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Centro Federal de Edução Tecnológica de Minas Gerais Departamento de Matemática Álgebra Linear - Prof. Éden Amorim EE Espaços vetoriais Prova com resolução 05/09/2019 Valor: 100% Nome: Instruções ? Prova individual e sem consultas. Não é permitido uso de calculadoras ou outros eletrônicos. ? Justifique as respostas com conceitos e teoria apresentados na disciplina de Álgebra Linear. ? Apresente a resolução de cada questão dentro do espaço delimitado. ? Para a prova, considere os seguintes espaços vetoriais com escalares reais e suas operações usuais: Rn: espaço dos vetores de n coordenadas M(m,n): espaço das matrizes de tamanho m× n Pn: espaço dos polinômios em uma variável com grau menor ou igual a n F(I): espaço das funções de uma variável definidas no intervalo real I 1. (Identificando subespaços) Verifique que os subconjuntos apresentados a seguir são subespaços. (a) (15%) W = {(x, y, z,w) | x+ 2y− z+ 2w = 0} ⊂ R4. Apresente um conjunto de geradores para W. (b) (15%) Z = {f : R→ R | f(0) = 0} ⊂ F(R). Resolução - Questão 1 (a) • Por definição: verificar que W é fechado em relação à soma e multiplicação por escalar. Sejam (x, y, z,w) tal que x+ 2y− z+ 2w = 0 e (a, b, c, d) tal que a+ 2b− c+ 2d = 0. Temos (x, y, z,w) + (a, b, c, d) = (x + a, y + b, z + c,w + d). Verificando a relação nas coordenadas: (x+ a) + 2(y+ b) − (z+ c) + 2(w+ d) = (x+ 2y− z+ 2w) + (a+ 2b− c+ 2d) = 0+ 0 = 0. Portanto, como satisfaz a mesma relação nas coordenadas, a soma está em W. Se k ∈ R, temos k(x, y, z,w) = (kx, ky, kz, kw). Verificando a relação nas coordenadas: (kx) + 2(ky) − (kz) + 2(kw) = k(x+ 2y− z+ 2w) = k · 0 = 0. Portanto, como satisfaz a mesma relação nas coordenadas, o múltiplo escalar está em W. • Por interpretação como sistema linear: A relação das coordenadas consiste em um sistema linear homogêneo em 1 equação e 4 variáveis. Assim, W é o conjunto solução desse sistema, sendo portanto um subespaço. • Por apresentação dos geradores: Resolvendo o sistema linear, com x em função das outras variáveis livres, temos (x, y, z,w) = (−2y+ z− 2w,y, z,w) = y(−2, 1,0,0) + z(1,0, 1,0) +w(−2,0,0, 1). Logo W = [(−2, 1,0,0), (1,0, 1,0), (−2,0,0, 1)]. Observe que ao apresentar um conjunto de geradores, já fica verificado que W é subespaço, sendo desnecessárias as alternativas de resolução anteriores. (b) Por definição: Verificar que a propriedade de uma função ter zero em x = 0 é preservada pela soma e multiplicação por escalar. Sejam f, g funções tais que f(0) = 0 e g(0) = 0. Assim: (f+ g)(0) = f(0) + g(0) = 0+ 0 = 0 e portanto f+ g é tem zero em x = 0. Também vale, para k ∈ R, (kf)(0) = kf(0) = k · 0 = 0 e portanto kf tem zero em x = 0. Logo, Z é subespaço de F(R) 2. (Traço e determinante) Em M(2, 2), considere os subconjuntos T = { [ a b c d ] ∣∣∣∣a+ d = 0} e D = { [ a bc d ] ∣∣∣∣ad− bc = 0}, ou seja, T é o conjunto das matrizes de traço nulo e D, das matrizes de determinante nulo. (a) (5%) Mostre que toda matriz em T pode ser escrita na forma [ a b c −a ] . (b) (15%) Mostre que T é um subespaço de M(2, 2). Apresente uma base para T e sua dimensão. (c) (10%) Mostre que D não é um subespaço de M(2, 2). (Dica: apresente um contraexemplo, ou seja, um exemplo que invalide a afirmação de D ser