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1. Calcule a integral de linha 
C
(x 2y)ds
 onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio 
igual a 3 e orientada no sentido positivo. 
2. Calcular a integral 
2 2
C
(x y z)ds 
 onde C é a hélice circular dada por: 
 r(t) = cost. i + sent j + tk de P(1, 0, 0) a Q (1, 0, 2π). 
3. Calcule 
C
(2x y z)ds 
 onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1). 
4. Um objeto percorre uma elipse 4x2 +25y2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à forca 
 
F
 (x, y) = (−3y, 3x). Ache o trabalho realizado. 
5. Calcule 
C
Fd r
 

 para 
F
 (x, y) = (x2, x + y) onde C é a fronteira do triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 
1), orientada no sentido anti-horário. 
6. Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo F = yxi + xzj + xyk = 

f, onde f(x , y, z) = xyz, 
ao longo de qualquer curva lisa C ligando o ponto A(1-, 3, 9) ao ponto B(1, 6, -4). 
7. Usando a parametrização dada, calcule a integral de linha 
2
C
(1 xy )ds
 
 a) C: r(t) = ti + 2tj (0 ≤ t ≤ 1) b) C: r(t) = (1-t)i + (2-2t)j, ( 0 ≤ t ≤ 1) 
8. Calcule a integral de linha 
3
C
(xy z )ds
 de (1, 0, 0) a (-1, 0, π) ao longo da hélice C que é representada 
pelas equações paramétricas x = cost y = sent, z = t 0 ≤ t ≤ π (figura abaixo) 
 
 
9. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo x2 + y2 = 1 no plano xy até o 
cilindro parabólico z = 1 – x2. 
10. Calcule 
2 2
C
(3x y )dx 2xydy 
 ao longo do arco circular C dado por x = cost, y = sent (0 ≤ t ≤ π/2) 
11. Calcule 
2 2
C
(3x y )dx 2xydy 
 ao longo do arco circular C dado por x = cost, y = sent (0 ≤ t ≤ π/2) 
12. 
3x 2 5
C
(e y )dx (x y )dy  
 onde C é formada por y = x e y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, que vai do ponto (1, 1) ao 
ponto (1, 0) 
13. Calcule a integral de linha 
4
C
xy ds
, onde C é a metade do círculo x2 + y2 = 16 
14.Calcular a integral 
2 2
C
(x y z)ds 
 onde C é a hélice circular dada por : 
 
15. Calcule 
C
(2x y z)ds 
 , onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1). 
16. Calcule 
C
xzds
 onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y. 
17. Calcule 
C
xyds
, onde C é a elipse 2 2
2 2
x y
1
a b
 
 . 
18. 
C
(3y z)ds
 , onde C é o arco da parábola z = y² e x = 1 de A(1,0,0) a B(1,2,4). 
19. 
C
| x | ds
 onde C é a curva dada por y = x³ de (-1,-1) a (1, 1). 
 
20.Se F(x, y, z) = y2i + (2xy + e3z)j + 3ye3z k. Encontre uma função f tal que 

f = F 
 
21. Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover um objeto de P para Q 
dado que: 
 a) F(x , y) = 
3/22 3y i x y j
; P(1 ,1) a Q(2, 4) 
 
22. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador (*). Se for, determine um função 
 F = 

f 
 a) F(x , y) = (2x – 3y)i + (-3x + 4y – 8)j 
 
 b) F(x , y) = ex seny I + ex seny j 
 
 c) F(x , y) = (3x2 – 2y2)i + (4xy + 3)j 
 
 (*) Se um objeto se move de um ponto A para outro ponto B sob a influência de um campo de 
forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia cinética 
permanece constante. Essa é a lei da Conservação de Energia e é a razão pela qual o 
campo vetorial é denominado conservativo. 
23. Pelo teorema de Green: 
C R
g f
f (x, y)dx g(x, y)dy dA
x y
  
   
  
 
, calcule usando este 
teorema a integral: 
 a) 
4
c
x dx xydy 
, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0 , 
0) a (1 , 0), de (1 , 0) a (0 , 1) e de (0 , 1) a (0 , 0). 
 b) 
2
 3 c y dx xy dy 
, onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano 
superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 
 c) 2
: (0,0);(1,0);(1,1);(0,1)

y y
C
e dx xe dy
C quadrado com vertices
 
24. Uma partícula inicialmente no ponto (-2 , 0) se move ao longo do eixo x para (2 , 0), e então 
ao longo da semicircunferência 
24y x 
 até o ponto inicial. Utilize o teorema de 
Green para determinar o trabalho 
24y x 
 realizado nessa partícula pelo campo 
de força F(x , y) = <x , x3 + 3xy2 >. 
25. Calcule 
C
3xy ds, onde C é a curva dada pelo gráfico abaixo. 
 
26. Calcule 
1 2y y
C
x e dx ( e ln x x )dy  
 onde C ´e a fronteira da região limitada por 
 x = y4 + 1 e x = 2, orientada no sentido anti-horário. 
27. ache divergente e o rotacional , de: 
 A) 
 kyjxyzixz)z,y,x(F 2
. B) 
( , , ) ( ) ( )    F x y z i x yz j xy z k
 
 
28.Use o teorema de Green para calcular 
2
C
x ydx xdy
 ao longo 
 do caminho triangular mostrado na figura abaixo: 
 
Outra aplicação da direção inversa do teorema de Green está no cálculo de áreas. Como a área 
de uma região D é 
D
1dA
, desejamos escolher P e Q tais que 
Q P
1
x y
 
 
 
. Existem várias 
possibilidades: 
 P(x, y) = 0 P(x, y) = -y P(x, y) = -1/2 y 
 Q(x, y) = x Q(x, y) = 0 Q(x, y) = 1/2 x 
29. Calcule 
senx 4
C
(3y e )dx (7x y 1)dy   
, onde C é o círculo x2 + y2 = 9. 
30.Determine a área delimitada pela elipse 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 
 Obs.: Equações paramétricas da elipse: x = acost y = bsent 0 ≤ t ≤ 2π 
 Assim, tomando P(x, y) = -1/2 y e Q(x, y) = 1/2 x ,o teorema de Green dá a seguinte fórmula para 
a área de D: 
C C C
1
A xdy ydx xdy ydx
2
     
 
31.Calcule a integral de linha definida por 
2 2
C
(2xy x )dx (x y )dy  
, onde C é a curva fechada da 
região definida por y = x2 e y2 = x. Calcule usando o teorema de Green. R. 1/30 
32. Use o teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no 
sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência x2 + y2 = 9, se o movimento for causado 
pelo campo de forças F(x , y) = (sen x – y)i + (ey - x2)j. Suponha que o arco seja medido em 
metros e a força em newtons. 
33.Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por F (x, y, z) = -yi + xj + zk. Calcule o 
trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de p(a) até p(b), sendo dados: 
a) p(t) = (cos t, sen t, t), a = 0 e b = 2π 
b) p(t) = (2t + 1, t -1, t), a = 1 e b = 2 
 Ap(t) =(cos t, 0, sen t), a = 0 e b = 2π