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Exercicios

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( )S X S Y
 então 
.X Y
 
( ) Se uma variedade afim 
V E
 
contém o vetor zero então V é 
um subespaço vetorial de E . 
 
2.15. Quais dos seguintes subconjuntos 
são subespaços vetoriais? 
(a) O conjunto 
3X 
 formado 
pelos vetores 
( , , )v x y z
 tais 
que 
3 2 .z x e x y
 
(b) O conjunto 
3Y 
 formado 
pelos vetores 
( , , )v x y z
 tais 
que 
0xy
. 
Exercício – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
156 
(c) Conjunto Z das matrizes 
2 3
 
nas quais alguma coluna é 
formada Por elementos iguais 
(d) O conjunto 
( ; )F F  
 
formado pelas funções 
:f  
 tais Que 
( 1) ( )F x f x
para todo x 

 
(e) O conjunto 
nL 
dos vetores 
( , 2 ,..., )v x x nx
, onde 
x é
 
Arbitrário. 
(f) O conjunto dos vetores 
5v 
 
que têm duas ou mais 
coordenadas Nulas. 
(g) O conjunto dos vetores de 
3
 
que têm pelo menos uma 
coordenada 
0.
 
 
2.16. Exprime,em termos das operações 
num espaço vetorial E, uma 
condição para que
, ,u v w E
 sejam 
colineares ( isto é, pertençam a uma 
mesma reta, que pode conter ou não 
o vetor zero ). 
 
2.17. Obtenha números 
, , ,a b c d
 tais que 
a variedade afim ( plano) de 3 
definida pelo equação 
ax by cz d
 contenha os pontos 
1 (1,0,0),e
 
2 3(0,1,0) (0,0,1).e e e
 
 
2.18. Prove que, na definição de 
subespaço vetorial,a condição 
"0 "F
pode ser substituída por 
" "F
. 
 
2.19. Quais dos seguintes conjuntos são 
subespaços vetoriais ? 
(a) o conjunto dos vetores de n 
cujas coordenadas formam uma 
pro- gressão aritmética . 
 
(b) Os vetores de n cujas 
coordenadas formam progressão 
geométrica . 
 
(c) Os vetores de n cujas 
coordenadas formam uma 
progressão geométrica de razão 
fixada. 
 
(d) Os vetores de n cuja as 
coordenadas formam uma 
progressão geométrica de razão 
fixada. 
(e) Os vetores de n cujas primeiras 
k coordenadas são iguais. 
(f) Os vetores de n que tem k 
coordenadas iguais. 
(g) As seqüências 
nx 
tais que 
2 3 1n n nx x x
para todo n. 
(h) Os vetores (x,y) 2 tais que 
2 23 3x x y y
 
(i) As funções 
( )f C 
tais que 
" 2 ' 0f f f
 
 
2.20. Sejam 
1 2 3, ,v v v
os vetores-linha e 
1 2 3, ,w w w
os vetores colunas da 
matriz 
 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
 
 
Verifique as relações . 
3 2 1 3 2 12 , 2v v v w w w
. Exprima 
1w
e
2w
como 
Combinações lineares de 
1v
e
2v
,e 
vice versa. Conclua que os vetores 
linha e os vetores e os vetores-coluna 
da matriz dada geram o mesmo 
subespaço de 3 
 
2.21. Dê exemplo de uma matriz 3x3 cujos 
vetores-linha geram um subespaço 
Exercício – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
157 
de 3 diferente daquele gerado pelos 
vetores-coluna. 
 
2.22. Prove que a reunião de dois 
subespaços vetoriais de E é um 
subespaço vetorial se, e somente se, 
um deles estiver contido no outro. 
 
2.23. A partir da definição, prove que, 
dados os números 
1,..., , ,na a c
o 
conjunto V dos vetores x = 
1( ,..., , )
n
nx x 
tais que 
1 1 ... ,n na x a x c
 é um subespaço 
vetorial de n se, e somente se, c=0. 
Prove a afirmação feita no texto de 
que V ê uma variedade afim. 
 
2.24 .Seja Fum subespaço vetorial de E. 
Assinale V(verdadeira) ou F (falso) 
( ) Se 
u F e v F entãou v F
 
( ) Se 
0u F e a então u F
 
 
2.25. Diz-se que um subconjunto X de um 
espaço vetorial E é simétrico quando 
v X v X
.Prove que um cone 
convexo simétrico e não vazio e um 
subespaço vetorial de E. 
 
2.26. de exemplo de um cone convexo que 
não seja simétrico e um cone 
simétrico que não seja convexo. 
 
