Empuxos de terra

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Empuxos de terra: conceitos iniciais 
 
Nos empuxos de terra as ações ou resultantes das ações horizontais em um maciço de 
solo e são muito importantes, principalmente, para o dimensionamento de estruturas 
de contenção. 
Vamos analisar um ensaio de compressão em um corpo de prova. 
 
DEFORMAÇÕES DE UM CORPO DE PROVA 
 
Então, o que podemos concluir a partir disso? 
Simples! Percebemos através da relação entre as constantes de elasticidade do material 
(μ e E) que existe uma proporcionalidade entre a tensão vertical no solo e sua 
respectiva tensão horizontal. 
Logo, a partir desse momento você sabe que os valores de tensões horizontais podem 
ser calculados através da tensão vertical efetiva no solo para o mesmo ponto: 
 
Onde: 
• k: coeficiente de empuxo do solo. 
Agora que você já entendeu a proporcionalidade entre as tensões e sabe uma fórmula 
geral para a determinação da tensão horizontal no solo, vamos falar um pouco mais 
sobre os tipos de empuxo. 
Tipologias de empuxo 
Para falarmos sobre os três tipos de empuxo, vamos imaginar um paramento, ou um 
plano de contenção, ao longo da altura de um maciço de solo. 
Então, poderemos ter três situações distintas para esse paramento: o mesmo encontra-
se imóvel, se movimenta em direção ao maciço ou se movimenta na direção oposta ao 
maciço. 
A partir disso, podemos definir os três tipos de empuxo: 
• Empuxo no repouso: a massa de solo se mantém em equilíbrio perfeito, sem 
deformações em sua estrutura, geralmente equilibrada lateralmente pela 
continuidade do maciço em todas as direções; 
• Empuxo ativo: quando o paramento se “afasta” do solo. Nesse caso o solo sofre 
uma distensão por esse afastamento do plano de contenção, mobilizando sua 
resistência interna de cisalhamento. 
• Empuxo passivo: o solo sofre compressão pela aproximação do plano de contenção. 
Nesse caso, são mobilizadas tensões de cisalhamento para resistir a essa 
compressão. 
É interessante que você perceba que tanto no empuxo ativo quanto no passivo há a 
mobilização de tensões de cisalhamento, porém no estado ativo tais tensões reduzem a 
ação no solo na contenção, enquanto no estado passivo as tensões de cisalhamento 
aumentam a reação do solo na contenção. 
Agora vamos aprender como calculamos tais empuxos! 
Empuxo no repouso 
O valor do coeficiente do empuxo no repouso (k0) pode ser obtido de maneira teórica, 
através dos conceitos de elasticidade, através de experimentos e ensaios laboratoriais 
ou até mesmo de correlações empíricas. 
De maneira geral, baseado em diversos ensaios já realizados e de simplificações 
admitidas, apresentam-se na literatura diversas tabelas com valores aproximados de 
coeficientes do empuxo no repouso para diferentes tipos de solo. 
Abaixo, apresento uma tabela sugerida por Caputo e Caputo. 
Solo K0 
Areia solta 0,45 a 0,50 
Areia compacta 0,40 a 0,45 
Argila 0,70 a 0,75 
Lembrando que essa é apenas uma tabela sugerida, assim como existem diversas outras 
na literatura. O mais indicado, caso houver condições, é a realização de ensaios com o 
solo presento no local para determinar seu coeficiente de empuxo no repouso. 
Empuxo ativo 
Como comentamos anteriormente, empuxo ativo é aquele que ocorre quando o plano 
de contenção se afasta do maciço de solo, mobilizando tensões cisalhantes que irão 
diminuir a ação desse solo no paramento. 
Para a determinação do coeficiente de empuxo ativo, iremos utilizar a teoria de Rankine. 
Rankine, no desenvolvimento de sua teoria faz algumas limitações de forma a simplificar 
seu modelo e facilitar sua análise. As considerações propostas por Rankine para a 
determinação dos coeficientes de empuxo do solo são: 
• O maciço de solo deve ser considerado plano, horizontal e sem coesão (areia pura 
seca); 
• O solo é formado por uma camada única e contínua (homogêneo); 
• É desconsiderado o atrito entre o solo e o paramento no plano de contenção; 
• O solo não é submetido a nenhum tipo de sobrecarga de utilização. 
Rankine então, fazendo a análise matemática das forças atuantes em uma cunha de solo 
instável, com deslocamento no paramento, como ilustrado na figura abaixo, chegou a 
seguinte formulação: 
 
