Lajes e Vigas

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Prof. Claydson Moro 1 
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UAM - Estruturas de Concreto Armado 
Sumário 
 
1 PLANTA DE FORMA ....................................................................................................................... 3 
2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................. 4 
2.1 LAJES ....................................................................................................................................... 4 
2.1.1 LAJE L1 .............................................................................................................................. 4 
2.1.2 LAJE L2 – Balanço ............................................................................................................. 4 
2.1.3 LAJE L3 .............................................................................................................................. 4 
2.1.4 LAJE L4 .............................................................................................................................. 5 
2.1.5 LAJE L5 .............................................................................................................................. 5 
2.1.6 LAJE L6 .............................................................................................................................. 5 
2.1.7 LAJE L7 .............................................................................................................................. 5 
2.2 VIGAS ....................................................................................................................................... 7 
2.2.1 VIGA V.1 / V.2 / V.3 / V.4.................................................................................................... 7 
2.2.2 V.5 ...................................................................................................................................... 7 
2.2.3 V.6 ...................................................................................................................................... 8 
2.2.4 V.7 / V.8 .............................................................................................................................. 8 
Resumo ....................................................................................................................................... 9 
2.3 PILARES ................................................................................................................................. 10 
3 REAÇÕES DAS LAJES EM VIGAS ............................................................................................... 13 
3.1 LAJE L1 ................................................................................................................................... 13 
3.2 LAJE L2 ................................................................................................................................... 13 
3.3 LAJE L3 ................................................................................................................................... 14 
3.4 LAJE L4 ................................................................................................................................... 14 
3.5 LAJE L5 ................................................................................................................................... 14 
3.6 LAJE L6 ................................................................................................................................... 15 
3.7 LAJE L7 ................................................................................................................................... 15 
4 MOMENTOS .................................................................................................................................. 18 
4.1 Lajes ........................................................................................................................................ 18 
4.1.1 LAJE L1 ............................................................................................................................ 18 
4.1.2 LAJE L2 ............................................................................................................................ 18 
4.1.3 LAJE L3 ............................................................................................................................ 19 
4.1.4 LAJE L4 ............................................................................................................................ 19 
4.1.5 LAJE L5 ............................................................................................................................ 20 
4.1.6 LAJE L6 ............................................................................................................................ 20 
4.1.7 LAJE L7 ............................................................................................................................ 20 
4.2 Balanceamento de Momentos ................................................................................................. 24 
 
 
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4.2.1 SEÇÃO A .......................................................................................................................... 24 
4.2.2 SEÇÃO B .......................................................................................................................... 25 
4.2.3 SEÇÃO C ......................................................................................................................... 25 
4.2.4 SEÇÃO D ......................................................................................................................... 26 
5 Dimensionamento a flexão ............................................................................................................ 28 
5.1 Lajes ........................................................................................................................................ 28 
5.1.1 Armadura mínima ............................................................................................................. 28 
5.1.2 Momento mínimo .............................................................................................................. 29 
5.1.3 Dimensionamento à Flexão .............................................................................................. 30 
5.1.4 Momentos Positivos.......................................................................................................... 31 
5.1.5 Momentos negativos ........................................................................................................ 32 
5.1.6 Detalhamento das armaduras das Lajes .......................................................................... 35 
6 VIGAS ............................................................................................................................................ 36 
6.1 V.3 ........................................................................................................................................... 36 
6.1.1 Esquema Estrutural e Carregamentos ............................................................................. 36 
6.1.2 Diagramas de esforços internos ....................................................................................... 37 
6.2 Dimensionamento ................................................................................................................... 38 
6.2.1 Armadura Mínima ............................................................................................................. 38 
6.2.2 Dimensionamento a Flexão ..............................................................................................38 
a) Momentos negativos .......................................................................................................... 38 
b) Momentos positivos ............................................................................................................ 39 
6.2.3 Dimensionamento à força cortante ................................................................................... 40 
6.2.4 Ajuste do d da viga ........................................................................................................... 42 
a) Momentos negativos .......................................................................................................... 43 
b) Momentos positivos ............................................................................................................ 44 
7 DETALHAMENTO ......................................................................................................................... 45 
7.1 Armadura Longitudinal ............................................................................................................ 45 
7.2 Decalagem .............................................................................................................................. 45 
7.2.1 Detalhamento das barras longitudinais ............................................................................ 47 
 
 
 
 
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1 PLANTA DE FORMA 
 
Figura 1 - Planta de Forma 
 
 
 
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2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
2.1 LAJES 
Os pré-dimensionamentos das lajes são realizados conforme item 5.1 da apostila de Estruturas 
de concreto Armado. 
2.1.1 LAJE L1 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
1050
240
= 4,375 > 2 − 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝟏 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 
 
𝑑 = 𝐿(0,028 − 0,006.
∑ 𝐿𝑒𝑛𝑔
𝑈
) 
 
𝑑 = 240 (0,028 − 0,006.
520
2580
) = 6,43𝑐𝑚 
ℎ = 6,43 + 2,5 + 0,5 = 9,43𝑐𝑚 ≅ 10𝑐𝑚 
 
2.1.2 LAJE L2 – Balanço 
 
𝑑 = 2𝐿𝑏𝑎𝑙 . 0,028 
𝑑 = 2𝑥130(0,028) = 7,28𝑐𝑚 
ℎ = 7,28 + 2,5 + 0,5 = 10,28𝑐𝑚 ≅ 10𝑐𝑚 
 
2.1.3 LAJE L3 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 − 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝟐 𝒅𝒊𝒓𝒆çõ𝒆𝒔 
λ=1,25 
𝑑 = 𝐿(0,028 − 0,006.
∑ 𝐿𝑒𝑛𝑔
𝑈
) 
L 0,67 x ly = 0,67x520 = 348,4 cm Adotar o menor dos dois valores 
 Lx = 420 cm 
L = 348,4 cm 
𝑑 = 348,4 (0,028 − 0,006.
1460
1880
) = 8,13𝑐𝑚 
ℎ = 8,13 + 2,5 + 1,0 = 11,63𝑐𝑚 ≅ 12 𝑐𝑚 
 