2.27. Uma matriz quadrada a=[aij]chama 
se simétrica(respec. Anti-simétrica ) 
quando aij=aij (respect. Aij=-aij) 
para todo i e todo j. Prove que o 
conjunto S das matrizes simétricas e 
o conjunto A das matrizes anti-
simetricas n x n são subespaços 
vetoriais da M(n x n) e que se tem 
M(n x n) = S A . 
 
2.28. Seja E = F(

;

).fixada q:
 
,mostre que o conjunto F de todas as 
funções f: 
 
tais que f(q(x)) = 
f(x) é um subespaço vetorial de E. 
para qual função q tem –se F = 
conjunto das funções periódicas de 
período a ? E se fosse q(f(x)) = f(x)? 
Ou f(q(x)) = q(x)?. 
 
2.29. prove que os subespaços vetoriais 
gerados por um cone convexo C E 
é o conjunto das diferenças u – v, 
onde u,v C. Conclua que o 
Conjunto das funções f:X

 que 
só assumem valores positivos é um 
Conjunto de geradores de 
( ; )F X 
. 
 
2.30. Diz se que uma função 
:f X 
é 
limitado quando existe 
k
>0 
(dependendo de f) tal que I f(x)I 
k
 
para todo 
x X
. Prove que o 
conjunto das funções limitadas é um 
subespaço vetorial de 
( ; )F X 
,o 
qual é gerado pelas funções 
limitadas positivas . 
 
2.31. Um subespaço vetorial de 
3
 
gerado por dois vetores não-colinea- 
res 
,u v
chama-se um plano . Use um 
argumento geométrico para provar 
que o vetor 
3w 
 não pertence ao 
plano gerado por u e v então u,v e w 
geram
3
 
 
2.32. Mostre que o vetor b = (1,2,2) não e 
combinação linear dos vetores 
1v
 = 
(1,1,2) e 
2v
=( 1,2,1). A partir daí, 
formule um sistema linear de 3 
equações com 2 incógnitas, que não 
possui solução e que tem o vetor b 
como o segundo membro. 
 
2.33. Sejam 
1F
,...
kF
E
 subespaços 
vetoriais. Prove: 
(1) O subespaço gerado pela união 
1 ... kF F
 é o conjunto 
1 ... kF F
 das somas
1 ... kx x
,onde 
1 1,... k kx F x F
. 
Exercício – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
158 
(2) As sequintes afirmações são 
equivalentes: 
(a) Cada 
1 ... kx F F
se 
escreve de modo único como 
soma 
1 ... kx x x
 
(b) Para cada j=1,..,k tem se 
1 1 1( ... ... )j j kFj F F F F
={0}. 
Quando uma das condições (a) ou 
(b) vale, escreve - se 
1 ... kF F
em 
vez de 
1 ... kF F
e diz se que este 
subespaço é a soma direta de 
1... kF F
. 
 
2.34. Seja 
1 2 1 2 1 1 2 2,.E F F G G SeF GeF G
prove que 
1 1 2 2F G eF G
. 
 
2.35. Sejam E, F espaços vetoriais. Uma 
função f:
E F
 chama se par 
(respc, impar) quando f (-v) = f(v) 
(respect. F(-v) = -f(v)) para todo 
v E
.Prove. 
 
(a) O conjunto A das funções pares 
e o conjunto B das funções 
ímpares são sub espaços 
vetoriais de F(E,F) (vide 
Exercicio1.15) e vale F(E.F) = 
A B. 
 
(b) Alem do conjunto A, dos 
polinômios pares, e B, dos 
polinômios Impares, considere 
também o conjunto A
'
 dos 
polinômios da forma p(x)= 
2i
ia x
 que só contem 
expoentes pares e o conjunto 
'B
dos polinômios da forma q(x) = 
2 1i
ia x
, que só contem 
expoentes impares. Prove que 
'A
 e 
'B
 são subespaços 
vetoriais do espaço de todos 
os polinômios, que 
' , ' ' 'A A B Be A B
.Conclua que A=A’e B = 
'B
. 
 
2.36. Para todo 
n 
 seja
nQ
 o conjunto 
dos polinômios ( de graus 
arbitrários) que são divisiveis por 
nx
.prove que Q e um sub espaço 
vetorial de P.Ache um subespaço F 
P tal que P = 
nQ
. 
 
2.37. dado X E, seja Y o conjunto obtido 
de X substituindo um dos seus 
elementos v por v+
u
, onde 
u X e 
.Prove que X e Y 
geram o mesmo subespaço vetorial 
do E. conclua daí que os conjuntos
1 2 1 1{ 1,..., } { , ,..., }k kv v Ee v v v v v E
geram o mesmo subespaço vetorial 
de E . 
 
2.38. Prove que a reunião