturalmente,
por algumas diverqencios e controversies.
Com 0 entrada em vigor da NBR 6118:2003, inumercs duvidos a respeito do colculo de
pilares surgiram no meio tecnico profissional, visto que diversas novidades foram
introduzidas nessa recente norma de concreto.
Apenas para citar um exemplo, se antes na extinta NBR 6118: 1978 tinhamos apenas
um metodo pora analisar os efeitos locais de 2° ordem, hoje. na atual NBR 6118:2003,
temos quatro formokicoes distintas disponiveis. levando-nos a questionar:
a Qual metodo deve ser adotado no projeto de um edificio usual?
Como obter a rigidez de um diagrama N, M, l/r?GO
• Qual metodo tornoro a estruturo mais segura?
• Emquais casos deve-se utilizar 0 rnetodo geral?
Alem disso. no pr6tica, como qualquer outre area tecnol6gica, todas essasinovccoes
ficarom atreladas aos computadores que, 00 mesmo tempo em que permitiram que
processomentos ate entco invi6veis fossem realizodos de forma produtiva, passaram a
usar novos conceitos ainda nco muito bem disseminados no meio tecnico de forma
efetiva e corriqueira. 0 termo "momento-curvatura", por exemplo, noo era too
comu m h6 alguns anos ctros como e hoje em dia nos softwares atuais.
Dionte desse panorama que ocaba de ser descrito, cabe entoo ao Engenheiro de
Estruturasa dificil tarefa de se manter sempre atualizado, j6 que 0 assunto em questco.
o colculo de pilares de concreto armado, pode ser decisive no tomada de decis6es
durante a eloborocco ou verificocco de um projeto estrutural.
Eng. Alio Ernesto Kimura 1
Curso /\BECE - Calcu!o de pilares de COI"ICI~Gi:O armado
2 Apii'e~em!'hlA€;i@ d<r» curse
o colculo de pilares como um todo e um tema amplo, que abrange uma teoria
relativamente complexa e que envolve vorios assuntos, tais como: analise noo-lineor.
estabilidade global, dimensionamento de sec;:6esde concreto armado, tecnicos de
detalhamento de armaduras, etc. Existem inurneros publicac;:6es (Iivros, teses, artigos)
que cobrem coda um dessestcpicos de forma rica e detalhada.
Diante dessa diversidade de temas, portanto, e importante deixar bem claro qual 0
real intuito desse curso: 0 seu foco principal sera 0 colculo de estorcos em pilares, mais
especificamente no que se refere a analise das imperfeic;:6esgeometricas locais e dos
efeitos de 2° ordem.
Serdo abordados desde conceitos bosicos ate avanc;:ados. Pretende-se proporcionar
uma visco prcticc e objetiva dos problemas estudados, sem se cprofundor
demasiadamente em deducoes mcternoticcs. Procurer-se-e transmitir os conceitos de
forma "concreta", de tal forma que possam ser aplicados diretamente no dia-a-dia.
Diversosexemplos seroo resolvidosmanual mente, passo-a-passo. Emalguns deles, sera
necessorio tazer 0 usa de sistemas computacionais destinados a eloborccco de
projetos de estruturas de concreto, de tal forma a aprimorar e agilizar 0 aprendizado.
Veja, a seguir, alguns pontos que serco abordados durante 0 curso:
• Revisoo de conceitos importantes utilizados no colculo de pilares, tais como a
nao-linearidade fisico. a nCio-linearidade geometrica, a relccoo momento-curvatura,
o caeficiente Yf3, entre outros.
• Ctossificocco e metodologias usuais para obtencoo dos esforc;:osatuantes num
pilar de um edificio de concreto armado.
• Apresentocco dos rnetodos existentes para analise das lrnperteicoes
geometricas locais, principalmente no que se refere a cplicocco do momento minimo
de primeira ordem (Mld.min).
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curse ABECE - Calculo de pilares de C;)nCTr,)u :'!rm:,icia
• Estudo detalhado do diagrama N,M, l/r proposto pela NBR6118:2003,que
serve como base para os processosmais refinados de colculo dos efeitos locais de 2°
ordem.
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'1,25E-2
• Estudo dos processos disponiveis para analise
dos efeitos locais de 2° ordem: pilor-podroo com 1/r
aproximada, pilor-podrco com rigidez K aproximada,
pilor-podroo acoplado a diagramas N,M, 1/r e mefodo
gera!.
"1,97E-2
M2d,local
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(/;/" I (lance de pilar)
• Analise a tlexoo composta obliqua por meio da iineorizocoo que permite
desacoplamento das duos direcoes. bem como pela curva real obliqua.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 3
Curso ABECE - Calculo de pllares de concreto arrnado
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" Analise dos efeitos localizados de 2"
ordem em pilar-parede pelo rnetodo
aproximado presente no NBR 6118:2003 e por
uma modelagem com molho.
" visoo geral de aspectos gerenciais relevantes no projeto de pilares de edificios
de concreto armado.
• Apresentccoo de tendencies no c61culo de pilares de concreto armado.
De forma alguma, esse curso se prop6e a colocar um ponto final no que se refere 00
c61culo de pilores. mesmo porque existem diversas questiSes ainda em aberto, sem
resposta definitiva. 0 que se objetiva, sirn. e esclorecer as duvidos atuais mais comuns
presentes no meio teomco profissional.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curse J-\BECE - Calculo de pilares de GCii'icrdc! ,:.~)':fl::;c!C'
3 Sn1l:rodu~ao
3.1 Hmportan~Dat des puBares
Porque um ediffcio cai?
Trata-se de uma questco extremamente complicada de se responder, pois existem
inumeros causas que podem levar um predio a ruino. Cada caso e um coso. e e
imposslvel generalizar a resposta.
No entanto, todo Engenheiro de Estruturosprecisa pensar sobre esseassunto, tirar suas
proprics conclusoes. e principal mente, cercar-se de atitudes que evitem tal desastre.
Afinal de contos, todo projeto deve conduzir a uma estrutura segura.
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Ruptura
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Obviamente, qualquer pec;:a numa estrutura tem a sua devida import6ncia e precisa
ser dimensionada corretamente para atender as funcoes a que se destina. Existem,
porern. certos tipos de elementos que necessitam ter um cuidado redobrado, pois
podem ocosionar consequencics mais graves, como 0 colapso total da edificocco.
Dentre eles. estero os pilares.
Um erro grosseiro no calculo dos pilares pede derrubar urn ediffcie!
Eng. Alio Ern esto Kimura 5
Curso ABECE - Calculo de pilares de concreto armada
A ofrrnocoo anterior e um tanto quanta "pesada". Encare-a nee como uma omeoco,
mas sim, como uma forma de lernbrc-lo de que os pilares 500 vitais no sequroncc
estrutural de um edificio. E que, por esta rczoo. precisam ser calculados,
dimensionados e detalhados com muito rigor e ctencoo.
3.2 If'lUltrii~oes de um I]lDOall"
Basicamente, os pilares tem as seguintes tuncoes no comportamento estrutural de um
edificio:
• Resistiras cargos verticais presentes no estrutura e transmiti-Ias aos elementos
de fundccoo.
a Resistiras cargas horizontais atuantes no estrutura, auxiliando de forma
significativa na monutencco do estabilidade global do ediffcio.
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Taxa de co rnpress ao
Os pilares, principolmente nos lances junto a base de ediffcios altos, estcrco
constantemente submetidos a uma elevada torcc normal de cornpressco.
Esta force. principal mente em pi lares mais esbeltos, tende a desestabilizor os mesmos,
podendo ocasionar uma situocco de desequilfbrio indesejovel.
Eng. Alia Ernesto Kimura
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Curso ABl=:CE - Calculo de pilares de :-:~r)T!2~dG
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Com a tendencio natural de se buscar espocos maiores nos edificccoes com 0 intuito
de otimizar 0 aproveitamento do construcoo. tanto 0 nurnero bem como as
dirnensoes dos pilares vern sendo gradativamente reduzidas, aumentando ainda mais
a responsabilidade dos mesmos.
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Os pilares, coda vez mais, soo obrigados a suportar elevadas taxos de cornpressoo.
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Eng. Alio Ernosto f<imur3
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Curso AHECE - Calculo de pilares de COIlCI'C-:)to armado
:iI.J Pariicll.liGall'idlades
o que e urn pilar?
Definir 0 que e um pilar??? 0 que e isso???Todo Engenheiro de Estruturassabe muito
bem 0 que e um pilar!
Correto, porern e importante nee subestimar essa pergunta, pois existem muitos casas
no qual urn elemento e tratado e calculado como um simplespilar indevidamente.
Veja, a seguir, tres sttuocoes bastante frequentes no projeto de edificios de concreto
armado.
Pilar-parede nao e pilar!
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Pilar Pllar-parede
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Pilar-porede e um elemento de superflcie. E, portanto, nco pode ser tratado como um
pilar comum (elemento linear). Existem considerccoes especiais que devem ser
levadas em conta em seudimensionamento.
Eng. Alio Eruesto Kimura
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Tirante nao e pilar!
Curso ABECE - Calculo de pilares de corrcreto ,'l\lllGcto
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Cornpresseo
Pilar
Tra~go
Tira'6te
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Apesar de possuir uma geometria semelhante, dimensionar um tirante nee e a mesma
coiso que dimensionor um pilar.
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Pilar-inclinado nao e pilar!
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(Eleva!;ao)
Dependendo do 6ngulo de inclinocoo do elemento estruturol, ele nco pode ser
tratado como um simples pilar, pois cporecerco estorcos de flexco e cisalhamento
consideroveis. e a force normal de compressco pode deixor de serpreponderante.
Enq. Alia Ernesto Kimura 9
Curse ABECE -- Calculo de pilaros de concreto arrnado
Atencao nessas sltuacoes
As situac;:6esdescritas anteriormente (pilar-parede, tirante, pilar-inclinado) sac muito
comuns em ediffcios de concreto armado. E importante estar atento para 0 que pode
ser considerado como um simples pilar ou noo.
