Analise_transitoria

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Unidade 2
Ana´lise de resposta transito´ria
e de regime estaciona´rio
Prof.: Marcelo A Oliveira
2019
Introduc¸a˜o
Em ana´lise ou s´ıntese, para estabelecer uma base de comparac¸a˜o do desem-
penho dos sistemas de controle, sa˜o utilizados sinais de entrada espec´ıficos e
as respostas dos va´rios sistemas a esses sinais sa˜o comparadas.
O uso de sinais de teste pode ser justificado em virtude da correlac¸a˜o
existente entre as caracter´ısticas das respostas de um sistema a um sinal de
entrada t´ıpico de teste e a capacidade do sistema responder aos sinais de
entrada reais.
Muitos dos crite´rios de projeto teˆm como base as respostas a esses sinais
de t´ıpicos de teste. Os sinais de entrada de teste geralmente utilizados sa˜o as
func¸o˜es degrau, rampa, para´bola de acelerac¸a˜o, impulso, senoidais e de ru´ıdo
branco.
Sistemas de primeira ordem
Considere o seguinte sistema de primeira ordem:
Figura 1: Sistema de primeira ordem: (a) Diagrama de blocos; e (b) Dia-
grama de blocos simplificado.
A relac¸a˜o entrada sa´ıda e´ dada por:
C(s)
R(s)
=
1
Ts + 1
Resposta ao Degrau Unita´rio
Como a transformada de Laplace do degrau unita´rio e´ 1/s , logo:
C(s) =
1
Ts + 1
R(s) =
1
Ts + 1
1
s
Expandindo em frac¸o˜es parciais:
C(s) =
1
s
− T
Ts + 1
=
1
s
− 1
s + (1/T )
1
Calculando a transformada inversa:
c(t) = 1− e−t/T (1)
para t > 0.
Analisando a equac¸a˜o 2 e´ poss´ıvel perceber que a sa´ıda inicialmente e´
nula e que converge para a unidade. Uma caracter´ıstica importante e´ que
a resposta alcanc¸a 63,2 % do seu valor final em t = T , o que pode ser
percebido na figura 2. Quando menor a constante de tempo T, mais ra´pida
Figura 2: Resposta ao degrau unita´rio de um sistema de primeira ordem.
sera´ a resposta ao degrau. Outra caracter´ıstica e´ que a inclinac¸a˜o da reta
tangente em t = 0, e´ 1/T :
dc
dt
=
1
T
e−t/T =
1
T
(2)
Nota-se ainda que a resposta para t > 4T permanece dentro de 2% do seu
valor final.
Um experimento que pode ser implementado para verificar se um sistema
e´ de primeira ordem consiste em plotar uma reta com os dados simulados da
resposta do sistema ao degrau, conforme ilustra a figura 3:
2
Figura 3: Gra´fico obtido com a resposta temporal em papel semilogar´ıtmico.
Resposta a` Rampa Unita´ria Como a transformada de Laplace da
func¸a˜o rampa unita´ria e´ igual a 1/s2 , logo a resposta e´ dada por:
C(s) =
1
Ts + 1
R(s) =
1
Ts + 1
1
s2
Expandindo em frac¸o˜es parciais e calculando a transformada inversa:
c(t) = t− T + Te−t/T (3)
para t > 0.
O sinal de erro e´ dado por:
e(t) = r(t)− c(t) = T (1− e−t/T ) (4)
Na equac¸a˜o 4, quando t tende ao infinito, o sinal do erro e(t) tende ao valor
de T. A excitac¸a˜o em rampa unita´ria e a sa´ıda do sistema sa˜o mostrados na
figura 4. O erro do sistema para seguir uma entrada em rampa e´ igual a T ,
para t suficientemente grande. Quando menor for a constante de tempo T ,
menor sera´ o erro estaciona´rio ao seguir uma excitac¸a˜o em rampa.
3
Figura 4: Resposta a uma excitac¸a˜o em rampa unita´ria.
Resposta ao Impulso Unita´rio
Como a transformada do impulso unita´rio e´ igual a unidade, a resposta
do sistema a uma excitac¸a˜o ao impulso e´ dada por:
C(s) =
1
Ts + 1
R(s) =
1
Ts + 1
que corresponde a resposta temporal apresentada na figura 5 e dada pela
seguinte expressa˜o:
c(t) =
1
T
e−t/T (5)
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Figura 5: Resposta a uma excitac¸a˜o em impulso unita´rio.
Propriedade importante de sistemas lineares e invariantes no
tempo
Por meio da ana´lise das respostas temporais obtidas para as treˆs entradas
tratadas, e´ poss´ıvel observar uma caracter´ıstica dos sistemas LTI: a resposta
a` derivada de um sinal de entrada pode ser obtida derivando-se a resposta
do sistema para o sinal original.
Resposta a` rampa:
c(t) = t− T + Te−t/T
Resposta ao degrau:
c(t) = 1− e−t/T
Resposta ao impulso:
c(t) =
1
T
e−t/T
Refereˆncias
Ogata,Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 5 aEd. Pearson, 2010.
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