CUNHA INSTÁVEL PARA EMPUXO ATIVO 
 
Onde: 
• ka: coeficiente de empuxo ativo; 
• φ: ângulo de atrito interno do solo. 
Empuxo passivo 
Assim como o coeficiente de empuxo ativo, a determinação do coeficiente de empuxo 
passivo também pode ser feito a partir da Teoria de Rankine. 
Como já falamos, no caso do empuxo passivo, a contenção se move comprimindo o 
maciço de solo. 
Nesse caso, a resistência a cisalhamento é mobilizada e atua aumentando a reação do 
solo no paramento. 
A teoria de Rankine segue as mesmas proposições já citadas e também é feita a partir 
da análise de uma cunha de solo instável. 
 
CUNHA INSTÁVEL PARA EMPUXO PASSIVO 
A análise nas tensões em tal cunha, leva a seguinte formulação para o coeficiente de 
empuxo passivo: 
 
Onde: 
• kp: coeficiente de empuxo passivo; 
Relação entre empuxo ativo e passivo 
Como podemos perceber matematicamente, os coeficientes de empuxo, tanto ativo, 
como passivo, de acordo com a teoria de Rankine, variam unicamente com o seu ângulo 
de atrito interno. 
Fazendo uma relação matemática simples entre os dois tipos de empuxo, podemos 
chegar à seguinte formulação: 
 
Outro fato que podemos perceber pelas formulações, e que já era esperado pela teoria 
apresentada anteriormente, é que os empuxos ativos tendem a ter valores menores do 
que os empuxos ativos. 
 
RELAÇÃO ENTRE OS EMPUXOS ATIVO E PASSIVO 
Substituindo alguns ângulos de atrito interno nas equações propostas por Rankine, 
podemos chegar à seguinte tabela para os valores dos coeficientes de empuxo. 
φ ka Kp 
0º 1,00 1,00 
10º 0,70 1,42 
20º 0,49 2,04 
30º 0,33 3,00 
40º 0,22 4,40 
45º 0,17 5,83 
50º 0,13 7,55 
 
Foi apresentado os conceitos para que você pudesse entender como surgem as tensões 
horizontais (empuxos de terra) nos solos e os principais tipos de empuxo de terra e uma 
maneira simplificada de calcular os mesmos. 
 
Empuxos de terra: cálculo e aplicações 
 
 
Se você precisa realizar o dimensionamento de um muro de arrimo ou de uma cortina 
de contenção, o primeiro passo é determinar a magnitude dos empuxos de terra 
atuantes na sua estrutura. 
 
Teoria de Rankine 
 
Lembrando das considerações feitas para a elaboração da teoria de Rankine, temos: 
• O maciço de solo deve ser considerado plano, horizontal e sem coesão (areia pura 
seca); 
• O solo é formado por uma camada única e contínua (homogêneo); 
• É desconsiderado o atrito entre o solo e o paramento no plano de contenção; 
Para tais situações, já apresentamos as formulações para os coeficientes de empuxos 
ativo e passivo, que são: 
 
Onde: 
• φ: ângulo de atrito interno do solo. 
A partir de agora, vamos estudar algumas situações mais usuais e práticas: 
• Presença de sobrecarga no solo; 
• Presença do nível d’água do solo; 
• Solos estratificados (mais de uma camada de solo); 
• Solos coesivos; 
Presença de sobrecarga no solo 
É comum, na prática, termos situações em que o solo a ser contido terá algum tipo de 
sobrecarga de utilização, seja por alguma edificação ou até mesmo como a construção 
de rodovias. 
Nesse caso, para considerar a influência nos empuxos de terra ocasionados pelo 
carregamento distribuído da sobrecarga de utilização, devemos “transformar” tal 
sobrecarga (q) em uma altura equivalente de solo da camada, que chamaremos de h0. 
Ou seja, a tensão vertical no solo ocasionada por q, é equivalente a uma altura de solo 
h0: 
 
Onde: 
• γ: peso específico do solo. 
Como já vimos no post anterior, a tensão horizontal em um ponto do interior de ummaciço de solo, será a tensão vertical efetiva naquele ponto multiplicada pelo 
coeficiente de empuxo do solo. 
Para calcularmos a tensão horizontal ocasionada por uma sobrecarga, teremos então: 
 
Ou simplesmente: 
 
Na representação abaixo podemos perceber bem a parcela da tensão horizontal advinda 
das tensões verticais da sobrecarga de utilização e do peso próprio do solo. 
 
