INCLINAÇÃO DE RUAS: UMA ABORDAGEM PRÁTICA DA TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO VALE DO TAQUARI - UNIVATES 
 
 
 
 
 
 
 
INCLINAÇÃO DE RUAS: UMA ABORDAGEM PRÁTICA DA 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
Bruna Luana Eckhardt (627444) 
Évelin Kathleen Keller (582171) 
Fáiza Letícia Schoeninger (626876) 
Milena Von Mühlen (627251) 
 
 
 
 
Lajeado, Maio de 2018​. 
 
 
Bruna Luana Eckhardt (627444) 
Évelin Kathleen Keller (582171) 
Fáiza Letícia Schoeninger (626876) 
Milena Von Mühlen (627251) 
 
 
 
INCLINAÇÃO DE RUAS: UMA ABORDAGEM PRÁTICA DA 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
Trabalho relacionando a disciplina de 
Introdução às Ciências Exatas, da 
Universidade do Vale do Taquari - 
UNIVATES, com o objetivo de aplicar os 
conceitos de trigonometria no triângulo 
retângulo em atividades práticas, como 
medir a inclinação das ruas. 
Professora: Andréia Spessatto De Maman 
 
 
 
 
 
Lajeado, Maio de 2018​. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
A trigonometria é uma área de estudo matemático responsável por 
estabelecer a relação presente entre os lados e ângulos de um triângulo. 
Atualmente, as razões trigonométricas são utilizadas de diferentes formas e em 
diversos ramos: na engenharia, para o cálculo de ângulos de inclinações de rampas 
e escadas; ao medir a alturas de montanhas e colinas; na astronomia, medindo a 
distância de um planeta para outro; na topografia, no planejamento de um edifício, 
entre tantas outras aplicações. (CARGININ et. al, 2015). 
Conforme Carginin et al. (2015) dentre os ramos citados destaca-se a 
construção civil, devido ao fato de o engenheiro fazer uso de diversos elementos, 
que envolvem cálculos físicos e mecânicos, para a construção de ruas, pontes e 
viadutos. 
Desta forma, ao decorrer de determinada aula da disciplina de Introdução a 
Ciências Exatas, cujo assunto pertinente envolve o estudo da trigonometria, 
abordou-se o tema de inclinação de ruas. Durante debate acerca do tema, grande 
maioria dos alunos presumiu que algumas ruas possam compreender mais de 45º 
de angulação. Fato este, que seria um tanto inviável, pois conforme retrata ​Guinness 
World Records em seu livro dos recordes, a rua mais inclinada do mundo, até o 
momento, é chamada de Baldwin Street, localizada na Nova Zelândia e possui uma 
inclinação de 35% e um ângulo de 19º. 
O fato dos alunos acreditarem que as ruas possuem uma angulação tão 
elevada, conforme Silveira (2007),ocorre pois “As placas de sinalização em rodovias 
reforçam a ideia dos ângulos próximos ou maiores do que 30° em declives 
acentuados”, ilustrado na imagem 1. 
Imagem 1. ​Placa sinalizando o declive acentuado em rodovias 
 
 
 
Fonte: Silva (2010) 1
Com base em tais dados, este trabalho visa conter informações sobre a 
inclinação das ruas, mostrando como são realizados os cálculos para descoberta do 
ângulo e o percentual de inclinação de determinada rua, além de fazer referência a 
trigonometria básica, apresentando seus cálculos e conceitos. 
2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO 
O referido trabalho iniciou-se como proposta de Trabalho Discente Efetivo da 
disciplina de Introdução a Ciências Exatas, a qual abordava o estudo trigonométrico. 
Através da aplicação dos estudos desenvolvidos até então, foi apresentada a 
proposta desta pesquisa, que tem por objetivo analisar a trigonometria existente em 
ruas da região​. 
Após os estudos teóricos realizados em aula, seguiu-se para o estudo de 
campo, no qual optou-se pela Rua Clóvis Pereira de Carvalho, no bairro Xangrilá, 
localizado na cidade de Venâncio Aires, para realização do trabalho prático. A rua 
possui uma considerável inclinação que despertou o interesse do grupo em 
investigar seu ângulo de inclinação. 
Com a delimitação do local a ser pesquisado, foram coletadas imagens que 
retratam pontos nos quais pode-se observar a inclinação da via, para uma posterior 
1 SILVA, Gledson. ​Cicloviagem: Rio x Aparecida – 26 e 27/07 (2º dia)​. Adventure Zone, São Paulo, 
13 jul. 2010. Disponível em: 
<http://www.adventurezone.com.br/blog/cicloviagem-rio-x-aparecida-%E2%80%93-26-e-2707-2%C2
%BA%C2%A0dia>. Acesso em: 03 mai. 2018. 
 
 
aplicação da trigonometria. Através das imagens coletadas ( Imagem 2, Imagem 3, 
Imagem 4), surge a hipótese de uma inclinação de 32º. 
Imagem 2. Foto tirada no ponto mais alto da rua Clóvis Pereira de Carvalho 
 
Fonte: As autoras. 
Imagem 3. Foto lateral da rua Clóvis Pereira de Carvalho, utilizada para medir sua inclinação 
 
Fonte: As autoras. 
 
 
Imagem 4 . Representação do local escolhido no Google Maps. 
 
