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Lajes e Vigas

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UAM - Estruturas de Concreto Armado 
3 REAÇÕES DAS LAJES EM VIGAS 
 
Cargas para as lajes L1 / L2 / L3 / L5 / L6 / L7 
𝑔𝑝𝑝 = 0,12x 25 = 3,0kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 5,70 kN/m² 
 
Cargas para a laje L4 
𝑔𝑝𝑝 = 0,14 x 25+= 3,50 kN/m² 
𝑔𝑒𝑛𝑐ℎ= 0,31 x 8 = 2,48 kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 8,68 kN/m² 
 
3.1 LAJE L1 
lx=2,40m (Vão teórico) 
Reações 
 As reações abaixo, estão conforme item 11.6 da apostila. 
Condição de apoiado-engastado 
 
𝑅 = 
5
8
5,70 𝑥 2,40 = 8,55 𝑘𝑁/𝑚 
 
𝑅 = 
3
8
5,70 𝑥 2,40 = 5,13 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
Condição de bi-apoiado 
 
𝑅 = 
5,70 𝑥 2,40
2
= 6,84 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.2 LAJE L2 
As reações para lajes em balanço são apresentadas no item 11.6.1 da apostila. 
lx=1,30m (l Balanço) 
Reações 
𝑅 = 5,7 × 1,30 = 7,41 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
 
 
Prof. Claydson Moro 14 
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3.3 LAJE L3 
As reações por tabelas podem ser determinadas conforme Tab.11.3, da apostila. 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V2a e V3a) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V6b e V7c) 
Laje Tipo “C2” 
νy=1,71 
ν’x=3,42 
ν’y=2,5 
Reações 
𝑉𝑦 = 1,71
5,7.4,2
10
= 4,09 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 3,42
5,7.4,2
10
= 8,19 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 = 2,5
5,7.4,2
10
= 5,98 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.4 LAJE L4 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V2b e V3b) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V7c e V8c) 
 
Laje Tipo “A1” 
νx= 3,00 
νy= 2,50 
Reações 
𝑉𝑥 = 3,00
8,68.4,2
10
= 10,94 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 = 2,50
8,68.4,2
10
= 9,11 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.5 LAJE L5 
 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V3a e V4a) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V6a e V7b) 
Reações 
Laje Tipo “B3” 
νx= 2,13 
ν’x= 3,13 
ν’y= 3,17 
 
 
Prof. Claydson Moro 15 
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𝑉𝑥 = 2,13
5,7.4,2
10
= 5,10 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 3,13
5,7.4,2
10
= 7,49 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 = 3,17
5,7.4,2
10
= 7,59 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.6 LAJE L6 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
λ=1,25 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V3b e V4b) 
lx=4,20m (Vão teórico da viga V7b e V8b) 
 
Reações 
Laje Tipo “B2” 
νx= 2,60 
νy= 2,17 
ν’x = 3,80 
ν’y= 3,17 
𝑉𝑥 = 2,60
5,7.4,2
10
= 6,22 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 = 2,17
5,7.4,2
10
= 5,19 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 3,80
5,7.4,2
10
= 9,10 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑦 = 3,17
5,7.4,2
10
= 7,59 𝑘𝑁/𝑚 
 
3.7 LAJE L7 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
220
= 2,16 > 2 
 
ly=5,20m (Vão teórico da viga V4b e V5) 
lx=2,20m (Vão teórico da viga V7a e V8a) 
 
Laje Tipo “B1” 
Reações (adotado pela tabela λ>2,00) 
νx= 4,38 
νy= 1,83 
 
 
Prof. Claydson Moro 16 
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ν’x = 6,25 
𝑉𝑥 = 4,38
5,7.2,2
10
= 5,49 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑦 = 1,83
5,7.2,2
10
= 2,29 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉′𝑥 = 6,25
5,7.2,2
10
= 7,84 𝑘𝑁/𝑚 
 As reações abaixo, estão conforme item 11.6 da apostila. 
 
