Texto-base - Probabilidade _ Prof Claudio Possani _ MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA COMPUTAÇÃO - EEM101

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MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA COMPUTAÇÃO
Esta semana foi dedicada à apresentação da disciplina e à discussão (revisão) do conceito de
probabilidade. Consideramos um Espaço Amostral E (associado a algum fenômeno ou experimento) e
definimos uma função probabilidade em E como sendo uma função → R, satisfazendo
℘(E) indica o conjunto das partes de E ou, em outras palavras, o conjunto formado por todos os
subconjuntos de E.
Dessa forma, vemos que uma função probabilidade associa a cada subconjunto A de E um número
entre 0 e 1. A é chamado de Evento.
Quando E é finito, podemos dizer que uma distribuição de probabilidade é equiprovável se cada evento
unitário tem a mesma probabilidade, isto é,
Neste caso vale
Exemplo
Extrai-se, de forma equiprovável, uma carta de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de que
a carta sorteada seja uma figura (Rei, Dama ou Valete)?
Solução:
Intuitivamente, este valor expressa a “chance” de a carta sorteada ser uma figura. Não é coincidência
que este valor seja igual à proporção de figuras em relação ao total: para cada um dos 4 naipes (ouros,
espadas, copas e paus) há 13 cartas e 3 são figuras, daí o 3/13.
Probabilidade1
TEXTO-BASE
Modelos Probabilís�cos para Computação
1.
2.
3.
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Em muitas situações, para calcular o número de elementos de um conjunto, precisamos usar técnicas de
contagem (princípio fundamental da contagem, combinações, arranjos, permutações, etc.).
Exemplo
Qual a probabilidade de ganhar a Mega-Sena fazendo um jogo simples (6 números em 60)?
 Solução:
EXERCÍCIO 1
Numa escola há 175 alunas, 120 alunos, 7 professoras e 4 professores. Uma pessoa vai ser escolhida,
de forma equiprovável, para representar a Escola.
EXERCÍCIO 2
Qual a probabilidade de ganhar a “quina” (acertar 5 números entre os 6 sorteados) na Mega-Sena
fazendo uma aposta simples?
EXERCÍCIO 3
Um anagrama da palavra UNIVESP é sorteado de forma equiprovável. Qual a probabilidade de que ele
comece por vogal?
EXERCÍCIO 4
Numa urna, há 15 bolas diferentes, sendo 5 azuis, 5 vermelhas e 5 brancas. 3 bolas são extraídas da
urna simultaneamente. Qual a probabilidade de serem extraídas uma bola de cada cor?
Como regra geral vale a relação P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Vimos o seguinte conceito:
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se e somente se A∩B = ∅. São eventos que nunca
podem ocorrer simultaneamente. Podemos pensar numa vacina que seja 100% eficaz na prevenção de
uma doença, ou num procedimento de segurança que previna um evento indesejável com 100% de
eficiência. Nestes casos teremos P(A∪B) = P(A) + P(B).
Exemplo
Extrai-se, de forma equiprovável, uma carta de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de que
a carta sorteada seja uma figura ou seja uma carta de copas?
Solução: sendo A o evento “sair figura”, já vimos acima que P(A) = 3/13; sendo B o evento “sair copas”
temos:
Qual a probabilidade de que a pessoa escolhida seja uma mulher?a.
Qual a probabilidade de que a pessoa escolhida seja uma professora?b.
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O evento A∩B possui 3 elementos, que são as três figuras de copas e sua probabilidade é P(A∩B) =
3/52.
Assim procuramos
EXERCÍCIO 5
Dois dados equilibrados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de que a soma das faces
obtidas seja maior ou igual a 11 ou menor do que 5?
EXERCÍCIO 6
Três dados equilibrados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de que as faces obtidas
não sejam as três iguais?
Vimos o conceito de probabilidade condicional: a probabilidade de ocorrência de um evento pode
mudar em razão da ocorrência prévia de outros eventos.
Desta relação, segue que P(A∩B) = P(A|B)∙P(B)
Dois eventos, A e B, são chamados independentes se e somente se P(A│B) = P(A). Neste caso
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)
Isto significa que a ocorrência de B não altera a probabilidade de A ocorrer. Uma questão muito
frequente em laboratórios, empresas, relações comerciais e de consumo é decidir se eventos são
dependentes ou não. 
Exemplo
Um pesquisador observou dois fenômenos, A e B, diferentes, e as frequências com que ocorriam, sob
certas condições. Concluiu que P(A) = 0,7 , P(B) = 0,6, P(A∪B) = 0,88 e P(A∩B) = 0,42. Estes
fenômenos são mutuamente exclusivos? São independentes?
Solução: como P(A∩B) = 0,42 ≠ 0, eles não são exclusivos (na verdade ocorrem simultaneamente em
42% das observações!). Por outro lado, o pesquisador pode concluir que eles são independentes, pois
P(A∩B) = 0,42 = 0,7 ∙ 0,6 = P(A) ∙ P(B). Observe a força destas ideias: apesar de os eventos ocorrerem
com frequência de forma simultânea, o pesquisador pode concluir que não existe relação de causa e
efeito entre eles!
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EXERCÍCIO 7
Existe evento A tal que,
EXERCÍCIO 8
Sendo P(A)=0,7 , P(B)=0,6, determine os valores máximo e mínimo de P(A∪B) e P(A∩B).
EXERCÍCIO 9
Um dado equilibrado é lançado 2 vezes. Determine a probabilidade de que o maior valor obtido seja, no
máximo, 5.
EXERCÍCIO 10
Um dado equilibrado é lançado 2 vezes. Determine a probabilidade de que o maior valor obtido seja 5.
 
 
GABARITO
EXERCÍCIO 1
 
EXERCÍCIO 2
EXERCÍCIO 3
Uma maneira direta de pensar seria: há 7 letras distintas na palavra UNIVESP, das quais 3 são vogais,
logo a proporção das que começam por vogal é 3 em 7.
EXERCÍCIO 4
EXERCÍCIO 5
O espaço amostral desejado possui 36 elementos e é formado por todos os pares ordenados do tipo
(1;1), (1;2), ...(2;1), (2;2) ...(6;1), ...(6;6). Sendo A o evento “soma maior ou igual a 11” temos A = {(5;6)
(6;5)(6;6)} Como n(A) = 3 segue 
a.
b.
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Já o evento B, “soma menor do que 5” possui 6 elementos: B = {(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(3;1)} e
portanto 
Os eventos são mutuamente exclusivos e daí 
EXERCÍCIO 6
Neste caso é mais fácil calcular o complementar, , do evento pedido e usar a relação
 é o evento em que as três faces são iguais; possui 6 elementos, a saber, (1;1;1),(2;2;2),…,(6;6;6) e o
espaço amostral possui n(E) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 elementos
EXERCÍCIO 7
Sendo P(A)=x, teremos
e de
seguirá
Esta equação, após ser simplificada, fica
que possui discriminante ∆ = -32 < 0 e não possui solução. Concluímos que não existe esta
possibilidade.
EXERCÍCIO 8
De obtemos . O valor 0,7 ocorre quando e de 
 obtemos:
e
 
Assim,
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EXERCÍCIO 9
Vamos analisar o complementar: A é o evento “maior valor obtido seja, no máximo, 5”. é o evento
“saiu pelo menos um 6” 
EXERCÍCIO 10
A é o evento “maior valor obtido é 5”. Assim pelo menos um dos resultados é igual a 5 e não saiu 6.