Oependo do coso, fozer 0 cclculo como um pilar comum nestas condicoes e uma
otimc reterencio para uma oproxirnocoo inicial. J6, em outros, erros graves podem
estar sendo cometidos de forma total mente despercebida, tornando a estrutura
insecure.
3.4 Ca~cui@cIle l!J.lM ~nO,lIl"
Abstracao da vida real
Quando calculamos uma estruturo ou parte dele. seja de forma manual au par meio
de um computador, estamos odotando explicitamente um prot6tipo cujo objetivo e
simular 0 comportamento da mesma na vida real. Essae uma condicco primcrio que
em hipotese alguma pode ser tratado de forma implicita.
Por mais sofisticado que seja 0 modelo adotodo, nem sernpre. ou melhor dizendo.
jomais canseguiremos obter respostas durante 0 c61culo que traduzam a realidade de
forma 100% exata. Sempre existirco lirnitocoes decorrentes das aproximac;:6es
consideradas.
Essasafirmac;:6espodem nos ouxiliar a dar uma resposta a uma questco normalmente
levantada no meio tecnico:
Eu sempre fiz desse jeito e nunca deu problema. Par que tenho que mudar?
A margem de sequronco de um ediffcio de concreto armado e algo muito dificil de
ser mensurada, principal mente se tratada de forma gerol. Se mesmo em ensaios
laboratoriais controlados nos mfnimos detalhes, muitas vezes e dificil reproduzir
respostos uniformes, imagine em estruturas reais!
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curso ABECE - Calcu!o de pilares d e concrsto :;ml>"do
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Durante a eicborccco de um projeto estrutural. trabalhamos com inurnercs hipote ses.
oproxirnocoes e, principal mente, valores que, no protico. podem se tornar
discrepantes.
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Quando calculamos um pilar, por exemplo, procuramos estabelecer diversos criterios
de seguranc;:a, mas que podem variar para mais {mais seguranc;:a} ou menos {menos
sequrcncc) na vida real. Dificilmente descobriremos a real exotidoo dos colculos
efetuados.O ELU(Estado Limite Ultimo) e algo ut6pico, mas estritamente necessorio.
A busca por metodologios que procuram retratar 0 realidade de forma mais precisa e
algo extrema mente bem-vinda, salutar e que enriquece a profissoo, Sem de forma
alguma menosprezar os processos aproximados, que tern sim sua devida relevoncio no
nosso dia-a-dia, e importante caminhar no sentido de aprimorar 0 colcuio e entender
melhor os tenornenos ffsicos, mesmo porque somente dessa forma e que saberemos 0
"quoo aproximado" soo os metodos simplificados.
Portanto, a questoo colocada anteriormente, "Eu sempre fiz desse jeito, e nunca deu
problema. Por que tenho que mudar?", pode serencarada de uma outra forma:
Sera que os processos que tenho utilizado estco sempre a favor da seguran<;:a?Sera
que 0 que estou fazendo pode apresentar problema algum dia?
No essencio, essa e uma das raz6es que coloca a Engenharia de Estruturos num
patamar diferenciado, que envolve responsabilidade, discernimento e coerenclo.
Trabalha-se com limites opostos, a seourcnco e a economia, que, perante toda a
sociedade, devem que ser atendidos na sua plenitude.
Aproxlmaco es
no calculo de um pilar
Apesar de um tanto filos6fico, as considerccoes colocadas anteriormente sac
importantes, pois nos servem para chamar a otencco para a seguinte questco: quais
oproxirnccoes soo adotadas no colculo de um pilar? Como um pilar, na vida real. e
calculado durante a projeto estrutural?
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Eng. Alio Ernesto Kimura 11
Curse i\BECE - Calculo de pilares d(:;concreto arrnado
Antes de adentrar a fundo no c61culo de efeitos de 2° ordern. irnperteicoes
geometricos, fluencic. diagramos momento-curvatura, Mld.min, me todo gera!. etc ..., e
extrema mente importante ter em mente exatamente como estamos calculando um
pilar, e quais simplificcrcoes estoo sendo tomados. Isso e imprescindivel para se ter
controle global de um projeto estrutural.
Vejamos, a seguir, um resumo de como um pilar e comumente calculado hoje em dia.
Seja uma estrutura real, como a apresentada no figura 00
lado, cujos pilares precisam ser dimensionados e
detalhados pelo Engenheiro de Estruturas.
Nota: a foto 00 lado e de uma consrrucoo localizada no
cidade de Porto Alegre (RS), e e capo do capitulo
..Slender Columns" do livro "Reinforced Concrete -
Mechanics and Design" de James G. MacGregor e James
K. Wight.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curso ABECE - Calculo de pilares dG CD0CiGtC> ElrTi'I:Y'O
O,8.Ere ou O,7.Ere
A estrutura como um todo e
calculada no computador por
meio de uma modelagem
nurnerico (portico espacial.
grelhas. elementos finitos, ",), que
contern diversas aproximac;:6es.
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A rigidez a flexco EIda secco transversal dos pilores e minorada para analise no Estado
Limite Ultimo (ELU)a fim de consideror a noo-lineoridqde fisica de forma aproximada
(OJ.Elc ou O,8.Elc). A rigidez axial dos mesmos e majorada a fim de compensar os
efeilos decorrentes da construcoo. De onde vern essescoeficientes?
Nessa etapa, um lance de pilar esto "imerso" no meio da estrutura. Suas vinculac;:6es
no tapa e no base soo relativamente bem simuladas por meio das ligac;:6es com os
elementos de vigas e lajes.
Durante esse colculo global, as efeitos globais de 2° ordem see entdo avaliados (O.9S.yz
au P-£'...),bem como as imperfeic;:6es geometricas globais (desaprumo do ediffcio como
um todo).
Eng. Alia Ernesto Kimura 13
Curse .l\SECE - Calculo de pil ares de concreto armado
-- -. -. i<11
Apoios simples Uma vez efetuado 0 colculo
global. coda lance de pilar e
extraido desse modele e passa
o ser analisado de forma
isolada.(Modelo Local)
Nessemodelo local, as vinculac;:6esno topo e na base passam a ser tratadas de forma
bastante simplificada (apoios simples), de tal forma 0 manter 0 equilibrio de estorcos
com 0 modele globaL
A noo-lineoridode fisica, por sua vet: e considerada de forma mais refinada que no
modelo global {l/r aproximada, rigidez aproximada, rigidez acoplada a diogromo N,
M,l/r).
Os efeitos locais de 2° ordem sac entoo avaliados por processo aproximado (pilar-
pndroo ou pilor-pcidroo melhorado) ou processos iterativos mais refinados ("P-a")
Nessa etopa, sco tornbern calculados os esforc;::osdevido as imperfeic;::6esgeometricas
locais (falto de retilineidade ou desaprumo no lance) e a fluencia (detorrnccco lenta).
Eng. Alia Ernesto I<imura
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Curso /\BECE - Calculo de pilares de concr;:-;:c ci!ii!,J(jO
Cancluindo
E impartante notor que ho uma serie de slmphficocoes consideradas durante tado 0
processo de colcuio dos pilares de uma estrutura, sem contor as oproxirnccoes
posteriores inerentes as etapos de dimensionamento e detalhamento.
Asseguintes questces ficam em aberto:
• Par que ndo tratar todo problema par meio de um modele unico. sem a
seporocco global do local?
• Par que nco considerar a rigidez dos elementos de forma uniforme?
• As imperfeic;:6esgeometricas que podem ou nee aparecer durante a
construcco da estrutura ndo poderiam serconsideradas de outra forma?
•• Ea fluencia? Seraque as forrnulocoes atuais see condizentes com a realidade?
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Essasquestces deixam evidente 0 quanta temas ainda que evoluir, ao mesmo tempo
em que servem para nos lembrar: 0 colculo atual de pilares e repleta de
simplificac;:6es!E,portanto, todo cuidado na hara de dimensiono-los e necessorio.
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En9. Alio Ernesto Kimura 15
Curso ABfECE- Calculo de pilaros de concreto arrnado
4. R~'tffi$i@
A seguir, sera realizada uma revisoo sucinta de alguns conceitos fundamentais que see
aplicados no colculo de urn pilar.
4.1 Analise nao-Biin~alf
Praticamente, todo 0 colculo de esforcos de 2° ordem em pilares de concreto armado
e baseado em analise noo-lineor, seja ela aproximada ou refinada.
E muito imporiante, portanto, que se identifique clara mente como as ndo-lineoridddes
(fisica e geometrical estco sendo considerados em coda coso, pois muitas vezes elas
sac adotadas de forma implfcita e podem "possor" de forma despercebida.
De forma bastante simplificada, pode-se dizer que uma analise noo-lineor e um
colculo na qual a resposta do estrutura, seja em deslocamentos, estorcos ou tensoes.
possui um comporiamento noo-lineor. isto e. desproporcional a medida que um
carregamento e aplicado.
Exemplo
Seja uma estrutura qualquer submetida a um carregamento "P", cujo deslocamento
resultante num determinado ponto e igual a "d".
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Curse ABECE·- Calcul o de pilares de, conc,":>lu ~'t:"naclu
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Agora, imagine se odicionossernos nesta estrutura mois uma mesma cargo "P", de tal
maneira que 0 carregamento total ficasse igual a "2,P". Qual sera 0 deslocamento
resultante?(
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Sefor efetuada uma analise puramente linear, certamente 0 deslocamento resultante
sera proporcional 00 ocrescimo de cargo, isto e. igual "2.d". A resposta do estrutura
em lermos de deslocamentos tero um comportamento linear 6 medida que 0
carregamento e aplicado.
Por sua vez, se for efetuada uma analise nco-llneor. 0 deslocamento resultante noo
sera proporcional 00 ccrescirno de cargo, isto e. sera um valor diferente de "2.d". E
mais, provavelmente maior que "2.d". A resposta do estrutura em termos de
deslocamentos tero um comportamento ndo-lineor 6 medido que 0 carregamento e
aplicado.