 
 
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2.1.4 LAJE L4 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 − 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝟐 𝒅𝒊𝒓𝒆çõ𝒆𝒔 
λ=1,25 
𝑑 = 𝐿(0,028 − 0,006.
∑ 𝐿𝑒𝑛𝑔
𝑈
) 
L 0,67 x ly = 0,67x520 = 348,4 cm Adotar o menor dos dois valores 
 Lx = 420 cm 
L = 348,4 cm 
𝑑 = 348,4 (0,028 − 0,006.
0
1880
) = 9,75𝑐𝑚 
ℎ = 9,75 + 2,5 + 1,0 = 13,25 𝑐𝑚 ≅ 14𝑐𝑚 
 
2.1.5 LAJE L5 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 − 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝟐 𝒅𝒊𝒓𝒆çõ𝒆𝒔 
λ=1,25 
𝑑 = 𝐿(0,028 − 0,006.
∑ 𝐿𝑒𝑛𝑔
𝑈
) 
L 0,67 x ly = 0,67x520 = 348,4 cm Adotar o menor dos dois valores 
 Lx = 420 cm 
L = 348,4 cm 
𝑑 = 348,4 (0,028 − 0,006.
1360
1880
) = 8,24𝑐𝑚 
ℎ = 8,24 + 2,5 + 1,0 = 11,74 𝑐𝑚 ≅ 12𝑐𝑚 
 
2.1.6 LAJE L6 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 − 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝟐 𝒅𝒊𝒓𝒆çõ𝒆𝒔 
λ=1,25 
𝑑 = 𝐿(0,028 − 0,006.
∑ 𝐿𝑒𝑛𝑔
𝑈
) 
L = 348,4 cm 
𝑑 = 348,4 (0,028 − 0,006.
940
1880
) = 8,71𝑐𝑚 
h = 8,71 + 2,5 + 1,0 = 12,21 cm ≅12 cm 
2.1.7 LAJE L7 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
240
= 2,17 > 2 − 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝟏 𝒅𝒊𝒓𝒆çõ𝒆𝒔 
L 0,67 x ly = 0,67x520 = 348,4 cm Adotar o menor dos dois valores 
 
 
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 Lx = 220 cm 
L = 220 cm 
𝑑 = 𝐿(0,028 − 0,006.
∑ 𝐿𝑒𝑛𝑔
𝑈
) 
𝑑 = 220 (0,028 − 0,006.
520
1460
) = 5,69𝑐𝑚 
h = 5,69 + 2,5 + 0,5 = 8,69 cm ≅ 9cm 
 
PARA UNIFORMIZAÇÃO DAS LAJES, E MELHORIA NA ARMAÇÃO ENTRE LAJES, 
ADOTAREMOS h=12 cm PARA TODAS AS LAJES, EXCETO LAJE 4. 
 
L1 = 12 cm 
L2 = 12 cm 
L3 = 12 cm 
L4 = 14 cm 
L5 = 12 cm 
L6 = 12 cm 
L7 = 12 cm 
 
 
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2.2 VIGAS 
Os pré-dimensionamentos das vigas são realizados conforme item 5.2 da apostila de 
Estruturas de concreto Armado. 
2.2.1 VIGA V.1 / V.2 / V.3 / V.4 
 
> 𝑙0
12
 
hviga= 
500
12
= 41,67 ≡ 45 𝑐𝑚 
 
2.2.2 V.5 
 
> 𝑙0
10
 
hviga= 
500
10
= 50 ≅ 50 𝑐𝑚 
 
 
 
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2.2.3 V.6 
 
>𝑙0
12
 hviga= 
400
12
= 33,33 ≡ 35𝑐𝑚 
 
2.2.4 V.7 / V.8 
 
 
 
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>𝑙0
12
 hviga= 
400
12
= 33,33 ≅ 35𝑐𝑚 
 
𝑙𝑏𝑎𝑙
5
 hviga= 
220
5
= 44 ≅ 45 𝑐𝑚 (Adotado) 
 
Resumo 
V.1 / V.2 / V.3 / V.4 - 20x45 
V.5 - 20x50 
V.6 - 20x35 
V.7 / V.8 - 20x45 
 
 
 
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2.3 PILARES 
 
Os pré-dimensionamentos das vigas são realizados conforme item 5.3 da apostila de 
Estruturas de concreto Armado, utilizando as seguintes premissas de cálculo: 
Nº de andares 10 
Classe de agressividade Ambiental II (Urbano) 
Classe do concreto 25 MPa 
Abaixo é apresentado a planta de forma, com as áreas de influência de seus respectivos 
pilares. 
 
Figura 2 - Áreas de Influência dos Pilares 
 
 
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A tabela abaixo apresenta o resumo dos resultados do pré-dimensionamento dos pilares, 
sendo determinado pelo método simplificado de cálculo, onde se considera uma carga distribuída 
uniformemente na área de influência do pilar, neste caso 10 kN/m². Nesta consideração estão 
incluídos o peso próprio da estrutura, revestimento, sobrecarga e alvenaria. Por ser estimado, pode 
apresentar discrepâncias da realidade. 
Para o pré-dimensionamento dos pilares, foi considerado as seguintes formulações: 
 
 
N° 
Andares 
10 
 
fck 
2,50 
kN/cm² 
 
CAA II 
 
fcd 1,79 kN/cm² 
 
 
 
 
 
