Função
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Função


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Função

Função é uma expressão que associa a cada elemento de um conjunto de números, um número de outro conjunto.



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Diagrama de funções

No diagrama acima, por exemplo, os elementos do conjunto A estão sendo associados com elementos do conjunto B. O conjunto A (de onde partem as flechas) é chamado de domínio da função (D), enquanto o conjunto B (para onde chegam as flechas) é chamado de contradomínio da função (CD). O subconjunto de B formado apenas pelos elementos que recebem flechas é chamado de conjunto imagem da função (Im). Neste caso, o conjunto imagem é Im={a,c,d}.


Definição de função

Para que uma relação entre dois conjuntos seja considerada uma função, ela deve seguir as regras abaixo:

  • I: Todos os elementos do domínio devem estar associados a um elemento do contradomínio;
  • II: Um elemento do domínio não pode ser associado a dois valores distintos no contradomínio.

Observe os exemplos abaixo:



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Relações entre conjuntos

A relação em (a) não é uma função, pois contraria a regra I: o elemento 1 do domínio (conjunto A) não está associado a nenhum elemento de B. A relação em (b) também não é função, pois contraria a regra II: o elemento 4 está associado a dois valores do contradomínio. A relação em (c), por sua vez, segue as duas regras descritas e, portanto, é uma função.


Propriedades das funções

Algumas funções possuem algumas propriedades que as destacam das demais. Essas propriedades são três:

  • Função sobrejetora: uma função é dita sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio recebem flechas. Ou seja, para uma função f, Im(f)=CD(f);
  • Função injetora: ocorre quando os elementos do conjunto imagem recebem uma única flecha. Caso um elemento do conjunto imagem receba duas flechas vindas do domínio, a função não é injetora;
  • Função bijetora: uma função é bijetora quando ela é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Esse tipo de função é importante para as funções inversas, pois toda função inversa deve ser bijetora.


Representação e aplicação

Para definir uma função f cujo domínio seja o conjunto A e o contradomínio seja o conjunto B, pode-se escrever da seguinte forma:


f:AB


Quando se trabalha com funções, o conjunto mais comum para domínio e contradomínio é o conjunto dos reais, . Assim, para definir uma função f em que ambos os conjuntos acima sejam os reais, utiliza-se a seguinte escrita:


f:


Observe esse exemplo de função y=x+1. Diz-se que, nesse caso, y está em função de x. Portanto, um outro jeito de escrevê-la é da seguinte forma:


y=f(x)=x+1


Pode-se definir domínio e contradomínio dessa função como sendo os reais: f:. Assim, analisando alguns possíveis valores de x, encontra-se os respectivos valores de y ou f(x). A tabela abaixo mostra alguns desses valores:



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Tabela de resultados da função

Toda função pode ser representada por um gráfico. Nesse caso, a função f(x) definida é de primeiro grau (vide seção abaixo). Portanto, para desenhar o gráfico, basta escolher dois pontos da tabela acima e traçar uma reta:



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Gráfico da função


Grau das funções

O grau de uma função é determinado pelo maior expoente do polinômio. Veja as funções a seguir:

  • f(x)=x+1: Essa é uma função de primeiro grau (ou função afim) pois o maior expoente do x é 1;
  • f(x)=x2+3x6: Essa é uma função de segundo grau (ou cúbica) pois o maior expoente do x é o 2.

E assim segue sucessivamente para funções de terceiro grau, quarto grau, etc.

Dada a função de primeiro grau f(x)=ax+b, ela é chamada de função linear quando o b=0. Portanto, uma função é linear quando seguir a forma f(x)=ax.



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Funções lineares

Note que, como b=0 para funções lineares, todas elas têm a característica de passarem pela origem.

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