EMPUXO COM A PRESENÇA DE SOBRECARGA NO SOLO 
 
Presença do nível d’água 
 
Outra situação usual é a presença de nível de água no local onde pretende-se construir 
a contenção. 
Vale ressaltar que, como citado no post sobre muros de arrimo, é comum que se tenha 
um sistema de drenagem nas contenções, de maneira que a água não desenvolva 
poropressão sobre a estrutura. 
Porém, se por algum motivo não é possível realizar um sistema de drenagem nesse 
paramento ou o mesmo apresentar qualquer problema, devemos considerar o 
acréscimo de tensão ocasionada pela água. 
Lembrando também que, como já citado, as tensões horizontais, e consequentemente 
os empuxos de terra, são calculadas a partir das tensões verticais EFETIVAS, ou seja, 
para as camadas de solo que estiverem abaixo do nível d’água, devemos utilizar seu peso 
específico submerso para o cálculo do empuxo. 
Então, para camadas de solo que se encontram abaixo do nível d’água, teremos duas 
parcelas de tensões horizontais, uma ocasionada pelo peso próprio do solo submerso e 
outra ocasionada pelo peso de água, como podemos ver na figura ilustrativa abaixo. 
 
EMPUXO COM NÍVEL D’ÁGUA 
É interessante perceber também, que como a água é um fluido, seu coeficiente de 
empuxo é igual a 1,0, pois ela transmite em todas as direções o mesmo valor de pressão. 
Outra anotação importante é que, geralmente, solos submersos, mesmo que sejam de 
mesmo material da camada superior ao nível d’água, apresentam ângulo de atrito 
diferente da camada superior, logo variam também seu coeficiente de empuxo, na 
figura tal aspecto não é representado! 
 
Presença de solos estratificados 
 
Como os solos tem formação natural, é comum, tanto em solos sedimentares como em 
solos residuais, serem encontradas várias camadas de solo em um mesmo perfil 
geotécnico. 
Nesse caso, devemos calcular as tensões horizontais individualmente para cada camada 
de solo. Utilizemos como exemplo, a figura abaixo. 
 
EMPUXO EM SOLOS ESTRATIFICADOS 
Como cada camada possui um ângulo de atrito interno próprio, elas terão coeficientes 
de empuxo diferentes entre si. 
Perceba que na interface entre as duas camadas de solo, a tensão efetiva vertical é a 
mesma tanto para o solo 1, quanto para o solo 2. 
Logo, nesse ponto ocorrerá uma descontinuidade no gráfico de tensões horizontais. 
Nesse ponto, são calculados dois valores de tensão horizontal, um com o coeficiente de 
empuxo do solo 1 e outro com o coeficiente de empuxo do solo 2, conforme pode ser 
visualizado na ilustração. 
Ou seja, no caso de solos estratificados, para a determinação dos empuxos de terra 
atuantes, apenas devemos ter um cuidado especial no cálculo das tensões horizontais 
na interface entre diferentes camadas de solo. 
 
Empuxo em solos coesivos 
 
Até agora, todos os exemplos abordados foram para solos não coesivos, ou seja, não 
levamos em consideração a coesão do solo no cálculo do empuxo, apenas seu ângulo de 
atrito interno. 
Porém, na prática, é bastante usual a presença de argilas ou até mesmo areias argilosas, 
que por consequência apresentam uma parcela de coesão que não devemos descartar 
no cálculo dos empuxos. 
Como a coesão “trabalha” na resistência ao deslocamento do solo, ela age minorando o 
empuxo ativo e aumentando o valor do empuxo passivo. 
Para o empuxo ativo, temos a seguinte formulação: 
 
Onde: 
• c: coesão do solo. 
Como podemos perceber pela formulação, para solos em que não há a presença de 
sobrecarga ou a mesma tenha um baixo valor, a pequenas profundidades, terão 
tensões horizontais negativas, ou seja, de tração, como pode-se perceber na figura 
abaixo. 
 