CJ H' p~I.""'1--!'-'{. d NP .:' . .__c---~ I ~ '/ I 2P ... , ...::s-:_-;"'---fliao-linear
L ~ /1 J P /'! . I d
-'--> I ~,~~~~.<>_
I ~~~"--- 1 .' ~::> >IIJ.d
I "". d. _,dl l..A. H.'d [.'';'.C. na.o-lIn.eal ..-rrrr- . '
(
(
(
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(
Eng. Alio Ernesto Kimura 17
Curso I\B~:;CE - Calculo de pilares de concreto armado
Basicamente, existem dois fatoresprincipais que geram 0 comportamento noo-lineor
de uma estrutura:
'r"'Tfij '~
," iL"d~lisio['a
• Altercicoo das propriedades dos
materiais que comp6em a estrutura,
designada "noo-lineoridode tfsica" (NLFJ.
Q> material
L
"..".#
~
~1..1f1f G':"'It~ IL ,: ecmetric a
p
/
/ »>:
,
/'
• Alterayao da
geometria da estrutura,
designada "nco-
linearidade geometrica"
(NLG).
(; geometria
~ d
4.1.1 Nao-ttneartdade flsica
A nao-linearidade ffsica na analise de estruturas de concreto armado que, diga-se de
passagem, e um material essencialmente nco-lineor. pode ser tratada de diferentes
formas, desde processos aproximados ate metodologias mais complexas.
Eng. Alia Ernesto Kimura
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18
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CUfSO !\BECE - Calculo cle pilares do concreto ,:!nnc,C!o
Nao-Iinearidade flslca de forma aproximada
Uma maneira aproximada para considerar a nco-lineoridode ffsica em uma estrutura,
isto e. considerar a vcriccco do comportamento do material a medida que 0
carregamento e aplicado, e alterar diretamente 0 valor do rigidez dos elementos que
a comp6e.(
(
r'·, "l":"~
<, ..> 1£?)°DI()lD(oJ(~~.' U'· .2l i;:;1 [-
'j'
+: .r
'~ ../
( NLI~
aproximada(
(
(
E 0 que fazemos, por exemplo, no colculo do portico espacial no Estado Limite Ultimo
(ELU)quando adotomos O,8.Elcnos pilares e OA.Elcnos vigas.
(
(
(
(
(
(
Outro exemplo: reoucco de rigidez nos bordas de laje de tal forma a simular umo
passivel fssurocoo do concreto nessos repices. Em elementos predominantes fletidos
como vigos e lajes, a fissurocoo e preponderante no comportamento nco-linecr do
estrutura.
Nao-linearidade ffsica de forma refinada
Uma maneira mais refinada de trotar a noo-Ineoridode ffsico em uma estrutura e par
meio do uso de relccoes momento-curvatura.r
(
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s
..... ;----...,..
, .
,, Ie;< e2-] Curvatura e a voriocco do ongulo derotccoo 00 longo de um trecho (dB/ds) e,
portanto nco e expresso em graus ou
radianos.61:-"
I'",•o
. 0
'092
s
Eng.Aiio Ernesto Kimura 19
Curso /\BECE - Calculo de pilares de concreto armado
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- 0 _""V·
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•o
A maneira mais comum e tornbern cerreta
de definir curvatura e sendo 0 inverso do
raio de curvatura (1 /r).
Em uma secoo de concreto armado, a curvatura po de ser expressa de forma
aproximada do seguinte forma:
q r-, 0 [1Jfi'V<~tu~·.a.
.1. J, -1 ;....//
/! !
As/: ---
o ('/>
rh q 1\ 1+= €,~8, 1
ill 8LJl d\ I ::;5
-:'j ~~
Ou seja, com as deforrnccoes no concreto e no ceo. Eo e Es, e a altura util d. e possivel
calcular a curvatura em uma secco de concreto armado.
Iornbern de forma aproximada, e possivel relacionar a curvatura de uma secco com
a momenta fletor atuante na mesma otrcves da seguinte formula:
(]
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En9. Alio Ernssto Kimura
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Curso ABECE -- Calculo de piiares de conr;!'c£c:: ;:'!"r;-'Eic!o
A rekicoo momento-curvatura (M x l/r) e onoloqo a expressdo que relaciona a tensco
com a detormocoo (0- x E), porern tem uma grande vanta gem: permite que a noo-
linearidade ffsica seja acoplada aos colculos de uma forma mais tccil e direta.
Diagrama momento-curvatura
Quando a relocco momento-curvatura
de uma secco e definida para
diferentes nfveis de solicitocco. obtern-
se entao 0 diagrama "M x l/r".
(
(
(
(
(
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(
M
( Diagralna M X 1II' ]
E.! l/r
Vejo. a seguir, 0 exemplo de um diagrama M x l/r usualmente utilizado no colculo de
flechas em pavimentos de concreto armado (ELS).(
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Estadio @"---.. ,.
Estadia@
Estadia@
Eng. Alio Ernesto ~<irt1ura
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Mr : momenta de fissura!:ao
My: momento de escosmento
Mu: memento ultimo
1~~t:'~IJ~~.!..!..1 IELUI
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Ml-...----/~-- "
If. .: .. ".'t.:
(lJr)r l!r
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(l/r)"i (lJr)u
(Diagrama momento-curvatura)
21
CUI"SO ABECE - Caiculo de pilaros de concreto armada
Perceba que a curva momento-curvatura nco e linear (uma (mica reta) e, portanto a
rigidez EIe voriovel. 0 diagrama procura "traduzir" de forma fiel 0 comportamento
esperado de um elemento de concreto armado, levando em considerccoo a
presence de fissuras(M,) e os diagramos noo-lineores nos materiais (fcx Ec e fyx sv].
Relacao normal-momento-curvatura (N, M, l/r)
Com a presence concomitante de uma torco normal na seccc. a relccoo momento-
curvatura continua volido. porern. e claro, dependente diretomente do valor do terce
normal. Nessecoso, a relocoo passa serdenominada N, M, l/r.
J --, I,/,/ ----...,..,.----
c-
<O-s
Diagrama N, M, 1/ r
Com a presence da force normal, 0 diagrama "M x l/r" passa a ser chamodo de
normal-momento-curvatura ou "N, M, 1It".
M...J //
N :'.://// [Oiagrama N~M~1II" ]
.--l<~·i l/r, )
o conceito e exatomente 0 mesmo: dado umo force normal atuante, 0 curvatura no
secco se altera de acordo com 0 momenta fletor solicitante. Esta vonccoo e
determinodo por uma rigidez EI.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curse ABECE - Calculo de pilares dE, conc!·'.~tG,?,!'!lli:idc"
A compreensco do diagrama "N, M, l/r" e extremamente importante no colculo de
pilares. l.embre-se que os mesmos estco submetidos a ctuccoo conjunta de momentos
fletores e do forc;:anormal de cornpresscc.
.,.~..;~------<-~----...
,./ N '-.-
."/ "-
/ ~~M \l f -, '\
l J. \ '\I ::::c r-------------------------] :::;c' !
\\r---:=l _1__ fe-fc'.\,,] 1 / r - h
' .......•..<, ..•." ,./'----------_./".
Topo do pilar
(
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(
(
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Veja, a seguir, 0 exemplo de um diagrama "N, M, l/r" para uma secco retangular (30
cm X 60 cm) e com uma determinada confiourocoo de armadura adotada.
(,
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( I
( I
(I
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Mx (tt.m)
24,d.~t~:i .: ~~~~=-::.:::..::.;...=_~,a5.fcd
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I N = 150tf I ,//
-~,.,.
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/
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/
"/./-r ---:~;=__~1frX ('lltn)
1,97E-2
Eng. Alio Ernesto Kimura
Para uma dado forc;:a
normal (N = 150tf), note que
a voricco o do curvatura
(1/rx) a medida que 0
momento fletor (Mx)
aumenta nee e linear.
No construcoo desse
diagrama nco e levada em
conta a resistencio a treece
do concreto (ELU).
23
Curso /\SECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
o diagrama N, M, 1/r varia em funcco das seguintes caracteristicas:
• Geometria da secoo
• Materiais (concreto e ceo)
• Confiqurocco de armaduras
•• For<;anormal atuante
Diagramas N, M, 1/ r na pratica
A montagem de diagramas N, M, 1/r para secoes de concreto armado, na protico.
torna-se vi6vel somehte com 0 usa de computadores. De forma manual, os colculos
demandam muito tempo, e tornam imprcticcveis dante da produtividade exigida
durante a eloborccco de um projeto estrutural.
Hoje, por meio de algoritmos nurnericos confi6veis e eficientes, um diagrama N, M, 1/r
pode ser calculado para uma secoo de concreto armado generica em centesimos
de segundos.
.;=.
c'
1"'~""?""''''-'···
~~_E.I? - )1, \-..J
~"'._~..J'"-'" •.
(Engenheiro)
En£!. Alio Ernesto I-<imura
Cabe ao Engenheiro Estruturalsaber
interpretar 0 diagrama gerado por
um sistema computacional. Eneste
coso, compreender bem conceitos
como rigidez, relccco memento-
curvatura sac imprescindiveis.
(
: Curs o ABECE - Calculo de pilaros de concreto a.mado
Exercicio
(' Com 0 intuito de fixar os principais conceitos relativos ao diagrama N, M, 11r, vamos
iniciar uma r6pida simulocoo em uma secco de concreto armado.
r:
1 Nesse coso. como exposto anteriormente, tornc-se necessorio 0 usa do computador
para efetuar os c6lculos.('
(
(
(
(
Dados iniciais:
• Secoo 30 cm x 60 em. conforme figura abaixo
Armadura composta de 16¢ 20 mm
Concreto C30, yc = 1,4
Ac;:oCA50, y5 = 1,15
•
•
( •
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8o
6to
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Considerando a resistencio do concreto no ELUigual a 0,85.fcd, e aplicando uma forc;:a
normal de cornpressoo com valor de cclculo igual a NSd = 100tf, obtern-se 0 seguinte
diagrama N, M, l/r em torno do drecoo menos rfgida da secco [drecoo x).(
(
(
(
(
Eng. Alio Ernesto Kimura 25
Curse A81~CE- Calculo de pilaros de concreto arrnado
Mx (tf.m)
Mrd O,8S.fed
30,4f- - - - - -- - - - -- - -- - - - - --~
//i
/ / :-> :
-2,72'-2 .A,.", ' 1117 ,5ti.m2 ; 1kx (1"l, r-... ....•.,. ....•.. ..... 2,72E-2 )
O,85.fcd
Coment6rios:
e A curva e identico nos dois sentidos, posiiivo e neqotivo. pois 0 secco e
inteiromente simetrico na direcoo x.