MÉTODO SIMPLIFICADO 
PILARES 
Ainf (m²) 
F (kN/m²) 
Ftotal 
(kN) 
b (cm) h (cm) 
h adotado 
(cm) 
P1 3,68 10 393,76 20 22,05 25 
P2 6,95 10 743,65 20 41,64 45 
P3 3,68 10 393,76 20 22,05 25 
P4 11,59 10 1240,13 20 69,45 70 
P5 16,87 10 1805,09 20 101,09 100 
P6 8,92 10 954,44 20 53,45 55 
P7 11,59 10 1240,13 20 69,45 70 
P8 21,5 10 2300,5 25 103,06 105 
P9 11,38 10 1217,66 20 68,19 70 
P10 8,63 10 923,41 20 51,71 55 
P11 17,22 10 1842,54 20 103,18 100 
P12 11,99 10 1282,93 20 71,84 70 
 
 
 
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Figura 3 - Planta de Forma com as dimensões pré-dimensionadas 
 
 
 
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3 REAÇÕES DAS LAJES EM VIGAS 
 
Cargas para as lajes L1 / L2 / L3 / L5 / L6 / L7 
𝑔𝑝𝑝 = 0,12x 25 = 3,0kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 5,70 kN/m² 
 
Cargas para a laje L4 
𝑔𝑝𝑝 = 0,14 x 25+= 3,50 kN/m² 
𝑔𝑒𝑛𝑐ℎ= 0,31 x 8 = 2,48 kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 8,68 kN/m² 
 
3.1 LAJE L1 
lx=2,40m (Vão teórico) 
Reações 
 As reações abaixo, estão conforme item 11.6 da apostila. 
Condição de apoiado-engastado 
 
𝑅 = 
5
8
5,70 𝑥 2,40 = 8,55 𝑘𝑁/𝑚 
 
𝑅 = 
3
8
5,70 𝑥 2,40 = 5,13 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
Condição de bi-apoiado 
 
𝑅 = 
5,70 𝑥 2,40
2
= 6,84 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.2 LAJE L2 
As reações para lajes em balanço são apresentadas no item 11.6.1 da apostila. 
lx=1,30m (l Balanço) 
Reações 
𝑅 = 5,7 × 1,30 = 7,41 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
 
 
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3.3 LAJE L3 
As reações por tabelas podem ser determinadas conforme Tab.11.3, da apostila. 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V2a e V3a) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V6b e V7c) 
Laje Tipo “C2” 
νy=1,71 
ν’x=3,42 
ν’y=2,5 
Reações 
𝑉𝑦 = 1,71
5,7.4,2
10
= 4,09 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 3,42
5,7.4,2
10
= 8,19 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 = 2,5
5,7.4,2
10
= 5,98 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.4 LAJE L4 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V2b e V3b) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V7c e V8c) 
 
Laje Tipo “A1” 
νx= 3,00 
νy= 2,50 
Reações 
𝑉𝑥 = 3,00
8,68.4,2
10
= 10,94 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 = 2,50
8,68.4,2
10
= 9,11 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.5 LAJE L5 
 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V3a e V4a) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V6a e V7b) 
Reações 
Laje Tipo “B3” 
νx= 2,13 
ν’x= 3,13 
ν’y= 3,17 
 
 
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𝑉𝑥 = 2,13
5,7.4,2
10
= 5,10 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 3,13
5,7.4,2
10
= 7,49 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 = 3,17
5,7.4,2
10
= 7,59 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.6 LAJE L6 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
λ=1,25 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V3b e V4b) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V7b e V8b) 
 
Reações 
Laje Tipo “B2” 
νx= 2,60 
νy= 2,17 
ν’x = 3,80 
ν’y= 3,17 
𝑉𝑥 = 2,60
5,7.4,2
10
= 6,22 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 = 2,17
5,7.4,2
10
= 5,19 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 3,80
5,7.4,2
10
= 9,10 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 = 3,17
5,7.4,2
10
= 7,59 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.7 LAJE L7 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
220
= 2,16 > 2 
 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V4b e V5) 
lx=2,20m (Vão teórico da viga V7a e V8a) 
 
Laje Tipo “B1” 
Reações (adotado pela tabela λ>2,00) 
νx= 4,38 
νy= 1,83 
 
 
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ν’x = 6,25 
𝑉𝑥 = 4,38
5,7.2,2
10
= 5,49 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 = 1,83
5,7.2,2
10
= 2,29 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 6,25
5,7.2,2
10
= 7,84 𝑘𝑁/𝑚 
 As reações abaixo, estão conforme item 11.6 da apostila. 
 
Condição de apoiado-engastado 
𝑅 = 
5
8
5,70 𝑥 2,20 = 7,83 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅 = 
3
8
5,70 𝑥 2,20 = 4,70 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
 
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Figura 4 - Planta com as reações das lajes nas vigas 
 
 
 
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4 MOMENTOS 
4.1 Lajes 
Cargas para as lajes L1 / L2 / L3 / L5 / L6 / L7 
𝑔𝑝𝑝 = 0,12x 25 = 3,0kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 5,70 kN/m² 
 
Cargas para a laje L4 
𝑔𝑝𝑝 = 0,14 x 25+= 3,50 kN/m² 
𝑔𝑒𝑛𝑐ℎ= 0,31 x 8 = 2,48 kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 8,68 kN/m² 
 
4.1.1 LAJE L1 
h=12cm 
lx=240cm 
ly=1050cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
1050
240
= 4,375 > 2 
𝑝 = 5,70 kN/m² 
 
Momentos 
𝑚′ = −
𝑝𝑙2
8
= −
5,7 × 2,42
8
= −4,10 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚 =
𝑝𝑙2
14,22
=
5,7 × 2,42
14,22
= 2,31 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.2 LAJE L2 
h=12 cm 
Verificação 
lx=130cm – Laje em balanço 
 
- Laje armada em 1 direção. 
 