Condição de apoiado-engastado 
𝑅 = 
5
8
5,70 𝑥 2,20 = 7,83 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅 = 
3
8
5,70 𝑥 2,20 = 4,70 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
 
Prof. Claydson Moro 17 
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Figura 4 - Planta com as reações das lajes nas vigas 
 
 
 
Prof. Claydson Moro 18 
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4 MOMENTOS 
4.1 Lajes 
Cargas para as lajes L1 / L2 / L3 / L5 / L6 / L7 
𝑔𝑝𝑝 = 0,12x 25 = 3,0kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 5,70 kN/m² 
 
Cargas para a laje L4 
𝑔𝑝𝑝 = 0,14 x 25+= 3,50 kN/m² 
𝑔𝑒𝑛𝑐ℎ= 0,31 x 8 = 2,48 kN/m² 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,85 + 0,35 = 1,20 kN/m² 
𝑞 = 1,50 kN/m² 
𝑝 = 8,68 kN/m² 
 
4.1.1 LAJE L1 
h=12cm 
lx=240cm 
ly=1050cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
1050
240
= 4,375 > 2 
𝑝 = 5,70 kN/m² 
 
Momentos 
𝑚′ = −
𝑝𝑙2
8
= −
5,7 × 2,42
8
= −4,10 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚 =
𝑝𝑙2
14,22
=
5,7 × 2,42
14,22
= 2,31 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.2 LAJE L2 
h=12 cm 
Verificação 
lx=130cm – Laje em balanço 
 
- Laje armada em 1 direção. 
 
 
 
 
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Momentos 
𝑚′ = −
𝑝𝑙2
2
= −
5,7 × 1,32
2
= −4,81 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.3 LAJE L3 
h=12cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 – Laje Armada em 2 direções 
 
Laje Tipo “C2” 
αx=32,3 βx=13,5 
αy=66,7 βy=17,5 
α2=36,4 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥4,22
32,3
= 3,11 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥4,22
66,7
= 1,51 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥4,22
13,5
= −7,45 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑦 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
=
5,7𝑥4,22
17,5
= −5,74 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.4 LAJE L4 
h=14cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 – Laje Armada em 2 direções 
Laje Tipo “A1” 
αx=17,8 
αy=29,9 
α2=13,7 
𝑝 = 8,68 kN/m² 
 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
8,68𝑥4,22
17,8
= 8,60 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
8,68𝑥4,22
29,9
= 5,12 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
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4.1.5 LAJE L5 
h=12cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
 
Laje Tipo “B3” 
αx=34,5 βx=12,7 
αy=45,5 βy=13,5 
α2=32,5 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥4,22
34,5
= 2,91 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥4,22
45,5
= 2,21 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥4,22
12,7
= −7,91 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑦 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
=
5,7𝑥4,22
13,5
= −7,45 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.6 LAJE L6 
h=12cm 
lx=520cm 
ly=420cm 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
420
= 1,24 < 2 ≅ 1,25 
Laje Tipo “B2” 
αx=27,8 βx=11,1 
αy=45,5 βy=12,8 
α2=27,1 
 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥4,22
27,8
= 3,62 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥4,22
45,5
= 2,21 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥4,22
11,1
= −9,06 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑦 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
=
5,7𝑥4,22
12,8
= −7,85 𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.1.7 LAJE L7 
h=12cm 
lx=240cm 
ly=520cm 
 
 
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𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
520
240
= 2,16 > 2 
- Laje armada em 1 direção. 
Momentos 
𝑚′ = −
𝑝𝑙2
8
= −
5,7 × 2,22
8
= −3,45 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚 =
𝑝𝑙2
14,22
=
5,7 × 2,22
14,22
= 1,94 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Considerando como Laje tipo “B1” 
𝜆 = 3,0 
αx=14,3 βx=8,0 
αy=58,8 
𝑚𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
=
5,7𝑥2,22
14,3
= 1,93 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
=
5,7𝑥2,22
58,8
= 0,47 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝑥 = −
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
=
5,7𝑥2,22
8,0
= −3,45 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
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Figura 5 - Momentos das lajes - Verticais - Seção A e B 
 
 
Prof. Claydson