• o momento resistente ultimo de colculo (MRd) e igual a 30,4 tf.m.
A curvaturo no occsloo do otuccco do MRd e igual a 2,72xlO·2 rn-'.
A rigidez Elsec definida por umo reto secante para M = MRd e igual a 1117,5 tf.m2.
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En~J.Alia EI'Il0Sto Kimura
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Curso ,ABECE - Calculo de pilares ele concrotu ::'lnnncil)
r Para a mesma force normal de compressco NSd = 100 tt. obtern-se 0 seguinte
diagrama N, M, 1/r em torna do oirecoo mais rigida do secoo [dlrecoo y).
(
(
M~I (tf rn)
(
59,5t~r~:i..- - -- -------r~O,85-'Cd
//
,// //
-1,41E-2 / /
Eisee - 42"5 kE,/_ ;, .2tf .m2 /i" see = 4235 2tf
1
.tn2/ 1 .; ._ 'Hy (11m)
, ./ / ,41E-' .
: /" /
, // /
i/ /
O.85.fCd~ - - - - - - - - - - - - - - -t\~1r.J59.5
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Cornerrlorios:
• A curva e identicc nos dais sentidos. como esperado.
o momento resistente ultimo de colculo (MRd) e igual a 59,5 tf.m.
Acurvatura no occsioo do ctuccco do MRd e iguol a 1,41xlO-2mol.
A rigidez Eisec definida por uma reta secante para M = MRd e iguol a 4235,2 tf.m2.
•
e
•
(
(
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(
Eng. Alio Ernesto Kimura
(
27
CUfSO ABI::CE - Calculo de ptlares de concreto arrnado
Retornando a analise em tomo da direcco menos rigida [direcoo x). Vamos alterar a
force normal de cornpressco para NSd = 200 tf. Obtern-se entco 0 seguinte diagrama
N, M, 1/r.
Mx (tf.m)
28,dY~J_t!__ . __ ------ ~O,85.1'd
/ // :
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,,
,
-2,OOE-2 V"'Elsec = 1435,6tf.ln2 : 1lrx (11m)
, ~, •• ~~ ~L. ~ '" 2 OOE-2 ),
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - ~-287O,85.fcd Mrd '
Cornentorics:
•• 0 momento resistente ultimo de cclculo (MRd) e igual a 28,7 tt.rn (pora NSd = 100
tt. MRd = 30,4 tf.m).
•• A rigidez Eisec definida pela reta secante e igual a 1435,6 tf.m2 (para NSd = 100 tt.
Eisec = 1117,5 tf.m2).
Eng. Alio Ernesto I>(imura
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Curse ,t\BECE - Calculo de pilares de con creto :~1i'm2c!o
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Aumentando a force normal de cornpressoo para NSd = 300 tt. obtern-se entoo 0
seguinte diagrama N, M, l/r.
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Mx (tf.tn)
22,d~r!J ________________ ~----- O,SS.fed
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-1 ,57E-2 Eisec =1440 "lif .m2 Jifx (11m)
Eisee -1440,1tf.m~ 1,S7E-2 •
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!L.,,-,: - __ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~_'j") t=;
a,8S.fed Mr( --,-",
(
(
(
Coment6rios:
• 0 momento resistente ultimo de colculo (MRd) e igual 022,6 tf.m (para NSd = 100
tt. MRd = 30,4 tf.m e para NSd = 200 tf. MRd = 28,7 tf.m).
• A rigidez Eisec definida pela reta secante e igual a 1440,1 tf.m2 (para NSd = 100 tf.
Eisec = 1117,5 tt.m? e para NSd = 200 tf, Eisec = 1435.6 tf.m2).
• Tanto em termos de resistencio como em termos de rigidez, a voriocco a
medida que a forc;::anormal aumenta rico e linear.
(
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I
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(
(
( Eng. Alio Ernesto Kimura
(
29
Curso ABECE - Calculo de pilares de concreto armado
Mantendo a force normal de cornpressco para NSd = 300 tt. e agora alterando a
armadura para 16 cj> 12,5 mrn. obtern-se entco 0 seguinte diagrama N, M 1/r.
Mx (tf.m)
'114ly~r~d O,85Jcd
I r ..----:;r t.:
/ /
~ :-1,26E-2 ~c=911,1tf.m2' ,1Irx(1fm)
, ~. - ~.H AU. ~ '" ·1 ,26E-2 )
/
o.ss.ree
Cornentorios:
• 0 momento resistente ultimo de colculo (MRd) e igual a 11.4 tt.rn (para 16 $ 20
rnm. MRd = 22,6 tt.m).
•• A rigidez Eisec definida pela reta secante e igual a 911,1 tf.m2 (para 16 ~ 20 mm,
Eisec = 1440,1 tf.m2).
Eng_ Alio Ernesto Kimura
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Curso ABECE - Calculo de pilares dE: concr-ete ,',nn;:"c!c,
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Mantendo as mesmas intorrnocoes. tombern e posslvel obter uma rigidez seconte para
um determinodo nivel de solicitccco inferior 00 MRd, Porexernplo. Md = 7.4 tt.m.
Mx: (tf .m)
-'1,26E-2
11 4~\~t~:~ . ~O,85.fCd
, --./"'~ // .
.> /~
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7.4f-----------.// /
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Vi"/:EI = '1419,81:1 ,tn2" :~ :«..' .Eisec = 9'11 ,1tf ,m2 : )'llYX (Hn)
:),2'1 E-3 1,26E-2
4
E,sec=9111tll1{)J;7'•.
:: /: / //\ <>
O,85'1Cd~~- - - - - - - - - - -- - - - - - -. t,lr-J'1 1,4
a , .. " I: .,I:i(0 c 0 I) 0 C'
Finalmente, vamos eliminor a simetria das .:l' ro
armoduras retirondo tres borros do canto
esquerdo inferior, conforme mostra 0 figuro 00 ;I}
loco.
r,,' a .0 '" 0
Eng, Alio Ernesto Kimura
i
31
Curso /\SECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
Mx (tf.m)
O,8S.fed8,31"'"-- - - - - - - - - - -- --~
~/~ :
.r,>: :
/ ! '''('''''), , )kt€lsec = 756 ,9tf rnz '1,10E-2-1,16E-2 .. _ "
O,SS.fed
ComentCirios:
• 0 diagrama noo opresento simetria nos dois sentidos.
•• Para um momento fletor Md = 0,0 tf.m, h6 0 aparecimento de uma curv oturo
diferente de zero, ocasionodo exclusivomente pelo presenc;:ado forc;:onormal de
compressco para NSd = 300 tf.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curse ABECE - Calculo de pilares de cone •.(~<tcanT;,"H:io
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4.1.2 Nao-Ilnearidade qecmetrlca
Assim como 0 noo-lineoridode fislco. a noo-tineoridcde geometrica tombern gera
uma resposta nco-linecr de uma estrutura. Porem, esse comportamento nco ocorre
mais devido a olterccoes no material, mas sim devido a mudanc;:asno geometria dos
elementos estruturoisa medida que um carregamento e aplicado.
o surgimento dos efeitos de 2" ordem. gerados a partir do equilibrio no confiqurccoo
deformada, ocasiona uma resposta noo-lineor de uma estrutura, chamada de noo-
linearidade geometrica.
Nao-Iln ear ldade qeorn etrrca aproximada
Assimcomo a noo-lineoridode fisicc. a noo-linearidade geometrica pode serresolvida
de forma aproximada. Nesse coso. a forma final do posicoo de equilibria e pre-
determinada, permitindo a solucco mcternotico do problema.(
(
(
E 0 que fazemos, por exemplo, ao utilizara formula do coeficiente yz, cuja tormulocoo
e resultante de uma estimativa do vcriocco do forma da esirutura a medida que as
cargos sco aplicados a mesma.
(
(
(
Outro exemplo: 0 metodo do pilor-podroo aplicado no colculo dos efeitos locais de 2"
ordem em pilares. Nessecoso, admite-se que a forma final da posicoo de equilibrio
do
elemento em questdo e uma curva senoidal.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
Nao-Hn ear idade qeorn etrlca de forma refinada
Existem diversos processos nurnericos. comumente denominados P-L'l., que tratam a
nco-lineoridc de geometrica de forma refinada. Basicamente, 500 colculos iterativos
em que se busca a posicoo final de equilibrio do estruturaou parte dela.
Por ser um processo iterotivo. e necessaria a definicoo de tolercncios para obtencoo
do converqencio do rnetodo Existem tormutocoes baseados na introducco de
"deltos" de estorcos entre coda iterccoo. bem como outros. mais sofisticadas, que
corrigem a matriz de rigidez dos elementos de tal forma a simular a voriocoo do
geometria da estrutura a medida que 0 carregamento e aplicado sobre a mesma.
En~lAlio Ernesto Kimura 33
Curso ADECE - Calculo de pilares do concreto armado
4.1.3 Coeficiente 113
o coeficiente ponderador das ccoes yr, usualmente igual a 1,4, e resultante do
rnultiplicccco de 3 fatores apresentados a seguir.