 
 
 
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Momentos 
𝑚′ = −
𝑝𝑙2
2
= −
5,7 × 1,32
2
= −4,81 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.3 LAJE L3 
h=12cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 – Laje Armada em 2 direções 
 
Laje Tipo “C2” 
αx=32,3 βx=13,5 
αy=66,7 βy=17,5 
α2=36,4 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥4,22
32,3
= 3,11 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥4,22
66,7
= 1,51 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥4,22
13,5
= −7,45 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑦 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
=
5,7𝑥4,22
17,5
= −5,74 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.4 LAJE L4 
h=14cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 – Laje Armada em 2 direções 
Laje Tipo “A1” 
αx=17,8 
αy=29,9 
α2=13,7 
𝑝 = 8,68 kN/m² 
 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
8,68𝑥4,22
17,8
= 8,60 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
8,68𝑥4,22
29,9
= 5,12 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
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4.1.5 LAJE L5 
h=12cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
 
Laje Tipo “B3” 
αx=34,5 βx=12,7 
αy=45,5 βy=13,5 
α2=32,5 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥4,22
34,5
= 2,91 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥4,22
45,5
= 2,21 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥4,22
12,7
= −7,91 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑦 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
=
5,7𝑥4,22
13,5
= −7,45 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.6 LAJE L6 
h=12cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
Laje Tipo “B2” 
αx=27,8 βx=11,1 
αy=45,5 βy=12,8 
α2=27,1 
 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥4,22
27,8
= 3,62 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥4,22
45,5
= 2,21 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥4,22
11,1
= −9,06 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑦 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
=
5,7𝑥4,22
12,8
= −7,85 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.7 LAJE L7 
h=12cm 
lx=240cm 
ly=520cm 
 
 
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𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
240
= 2,16 > 2 
- Laje armada em 1 direção. 
Momentos 
𝑚′ = −
𝑝𝑙2
8
= −
5,7 × 2,22
8
= −3,45 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚 =
𝑝𝑙2
14,22
=
5,7 × 2,22
14,22
= 1,94 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Considerando como Laje tipo “B1” 
𝜆 = 3,0 
αx=14,3 βx=8,0 
αy=58,8 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥2,22
14,3
= 1,93 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥2,22
58,8
= 0,47 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥2,22
8,0
= −3,45 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
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Figura 5 - Momentos das lajes - Verticais - Seção A e B 
 
 
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Figura 6 - Momentos das lajes Horizontais – Seção C e D 
 
 
 
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4.2 Balanceamento de Momentos 
4.2.1 SEÇÃO A 
 
Balanceamento dos momentos negativos 
L1 – L3 
𝑚′𝐿1 = −4,10𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿3 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
4,10
7,45
= 0,55 < 0,6 (0,8. > 𝑚′) 
𝑚′𝐿1−𝐿3 = 0,8 𝑥 − 7,45𝑘𝑁. 𝑚 = 5,96𝑘𝑁. 𝑚 
 
L3 – L5 
𝑚′𝐿3 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿5 = −7,91𝑘𝑁. 𝑚 
7,45
7,91
= 0,94 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿3−𝐿5 =
7,45 + 7,91
2
= 7,68𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿1 = 2,31 +
(4,10 − 5,96)
2
= 1,38𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝐿3 = 3,11 +
(7,45 − 5,96)
2
+
(7,45 − 7,68)
2
= 3,74𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝐿5 = 2,91 +
(7,91 − 7,68)
2
= 3,02𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
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4.2.2 SEÇÃO B 
 
Balanceamento dos momentos negativos 
L6 – L7 
𝑚′𝐿6 = −9,06𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿7 = −3,45𝑘𝑁. 𝑚 
3,46
9,06
= 0,38 < 0,6 (0,8. > 𝑚′) 
𝑚′𝐿6−𝐿7 = 0,8 𝑥 − 9,06𝑘𝑁. 𝑚 = −7,25𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿6 = 3,62 +
(9,06 − 7,25)
2
= 4,52𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝐿3 = 1,94 +
(3,45 − 7,25)
2
= 0,04𝑘𝑁. 𝑚 
L4 e L1 não necessitam de balanceamento 
 
4.2.3 SEÇÃO C 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Balanceamento dos momentos negativos 
L2 – L3 
𝑚′𝐿2 = −4,81𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿3 = −5,74𝑘𝑁. 𝑚 
4,81
5,74
= 0,84 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿2−𝐿3 =
(4,81 + 5,74)
2
= 5,28𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿3 = 1,51 +
(5,74 − 5,28)
2
= 1,74𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.2.4 SEÇÃO D 
 
Balanceamento dos momentos negativos 
L2 – L5 
𝑚′𝐿2 = −4,81𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿5 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
4,81
7,45
= 0,64 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿2−𝐿5 =
(4,81 + 7,45)
2
= 6,13𝑘𝑁. 𝑚 
L5 – L6 
𝑚′𝐿5 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿6 = −7,85𝑘𝑁. 𝑚 
7,45
7,85
= 0,95 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿2−𝐿5 =
(7,45 + 7,85)
2
= 7,65𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿5 = 2,21 +
(7,45 − 6,13)
2
+
(7,45 − 7,65)
2
= 2,77𝑘𝑁. 𝑚 
m𝐿6 = 2,21 +
(7,85 − 7,65)
2
= 2,31𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
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Figura 7 - Momentos das lajes balanceados 
 
 
 
 
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5 Dimensionamento a flexão 
5.1 Lajes 
5.1.1 Armadura mínima 
 
Para o dimensionamento das lajes, primeiramente podemos determinar a armadura mínima 
conforme prescrita pela norma, conforme Tab 11.6 da apostila, conforme abaixo. Desta forma 
podemos o momento mínimo (5.1.2) e compará-lo aos momentos atuantes nas lajes, e calcular 
apenas os trechos que são necessários. 
Forma de 
Seção 
Valores de ρmin (Asmin/Ac) 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
Fonte: NBR-6118/14 – Tabela 17.3 
 
Sendo o concreto utilizado fck 25 Mpa, adota-se: 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛/𝐴𝑐 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛/𝐴𝑐 = 0,150 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 𝐴𝑐 
𝜌𝑚𝑖𝑛 Taxa mínima de armadura, em porcentagem; 
𝐴𝑐 Área de concreto em cm² 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 Área mínima de aço em cm² 
 