Fonte: Google Maps 
3. DADOS E ANÁLISE 
Colocou-se no Geogebra a foto da rua escolhida e utilizando a calçada como 
referencial, traçou-se um triângulo retângulo de pontos C, D e E. Sendo “a” o lado da 
hipotenusa ( segmento EC), “b” ( segmento DC) e “c” ( segmento DE) os catetos, 
usou-se o aplicativo para descobrir as medidas dos três lados e seus respectivos 
ângulos ( os valores dos lados são proporcionais ao tamanho da imagem, não são 
as medidas reais da calçada ou do muro), como é possível observar na imagem 5. 
Os dados obtidos foram: 
Segmento EC = 15,48 cm Segmento ED = 2,74 cm Segmento DC = 15,24 cm 
Ângulo 𝜶 = 10,19° Ângulo 𝞫 = 90° Ângulo 𝛄 = 79,81° 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 5. Representação do triângulo retângulo e seus respectivos valores 
 
Fonte: As autoras. 
Pode-se calcular as medidas dos lados de um triângulo retângulo a partir do 
Teorema de Pitágoras, expressado pela fórmula: , sendo hipotenusa, ² b² c²a = + a 
e os catetos. Portanto, conhecendo a medida dos catetos, descobre-se ab c 
medida da hipotenusa, por exemplo. 
a​2​ = (2,74)​2​ + (15,24)​2 
a​2​ = 7,5076 + 232,2576 
a​2​ = 239,7651 
a = √239, 6517 
a = ​15,48435 cm → ​Este é o valor da hipotenusa 
Para calcular os ângulos de um triângulo retângulo, usa-se as razões 
trigonométricas, relações que existem entre os lados deste triângulo. A hipotenusa 
representa o maior lado do triângulo retângulo, o cateto oposto é aquele cateto que 
 
 
encontra-se no lado oposto ao ângulo , enquanto o cateto adjacente encontra-se θ 
ao lado do ângulo . As relações são:θ 
Seno = θ HIPOTENUSA
CATETO OPOSTO 
Cosseno = θ HIPOTENUSA
CATETO ADJACENTE 
Tangente = θ CATETO OPOSTOCATETO ADJACENTE 
Utilizando essas fórmulas, pôde-se calcular a inclinação da rua ( ângulo 𝜶) de 
três maneiras diferentes, assim como calculou-se os valores do seno, cosseno e 
tangente do ângulo 𝜶. 
sen 𝜶 = SEGMENTO EC
SEGMENTO DE 
sen 𝜶 = 2,7415,48 
sen 𝜶 = 0,177 
sen​-1​ 0,177 = 𝜶 
𝜶 = 10,195° 
sen 10,19° = 0,178 
cos 𝜶 = SEGMENTO EC
SEGMENTO DC 
cos 𝜶 = 15,48
15,24 
cos 𝜶 = 0,9845 
cos​-1​ 0,9845 = 𝜶 
𝜶 = 10,10° 
cos 10,10° = 0,98 
tan 𝜶 = SEGMENTO DESEGMENTO DC 
tan 𝜶 = 2,7415,24 
tan 𝜶 = 0,1798 
tan​-1​ 0,1798 = 𝜶 
𝜶 = 10,19° 
tan 10,19° = 0,18 
A partir da tangente do ângulo de inclinação da rua, descobre-se a inclinação 
percentualda rua. Como a rua possui 10,19°, sua tangente vale 0,18, e seu 
percentual de inclinação é 18%. Isso significa que a cada 100 metros de 
deslocamento horizontal, sobe-se cerca de 18 metros. 
4. CONCLUSÃO 
O estudo matemático da trigonometria geralmente é utilizado para encontrar 
distâncias e alturas, que dificilmente podem ser medidas ou acessadas. Para 
aplicação da trigonometria, é necessário conhecer as razões trigonométricas 
fundamentais: seno, cosseno e tangente. 
O trabalho de campo permite um contato maior com a aplicação prática dos 
cálculos realizados em sala. Desta forma, o trabalho serviu como ferramenta para 
 
 
uma abrangência do tema, oferecendo uma visão mais dinâmica acerca do conteúdo 
teórico. 
Através do referido trabalho, retrata-se o motivo do uso do triângulo como 
sendo a principal figura geométrica, realizando-se a abordagem de cálculos, regras 
necessárias e a sua devida importância nesta área do estudo. 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CARGININ, Claudete; CARDOSO, Flávia Aparecida Reitz; MELO, Priscila Amara 
Patricio; POLIZELI, Raquel. ​Um olhar para a trigonometria da escola para as 
ruas​. 1. ed. Maringá: Massoni, 2015. Disponível em: 
<​https://www.researchgate.net/publication/303962024_A_TRIGONOMETRIA_NAS_
RUAS_E_ESTRADAS​>. Acesso em 04 de maio de 2018. 
MARQUES, Nelson Luiz Reyes. ​Inclinações das Ruas e das Estradas​. Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Sul - Rio - Grandense. Disponível em: 
<​http://nelsonreyes.com.br/Inclina%C3%A7%C3%A3o%20de%20Ruas%20e%20Est
radas.pdf​>. Acesso em: 03 de maio de 2018. 
SILVEIRA, Fernando Lang da. Inclinações das ruas e estradas. ​Revista de Física 
na Escola​, v. 8, n. 2, p. 16-18, 2007. 
Disponível em 
<http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Arquivos/Calculo_zero/trigonome
tria​.​pdf>, acesso em: 06 de maio de 2018