exercícios geometria analítica

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UNIP – CC/SI Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 
Prof. Dr. Waldemar De Maio Exercícios do 1ºbimestre.
I) Exercícios:
1) Dados os vetores: e calcular:
a) + , b) + c) - d) - e) (-) + (-).
2) Mostre graficamente que: + = + .
3) Seja o vetor (A) = B calcule o módulo do vetor nos seguintes casos:
a) A = 3 e B = 1; b) A = 0 e B = -6; c) A = ½ e B = - ¾; d) A = -1 e B = -2.
4) Ache a soma dos vetores indicados nas figuras :
a) 
 
b) 	
c) 	
 	 
5) Dados os pontos A = 3 e B = 18, numa reta, obtenha o ponto P tal que = 2..
6) Seja o vetor (A) = B tal que (-2) = 28. Determine os pontos que dividem o segmento em 4 partes congruentes.
II) Exercícios:
1) Sejam os vetores: = 2.+ 3.+ 5., = 3.- 2.+ 0. e 
 = -5.- 6.+ 7. calcular:
a) + b) - c) ( + ) - d) ( - ) - .
2) Sejam os vetores: u = (2, 3, 5), v = (3, -2, 0) e w = (-5, -6, 7), calcular:
a) u + v b) u – v c) (u + v) – w d) (v – w) – u.
3) Sejam os vetores: = 3.- 5. , = 0. + 5. , = 0. + 0. , 
 = -3. + 0. , e = -3. + 5. , calcular: + para 1i, j5.
4) Sejam os vetores: u1= (3, -5), u2 = (0, 0), u3 = (-3, 5), u4 = (3, -5), u5 = (2, 7) e 
u6 = (1/2, -1/2), calcular:
a) (u1 + u2) + u3, b) (u4 – u5) – u6, c) (u3 + u1) + u2, d) (u1 + u1) + u4 e 
e) (u5 + u6) – (u4 + u5).
5) Prove que: a. = 0 a = 0 ou = 0.
6) Determine na equação: 2. + 3. = 5.( + ).
7) Calcule dados u = (3, 2, 1), v = (1, 0, 0) e w = (1, -1, 2),
a) u + v , b) 2.u + 1.v + 1.w , c) 1.u – 2.v -1.w..
8) Dados dois vetores e determine o vetor tal que:
 4. - 2. = - .
9) Resolva o sistema: 
10) Resolver: 2.u – (4, 8) = (2, -4). 11) Resolver -3.u + (-1, 8) = (2, -2) + (3, 6)
12) Seja a figura abaixo:
 C
 A D B
Temos: = 2. . Exprimir (D – B) em função de (A – B) e ( C – B).
13) Mostre que é válido sempre: - = .
14) Seja a figura abaixo: 
	C
		 N P 
 A M B
 Os pontos M, N, e P são os pontos médios de AB, BC e CA respectivamente,
exprima e em função de e .
III) Exercícios 1 
1) Seja o vetor: = 3. + 5., determinar: a) simétrico a em relação ao eixo dos x, b) simétrico a em relação ao eixo dos y, c) simétrico a em relação à origem.
2) Seja o segmento tal que A(0, 0) e B(2, 5). a) Calcular |AB|.
b) Qual o ângulo que |AB| faz com o eixo dos y.
3) O comprimento de um segmento , onde, A(0, 0), B(x, y) é 5, se x = 4, quais os possíveis valores de y?
4) O comprimento de um segmento , onde, A(0, 0), B(x, y) é 13, se y = -3, quais os possíveis valores de x?
5) Dados os pontos: O(0, 0), A(2, 3), B(-2, 3), C(2, -3) e D(-2, -3), calcular a distância de O aos demais pontos.
6) No exercício anterior calcule AC e BD.
7) Mostrar que os pontos: A(2, 2), B(-1, 6), C(-5, 3) e D(-2, -1) são os vértices de um quadrado.
8) Sejam os pontos O(0, 0), A(4, -2) e B(2, 4), calcular o ângulo formado por AO e OB.
III) Exercícios 2:
1) Calcule a distância entre os pontos A e B nos casos:
a) A(1, 8) e B(4, 12); b) A(0, 2) e B(-1, -1) e c) A(-1, 4) e B(3, 2).
2) Sabe-se que o ponto P(x, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcule x.
3) Calcule a distância entre os pontos:
a) (1, 3) e (9, 9), b) (-4, -2) e (0, 7), c) (1/2, 1/3) e (, ).
4) Calcule o perímetro do triângulo ABC sabendo que A(1, 3), B(7, 3) e C(7, 11).
5) Determine x para que o ponto P(x, 2.x + 3) seja equidistante dos pontos A(1, 2) e
 B(-2, 3).
 6) Os pontos A(1, 2) e B(7, 4) são vértices do triângulo ABC retângulo em A. 
 O vértice C pertence ao eixo das ordenadas. Determinar as coordenadas de C.
7) Sejam A(3, -7) e B(-1, 4) vértices consecutivos de um quadrado. Calcular a área do mesmo.
8) O lado de um losango é 5., dois dos vértices opostos são os pontos M(3, -4) e N(1, 2). Calcular a altura do losango.
9) Achar o ponto P(x, 0), tal que sua distância ao ponto Q(2, -3) seja igual a 5.
10) Os pontos A(-, 1) B(0, 2) e C(-2., 2) são os vértices de um triângulo. Calcular o ângulo externo do vértice A.
11) Verifique se o triângulo ABC dado por A(2, 1), B(4, 1) e C(4, 3) é retângulo.
III) Exercícios 3:
1) Obtenha os pontos médios dos lados do triângulo ABC, onde: A(0, 12), B(10, 6) e
C(8, 2).
2) Num paralelogramo ABCD tem-se: A(-3, 5), B(1, 7), C(5, -1), determine o ponto D.
3) Calcule as medidas das três medianas do triângulo ABC, dados:
 A(0, 0), B(6, -2), e C(2, 8).
4) Determine o ponto médio do segmento AB em cada caso:
 a) A(1, 2) e B(3, 6), b) A(-4, -7) e B(-4, -3), c) A(1, 1) e B(3,3), 
 d) A(0, 0) e B(-2, -2), e e) A(10, 2) e B(2, 8).
5) O segmento limitado pelos pontos A(1, -3) e B(4, 3) é dividido em três partes iguais. Achar as coordenadas dos pontos da divisão.
6) Dados os vértices A(1, 3), B(3, -5) e C(-5, 7) de um triângulo, achar os pontos M, N e P, médios, dos lados.
7) Calcular o perímetro do triângulo ABC do exercício 6.
8) Calcular o perímetro do triângulo MNP, dos pontos médios do exercício 6.
9) Prove que o perímetro do triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo qualquer é metade do perímetro do triângulo dado.
10) Dados os pontos A(1, -1), B(3, 3) e C(4, 5) colineares, achar a razão K na qual cada um dos pontos divide o segmento limitado pelos outros dois.
11) Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.
IV) Exercícios 4:
1) Sabe-se que o módulo de um vetor v = (x, y) é dado por: ||2 = x2 + y2 e se 
v = (x, y, z) então ||2 = x2 + y2 + z2. Calcule o módulo dos vetores:
a) (3, 4); b) (1, 0, 0); c) (3/5, 4/5); d) (; e) (1, 3, -4).
2) Seja u = (3, 4). a) Calcule |u|. b) divida u por 5. c) calcule o módulo do novo vetor.
3) Dado um vetor u = (x, y) se calcularmos o módulo do vetor v = qual será o seu valor?
4) Dados os vetores: u = (3, 3) e v = (4, 2). 
a) Qual o ângulo que eles formam com os dois eixos coordenados?
b) Qual o ângulo formado entre eles?
5) Dados dois vetores: u = (x1, y1) e v = (x2, y2) a distância entre os dois é dada apela fórmula: d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2. Se os vetores estão no espaço teremos:
 u = (x1, y1, z1) e v= (x2, y2, z2) e d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2.
Calcule a distância entre os vetores:
a) u = (1, 2) e v = (3 , 5). b) u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
6) Se um triângulo possui três lados diferentes é dito escaleno, se dois lados são iguais é dito isósceles, se três lados são iguais é dito equilátero e se o quadrado da hipotenusa for igual à soma dos quadrados dos catetos é dito retângulo. Classifique o triângulo determinado pelos vetores: u = (3, 1); v = (5, 1) e w = (5, 4). 
7) Dados os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) chamamos de produto escalar dos vetores e indicamos por uxv ao cálculo: uxv = x1.x2 + y1.y2. 
No espaço teríamos: x1.x2 + y1.y2 + z1.z2. Se u = (2, 3) e v = (3, 5) então uxv =?
Observação: se uxv = 0 os vetores são ortogonais. Os vetores u = (1, 3) e v = (3, -1) são ortogonais? 
8) Seja o vetor (A) = B tal que (-2) = 28. Determine os pontos que dividem o segmento em 4 partes congruentes.
9) Resolva o sistema: 
10) Resolver: 2.u – (4, 8) = (2, -4). 4) Resolver -3.u + (-1, 8) = (2, -2) + (3, 6)
11) Mostrar que os pontos: A(2,2), B(-1, 6), C(-5, 3) e D(-2, -1) são os vértices de um quadrado.
12) Sejam os pontos O(0, 0), A(4, -2) e B(2, 4), calcular o ângulo formado por AO e OB.
13) Determine x para que o ponto P(x, 2.x + 3) seja equidistante dos pontos A(1, 2) e
 B(-2, 3).
 14) Os pontos A(1, 2) e B(7, 4) são vértices do triângulo ABC retângulo em A. 
 O vértice C pertence ao eixo das ordenadas. Determinar as coordenadas de C.
15) Sejam A(3, -7) e B(-1, 4) vértices consecutivos de um quadrado. Calcular a área do mesmo.
16) O lado de um losango é 5., dois dos vértices opostos são os pontos M(3, -4) e N(1, 2). Calcular a altura do losango.
17) Achar o ponto P(x, 0), tal que sua distância ao ponto Q(2, -3) seja igual a 5.
18) Os pontos A(-, 1) B(0, 2) e C(-2., 2) são os vértices de um triângulo. Calcular o ângulo externo do vértice A.
19) Prove que o perímetro do triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo qualquer é metade do perímetro do triângulo dado.
20) Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.
21) Dados os vértices A(1, 3), B(3, -5) e C(-5, 7) de um triângulo, achar: a) os pontos M, N e P, médios, dos lados. b) Calcular o perímetro do triângulo ABC.
c) Calcular o perímetro do triângulo MNP, dos pontos médios.
22) Prove que o perímetro do triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo qualquer é metade do perímetro do triângulo dado.