'Y 'If '1Y 'Vf~lf1· f2·,1'3
I L.Cons Lder a M a"oxi".,ooo d~ p ro je toL:ConsJ.dera a a tmu Lt ane Ldade das ac oe s
Considera a variabilidade das ag5es
o primeiro fator yfl procura prever a variabilidade do valor do ccco. ou seja, considera
que a cargo efetivamente aplicada a estrutura real nco e 100%exata, podendo ser
maior ou menor que 0 valor especificado em projeto.
o segundo yr2 procura prever a simultaneidade das ccoes. isto e. a probabilidade de
ocorrencia sirnultonec de ccoes distintas.Sdo os famosos coeficientes Ijl.
J6 0 terceiro fator Yf3 leva em conta as cproximocoes feitas em projeto. Vale lembrar
que todo projeto estrutural, por mais que seja elaborado de forma refinada, e apenas
uma simolocco simplificada de um ediffcio real.
NBR 6118:2003'
No item 15.3.1do NBR6118:2003,tem-se:
"Pode ser considerada tambem a formula Filo de segursncs em que se celculam os eteitos de 2"
ordem das cargas majoredss de r/r« que posteriormente silo majorados de YfJ, com Yo = 1, I,
"
EnD. Alia Ernesto Kimura
)
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I
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34
(
(
Curso A8ECE - Calculo de pilares (k conc!'n[;:; ;:nrac!o
(
Pelo menos a primeira vista, essa ofirrnocoo presente na norma e um pouco confusa.
o que se objetiva com essa considerocoo e suprir da analise dos esforcos de 2° ordem,
que possui uma resposta nco-lineor. 0 fator do coeficiente de seguranc;a que trata das
cproximccoes de projeto (Yf3), de tal forma que os efeitos de segundo ordem
calculados com valores de colculo fiquem ligeiramente menores, ndo podendo
esquecer, obviamente, de complemento-los com yf3 para obtencoo do resultado final.
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Exemplo
A considerocoo do coeficiente yf3 = 1.1 tem influencio direta na analise de umo
estrutura com comportamento noo-lineor. Veja, a seguir, um exemplo bastante simples
que procura mostrar 0 lntluencio do coeficiente yf3 em um colculo.
Seja uma estrutura hipotetico que possui um comportamento tipicamente nco-lineor.
conforme mostra a figura a seguir.
F
RC'spo;t."i Resposte
lineal' nSo-linear
... /. ~~
// /
101····· <://
/"./ :»: :
51 ... /
/' 5(F)
15' .
A resposta da estrutura (S) em tuncco do
ocoo (F) esto representada pelo curva em
azul.
20 45 100
Imagine que 0 valor do ccoo carocteristica 0 ser aplicada sobre a estrutura e Fk= 10,
resultando numa resposta S k = 45.
Eng. Alia Ernesto Kimura 35
CurSQABECE - Calculo de pilares de concreto armado
F
1i) I· .
~;'7r 5 (F)
,·;·:U .,;1·~, 85 100
F
12::I~~~~-r
':"7.' ..,/ ~ I '! I :: ! ', 5 (F)
72 tOO:~u 45
Utilizando Yf = 1,4 de tal forma a considerar 0
valor de colculo. teremos:
Fd = 10 x 1.4 = 14 ~ Sd = 85
Utilizando a tormclocoo de sequronco com
yf3 = 1,1, teremos:
Fd = 10 x 1,4/1,1 = 12.7 ~ Sd = 72
Sd.tot = 72 xl, 1 = 79,2 < 85
Como se pede observar, a analise com a torrnulocoo de sequroncc com Yf3 = 1,1
resulta em valores finais menores quando comparados com a oplicocco direta de Yf =
1,4 em estruturas com comportamento nco-lineor.
Oessa forma, 0 cclculo de uma estrutura em que se considera a nco-linecridode
geometrica (Yzou P-L'.) ou ffsica (N, M, l/r) e influenciado diretamente pelo yJ3 = 1,1.
Vale lembrar que a odocco de yJ3 = 1,1 e opcional, podendo ser adotado tornbem yJ3
= 1.0.
Eng. Alia Ernesto Kimura
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Curse j\BECE - Calculo de pilares de concreto arrnano
Exerdcio
Nesse exercfcio, vamos analisar uma estrutura muito simples considerando a nee-
linearidade qeometrico. ora com Yf3 = 1,0e ora com Yf3 = 1,1.
F,. = otf, 20tf, 40tf, GOt",soer e 100tf
fh = 10 tf~i·---1 5e~ao transversal
. (em)
Seja umo barro vertical engostoda na
base com comprimento igual a 5 rn.
com secoo transversal30 cm x 30 cm,
modulo de elasticidade iguol a 28.000
MPa, submetida a uma force horizontal
constante (Fh = 10tf) e a uma force
vertical voriovel (Fv = 0 tf a 100tf) em seu
topo, conforme mostra a figura 00 lado.
,..
t::cr.,
II-'
~~l
J~.E-J
Material
2
E= 2.800.000 tf/m OBS.:valores do force 560 de cclculo.
i
--J
Por meio do cclculo linear tradicional em primeira ordem, isto e. na conflqurocoo
geometrica inicial indeformada, obtern-se as seguintes reccoes e esforcos [force
normal, force cortonte e momento fletor).
F.••tr I M = 10.x - 50 I
10tf---J
- Fy -10 lAr-, r+:el lei / '7', I
x U u /°110tf rJr ...,Ly
f----- - Fv -10 -50. \ t 1-
50tt,m ,~j ® ® ®I
Fytfl tf tf tf.m
Eng. Alio Ernesto Kimma 37
Curso ASf:::CE- Calculo de pilares de concreto armado
Note que 0 momento fletor final na base da barra (50,0 tf.m) noo varia a medida que
a terce vertical e incrementada.
Agora, vamos fazer a analise considerando a nco-tinecridode geometric a por meio de
um processo P-il, efetuado no computador, considerando yf3 = 1,0. Veja, a seguir, a
vcriocoo do momento fletor no base a medida que a carga vertical e alterada.
Fv =20tf Fv=40tf Fv = 60 tf Fv=80tf Fv = 100 tf
1 J 1 J 1
J
/1
i
/
Note que 0 esforc;:ovaria de 50,0 tf.m ate 97,0 tf.m.
Finalmente, vamos fazer a analise com NLGe considerando Yf3 = 1,1.
Fv = 20tf
l
j
I
l
Eng. Alia Ernesto Kimura
Fv = 40 tf
J
i.l-
I
I
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Curs o ASECE - Calculo de pilares de concreto ::In;::'lcio
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Tcmbem houve uma voriccoo de momentos fletores, de 50,0 tf.m ate 88,7 tf.m, porern
os val ores dos estorcos finais ficaram menores devido a conslderccoo de Yf3 = 1,1.
Emambos os casas com NLG, 0 aumento de esforcos a medida que a cargo vertical e
incrementada e decorrente do surgimento de efeitos de 2° ordem, que tornam 0
comportamento do estrutura nitidomente nco-lineor. conforme mostro 0 gr6fico a
seguir.
.• Fv (tf)
100,0
·.'Momentos:netores,(
< ' '. '." • ,:-.:, . ~·:·:":·-~·l .. -'·;;~~'
80,0
/60,0
40,0
20,0 ~ Comportamento nao-linear
0,0 ~'p--~;;--~-;:;:---:::------,...----~-->50,0 M (tf.m)
70,0 90,0 100,080,060,0
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Eng. Alio Ernesto Kimura 39
Curse ABECE - Calculo de pilares de concreto armaco
($ D6agrama~, 1M,iilr fro@&aICld@ de pmQaur~§
5.11 INlBR 611 8:20@3
Vamos estudar com maiores detalhes 0 diagra ma N,
M, 1/r proposto na NBR6118:2003,
que serve como base para cplicocoo de processos mais refinodos no colculo de
pilares (pilor-padroo acoplado a diagramas e metodo geral).
No item 15.3do NBR61 18:2003,tem-se:
"A niio-lineeridede fisica, preseute nss estrutures de concreto srmsdo, deve ser
obrigetorismente considerads. "
No item 15.3.1da NBR 6118:2003,tern-se:
"0 principal eteito da niio-linesridsde pode, em gersl, ser considersdo atra vis da coastrucio
da relar;ao momento-curveture para cada secso, com armadura suposta conhecida, e para 0
valor da torca normal atuante. "
"Pode ser considereds tsmbem a Rm]]uiar;ao de segursncs em que se celculem as eteitos de 2"
ordem das csrgs s majoredes de r/r». que posteriormente saD majorados de Yo, com Yo = 1,1,
"
Espera-se que, com as intorrnocoes transmitidas anteriormente, essas otirmocoes
estejam bem claras. Ja vimos que a n6o-linearidade fisica pode ser onolisada com 0
uso do diogramo N, M, 1/r, bem como a influencio do torcc normal e do armadura na
montogem do mesmo. Estudamos tcmbern a influencio do Yf3 no comportomento de
uma estrutura.
Ten sao de pico igual a i,1.fed
Foltam mais alguns poucos detalhes para compreendermos plenomente 0 diagromo
da norma. No item 15.3 do NBR6118:2003,tem-se:
Eng. Alio Ernesto Ki mura
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Curso /\BECE - Calcu!o de pilares de concreto (ii',T,:"c!O
"A defOrmabilidade dos elementos deve ser csIculsds com base nos disgrsmas teasso-
detormeciio dos materiais. A tensso depico do concreto deve ser iguai a I, i.fed,... "
A tensCio de pico do concreto foi elevada em 30% em relocco ao O,BS.fed(0,85 * 1,3 '"
1,1) de tal forma a uniformizar a condicoo das secoes 00 longo de todo lance de um
pilar no Estado Limite Ultimo (ELU). Imaginar que, no momento da perda de
estabilidade, sera atingido 0 esgotamento do capacidade de todas as secoes
simultaneamente seria um tanto exagerado.
Portanto, exclusivamente para avaliar a deformabilidade de um lance pilar, que tero
intluencio direta no colculo dos efeitos de 2° ordem, deve-se utilizar 1,1.fed.
OBS.: 0 coeficiente que multiplica 0 fed(0,85 ou 1.1)e conhecido como a.c.
