Atividade de Elementos Finitos

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Lista I: Problemas 1-9
Para todos os problemas abaixo:
Encontrar solução analítica;
Encontrar formulação fraca;
Encontrar solução de aproximação utilizando uma função: linear e quadrática;
Validar os resultados através de gráficos em: Excel, Matlab, Maplae, Mathematics, etc.
Problema 1: Considere uma barra sujeita a um diferencial de temperatura e geração de calor. Determine uma solução para o problema com base na equação de Fourier. Utilize uma função quadrática.
Utilizando a Formulação Forte (Analítica) para encontrar a solução:
(2)
Aplicando as condições de contorno do problema podemos obter os valores das constantes e .
Portanto a solução da equação diferencial encontrada através da formulação forte é dada 
por:
Encontrando a solução por Formulação Fraca (Numérica) através do Método de Galerkin:
Fazendo ,
Reescrevendo a primeira expressão da equação anterior, e utilizando a Integração por Partes, teremos:
Reconhecendo que o termo é igual a , podemos reorganizar a equação (3), da seguinte forma:
Reescrevendo a equação 4 substituindo F e W, para :
Aplicando as condições de contorno do problema que afirma que , temos:
A solução linear aproximada da equação diferencial do problema 1 é dada por: 
Para i = 1
Para o índice de alfa igual a 1 e reescrevendo a equação 5 utilizando a solução aproximada:
Portanto a solução linear para a equação diferencial é reescrita da seguinte forma:
A solução quadrática (2ª Ordem) aproximada é dada por:
Utilizando a equação (5) encontrada e substituindo os valores da solução aproximada de segundo grau para , temos:
Para i = 1:
Para i = 2:
Após encontrar as duas equações de temos um sistema com duas equações e duas incógnitas, resolvendo esse sistema teremos os coeficientes da solução quadrática aproximada.
Como resultados encontramos e , podemos escrever a solução da equação diferencial da seguinte forma:
A solução de 3º Grau é dada por:
Da mesma forma o método é utilizado a solução proposta acima, na equação (5):
Para i = 1:
Para i = 2:
Para i = 3:
Problema 2: Desenvolva a formulação fraca para o problema de barras:
E a seguinte condição de contorno:
Solução Analítica/Formulação Forte:
Aplicando as condições de contorno:
 
 
Assim, teremos que a solução analítica é dada por:
Formulação Fraca:
Fazendo e integrando por partes o primeiro termo da equação anterior temos:
Logo,
Solução de aproximação utilizando uma função LINEAR:
Aplicando as condições de contorno:
 
 
Assim, a solução de aproximação pela função linear é dada por:
Solução de aproximação utilizando uma função QUADRÁTICA:
Para 
Para 
Resolvendo 
Logo,
Assim temos que a solução de aproximação quadrática é dada por:
Problema 3: Mostre que a formulação fraca de:
é dada por:
Solução Analítica / Formulação Forte:
Aplicando as condições de contorno:
 
 
 
Para temos: 
Formulação Fraca:
Fazendo e integrando por partes o primeiro termo da equação anterior temos:
Assim temos que,
Logo,
Aplicando as condições de contorno:
Solução de aproximação utilizando uma função LINEAR:
Para , temos:
Logo nossa solução utilizando uma função linear se dá por:
Solução de aproximação utilizando uma função QUADRÁTICA:
Para 
Para , temos:
Assim teremos 
Portanto, a solução por aproximação utilizando uma função quadrática é dada por:
Para 
Para , temos:
Solução de aproximação utilizando uma função CÚBICA:
Para 
Para 
Para 
Considerando , e calculando os alfas temos que a solução por aproximação utilizando uma função cúbica é dada por:
Problema 4: Desenvolva a formulação fraca para o problema de barras:
E a seguinte condição de contorno:
Problema 5-6: Dada a formulação forte para o problema de condução de calor numa placa circular:
em que R é o raio total da placa, q é a fonte de calor por unidade de comprimento ao longo do raio, T é a temperatura e k a condutividade térmica.
Construa a formulação fraca para a formulação forte do problema.
Use a solução tentativa e funções peso da mesma forma.
Resolva a equação diferencial com as condições de contorno e mostre que a distribuição de temperatura é dada por:
Resolvendo primeiramente a formulação analítica, temos.
Temos as seguintes condições de contorno.
			
A equação geral obtida através da formulação analítica é:
Desenvolvendo através da formulação fraca (Método de Garlekin).
Problema 7-8: Dada a formulação forte para a barra circular em torção:
Onde m(x) é quantidade de movimento distribuída por unid. de comprimento, M é a quantidade de movimento de torção, φ é o ângulo de torção, G é o módulo de cisalhamento e J é o momento polar de inércia.
Construa a formulação fraca para a barra circular em torção.
Considere que m(x) = 0 e integre a equação diferencial.
Solução da Equação Diferencial: Formulação Forte (Analítica) para m(x) = 0:
Aplicando as condições de contorno do problema, obtemos os valores das constantes:
Portanto, a solução da equação diferencial do problema proposto obtida através da formulação forte é:
 Solução da Equação do Problema 07-08: Formulação Fraca - método de Galerkin:
Substituindo por uma função F e aplicando a Integração por partes no primeiro membro da equação acima, podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Substituindo F para a expressão anterior, obtemos:
Observa-se que , substituindo na equação anterior:
A solução aproximada de 1º Grau é dada pela seguinte expressão:
Para i = 1:
Aplicando a condição de contorno, encontramos que . Logo, a solução linear é dada por:
A solução de 2º grau aproximada é dada por:
Para i = 1:
Para i = 2:
Resolvendo o sistema de equações encontrado, obtemos os valores de e .
Portanto a solução de segunda ordem da equação diferencial é dada por:
Problema 9: Determine a formulação fraca para a seguinte formulação forte: