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Centro Federal de Edução Tecnológica
de Minas Gerais
Departamento de Matemática
Álgebra Linear - Prof. Éden Amorim
EE
Espaços vetoriais
Prova com resolução
05/09/2019 Valor: 100%
Nome:
Instruções
? Prova individual e sem consultas. Não é permitido uso de calculadoras ou outros eletrônicos.
? Justifique as respostas com conceitos e teoria apresentados na disciplina de Álgebra Linear.
? Apresente a resolução de cada questão dentro do espaço delimitado.
? Para a prova, considere os seguintes espaços vetoriais com escalares reais e suas operações usuais:
Rn: espaço dos vetores de n coordenadas
M(m,n): espaço das matrizes de tamanho m× n
Pn: espaço dos polinômios em uma variável com grau menor ou igual a n
F(I): espaço das funções de uma variável definidas no intervalo real I
1. (Identificando subespaços)
Verifique que os subconjuntos apresentados a seguir são subespaços.
(a) (15%) W = {(x, y, z,w) | x+ 2y− z+ 2w = 0} ⊂ R4.
Apresente um conjunto de geradores para W.
(b) (15%) Z = {f : R→ R | f(0) = 0} ⊂ F(R).
Resolução - Questão 1
(a) • Por definição: verificar que W é fechado em relação à soma e multiplicação por escalar.
Sejam (x, y, z,w) tal que x+ 2y− z+ 2w = 0 e (a, b, c, d) tal que a+ 2b− c+ 2d = 0.
Temos (x, y, z,w) + (a, b, c, d) = (x + a, y + b, z + c,w + d). Verificando a relação nas
coordenadas:
(x+ a) + 2(y+ b) − (z+ c) + 2(w+ d) = (x+ 2y− z+ 2w) + (a+ 2b− c+ 2d) = 0+ 0 = 0.
Portanto, como satisfaz a mesma relação nas coordenadas, a soma está em W.
Se k ∈ R, temos k(x, y, z,w) = (kx, ky, kz, kw). Verificando a relação nas coordenadas:
(kx) + 2(ky) − (kz) + 2(kw) = k(x+ 2y− z+ 2w) = k · 0 = 0.
Portanto, como satisfaz a mesma relação nas coordenadas, o múltiplo escalar está em W.
• Por interpretação como sistema linear: A relação das coordenadas consiste em um
sistema linear homogêneo em 1 equação e 4 variáveis. Assim, W é o conjunto solução
desse sistema, sendo portanto um subespaço.
• Por apresentação dos geradores: Resolvendo o sistema linear, com x em função das
outras variáveis livres, temos
(x, y, z,w) = (−2y+ z− 2w,y, z,w) = y(−2, 1,0,0) + z(1,0, 1,0) +w(−2,0,0, 1).
Logo W = [(−2, 1,0,0), (1,0, 1,0), (−2,0,0, 1)].
Observe que ao apresentar um conjunto de geradores, já fica verificado que W é subespaço,
sendo desnecessárias as alternativas de resolução anteriores.
(b) Por definição: Verificar que a propriedade de uma função ter zero em x = 0 é preservada
pela soma e multiplicação por escalar. Sejam f, g funções tais que f(0) = 0 e g(0) = 0.
Assim:
(f+ g)(0) = f(0) + g(0) = 0+ 0 = 0
e portanto f+ g é tem zero em x = 0. Também vale, para k ∈ R,
(kf)(0) = kf(0) = k · 0 = 0
e portanto kf tem zero em x = 0.
Logo, Z é subespaço de F(R)
2. (Traço e determinante)
Em M(2, 2), considere os subconjuntos
T =
{ [
a b
c d
] ∣∣∣∣a+ d = 0} e D = { [ a bc d
] ∣∣∣∣ad− bc = 0},
ou seja, T é o conjunto das matrizes de traço nulo e D, das matrizes de determinante nulo.
(a) (5%) Mostre que toda matriz em T pode ser escrita na forma
[
a b
c −a
]
.
(b) (15%) Mostre que T é um subespaço de M(2, 2). Apresente uma base para T e sua dimensão.
