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Comprimento de Curva em Coordenadas Polares

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COMPRIMENTO DE CURVA EM COORDENADAS POLARES



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Ponte com estrutura curvada

Consideremos a curva dada em coordenadas polares por


?p=p(θ),α<θ<β

sendo a função suposta de classe ?C1no intervalo ?α,β

Em coordenadas paramétricas, esta curva se escreve da seguinte forma


?x=p(θ)cosθ


?y=p(θ)senθ



?α<θ<β


Utilizando a fórmula de comprimento de curva em forma paramétrica (observe que aqui o parâmetro t está sendo substituído pelo parâmetro ?θ , chegamos em


?comprimento=limitsαβ(dfracdxdθ)2+(dfracdxdθ)2}dθ}


De:


?dxdθ=dpdθcosθp;senθ e


?dydθ=dpdθsenθ+pcosθ, resulta


?(dxdθ)2}+(dxdθ)2}=p2+(dpdθ)2}, onde ?p=p(θ).

Assim, o comprimento da curva ?p=p(θ),α<θ<βem coordenadas polares é :


?boxedcomprimento=limitsαβp2+(dfracdpdθ)2dθ}


O cálculo é essencialmente a conversão das coordenadas polares equatoriais de Meca (ou seja, sua longitude e latitude ) para suas coordenadas polares (ou seja, sua qibla e distância) em relação a um sistema cujo meridiano de referência é o grande círculo.através da localização dada e os pólos da Terra, e cujo eixo polar é a linha através da localização e seu ponto antípoda .

Nosso seguinte objetivo é interpretar geometricamente a diferencia ?boxedp2+(dpdθ)2}Seja, então, ?s=s(θ)?θα,βo comprimento do trecho da curva de extremidades ?(α,;p(α))e ?P=(θ,;p(θ))Sejam ?Δse ?Δpas variações em s e p correspondentes a variação ?dθem ?θcom ?dθ>0O comprimento do arco (de circunferência) PM de abertura ?dθe raio ?p=p(θ)é ?p;dθ; por outro lado, o comprimento do segmento MN é ?ΔpPara ?dθsuficientemente pequeno, ?ΔpdpPMN é quase um triângulo retângulo e


?Δ2s(p;dθ)2}+(Δp)2}


ou seja,


?Δsp2+(dfracdpdθ)2}




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Coordenadas polares


EXEMPLO

Calcule o comprimento da curva ?p=senθ?0θπem coordenadas polares.

Resolução

De ?p=senθtemos que ?dpdθ=cosθContinuamos com:


?comprimento=limits0πp2+(dfracdpdθ)2dθ=limits0π(senθ)2+(cosθ)2}dθ=π


O comprimento da curva é ?π(unidades de comprimento).


Exercícios

Calcule o comprimento das curvas a seguir, que estão dadas em coordenadas polares:

1) ?p=θ,0θπ

2) ?p=eθ,0θ2π

3) ?p=1;+cosθ,0θπ

4) ?p=secθ,0θπ3

5) ?p=1θ,1θ3

6) ?p=θ2,0θ1

Existe uma definição geral de comprimento de arco de curva.


Definição

Seja ?γ:a,;bRnuma curva com derivada contínua em ?a,bDefinimos o comprimento ?L(γ)da curva ?γpor:


?boxedL(γ)=limitsabγ'(t);dt}}