Distribuição Geométrica
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Distribuição Geométrica


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Distribuição Geométrica



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Distribuição Geométrica é importante para entender a probabilidade de vários _ensaios de Bernoulli_

Para entender melhor o conceito da Distribuição Geométrica considere uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli, onde a probabilidade de sucesso em cada ensaio é dada por p. Além disso, considere a seguinte nomenclatura:


  • S para sucesso;
  • F para falha.

Considere agora que os ensaios são realizados até que ocorra o primeiro sucesso, um exemplo de espaço amostral é o conjunto {S,FS,FFS,FFFS,}, portanto, o formato típico deste tipo de espaço amostral é uma sequência F nos n1 primeiros ensaios no n-ésimo temos S.


Parametrizações

A distribuição geométrica possui duas parametrizações com mais importância, onde cada uma possui uma interpretações diferente.


  • A primeira parametrização conta o número de falhas até que ocorra o primeiro sucesso. Observe que utilizando esta parametrização é possível incluir o zero como sendo um resultado possível, na situação em que obtemos sucesso no primeiro ensaio de Bernoulli.
  • A segunda parametrização conta o número de ensaios de Bernoulli necessário para se obter um sucesso. Desta forma, nesta parametrização não é possível se ter o zero como um resultado possível, dado que nesta parametrização é necessário que se faça pelo menos um ensaio para que se obtenha sucesso.

Será adotada a primeira parametrização para as análises a seguir:


Definição

Considere uma variável aleatória X que representa o número de falhas até se encontrar o primeiro sucesso. Desta forma, a variável X possui uma distribuição Geométrica com parâmetro p (0 < p < 1), se sua função de probabilidade é dada por


(X=j)=(1p)jp,j=0,1,


E com isso será utilizada a seguinte notação  X \sim \ \text{Geo}(p).\ \

Função\ Geradora\ de\ Momentos,

\ \ Considere\ \ X\ \ uma\ variável\ aleatória\ discreta\ que\ possui\ uma\ distribuição\ geométrica.\ Sendo\ assim\ podemos\ encontrar\ a\ função\ geradora\ de\ momentos\ da\ seguinte\ maneira:\ \ M_{X}(t)=\mathbb{E}\left(e{tX}\right)=\sum_{k=0}{\infty}e{tk}(1-p){k}p=p\sum_{k=0}{\infty}(e{t}){k}(1-p){k}=p\sum_{k=0}{\infty}[e{t}(1-p)]{k}\ =\dfrac{p}{1-(1-p)et}.\ \ \

Primeiro\ Momento

\ \ O\ primeiro\ momento\ (valor\ esperado)\ da\ variável\ aleatória\ \ X\ \ pode\ ser\ encontrada\ através\ da\ função\ geradora\ de\ momentos.\ Para\ isto\ basta\ saber\ que\ \ \mathbb{E}(X)\ =\ M^\prime(0)\ .\ \ \ Portanto,\ a\ derivada\ da\ função\ geradora\ de\ momentos\ é\ dada\ por:\ \ M\prime_X(t)=-\dfrac{(1-p)pet}{((p-1)et+1)2}.\ \ Desta\ maneira\ o\ valor\ esperado\ de\ X\ é\ dado\ por:\ \ \mathbb{E}(X)=M\prime_X(0)=-\dfrac{(p-1)pe0}{((p-1)e0+1)2}=-\dfrac{(p-1)p}{((p-1)+1)2}=-\dfrac{(p-1)p}{p2}=\dfrac{(1-p)}{p}.\ \ \ \ Outra\ forma\ de\ calcular\ o\ primeiro\ momento\ de\ \ X\ \ é\ dado\ por:\ \ \ \mathbb{E}(X)=\sum_{j=0}\infty\ j(1-p)jp=p\sum_{j=0}\infty\ j(1-p)j=p(1-p)\sum_{j=0}\infty\ j(1-p){j-1}=\dfrac{p(1-p)}{p^2}.\ \ ou\ seja,\ \ \mathbb{E}(X)=\dfrac{1-p}{p}.\ \ \

Segundo\ Momento

\ \ O\ segundo\ momento\ também\ pode\ ser\ encontrado\ utilizando\ a\ função\ geradora\ de\ momentos,\ \ para\ isto\ basta\ saber\ que\ \



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\ \mathbb{E}(LT-PDRD-111-1.65.assets/50e1405d95608b367fbb5cbf48c98864a6c1d11f.png)\ =\ M^{\prime\prime}(0)\

.\ \ \ A\ segunda\ derivada\ da\ função\ geradora\ de\ momentos\ é\ dada\ por:\ \ M{\prime\prime}_X(t)=\dfrac{(p-1)pet((p-1)et\ -1)}{((p-1)et+1)^3}\ \ e,\ portanto\ \ \mathbb{E}(X2)=M{\prime\prime}_X(0)=\dfrac{(p-1)p((p-1)-1)}{((p-1)+1)3}=\dfrac{p(p-1)(p-2)}{p3}=\dfrac{p3-3p2+2p}{p^3}\ \ e\ a\ variância\ é\ dada\ por\ \ \text{Var}(X)=\mathbb{E}(X2)-\mathbb{E}2(X)=\dfrac{p3-3p2+2p}{p3}-\dfrac{(1-p)2}{p2}=\dfrac{1-p}{p2}\ \ \

Exemplo:

\ \



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A\ distribuição\ Geométrica\ pode\ ser\ utilizada\ em\ problemas\ com\ lançamentos\ de\ moedas

\ \ Considere\ um\ experimento\ em\ que\ é\ considerado\ uma\ moeda\ viciada\ que\ é\ lançada\ varia\ vezes\ seguidamente,\ até\ que\ se\ encontre\ a\ primeira\ cara.\ Considere\ \ X\ \ a\ variável\ aleatória\ que\ contabiliza\ o\ número\ de\ coroas\ encontradas\ no\ experimento\ (em\ outras\ palavras,\ a\ número\ de\ lançamentos\ anteriores\ até\ a\ aparição\ da\ primeira\ cara).\ Dado\ que\ a\ probabilidade\ de\ que\ se\ encontre\ cara\ é\ de\ \ 0,4\ \ ,\ determine\ qual\ é\ a\ probabilidade\ de\ \ \mathbb{P}(2\geq\ X\ <\ 4)\="" e\="" a\="" probabilidade\="" de\="" \="" \mathbb{p}(x="">1|\ X\ \leq\ 2\ ).\ \ \ \ Resolução:\ \ Para\ a\ primeira\ pergunta,\ podemos\ encontrar\ a\ solução\ como\ sendo:\ \ \ \mathbb{P}(2\leq\ X\ <\ 4)="">2\cdot\ 0,4+0,63\cdot\ 0,4=0,2304\ \ \ \ \ Para\ a\ segunda\ pergunta,\ precisamos\ realizar\ o\ seguinte\ cálculo:\ \ \ \mathbb{P}(X\ >\ 1|\ X\leq\ 2)=\dfrac{\mathbb{P}(X\ >\ 1\cap\ X\leq\ 2)}{\mathbb{P}(X\leq2)}=\dfrac{\mathbb{P}(X=2)}{\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2)}=\dfrac{0,144}{0,784}=0,18367.