Para lajes de 12cm 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 12𝑥100 = 1,8 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Para lajes de 14cm 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 14𝑥100 = 2,1𝑐𝑚2/𝑚 
 
Armaduras 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
h= 12 cm 𝐴𝑠 = 1,8 𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
1,8
0,31
= 5,81 ≅ 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(6 − 1)
= 20 𝑐𝑚 
 
 
 
 
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Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
h= 14 cm 𝐴𝑠 = 2,1 𝑐𝑚
2/𝑚 
 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,1
0,31
= 6,77 ≅ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(7 − 1)
= 16,67 ≅ 16 𝑐𝑚 
 
Desta forma, as armaduras mínimas para as lajes são: 
h=12cm Ø 6,3mm c/20 cm 
h=14cm Ø 6,3mm c/16 cm 
 
5.1.2 Momento mínimo 
 
Para a determinação do momento mínimo, deve-se determinar a linha neutra para a 
armadura mínima, obtendo desta forma o momento resistente para esta área de aço, conforme 
item 7.1.4 da apostila. 
 
Para as lajes de 12 cm 
 
𝑑 = 12 − 2,5 − 1,0 = 8,5𝑐𝑚 
𝑥 =
𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑑
0,68. 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
 → 𝑥 =
1,8.
50
1,15
0,68.100.
2,5
1,4
 → 𝑥 = 0,644 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 0,68 𝑥 100 𝑥 0,644 𝑥
2,5
1,4
 (8,5 − 0,4 𝑥 0,644) = 644,55 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 6,44 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑘 = 
6,44
1,4
= 4,60 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Para as lajes de 14 cm 
 
𝑑 = 14 − 2,5 − 1,0 = 10,5 𝑐𝑚 
𝑥 =
𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑑
0,68. 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
 → 𝑥 =
2,1.
50
1,15
0,68.100.
2,5
1,4
 → 𝑥 = 0,752 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 0,68 𝑥 100 𝑥 0,752 𝑥
2,5
1,4
 (10,5 − 0,4 𝑥 0,752) = 931,33 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 9,31 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑘 = 
9,31
1,4
= 6,65 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
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5.1.3 Dimensionamento à Flexão 
 
Para o dimensionamento a flexão, utilizaremos a formula para a linha neutra com a 
condição de fck < 50 Mpa, conforme a seguir: 
 
𝑥 = 1,25. 𝑑 [1 − (√1 −
𝑀𝑑
0,425. 𝑏𝑤. 𝑑2𝑓𝑐𝑑
)] 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
. (𝑑 − 0,4. 𝑋)
 
 
 
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Figura 8 - Momentos destacados, estão acima do momento mínimo 
5.1.4 Momentos Positivos 
Laje L.4 
𝑀𝑘+ = 8,60 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 10,5 cm 
𝑥 = 1,25.10,5 [1 − (√1 −
8,60𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 10,52.
2,5
1,4
)] = 0,98𝑐𝑚 
 
𝐴𝑠 =
8,6𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (10,5 − 0,4.0,98)
= 2,74𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
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Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,74
0,31
= 8,84 ≅ 9 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(9 − 1)
= 12,5 𝑐𝑚 
 
5.1.5 Momentos negativos 
Laje L.1-L.3 
𝑀𝑘− = 5,96 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 8,5 cm 
𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
5,96𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 0,842𝑐𝑚 
 
𝐴𝑠 =
5,96𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.0,842)
= 2,35𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,35
0,31
= 7,58 ≅ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(8 − 1)
= 14,28 ≅ 14 𝑐𝑚 
 
Laje L.2-L.3 
𝑀𝑘− = 5,28 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 8,5 cm 
𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
5,28𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 0,742𝑐𝑚 
𝐴𝑠 =
5,28𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.0,742)
= 2,07𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,07
0,31
= 6,68 ≅ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(7 − 1)
= 16,66 ≅ 16 𝑐𝑚 
 
Laje L.2-L.5 
𝑀𝑘− = 6,13 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 8,5 cm 
 
 
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UAM - Estruturas de Concreto Armado𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
6,13𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 0,867𝑐𝑚 
𝐴𝑠 =
6,13𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.0,867)
= 2,42𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,42
0,31
= 7,81 ≅ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(8 − 1)
= 14,29 ≅ 14 𝑐𝑚 
 
Para a uniformização das armaduras, a interligação entre a laje L.2-L.3 e L.2-L.5, será adotado o 
pior caso, sendo este Ø 6,3mm c/14cm. 
Lajes L3-L5 / L.5-L.6 
 Os momentos entre as lajes L.3-L.5 e L.5-L.6 são muito semelhantes, iremos dimensionar 
apenas para o maior momento, neste caso entre a laje L.3-L.5, 
𝑀𝑘− = 7,68 𝑘𝑁. 𝑚. 
d = 8,5 cm 
𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
7,68𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 1,098𝑐𝑚 
𝐴𝑠 =
7,68𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.1,098)
= 3,07𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
3,07
0,31
= 9,89 ≅ 10 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(10 − 1)
= 11,11 ≅ 11 𝑐𝑚 
 
Lajes L.6-L.7 
𝑀𝑘− = 7,25 𝑘𝑁. 𝑚. 
d = 8,5 cm 
𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
7,25𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 1,03𝑐𝑚 
𝐴𝑠 =
7,25𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.1,03)
= 2,88𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
 
 
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𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,88
0,31
= 9,31 ≅ 10 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(10 − 1)
= 11,11 ≅ 11 𝑐𝑚 
 
Armaduras secundárias 
Tab - 11.5 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
Armadura positiva 
(secundária) de 
lajes armadas em 
uma direção 
𝐴𝑠 𝑠⁄ ≥ 20 % da armadura principal 
𝐴𝑠 𝑠⁄ ≥ 0,9𝑐𝑚
2/𝑚 
𝜌𝑠 ≥ 0,5. 𝜌𝑚í𝑛 
 
