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Equação Geral da Reta

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EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Na Matemática, pode-se definir equação como uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. As equações na forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são números constantes e a e b não são simultaneamente nulos, representam retas no plano cartesiano, e, por esse motivo, recebem o nome de Equação Geral da Reta.

É possível estabelecer a equação geral de uma reta utilizando-se de conhecimento de matrizes. Sabe-se que é possível obter uma reta a partir de dois pontos alinhados. Conhecendo-se os pares ordenados – valores constantes - desses pontos (Xa,Ya) e (Xb,Yb), e valendo-se de um terceiro ponto alinhado aos outros dois, de coordenadas desconhecidas (X,Y), pode-se construir uma matriz quadrada de ordem 3:



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Matriz quadrada de ordem 3, formada a partir dos pares

ordenados de três pontos alinhados de uma reta.

Para essas matrizes, pode-se aplicar a Regra de Sarrus para o cálculo do determinante. Segundo essa regra, a matriz deve ser escrita repetindo-se as duas primeiras colunas ao lado direito:



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Primeiro passo da aplicação da regra de Sarrus para o cálculo da determinante de matrizes de ordem 3.

Em seguida, deve-se determinar e somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das secundárias:



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Diagonais principais e secundárias.



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Produtos das diagonais.

Exemplo: Determinar a equação geral da reta “r”, que contém os pontos A (1,1), B (4,6) e P (X,Y).

O primeiro passo é montar a matriz quadrada de ordem 3.


?(111461XY1)=0


Em seguida, deve–se reescrever as duas primeiras colunas à direita da matriz para aplicar a Regra de Sarrus:


?(111461XY1)14X{}{}{}16Y=0



?6+X+4Y6XY4=0


Equação Geral da Reta:


?5X+3Y+2=0


Representação gráfica:



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Representação gráfica da reta de equação geral -5X + 3Y + 2 = 0.

Existem, ainda, outras formas de representar a equação de uma reta r.

Como já foi dito, a chamada Equação Geral da Reta é representada, genericamente, como ax + by + c = 0. Se isolarmos Y, teremos:


?y=dfracabxdfraccb


Considerando que a, b e c são constantes, -a/b e -c/b serão constantes também, e podem ser substituídos por m e n, respectivamente.


?y=mx+n


Essa é a Equação Reduzida da Reta. Essa forma de equação é importante devido aos dois coeficientes ela apresenta: m e n, coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente.

Conhecendo a inclinação da reta, ou seja, o ângulo que a reta forma em relação ao eixo x e um dos pontos pertencentes à ela, é possível determinar a sua equação reduzida. No exemplo acima:

Isolando Y:


?5X+3Y+2=0



?Y=dfrac53Xdfrac23


Pela análise dos elementos gráficos:



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Determinação da equação reduzida da reta,a partir da inclinação da mesma.

O conceito de tangente surgiu no Egito, com a necessidade de calcular as sombras projetadas nos relógios de Sol. Naquela época, percebeu-se que, para uma mesma altura de vara, a sombra projetada no chão era cada vez menor quanto maior fosse a inclinação do Sol. Assim, a relação entre o tamanho da sombra e a tangente do ângulo foi determinada:


?tanθ=m=dfracYbYaXbXa


No exemplo acima:


?tanθ=m=dfrac6141



?m=dfrac53


O coeficiente linear n representa o valor numérico onde a reta cruza o eixo y, ou seja, o valor de y quando x = 0.


?y=mx+n



?y=m0+n



?y=n


Tem-se os pontos (1,1) e (4,6). O valor de m é conhecido. Substituindo-se os valores na equação:


?y=mx+n



?1=dfrac531+n



?n=dfrac23