EMPUXO EM SOLOS COESIVOS 
Como o solo não resiste a esforços de tração, nessa região de h1 é comum a abertura 
de trincas ou fendas de tração no solo. 
 
ABERTURA DE FENDAS EM SOLOS COESIVOS 
Podemos perceber também, pela figura e por análise matemática, que como o gráfico 
de tensões horizontais é uma reta, as tensões de tração serão equilibradas por tensões 
de compressão a uma profundidade de 2h1. Essa profundidade em que as tensões de 
tração se anulam é denominada altura crítica hcrit. 
Como até tal altura não dá desenvolvimento de empuxo de terra, teroricamente, é 
possível realizar corte no solo sem a necessidade de contenção ou escoramento, porém, 
é recomendado que na prática, se considere hcrit=h1. Logo, para aplicações práticas, 
devemos considerar o gráfico de tensões horizontais hachurado na figura abaixo para o 
cálculo do empuxo. 
 
DIAGRAMA DE TENSÕES HORIZONTAIS EM SOLOS COESIVOS 
Exemplo resolvido 
Para a melhor fixação do conteúdo abordado no post, calcularemos a resultante do 
empuxo ativo para o exemplo abaixo. 
 
EXEMPLO PROPOSTO 
OBS: Para a questão, iremos considerar que a tendência de deslocamento do paramento 
é para esquerda, logo os empuxos desenvolvidos serão os empuxos ativos. 
Resolução 
O primeiro passo para a resolução do problema é a determinação das tensões verticais 
efetivas nos pontos A, B e C, determinados na imagem da questão. 
Então, temos que a tensão no ponto A será a da sobrecarga. No ponto B será a soma da 
sobrecarga com o peso próprio do solo até aquela profundidade e no ponto C será a 
tensão do no ponto B somada ao peso próprio do solo 2 submerso. Logo: 
 
Agora que já sabemos às tensões nos pontos, devemos determinar o coeficiente de 
empuxo ativo para os solos 1 e 2. Teremos então, segundo a teoria de Rankine: 
 
De posse desses dados, já podemos calcular a tensão horizontal atuante nos pontos A, 
B e C. Lembrando que para o ponto B devemos determinar a tensão horizontal para o 
solo 1 e para o solo 2 e que no cálculo da tensão para o solo 2 devemos considerar a 
coesão do mesmo e o peso da água no trecho. Temos então: 
 
Pronto! Agora nós já podemos montar o diagrama de tensões horizontais atuantes na 
contenção. Temos então o seguinte gráfico: 
 
DIAGRAMA DE TENSÕES HORIZONTAIS 
Para realizarmos o cálculo do empuxo resultante, devemos apenas calcular o volume 
desse prisma de tensões. Considerando a largura do prisma como sendo 1,0 metro, 
consideração bastante usual no cálculo de contenções, basta calcular a área do gráfico 
apresentado acima que teremos o empuxo para 1,0 metro de contenção. 
Como você já percebeu, eu as áreas foram subdivididas em quatro áreas menores para 
facilitar tanto o cálculo do empuxo quanto a posição dessa força resultante. Vamos 
então calcular o empuxo para cada área já demarcada acima. 
 
Pronto, já calculamos o empuxo ativo total atuante na contenção, agora para finalizar, 
vamos apenas determinar o ponto de aplicação desses empuxos de terra, que será o 
centroide de cada prisma de tensões. Teremos então o seguinte esquema: 
 
EMPUXOS RESULTANTES E SEUS PONTOS DE APLICAÇÃO 
 
 
	Empuxos de terra: conceitos iniciais
	Tipologias de empuxo
	Empuxo no repouso
	Empuxo ativo
	Empuxo passivo
	Relação entre empuxo ativo e passivo
	Empuxos de terra: cálculo e aplicações
	Teoria de Rankine
	Presença de sobrecarga no solo
	Presença do nível d’água
	Presença de solos estratificados
	Empuxo em solos coesivos
	Exemplo resolvido
	Resolução