Laje L.1 / L.2 / L.7 
 
20 % 𝐴𝑠 =
1,80𝑐𝑚2
𝑚
 → 0,36𝑐𝑚2/𝑚 
0,5 . 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
1,80𝑐𝑚2/𝑚
2
 → 0,90 𝑐𝑚2/𝑚 
𝐴𝑠 𝑠⁄ ≥ 0,9𝑐𝑚
2/𝑚 
 Adotado 0,9cm²/m de laje, sendo utilizado como limite de espaçamento de 25cm entre barras. 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
0,9
0,31
= 2,90 ≅ 3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(3 − 1)
= 50 ≅ 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 25 𝑐𝑚 
 
Armaduras de borda sem continuidade 
Tab - 11.5 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
Armaduras 
negativas de borda 
sem continuidade 
𝜌𝑠 ≥ 0,67𝜌𝑚í𝑛 
 
Para lajes h=12cm 
0,67 . 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,67𝑥1,80𝑐𝑚
2/𝑚 → 1,21 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
1,21
0,31
= 3,90 ≅ 4 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(4 − 1)
= 33,33 ≅ 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 25 𝑐𝑚 
 
Para lajes h=14cm 
0,67 . 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,67𝑥2,10𝑐𝑚
2/𝑚 → 1,41 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
 
 
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𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
1,41
0,31
= 4,54 ≅ 5 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(5 − 1)
= 25 𝑐𝑚 
 
5.1.6 Detalhamento das armaduras das Lajes 
 
Figura 9 - Armadura das Lajes - Superior e Inferior 
 
 
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6 VIGAS 
 
6.1 V.3 
6.1.1 Esquema Estrutural e Carregamentos 
 
Para a composição dos carregamentos, deve-se considerar todas as cargas atuantes sobre 
a viga, neste caso sendo a reação das lajes nas vigas, alvenaria e peso próprio da viga, conforme 
abaixo: 
 
 
Figura 10 - Reação das lajes nas vigas 
1º Trecho 2º Trecho 
𝑃𝐿3−𝐿5 = 15,68 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝐿4−𝐿6 = 17,16 𝑘𝑁/𝑚 
𝑔𝑝𝑝 = 0,2𝑥0,45𝑥25 = 2,25𝑘𝑁/𝑚 
𝑔𝑎𝑙𝑣 = (3 − 0,45)𝑥0,15𝑥18 = 6,885𝑘𝑁/𝑚 
𝑔𝑝𝑝 = 0,2𝑥0,45𝑥25 = 2,25𝑘𝑁/𝑚 
𝑔𝑎𝑙𝑣 = (3 − 0,45)𝑥0,15𝑥18 = 6,885𝑘𝑁/𝑚 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 24,81𝑘𝑁/𝑚. 1,4 = 34,73𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 26,29𝑘𝑁/𝑚. 1,4 = 36,81𝑘𝑁/𝑚 
 
 
Figura 11 - Esquema estrutural e de carregamentos 
 
 
 
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6.1.2 Diagramas de esforços internos 
 
A partir dos carregamentos demonstrados anteriormente, obteve-se os seguintes diagramas 
a partir do software FTOOL: 
 
Figura 12 - Diagramas de momentos fletores - Md 
 
Figura 13 - Diagrama de forças cortantes - Vd 
 
 
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6.2 Dimensionamento 
6.2.1 Armadura Mínima 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 20𝑥45 = 1,35 𝑐𝑚2/𝑚 
Armaduras 
Adotando-se Ø 10mm 𝐴𝑠Ø = 0,79𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
1,35
0,79
= 1,71 ≅ 2 ∅ 10𝑚𝑚 
2 ∅ 10𝑚𝑚 = 1,58 𝑐𝑚² 
 
Momento Mínimo 
d = 45-3-0,63-1= 40,37 cm 
d = 45 x 0,9 = 40,5 cm (Adotado) 
𝑥 =
𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑑
0,68. 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
 → 𝑥 =
1,35.
50
1,15
0,68.20.
2,5
1,4
 → 𝑥 = 2,42 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 0,68 𝑥 20 𝑥 2,42 𝑥
2,5
1,4
 (40,5 − 0,4 𝑥 2,42) = 2323,35 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 23,23 𝑘𝑁. 𝑚 
Todos os momentos fletores são maiores que o mínimo, desta forma devemos dimensionar todos. 
 
6.2.2 Dimensionamento a Flexão 
a) Momentos negativos 
𝑀𝑑− = 55,9 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 40,5 cm (Adotado) 
𝑥 = 1,25.40,5 [1 − (√1 −
55,9𝑥100
0,425.20. 40,52.
2,5
1,4
)] = 6,04𝑐𝑚 
𝑥
𝑑
=
6,04
40,5
= 0,149 Domínio 2a 
𝐴𝑠 =
55,9𝑥100
50
1,15
. (40,5 − 0,4.6,04)
= 3,37 𝑐𝑚2 
 
Adotando-se Ø 10mm 𝐴𝑠Ø = 0,79𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
3,37
0,79
= 4,27 ≅ 5 ∅ 10𝑚𝑚 
 
 
Adotando-se 2 Ø 10mm 𝐴𝑠Ø = 1,59𝑐𝑚² 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 2Ø10𝑚𝑚 
𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑐. = 3,37 − 1,59 = 1,78 𝑐𝑚² 
 
 
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𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡. = 1 Ø 10mm + 1 Ø 12,5mm = 0,79 + 1,23 = 2,02 cm² 
ou 
𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡. = 1 Ø 16mm = 2,01 cm² 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. = 2 Ø 10mm + 1 Ø 16mm = 1,59 + 2,01 = 3,60 cm² 
 
𝑀𝑑− = 96,5 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 40,5 cm (Adotado) 
𝑥 = 1,25.40,5 [1 − (√1 −
96,5𝑥100
0,425.20. 40,52.
2,5
1,4
)] = 11,00 𝑐𝑚 
𝑥
𝑑
=
11,00
40,5
= 0,271 Domínio 3 
𝐴𝑠 =
96,5𝑥100
50
1,15
. (40,5 − 0,4.11,00)
= 6,15 𝑐𝑚2 
 