"Objetivo do diagrama
M Curvaobtida
/-"con{ 1,10 fed)
\--
MRd
MR~/(1f\- - - - - - - - - --------~~:::====~------.___ - - \,,_ Curva obtida ELU
com 0,85 fed".,..---,..-,.,.,.
./
/'
\iarctg (EI)se:" Rigidez secante
i
\.
'\\ '.!'-J ""(-:'
A iff
Em primeiro lugar, e importante deixar bem claro 0 seguinte: 0 objetivo principal e
extrairmos desse diagrama uma rigidez que permita fazer a analise dos efeitos de 2°
ordem em um pilar de tal forma que a nCio-linearidade fislco seja bem retratada.
Eng. Alio Ernesto Kimura 41
CUI"SO,~8ECE - Calculo de pilares de concreto armado
Curva com O,85.fcd
Mx (If.rn)
21l~l~d_--------'19,:::~ . __ ::: - - -- - - - - - -- ----- --- - rc__________ .,1,I uic~:j- - - -.::.~;.;.."..",.p,(j" .tcd/;y~ :// .
/
"'- --::"7':'=-:: -:--::-==--::--71/rx (11m)
:3,t;5E-3 1 ,69E-2
Curva com 1,1.fcd
Mx (tf.rn)
O,Ei5.-tC(1
Mid - - - - - - - - - - - - - - - - - -1~-o.fi.i~~~~::...:..::.:-=---:""1 'if - - - - - - 7. /'
;':;f········ .t'/.
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~ "kx(1lm)/; - -1 q>J84tLm2 :Elc,:e,~ - o c •
~~.65E-3 1,S!~E-2
Eng./-\Iio Ernesto Kimura
A curva com 0 tradicional
Q,B5.fed somente serve para
definir 0 momento resistente
ultimo de colculo (MRdJ no
Estado Limite Ultimo (ELU).e
nee para extrair a rigidez EI.
Essacurve deve sermontada
fixando-se um force normal
atuante igual a NSd.
Esta,sirn.e a curva na qual
deve ser extroidc a rigidez EI
para considerccoo do
deformobilidode do pilar.
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CUI'SO ABECE - Calculo de pilares elf! concreto c:ir;n:?Uo
No realidade, a curva montada com uma tensco de pico igual a 1,l.fcd atinge um
patamar acima do MRdcalculado com O,85.fcd, conforme mostra a figura a secuir.
r'l (tf.m)
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8,84 ~00 ------::::r'~:-- ------:-:-: -:------------------ -- -------------------- --- - -
f ~l,L"'____________;~.::.::==~~?,ffi.f"d '
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1s 12E-02-' 1"E: _,_ ,l/r (11m)
L .•. ..:, -UL
Porern. de ponto de vista pr6tico, tudo que est6 acima de MRd nco tem volidode real,
pois est6 olern da resistencio admitida pela secco no ELU.
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Dessa forma, principal mente com 0 intuito de otimizar 0 tempo de processamento, em
geral, os sistemas computacionais apenas utilizam a curva com 1, l.fcd ate 0 ponto B
que define a rigidez que se deseja calcular.
Lln ea rlz a cao - Reta AS
Na curva com 1, l.fcd, a rigidez EI varia de acordo com a magnitude do momento
fletor (e uma curva). Ou seja, num lance de pilar, onde ho a vcriccco dos esforcos
entre 0 seu tope e a sua base, ficam entoo definidos diferentes niveis de rigidezes.
En q. Alia Ernesto Kimura
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43
Curso i\BECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
Mx (tf.tn)
OJ:::5.rcd
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l - - --- --., /" ~I :,-,01006t1.m210, r--
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SAf" : :: 1h(1"12t';49,6tf.tn2.,: : _o:~
. ~- ','qqs 411.tn.<., "b~~E-<.> E"~et; - "0'_ , ~ '" ,
~ . 8 33H!.!6E-..!"1"'E-3 4 ,26E-3 , ,L, L
Correto. Porern. noo seria interessante ter umo maneira de obter uma rigidez unico
que pudesse se aplicada ao longo de todo lance, a favor da seguranc;:aobviamente?
Outra questco: na extrocoo da rigidez EI na curva noo deveria ser levado em conta 0
esforco concomitante na outra direcoo y?
A linecrizocoo por meio da reto AB responde exatamente essas questoes. pois ela
define uma rigidez constante Eisec que pode ser utilizada 00 longo de todo lance,
tonto na analise a flexoo composto normal como na oblfqua (a rigidez pela curva rico
pode ser utilizada na flexoo composta oblique}.
Veja, a 5eguir, um gr6fico com v6rias curvas N, M, 1/r montadas para diversos nfveis de
solicitccoo na direcoo y. Note que a reta AB sempre fornece uma rigidez Eisec a favor
da seguranc;:a (menor), independente da magnitude do estorco na outra direcoo. Ou
seja, as direcoes SaD desacopladas.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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44
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Curs o ,l)'BECE - Calculo de pilares de concrete armaco
Mx (tf.m)
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Jr:£-. :
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hi.j~
Eisec = 1998,41f .tn2 ; 1lrx (Hm)
9 .65E-31 .t;~3E-L
Coeficiente Yf3
Alternativamente [nclO e obrigat6rio), pode-se fazer 0 usa do coeficiente Yl3 = 1,1 no
ob+encoo do rigidez Eisec.Nesse coso. a curvo com 1,1.fcde montoda com uma force
normal igual 0 NRd/yf3. eo estorco paro definicoo do reta deve ser iguol MRd/Yf3.
M Curva obtida(-'com 1,10 fed
I
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---------::::====~------.
- - \_ Curva obtida ELU
com 085f, cd
..•-•..-..-
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\arctg (EI) _.• Rigidez secante
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Eng. Alio Ernesto Kimura 45
Curso ABECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
A rigidez EI e calculada no ponto B (MRd/l, 1), pois com a oplicccoo de NRd/l,l jamais
se atingira 0 MRd no suo tolalidade.
Vale lembrar que a odocoo de Yf3 = 1,0, que tornbern e volido. leva a uma rigidez
menor (0 favor do seguranc;:aJque a obtida com Yl3 = 1,1.
Mx (tf.tn)
21 l·~I~~.. ._}.]p~f_c_d .:;..::.>c0.85.1cd
,1- '71 ~ I
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1 irx (11m)L-----------------~1~,1~1~E-~2------~1~,6~8E~-2~
Sec;:ao neo-padrao
A obtencco do rigidez EI,ec por meio do lineorizccoo do diagrama N, M. l/r j6 foi
amplamente testada e validada para secoo retangular com armadura slrnetrico. Nos
demais casas, deve-se ter preccucoo.
Yeja, a seguir, como fico 0 diagrama N, M, 1/r para uma secoo com formato em "L",
segundo seu eixo principal de menor inercio. Note que ho diferentes rigidezes secantes
EI,ec para coda sentido do sollcltocco.
Enq. Alio Ernesto Kimura
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Curso ABECE - Calculo de pilares de COllCT;:)[O arrnado
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~-~. :
?Y" ,
-B,59E·3 -4,17E-3 Eisec = 9042,7tt.m2: ; 1kx (11m)
Elseq = 10052 ,3tf.m2 S,OSE-3 '1 ,OSE-2, ,, /, /.: /, :J", /: ./f/ I
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O,S5.fed t,Arc! -,-
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Nesse coso. qual rigidez deve ser adotada no analise da deformabilidade do pilar,
9042,7 tf.m2 ou 10052,2 tf.m2?
( Pesquisas atuais estoo sendo realizadas para salucianar essa questco. A principio,
enquanto noo se tem uma resposta definitiva. sugere-se tamar 0 valor a favor do
sequroncc (9042,7 tf.m2).
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Eng. Alio Ernesto Kimura 47
Curse ABECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
6 lE$flOlli"~oS em um pUar
Uma condicoo essencial para que as pi lares sejam dimension ados de forma correto e
a 0ctencoo de estorcos precisos e realistas durante a analise estrutural.
Basicamente, os esforcos solicitantes mais importontes que otuom 00 longo de cada
um dos lances de um pilar, decorrentes do cplicccco das ccoes verticois e horizontois
num ediffcia, 500:
•
Force normal, predominantemente de cornpressco .
Momentos fletores, em coda direcoo .
•
Ha tornbern a ctuocoo do momento torsor e das torcos cortantes. No entanto, nos
casos usuais de ediffcios, os mesmos podem ser desprezados, pois nco 500 solicitac;:6es
preponderontes e significativas.
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\. ~L \\
~ I \'I ~ "''''' ,.jl IF1exa,
\. ([ vJ', (r"lx) ([,.\....) compos. ta
"" . , . 'Obliqu.a
Devido a otuococ simult6nea de umo forc;:anormal (N) e dois momentos fletores (Mxe
My), e caracterizado entco umo flexco composta obliqua.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curso ABECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
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f"l 1 Y[topO:1-,l
_ . _--,. '. •• M
Tupo do pll_~.!:.-------'---:'/ CIL X(topo}
_------------ /' ' LJ
.,;_---~ /.~<.. Esforcos no topo do pilar
fY1X[topo}
1'~Y[topo}
.Il,tuaci;o de 2 rnorrentos
ger.j -uma LN indinada
+
(f.,x)
Equilibrio \)
+
Unha Neutra
,'indinada
I
~
Regiao -,./
tracionada I.~_, ..,
/-""'- Regiao comprimida
~~x[base}
(f\'ly)
,
Momentos Hetores
( ~.tlj''l~~.3()de normal
e mornentos fletore5
+
(
(
(
l
I Flexao COBn~)Ostaob~nquaI
Em certos casos. porern. nos quais 0 momento fletor numa das direc;:6es e desprezivel.
pode-se adotar uma flexoo composto normal.(
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(
(I',l) (f"lx)
Eng. Alio Ernesto Kimura
r" .