subespaço.) Resolução - Questão 2 (a) Pela relação que define T , temos d = −a. Portanto, uma matriz em T é da forma indicada. (b) Pelo item anterior, temos que uma matriz em T pode ser decomposta como[ a b c −a ] = a [ 1 0 0 −1 ] + b [ 0 1 0 0 ] + c [ 0 0 1 0 ] , mostrando que o conjunto T = [ [ 1 0 0 −1 ] , [ 0 1 0 0 ] , [ 0 0 1 0 ] ] e portanto T é subespaço. Além disso, esses geradores são LI. De fato, por definição verificamos que o sistema linear homogêneo x [ 1 0 0 −1 ] + y [ 0 1 0 0 ] + z [ 0 0 1 0 ] = [ 0 0 0 0 ] tem apenas a solução trivial x = y = z = 0, mostrando que o conjunto é LI. OU Pela análise das entradas nulas, vemos que dois a dois as matrizes não são múltiplas escalares. Além disso, a primeira entrada não nula da primeira matriz não pode ser obtida como combinação linear das outras duas, cujas primeiras entradas são nulas. Isso garante que o conjunto é LI. Com isso, temos que o conjunto de geradores é de fato uma base de T . Por possuir 3 elementos, temos que dim T = 3. (c) Por exemplo, considere as matrizes [ 1 0 0 0 ] e [ 0 0 0 1 ] Elas estão em D, pois têm determi- nante nulo. Porém a soma das duas é [ 1 0 0 1 ] , que não está em D, pois tem determinante 1. Com isso, vemos que a soma não é fechada em D, e portanto não é subespaço. 3. (Base de Chebyshev) Em P3, considere o conjunto B = {1, x, 2x2 − 1, 4x3 − 3x}, cujos elementos são chamados de polinômios de Chebyshev. (a) (10%) Mostre que B é uma base para P3. (b) (10%) Seja C = {1, x, x2, x3} a base canônica para P3. Obtenha a matriz de mudança de base de B para C, [I]BC. (c) (5%) Explique como obter a matriz de mudança de base [I]CB de C para B a partir da matriz [I]BC obtida no item anterior (não é preciso explicitar a matriz). Resolução - Questão 3 (a) Como B é conjuntos de 4 vetores e dimP3 = 4, basta verificar que o conjunto é LI. Por definição, temos 0 = a(1) + b(x) + c(2x2 − 1) + d(4x3 − 3x) = (a− c) + (b− 3d)x+ (2c)x2 + (4d)x3 Igualando os polinômios, geramos um sistema linear homogêneo com apenas solução trivial a = b = c = d = 0. Logo, o conjunto é LI e portanto, base para P3. (b) Como os polinômios em B já estão apresentados na base canônica C, temos que as matrizes são aquelas cujas colunas são os coeficientes dos polinômios de B (que coincidem com suas coordenadas na base canônica), ou seja, [I]BC = 1 0 −1 0 0 1 0 −3 0 0 2 0 0 0 0 4 . (c) Pode ser feito por inversão de matrizes. Mais formalmente, dado vetor ~v, temos [~v]C = [I]BC[~v]B. Invertendo essa expressão (multiplicando pela matriz inversa), temos ([I]BC)−1[~v]C = [~v]B. Logo, [I]CB = ([I]BC)−1. 4. (Independência linear e determinantes) Seja B = {~v1,~v2,~v3} um conjunto de 3 vetores de R3. Seja A a matriz 3× 3 cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B, ou seja, A = [ [~v1] [~v2] [~v3] ] . (15%) Mostre que B é um conjunto linearmente independente se, e somente se, o determinante de A é não nulo. Resolução - Questão 4 • Por definição, o conjunto é LI se x~v1 + y~v2 + z~v3 = ~0 tem apenas solução trivial x = y = z = 0. Em coordenadas, isso é equivalente a dizer que o sistema A xy z = 0 tem uma única solução, a trivial. Como a matriz A é quadrada, isso por usa vez é equivalente a dizer que seu determinante é não nulo.
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