Adotando-se 2 Ø 10mm 𝐴𝑠Ø = 1,59𝑐𝑚² 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 2Ø10𝑚𝑚 
𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑐. = 6,15 − 1,59 = 4,56 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡. = 1 Ø 10mm + 2 Ø 16mm = 0,79 + 4,02 = 4,81 cm² 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. = 3 Ø 10mm + 2 Ø 16mm = 2,37 + 4,02 = 6,39 cm² 
 
b) Momentos positivos 
𝑀𝑑+ = 49 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 40,5 cm (Adotado) 
𝑥 = 1,25.40,5 [1 − (√1 −
49𝑥100
0,425.20. 40,52.
2,5
1,4
)] = 5,25𝑐𝑚 
𝑥
𝑑
=
5,25
40,5
= 0,129 Domínio 2a 
𝐴𝑠 =
49𝑥100
50
1,15
. (40,5 − 0,4.5,25)
= 2,93 𝑐𝑚2 
 
Adotando-se Ø 10mm 𝐴𝑠Ø = 0,79𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,93
0,79
= 3,71 ≅ 4 ∅ 10𝑚𝑚 
 
 Conforme demonstrado, os momentos positivos são muito próximo, sendo 𝑀𝑑+ =
49,0 𝑘𝑁. 𝑚 e 𝑀𝑑+ = 46,2 𝑘𝑁. 𝑚, desta forma adotaremos a mesma armadura para o momento de 
𝑀𝑑+ = 33,0 𝑘𝑁. 𝑚, neste caso 4 ∅ 10𝑚𝑚. 
 
 
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6.2.3 Dimensionamento à força cortante 
 
Modelo I 
A) Verificação da Compressão diagonal 
 
bw= 20 cm 
h= 45 cm 
d= 40,5 cm 
Vsd = 103,5 kN 
 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑2 
Vrd2 = 0,27. αv2. fcd. bw. d 
αv2 = (1 −
fck
250
) = (1 −
25
250
) = 0,90 
Vrd2 = 0,27.0,90.
2,51,4
. 20.40,5 = 351,48 kN 
Vsd=103,5 ≤ Vrd2= 351,48 kN – OK! 
 
B) Calculo de Vc 
 
Vc= Vc0 
fctd =
0,21. 25
2
3⁄
1,4
= 1,282 𝑀𝑃𝑎 = 0,128 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Vc0 = 0,6.0,128.20.40,5 = 62,21 kN 
 
C) Calculo da Armadura Transversal 
 
Vsd = Vrd3 
VRd3 = Vc + Vsw 
Vsw = Vsd − Vc 
Vsw = 103,5 − 62,21 = 41,29 kN 
(
Asw
s
) =
41,29
0,9.40,5.
50
1,15
. (sen90 + cos90)
= 0,0260cm²/cm 
Adotando-se S= 100cm 
 
S=100 cm 
𝐴𝑠𝑤 = 0,0260.
𝑐𝑚²
𝑐𝑚
 .
100𝑐𝑚
1𝑚
= 2,60 𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
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Considerando ø 5,0mm - As = 0,19 
cm² 
Nº barras = 
2,60
2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠⁄
0,19
= 6,86 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ≅
7 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 
Esp. = 
100
(7−1)
= 16,6 = 16 𝑐𝑚 
 
Considerando ø 6,3mm - As = 0,31 cm² 
Nº barras = 
2,60
2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠⁄
0,31
= 4,20 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ≅
5 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 
Esp. = 
100
(5−1)
= 25 𝑐𝑚 
 
 
 
D) Determinação da Armadura Mínima 
 
Asw
S 
≥ 0,2
b𝑤. fct,m. senα
fywk
 
fct,m = 0,3 . 𝑓𝑐𝑘
2
3⁄ = 2,565 𝑀𝑃𝑎 = 0,2565 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Asw
S 
≥ 0,2
20.0,2565.1
50
= 0,0205 𝑐𝑚2/𝑐𝑚 
𝐴𝑠𝑤 = 0,0205.
𝑐𝑚²
𝑐𝑚
 .
100𝑐𝑚
1𝑚
= 2,05 𝑐𝑚2/𝑚 
Considerando ø 5,0mm - As = 
0,19 cm² 
 
Nº barras = 
2,05
2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠⁄
0,19
=
5,39 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ≅ 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
 
Esp. = 
100
(6−1)
= 20 𝑐𝑚 
 
Considerando ø 6,3mm - As = 0,31 
cm² 
 
Nº barras = 
2,05
2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠⁄
0,31
=
3,31 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ≅ 4 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
 
Esp. = 
100
(4−1)
= 33,33 𝑐𝑚 
 
 
E) Determinação do Espaços Máximos 
 
- Se Vd ≤ 0,67.Vrd2, então Smax= 0,6.d ≤ 300 mm 
- Se Vd > 0,67.Vrd2, então Smax= 0,3.d ≤ 200 mm 
 
- Se 103,5 < 0,67.351,48 = 235,49 kN Smax= 0,6.40,5 = 24,3 cm < 300 mm 
Armadura adotada para o Smáx – ø6,3mm c/ 24 cm 
Determinando a armadura por metro para ø6,3mm c/ 24 cm 
 
 
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Nº de barras = 
100
24
= 4,16 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜𝑠 = 5 estribos 
𝐴𝑠𝑤 = 5. 2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 . 0,31 = 3,10 𝑐𝑚2/𝑚 
 
F) Determinação do Vsdmín 
 
(
3,10
100
) =
Vsw
0,9.40,5.
50
1,15
. (1)
 
Vsw = 49,12 𝑘𝑁 
VRd3 = Vc + Vsw 
Vsd,min = 62,61 + 49,12 = 111,73 kN 
 
Desta forma, como 𝐕𝐬𝐝,𝐦𝐢𝐧 apresentou valor maior que o maior 𝐕𝐬𝐝, iremos adotar a 
armadura ø 6,3mm c/ 24 cm em toda a viga 
 