\l
+ +
(f\'ly)
Hexao
I (I'.J) (r'~) I composta
~ --.J, normal
49
Curso ABECE - Calculo de pitares de concreto armad o
M(topO)
Topo do pilar
//'/---- N"'8".+---t-I> M(topo)
Esforcos no topo do pilar
Equilibrio \::;
+ r:Regiao tr acionada
. [71
Llnha Neutra ---,-;,.---
reta I:'~;I
r\1(bas~) 12J'--- Regiao comprimida
UJ) (~iJ) •
Forca normal Momeu10 tletor /l,tU<l,;:~jo de apena:" urn
T T momenta gera uma Lf'.l rete
,Cjtu,9o;ao de normal ..- -!..I -!.-_--.
'~rnofflento fletor I Flexao coo-nposta nonnai I
E bom lembrar que a conslderocco da tlexco composta normal e uma cproximocoo.
volidc apenas para simplificar 0 cclculo manual em certos casos espedficos. Na vida
real, os pilares quase sempre estorco submetidos a momentos fletores nos duas
direcoes.
Nos sistemas computacionais atuais, usualmente todas os pilares sac dimensionados
sob otuccco de uma flexco composta oblfqua (N, Mx e My). Nao ho a simplificocoo
em tlexco composta normal.
®o il ReLolresen\l::a!~aode esfcor~os em p9Z:lnlta
Existem inorneros formas de representor graficamente os estorcos solicitantes em um
lance de pilor. Uma maneira bastante interessante e eficiente e a representocoo em
planta.
Eng. Alio Ernesto Kimura
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CUI"SO ABECE - Calculo de pilares de cDnudc, ~ii':TJ2!c;O
(
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Vejo, 0 seguir. a exemplo de uma representccco em plonta de um lance de pilar de
concreto armada com momentos fletores variando linearmente entre 0 seu topo e a
sua base.
[11\.
~ '"OP01MX(.O,Ol
<,
/'\'
(
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M, - -X(topo) Topo do pilar _----.-··:f
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B.5Se do pilar
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OB5, : momentos fletores em nota~ao vetorial
Curva ----.
resisterxe
Cada par de estorcos (Mx e My) fica representado por um unico ponto. Oessaforma. os
momentos solicitontes no topo e no base ficam representados par dois pontos (Topo e
Base).como apresentados no figura anterior.
( Eng. Alio Ernesto Kimura
(
51
Curse ABECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
Como nesse caso as momentos fletores variam linearmente entre 0 topo e a base, as
esfon;:os ao Ion go do lance ficam representados por uma reta.
A curva resistente e definida de acordo com os materia is, a geometrio da secco. a
confiourocoo de armaduras e a terce normal solicitante. Por meio do desenho dessa
curva, e possivel quantificar grafieamente 0 nivel de solicitocco atuante em relocoo a
resistencic do pilar. Um ponto sabre ou fora da curva signifiea que 0 ELUIoi atingido.
Veja, a seguir, um outro exemplo, agoro com 0 momento My atuando no mesmo
sentido.
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Fl ~lxur (topo)
M" £
i(topO) "'.
Topo do pilar
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",,, dopiler 1
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fvlY(base)
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Esfor~os .'-,
no tapa · ·r.
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.....\.
Reta
OBS.: mamentos fletores em nota~ao vetorial
,/-'
Curve ----/
resisterte
Eng. Alia Ernesto Kimura
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52
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Curse ABECE - Calculo de pitares de con,:r,':IC dTn:xio
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A representocoo de esforcos em planta e bostante simples, possibilita a vlsuolizocoo
completa do que ocorre num lance, e nos ouxiliorc na compreensco das explonac;:6es
feitos a seguir sobre a envoltorio minima de 10 ordem, bem como sobre os esforc;:os
locais de 2° ordem.
6.2 Parcelas de esforcos
Com 0 intuito de focilitar 0 colculo de um pilar, 0 estorco total utilizado no seu
dimensionamento pode ser subdividido nos seguintes parcelos:(
(
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~(';;lfb..o.·[.·'~~i.\&l~·G.;.~...~.iI~('tf1il!~,~
-.------\~~\\
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o [s'j(I)t.:rtS ~Ull~{~Y,uijt~
~. Anallse esnutural
;<,;J G Esforcos globais de 2.l. ordem
~/ . '(Z Oil P-D.
\":~:; $ Esforcos devido ,'Is nnpert, geometricas
~."
._.>~::;0 Esforco s tocals .Ie 2<1. ordem
~-
e.=f(e1J ou M"d.mfn
4 meto dcs dlsflnro s
G Estorco s <.!evidH 0'1 fhJencn-3J
Excentridade eoo\ •....
['
Estosparcelas de esforc;:osse referem bosicamente oos momentos fletores (M. e My) no
pilar. Para os demais solicitoc;:6es (forc;:anormal, forc;:ascortantes e momento torsor),
nco e necessorio subdividi-Ias com detalhes dessa maneira. E, portanto, e muito
comum definir a seguinte expressco:(
(
(
(
(
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(
( Eng. Alio Ernesto Kimura
(
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i
1
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53
Curse ABECE - Calculo de pilar es de concreto armado
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.-.;~~.,. Percelas de memento fletor
__.__\~ _':~'" [necessarlos no dlmenslonam enro de um pllar}, "
-f1:n\!~{!:~,=IVi inici.ll + M2a.GloLlal + M imp. GeolJl. + M la.Loc.'li + lV! flrrem:ia
Alern disso, tornbern e usual expressarestas parcelas em valores de excentricidades.
Nessecoso, basta dividir asrespectivos momentos fletores pela terce normal:
M TOOl' j\/1 illifi&! + M 2.l.GlotJa, + M Imp. G<!OlII. + /Ill 2a Loce! + A'1 fll1encia- --N - N N N N N
@;?@a@{li' = € itrkhi/ + e 1.1.G/oiJ.'l/ + e Imp. Geom. + e Z'l.Locai + E!flrJeIlCi..1
I, ,.~"
E muito importante saber como se calcula coda uma dessasporcelos,
Parcelas de excentricidade
Muito embora essesestorcos atuem de forma conjunta na vida real, e comum utilizar
modelos distintos e separados para calcular cada uma dessas parcelas durante a
eloborccoo de um projeto estruturol.
Usualmente, os estorcos iniciais, os estorcos globais de 2° ordem e os estorcos
provenientes das imperfei<;::6esgeometricas globais, SaG calculados por meio de
modelos que contemplam toda a estrutura (modelo global), enquonto que osestorcos
locais de 2° ordern. os estorcos provenientes de imperteicoes geometricas locais e os
estorcos devido a lluericio. SaG analisados par meio de modelos que tratam 0 lance
de pilar de forma isolada (modelo loeal).
Eng. Alio Ernssto Kirnu ra
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Curso A13ECE - Calcu!o de pilares de concr,"lc :,j(;"nado
Veja, a scguir, uma breve descricoo de coda uma das porcelos de esforcos atuantes
num pilar de concreto armado. Posteriormente, apenas daremos entose 00 colculo de
esforcos devido as lrnperteicoes geometricas locais e a analise dos estorcos locais de
2° ordem.
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( I
6.2.1 Esforcos iniciais
Soo chamados esforcos iniciais os solicitccoes calculadas durante 0 analise estrutural
do ediflcio, resultantes do cptlcccoo das cargos verticais e horizontais, e necesscrics
para manter 0 equilibrio do estrutura no posicco indeformada (analise em primeira
ordem).
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Modelo realista
Esfor~os iniciais
(Lance do pilar)
, (Modelo estrutural)
.1
Estesestorcos devem reproduzir a resposta do estrutura perante as ccoes do maneira
mais realista possivel, E, portanto, necessitam ser calculados par meio de um modele
estrutural adequado.(
( J
(
(
( Eng. Alio Ernesto f<imura
(
55
Curse ABECE - Calculo de pilaros de concreto armado
E obrigot6rio sempre utilizar um modelo nurnerico que torneco resultados precisos e
confioveis. Coso controrio. e melhor nem cornecor a calcular os pilares. Se os estorcos
iniciois estiverem incorretos, todo 0 c61culo dos demais estorcos (imperfei<;:ao
qeornetrico. 2° ordern. tluencio) ficoro comprometido.
1fl1T1 J I c,)rVia~l9 r.,
l-Pilar
,
If.'ILJ::~<BV- Eq1Jli[fulIlkJ
_ ;Q 2:M = 0
Me
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6.2.2 Esforcos devido as lmperfelcoes geometricas
Todo edificio, quando executado num conteiro de obra, est6 sujeito 00 oparecimento
de desvios geometricos, isto e. distorcoes na forma e no posicionamento dos
elementos estruturois originados durante a sua implcntccoo.
Estas "folhas" de construcoo. chamadas de irnperfeicoes geometric as, sac
praticamente inevitov eis e cleotorios. Podem ser grandes ou pequenos.
Toda estrutura e geometricamente imperfeita!
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curse ABECE - Calculo de pilares de ,;onC'i"to i:lii"!l<X10
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Muito embora noo tenha 0 controle direto dessa situccco de obra, 0 Engenheiro de
Estruturas deve obrigatoriamente levar em conta as imperfeic;:6es geometricas durante
a eloborccoo do projeto, pois as mesmas, no maioria dos casos, noo esioo cobertas
pelos coeficientes de seguranc;:a.
as pilares sfio elementos altamente sensiveis as imperfeir;5es geometricas!
(
Muito embora as imperfeic;:6es geometncas gerem repercussoo em toda a estrutura,
nos pilares a influencio e muito mais significativa. E, por isso, os mesmos precisam ser
adequadamente dimensionados de modo a resistir, dentro de certa tolercncio. as
solicitac;:6es extras devido 00 aparecimento destes desvios.(
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E obriqo torio considerar as imperfeic;:6es geometricas no colculo de pi lares de ediffcios
de concreto armado.
A NBR 6118:2003, item 11.3.3.4 'lmperfeic;:6es geometricas", divide as imperfeic;:6es
geometricas em dois grupos:
$ Imperfeic;:6es geometricas globais.
