Derivada em Coordenadas Polares
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Derivada em Coordenadas Polares


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Derivada Em Coordenadas Polares

As coordenadas polares foram criadas por Newton, com o intuito de estudar as órbitas dos planetas, sendo utilizadas também para a localização de radares de aeronaves e navios.



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Relações.


Cálculo Diferencial

Dada uma função polar qualquer parametrizada ?ux,y a diferenciação é dada através de ?r e ?\ sendo


?\begalignedx&=r\cos\\y&=r\sin\\endaligned


então as derivadas totais serão


?\begcasesr\ddudr=r\ddudx\ddxdr+r\ddudy\ddydr\\\ddud\=\ddudx\ddxd\+\ddudy\ddyd\\endcases


sendo


?\begmatrix\ddudx=\ddudx\\\ddudy=\ddudy\\\ddxdr=\ddr\cos\dr=\cos\\\\ddydr=\ddr\sin\dr=\sin\\\\ddyd\=\ddr\cos\d\=-r\sin\\\\ddxd\=\ddr\sin\d\=r\cos\\endmatrix


substituindo, o sistema é equivalente à


?\begcasesr\ddudr=+r\ddudx\cos\+r\ddudy\sin\\\\ddud\=-\ddudxr\sin\+\ddudyr\cos\\endcases



Reta Tangente de uma Curva Polar

Para o cálculo da derivada de uma função qualquer polar ?r=f\ é necessário:

  • Escrever as equações paramétricas da seguinte forma:


?\begalignedx&=r\cos\=f\\cos\\y&=r\sin\=f\\sin\\endaligned


  • Utilizar o método para encontrar a inclinação das curvas parametrizadas:


?\ddydx=\d\ddyd\\ddxd\=\ddyd\\c\.dd\dx


e a Regra do Produto:


?\begaligned\ddxd\&=\ddr\cos\d\=\ddrd\\cos\-rsen\\rm\\\ddyd\&=\ddrsen\d\=\ddrd\sen\+r\cos\\rm\endaligned


portanto:


?\ddydx=\d\ddrd\\sin\+r\cos\\ddrd\\cos\-r\sin\


  • Por fim as tangentes:

  • Tangente horizontal: ?\dyd\=0 desde que ?\dxd\\ne0

  • Tangente vertical: ?\dxd\=0 desde que ?\dyd\\ne0

Exemplo: Dada a função polar ?r=1+\sin\

a) Calcule a inclinação na reta tangente quando ?\=\\4

Solução: Utilizando a função ?r=1+\sin\ e o método para encontrar a inclinação de curvas paramétricas com a Regra dos Produtos:


?\begaligned\ddydx&=\d\ddrd\\sin\+r\cos\\ddrd\\cos\-r\sin\\\&=\d\dd1+\sin\d\\sin\+1+\sin\\cos\\dd1+\sin\d\\cos\-1+\sin\\sin\\\&=\d\cos\\sin\+1+\sin\\cos\cos\\cos\-1+\sin\\sin\\endaligned


Evidenciando ?\cos\ no numerador:

?\ddydx=\d\cos\1+2\sin\\cos2\-\sin2\-\sin\

Usando a relação fundamental da trigonometria ?\cos2\+\sin2\=1, isolando ?\cos2\ e substituindo no denominador:


?\ddydx=\d\cos\1+2\sin\1-2\sin2\-\sin\


Fatorando o denominador:


?\ddydx=\d\cos\1+2sen\1+sen\1-2sen\


Aplicando ao valor de ?\=\\4:


?\begaligned\ddydx&=\d\cos\left\d\4\right\left1+2\sin\left\d\4\right\right\left1+\sin\left\d\4\right\right\left1-2\sin\left\d\4\right\right\\&=\d\d22\left1+2\d\22\right\left1+2\d\22\right\left1-2\d\22\right\\&=\d\d\22\left1+\2\right\left1+\2\right\left1-\2\right\\&=\d\d\22\left1+\2\right1-2\\&=-\left\d\22+1\right\endaligned