6.2.4 Ajuste do d da viga 
Seção para os pilares inicial e final 
 
Seção para o pilar central da Viga 
 
 
 
 
 
 
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Seção central da Viga 
 
 
 
Figura 14 - Imagem 3D da Viga V.3 
 
 Como demonstrado, o d ajustado das vigas apresentaram valores maiores para os pilares 
inicial/final e seção central da viga, não sendo necessário a verificação com o d ajustado para eles. 
Porém, para a seção do pilar central, houve uma redução no d estimado, sendo necessário a 
verificação de uma nova armadura para esta seção, caso necessite. 
Apenas para comparação, serão apresentados os valores de As para todos os d ajustados. 
 
a) Momentos negativos 
𝑀𝑑− = 55,9 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 40,57 cm (ajustado) 
 
 
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𝑥 = 1,25.40,57 [1 − (√1 −
55,9𝑥100
0,425.20. 40,572.
2,5
1,4
)] = 6,03𝑐𝑚 
𝑥
𝑑
=
6,03
40,57
= 0,149 Domínio 2a 
𝐴𝑠 =
55,9𝑥100
50
1,15
. (40,57 − 0,4.6,04)
= 3,36 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡. = 2 Ø 10mm + 1 Ø 16mm = 1,59 + 2,01 = 3,60 cm
2 > 3,36𝑐𝑚2 − 𝑂𝐾 
 
𝑀𝑑− = 96,5 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 39,37 cm (ajustado) 
𝑥 = 1,25.39,37 [1 − (√1 −
96,5𝑥100
0,425.20. 39,372.
2,5
1,4
)] = 11,42 𝑐𝑚 
𝑥
𝑑
=
11,42
39,37
= 0,289 Domínio 3 
𝐴𝑠 =
96,5𝑥100
50
1,15
. (39,37 − 0,4.11,42)
= 6,38 𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡. = 3 Ø 10mm + 2 Ø 16mm = 2,37 + 4,02 = 6,39 cm
2 > 6,37𝑐𝑚2 − 𝑂𝐾 
 
b) Momentos positivos 
𝑀𝑑+ = 49 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 40,87 cm (Adotado) 
𝑥 = 1,25.40,87 [1 − (√1 −
49𝑥100
0,425.20. 40,872.
2,5
1,4
)] = 5,20𝑐𝑚 
𝑥
𝑑
=
5,20
40,87
= 0,127 Domínio 2a 
𝐴𝑠 =
49𝑥100
50
1,15
. (40,87 − 0,4.5,20)
= 2,90 𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡. = 4 Ø 10mm = 4 𝑥 0,79 = 3,16𝑐𝑚
2 > 2,90 𝑐𝑚2 − 𝑂𝐾 
 
 
 
 
 
 
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7 DETALHAMENTO 
7.1 Armadura Longitudinal 
 
Após as verificações no ELU, deve-se realizar o detalhamento final da armadura, 
considerando a decalagem. A decalagem entra exclusivamente para uma economia de armadura, 
onde visa-se o cobrimento do diagrama de momento com as barras longitudinais, com a adição da 
ancoragem das barras. As barras podem se alojadas no restante da viga, porém não terão utilidade 
alguma, pois não há tração para elas serem solicitadas, gerando um desperdício de material. 
 
7.2 Decalagem 
Para a decalagem do banzo tracionado no Modelo I, utilizamos: 
𝑎𝑙 = 𝑑. [
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑎𝑥
2. (𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑐𝑜)
(1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼) − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼] ≤ 𝑑 
𝑎𝑙 = 39,37. [
103,5
2. (103,5 − 62,21)
] ≤ 39,37 
𝑎𝑙 = 49,34𝑐𝑚 > 39,37𝑐𝑚 
Adota-se 𝑎𝑙 = 40𝑐𝑚. 
 
 Determinação da ancoragem das barras, lb, utilizamos: 
lb =
∅
4
.
fyd
fbd
≥ 25 
Valor de resistência a aderência: 
fbd = η1. η2. η3. fctd 
η1 = 2,25 (Aço CA − 50) 
η2 = 1,0 (Boa Aderência) 
η3 = 1,0 ( < 32mm) 
fctd =
0,21. 25 
2
3
1,4
= 1,28 𝑀𝑃𝑎 = 0,128 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
fbd = 2,25.1,0.1,0.0,128 = 2,88 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
 Para a determinação da ancoragem básica, temos: 
lb =
1,6
4
.
50
1,15⁄
0,288
= 60,39 𝑐𝑚 ≥ 25𝑥1,6 = 40𝑐𝑚 Para Ø 16mm 
lb =
1,0
4
.
50
1,15⁄
0,288
= 37,74 𝑐𝑚 ≥ 25𝑥1.0 = 25𝑐𝑚 Para Ø 10mm 
 
 
 
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Para a determinação da ancoragem necessária, temos: 
α = 1,0 Ancoragem reta (barras sem ganchos) 
lb,nec = 1,0.60,39.
6,37
6,39
= 59,98 cm ≅ 60cm 
lb,nec = 1,0.37,74.
2,90
3,16
= 34,63 cm ≅ 35cm 
 Conforme os valores determinados acima, podemos realizar a decalagem conforme a 
seguir: 
 
 
Conforme decalagem acima, utilizaremos as maiores barras como porta estribo, sendo as duas 
ultimas na parte superior, e as duas primeiras na parte inferior da viga. 
Na sequência, foi extraído a maior barra, a adotado seu comprimento. As dimensões das barras 
apresentadas, são as dimensões obtidas após a decalagem e ancoragem. 
 
 
 
 
 
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7.2.1 Detalhamento das barras longitudinais 
 
 
Figura 15 - Detalhamento para corte e Dobra 
 
 
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Figura 16 - Vista 3d da armadura