Imperfeic;:6es geometncas locais .•
Imperfeir;5es geometricas globais
Irnpe rfeicao qeometrica globa I
n /\
'-::::::;~{' Gera esforcos edicioneis a estruture
Eng. Alio Ernesto Kimura
I(
57
Curso ABECE - Calculo de pilares de concreto arrnado
As imperfeic;:6es globais se referem 00 edificio como um todo, ou sejo. e como se a
estrutura inteiro ficasse inclinoda (em desaprumo) para uma dos lados, ocasionando
esforc;:osadicionais principal mente nos vigas e nos pilores, devido a presence dos
cargos verticais.
A NBR 6118:2003, item 11.3.3.4.1 "lmperfeic;:6es geometricas globais", define que 0
desaprumo global nco deve ser superposto ao efeito do vento e deve ser considerodo
apenos quando for mais destovorovel que 0 mesmo.
De maneira gerol, pode-se dizer que 0 desaprumo global somente e mais
desfovorcvel que 0 vento em edificac;:6es baixas submetidas a cargos verticais
elevadas (ex: construc;:6esindustriais).
Em ediffcios mais altos, normal mente 0 vento e preponderante, muito embora existam
casas particulares no qual esto oflrrnocco noo se confirme (ex: edificio com uma face
delgada na qual a pressco de vento e muito baixo).
Os eteitos dos lrnperteicces geometricas globois sac calculodos por meio de modelos
que contemplam toda a estrutura, como por exemplo, um portico espacial. Ho
diversas maneiras de simular a presence do desaprumo global. Uma delos e aplicar
momentos nos nos a partir do deslocamento da forc;:avertical gerado pela rotccco ea.
Uma outra possibilidode e inclinar toda a geometria da estruturo por Sa. Essasduos
opcoes sac similares.
Irnperfelcdes geometricas locais
Asimperfeic;:6es geometricas locais referem-se bosicamente aos pilores de um edificio,
ocosionando esfon;:os adicionais aos mesmos, devido a presenc;:ada carga normal de
compressco.
r 1- I
Ht)!H··-I..~.·---
!~'I
1 J ,L
(Desaprumo do pilar)
lmperfsicao ~leometrica local
(Falta de retilinidade no pilar)
Eng. Alio Ernesto Kimura
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Curse ABECE - Calculo de pilares d e 8011 (>2tO d"(1;8do
o efeito dessa imperteicco geometrica gerada pela rotccco 81 nco e simples de ser
calculado, uma vez que e dificil definir a sua direcco e 0 seu sentido critico de
otuccoo. Usualmente, nos sistemas computacionais, 0 que se foz e considerar as
imperfeic;:6es nos duas direcoes principais, por meio da definicoo de excentricidades
adicionais.
A NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4,3, permite que 0 efeito das imperfeic;:6es
qeornetricos loeais em um lance de pilar seja substituido, em estruturos reticuladas,
pela conslderccco do momento minimo de 1°ardem (Mld,min),cujo valor e obtido pela
seguinte formula:
Mldm!/I = Nsd·(O,OlS+0,03.h)
sendo: NSda forc;:anormal solicitante com 0 seu valor de cclculo e h a altura da 5ec;:00
na direcoo analisada, em metros.
Apllcacao do momenta minimo de primeira ordem
A torrnolccoo do momento minimo de 1° ordem tem origem no norma americana,
enquanto que a definicoo dos irnperteicoes por meio do Cingulo 81 vem do codiqo
europeu.
No Brasil,opes a entrada em vigor do NBR6118:2003que possibilita 0 usa de ombas as
formulac;:6es, e mais comum 0 usa do Mld,min,muito embora a oplicccoo do 81
tombern seja volido.
Embora a formula do momento minimo de 1a ordem seja extremamente simples,
muitas duvidos com relccco a sua oplicocco surgirom no meio tecnico. Na
publicoc oo que contern cornentorios do NB-1, publicada pelo Ibracon, ha uma
explonocoo de como aplicar 0 Mld.minque parece ser bastante detensovel e
ccerente.
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Estudaremos com detalhes como aplicar 0 Mld,minmais odicnte.
OBS.:na extinta NBR 6118:1980,as imperfeic;:6esgeometricas locais eram consideradas
por meio de uma excentricidade adicional, cujo valor era 0 maior entre 2cm ou h/30.
Eng. Alio Ernesto Kimura
(
59
6.2.3 Esforcos de 2a ordem
Curse AB[CE - Calculo de pllares de concreto armado
Efeitos de 2° ordem s60 efeitos adicionais a estrutura gerados quando 0 equilibrio da
mesma e tomado na sua posicco deformada. Essesefeitos s60 reais. e podem ser
grandes ou pequenos.
A NBR 6118:2003. item 15.2. permite desprezor os efeitos de segundo ordem somente
opes a constotocco de que a magnitude dos mesmos nco represente um ccrescirno
de 10% nas reccoes e nos solicitocoes relevantes do estruturo.
A NBR 6118:2003, item 15.4.1. c1assifica os efeitos de segunda ordem presentes numa
estrutura de concreto em tres tipos:
._-------------._----- ------------- ..------ ._-_._-,
r Efeitos glqb·ais.
1r~ {Edificio} 1i~
/(J)
R!)lance de pilar}
Efeitos·.loca"is I
-, I· -' - . -.".
Efeitps locallzados
Eng. Alio Ernesto Kimura
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60 )
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Curse ABECE - Calculo de pilares do COrl,::.-;,;1:0 (;;iTn;:\c\o
Muito embora ocorrom de forma sirnultoneo no edificio, os efeitos globois, locois e
locolizados de segundo ordem comumente 500 colculados de forma separodo,
contorme sintetizo 0 figura 0 seguir:
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I/yzou p,\
I
II Esfor~osde la. ordem I /
(Lance do pilar) ,;
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:'i {Modelo estrutural}
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Efeitos GLOBAIS
de2a.ordem
4. merodos
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(lance de pilar)
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!Efeitos LOCAlS de 2a. ordem I
(lance de pilar)
( Enq. Alio Ernesto Kimura
(
61
Curso ,lI,BECE - Calcu!o de pilares de concreto arrnado
6.2.4 Esforcos globais de 2a ordem
Os estorcos globais de 2° ordem estoo relacionados ao ediffcio como um todo, isto e,
ao conjunto completo farmado pelos pilares, pelas vigas e lajes do estrutura. Ex: um
ediffcio submetido a 0<;:00 do vento desloca-se horizontalmente. Com isso. geram-se
estorcos adicionais nesses elementos devido a presenc;a simult6nea de cargas
verticais (peso proprio + sobrecarga), chamados de efeitos globais de 2° ordem.
ro...-..I' """",.. .""",
r q. Peso proprio
l'"Sobrec orgro v oricvel
""-
r.....,. ........,
9 Vento
Efeitosglobais
de segunda ordem
.....".. .-~
""""'"
....•.""" ~"""" -. f r
(Edifkio)
Processos de calculo
Os estorcos globais de segundo ordem podem ser calculadas de duos formas:
• Analise aproximada pelo coeficiente "fl, volido para estruturas com mais de tres
andares com coeficiente '[z s 1,3.
• Analise noo-lineor P-b.
Nao-linearidade flsi ca
A NBR 6118:2003, secoo 15 "Instabilidade e efeitos de 2° ordem", item 15.7.3, permite
definir uma rigidez aproximada em vigas, pilares e lajes na analise dos estorcos globais
de 2° ordem em estruturas reticuladas com no minimo quatro andares. Exemplo: em
ediffcios modelados par portico espacial que otendam esso ultima condicoo. pode-se
adotar, de forma aproximada, Eisec= O,4.Ec;.lcnos vigas e Eisec= O,8.Eci.lcnos pilares.
Eng. Allo Ernesto Kimura
I
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62 )
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Curs o ABECE - Catculo de pilares de concreto ::l(,nDCio
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E. para estruturas com menos de quatro andares? 0 que fazer? Posso adotar os
mesmos valores? Por que essos reducoes see recomendadas samente para estruturos
com no minirno quatro andares?
Essarestric oo foi definida no norma devido a falta de estudos espedficos para este
tipo de estrutura. ande. dependendo do nivel de solicitocoo. no Estado Limite Ultimo
(ELU).as rigidezes nos vigos. e principal mente nos pilares. podem atingir valores bem
inferiores aos especificados de forma aproximada. Nesse coso. com a cdocoo dos
reduc;:6es de rigidez definidas anteriormente. os efeitos de 2° ordem seriam
subestimados. E. portanto. a analise estaria contra a seguranc;:o.
(
(
(
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( Atualmente. existem pesquisas direcionados para analise deste ossunto. Em breve,
teremos uma possivel resposta para esta questoo.(
(
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(
(
Neste momento, a unico cfrmccco que se pode fazer e que a ndo-lineoridode fisica
em estruturos com menos de quatro andares deve obrigatoriamente ser sempre
considerada. Eque, no impossibilidade de definicoo de valores de reducco de rigidez
mais precisos (obtidos por meio de diagramos momento-curvatura). os mesmos devem
ser estimados com preccucco. priorizando sempre um cclcuto a favor da seguranc;:a.
(
(
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(
(
(
(
Analise nfio-linear q eom etrica e coeficiente YF3
Seja na analise P-il como no colculo por meio do coeficiente Yz. pode ser considerada
a formulocco de seguranc;:a em que se calculam os efeitos de 2° ordem dos cargos
majaradas de yr/Yf3. que posteriormente sco majorados de yf3.
Em estruturos com comportamento noo-lineor. como no coso de um ediffcio de
concreto armado, 0 colculo com yf3 = 1,1 resulta em valores finais menores quando
comparados com a cplicccoo direta de yr = 1.4 (yr3 = 1,0).
No capitulo anterior "Coeficiente yr3", foi possivel constatar a ofirrnccoo acima par
meio de um exemplo no qual utilizamos a analise P-~. No caso do uso do coeficiente
Yz, sua torrnolocoo deve ser adaptoda entco do seguinte forma:
( Eng. Alia Ernesto Kimura
(
63
Curso }\8~::'CE - Calculo de ptlares de concreto armsoo
1r z = 11M ' com yf3