(c) (10%) Mostre que D não é um subespaço de M(2, 2). (Dica: apresente um contraexemplo,
ou seja, um exemplo que invalide a afirmação de D ser subespaço.)
Resolução - Questão 2
(a) Pela relação que define T , temos d = −a. Portanto, uma matriz em T é da forma indicada.
(b) Pelo item anterior, temos que uma matriz em T pode ser decomposta como[
a b
c −a
]
= a
[
1 0
0 −1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
,
mostrando que o conjunto T =
[ [ 1 0
0 −1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
] ]
e portanto T é subespaço.
Além disso, esses geradores são LI. De fato, por definição verificamos que o sistema linear
homogêneo
x
[
1 0
0 −1
]
+ y
[
0 1
0 0
]
+ z
[
0 0
1 0
]
=
[
0 0
0 0
]
tem apenas a solução trivial x = y = z = 0, mostrando que o conjunto é LI.
OU
Pela análise das entradas nulas, vemos que dois a dois as matrizes não são múltiplas
escalares. Além disso, a primeira entrada não nula da primeira matriz não pode ser
obtida como combinação linear das outras duas, cujas primeiras entradas são nulas. Isso
garante que o conjunto é LI.
Com isso, temos que o conjunto de geradores é de fato uma base de T . Por possuir 3
elementos, temos que dim T = 3.
(c) Por exemplo, considere as matrizes
[
1 0
0 0
]
e
[
0 0
0 1
]
Elas estão em D, pois têm determi-
nante nulo. Porém a soma das duas é
[
1 0
0 1
]
, que não está em D, pois tem determinante
1. Com isso, vemos que a soma não é fechada em D, e portanto não é subespaço.
3. (Base de Chebyshev)
Em P3, considere o conjunto
B = {1, x, 2x2 − 1, 4x3 − 3x},
cujos elementos são chamados de polinômios de Chebyshev.
(a) (10%) Mostre que B é uma base para P3.
(b) (10%) Seja C = {1, x, x2, x3} a base canônica para P3. Obtenha a matriz de mudança de
base de B para C, [I]BC.
(c) (5%) Explique como obter a matriz de mudança de base [I]CB de C para B a partir da matriz
[I]BC obtida no item anterior (não é preciso explicitar a matriz).
Resolução - Questão 3
(a) Como B é conjuntos de 4 vetores e dimP3 = 4, basta verificar que o conjunto é LI.
Por definição, temos
0 = a(1) + b(x) + c(2x2 − 1) + d(4x3 − 3x) = (a− c) + (b− 3d)x+ (2c)x2 + (4d)x3
Igualando os polinômios, geramos um sistema linear homogêneo com apenas solução
trivial a = b = c = d = 0. Logo, o conjunto é LI e portanto, base para P3.
(b) Como os polinômios em B já estão apresentados na base canônica C, temos que as matrizes
são aquelas cujas colunas são os coeficientes dos polinômios de B (que coincidem com suas
coordenadas na base canônica), ou seja,
[I]BC =

1 0 −1 0
0 1 0 −3
0 0 2 0
0 0 0 4
 .
(c) Pode ser feito por inversão de matrizes. Mais formalmente, dado vetor ~v, temos [~v]C =
[I]BC[~v]B. Invertendo essa expressão (multiplicando pela matriz inversa), temos ([I]BC)−1[~v]C =
[~v]B. Logo, [I]CB = ([I]BC)−1.
4. (Independência linear e determinantes)
Seja B = {~v1,~v2,~v3} um conjunto de 3 vetores de R3. Seja A a matriz 3× 3 cujas colunas são as
coordenadas dos vetores de B, ou seja,
A =
[
[~v1] [~v2] [~v3]
]
.
(15%) Mostre que B é um conjunto linearmente independente se, e somente se, o determinante
de A é não nulo.
Resolução - Questão 4
• Por definição, o conjunto é LI se x~v1 + y~v2 + z~v3 = ~0 tem apenas solução trivial x = y =
z = 0. Em coordenadas, isso é equivalente a dizer que o sistema A
 xy
z
 = 0 tem uma
única solução, a trivial. Como a matriz A é quadrada, isso por usa vez é equivalente a
dizer que seu determinante é não nulo.