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Erro de Estado Estacionário
Carlos Eduardo de Brito Novaes
carlos.novaes@aedu.com
http://professorcarlosnovaes.wordpress.com
24 de agosto de 2012
1 Introdução
Um aspecto muito importante em um sistema de controle é o valor final do erro de saída, ou seja, a diferença entre a
saída obtida e o “set-point” ou saída desejada. Vamos realizar esta avaliação para três tipos distintos de referências,
a saber, entrada do tipo degrau (ou posição), entrada do tipo rampa (ou velocidade) e entrada do tipo parábola (ou
aceleração). É claro que a referência pode ser de qualquer outro tipo, mas conhecendo o comportamento do erro para
estas três entradas podemos caracterizar e comparar sistemas distintos.
Outra informação importante é que a avaliação de erro estático só tem sentido quando o sistema em malha fechada
é estável.
O material apresentado é tratado com mais rigor e detalhamento no capítulo 5 de [1]
2 Definição
Figura 2.1: Sistema de Controle
Para o sistema ilustrado na figura 2.1, vamos considerar obter a função de transferência de malha fechada.
Gcl (s) =
G (s)
1 +G (s)
E a resposta às excitações degrau, rampa e parábola serão:
1. Resposta ao degrau, R (s) =
1
s
→ C (s) = G (s)
s (1 +G (s))
2. Resposta à rampa, R (s) =
1
s2
→ C (s) = G (s)
s2 (1 +G (s))
3. Resposta à parábola, R (s) =
1
s3
→ C (s) = G (s)
s3 (1 +G (s))
1
2.1 Constante de Erro Estático: 2 DEFINIÇÃO
Os respectivos erros serão então calculados como a diferença, E (s) = R (s) − C (s), valor desejado menos o valor
obtido:
1. Erro ao degrau, R (s) =
1
s
→ E (s) = 1
s
− G (s)
s (1 +G (s))
=
1 +G (s)−G (s)
s (1 +G (s))
=
1
s (1 +G (s))
2. Erro à rampa, R (s) =
1
s2
→ E (s) = 1
s2
− G (s)
s2 (1 +G (s))
=
1 +G (s)−G (s)
s2 (1 +G (s))
=
1
s2 (1 +G (s))
3. Erro à parábola, R (s) =
1
s3
→ E (s) = 1
s3
− G (s)
s3 (1 +G (s))
=
1 +G (s)−G (s)
s3 (1 +G (s))
=
1
s3 (1 +G (s))
Para um tempo muito grande, podemos obter o valor do erro aplicando o teorema do valor final, f (∞) = lim
s→0
sF (s),
desde que os polos de sF (s) tenham parte real negativa (F (s) é estável):
1. Erro ao degrau, e (∞) = lim
s→0
s
s (1 +G (s))
= lim
s→0
1
1 +G (s)
=
1
1 + lim
s→0
G (s)
2. Erro à rampa, e (∞) = lim
s→0
s
s2 (1 +G (s))
= lim
s→0
1
s+ sG (s)
=
1
lim
s→0
sG (s)
3. Erro à parábola, e (∞) = lim
s→0
s
s3 (1 +G (s))
= lim
s→0
1
s2 + s2G (s)
=
1
lim
s→0
s2G (s)
2.1 Constante de Erro Estático:
Para comodidade no cálculo, definem-se as constantes de erro estático:
1. Constante de erro estático de posição,Kp = lim
s→0
G (s)
2. Constante de erro estático de velocidade,Kv = lim
s→0
sG (s)
3. Constante de erro estático de aceleração,Ka = lim
s→0
s2G (s)
E desta forma, podemos reescrever o erro:
1. Erro ao degrau, e (∞) = 1
1 +Kp
2. Erro à rampa, e (∞) = 1
Kv
3. Erro à parábola, e (∞) = 1
Ka
Como se observa, é possível determinar o erro estacionário a cada uma das entradas padronizadas, bastando para isso
conhecer a função de transferência em malha aberta G (s).
2.2 Tipos de sistema de controle
Podemos caracterizar um sistema a ser controlado de acordo com o número de polos na origem, assim:
2.3 Sistema do “Tipo 0”
Um sistema do “Tipo 0”, não apresenta polos na origem. Por exemplo:
G (s) =
s+ 6
(s+ 2) (s+ 3)
2
2.3 Sistema do “Tipo 0” 2 DEFINIÇÃO
Este sistema em malha fechada é estável (ganhoK = 1), calculando todos as constantes de erro estático:
Kp = lim
s→0
G (s)
0 < Kp <∞
Kv = lim
s→0
sG (s)
= 0
Ka = lim
s→0
s2G (s)
= 0
percebemos que um sistema do “Tipo 0” apresenta constante de erro estático de posição com valor real entre zero e
infinito, mas as constates de erro de velocidade e de aceleração são nulas. Como resultado, percebe-se que este sistema,
quando emmalha fechada, apresentara um erro limitado de posicionamento, mas o erro de acompanhamento às entradas
do tipo rampa e parábola será infinito. A seguir apresentamos a resposta deste sistema emmalha fechada à cada entrada
padrão.
Figura 2.2: Sistema do “Tipo 0”, resposta ao degrau.
Figura 2.3: Sistema do “Tipo 0”, resposta à rampa.
3
2.4 Sistema do “Tipo 1” 2 DEFINIÇÃO
Figura 2.4: Sistema do “Tipo 0”, resposta à parábola.
2.4 Sistema do “Tipo 1”
Um sistema do “Tipo 1”, apresenta apenas um polo na origem. Por exemplo:
G (s) =
s+ 6
s (s+ 2) (s+ 3)
Este sistema em malha fechada é estável (ganhoK = 1), calculando todos as constantes de erro estático:
Kp = lim
s→0
G (s)
= ∞
Kv = lim
s→0
sG (s)
0 < Kv <∞
Ka = lim
s→0
s2G (s)
= 0
percebemos que um sistema do “Tipo 1” apresenta constante de erro estático de posição infinita, a constate de erro
de velocidade é real entre zero e infinito e a constante de erro de aceleração é nula. Como resultado, percebe-se que este
sistema, quando em malha fechada, apresentara um erro nulo de posicionamento, um erro finito e diferente de zero para
acompanhar uma rampa e o erro de acompanhamento à entrada do tipo parábola será infinito. A seguir apresentamos a
resposta deste sistema em malha fechada à cada entrada padrão.
4
2.4 Sistema do “Tipo 1” 2 DEFINIÇÃO
Figura 2.5: Sistema do “Tipo 1”, resposta ao degrau.
Figura 2.6: Sistema do “Tipo 1”, resposta à rampa.
Figura 2.7: Sistema do “Tipo 1”, resposta à parábola.
5
2.5 Sistema do “Tipo 2” 2 DEFINIÇÃO
2.5 Sistema do “Tipo 2”
Um sistema do “Tipo 2”, apresenta dois polos na origem. Por exemplo:
G (s) =
s+ 6, 3s+ 1, 8
s2 (s+ 2) (s+ 3)
Este sistema em malha fechada é estável (ganhoK = 1), calculando todos as constantes de erro estático:
Kp = lim
s→0
G (s)
= ∞
Kv = lim
s→0
sG (s)
= ∞
Ka = lim
s→0
s2G (s)
0 < Ka <∞
percebemos que um sistema do “Tipo 2” apresenta constante de erro estático de posição e de velocidade infinitas, a
constate de erro estático de aceleração é real entre zero e infinito. Como resultado, percebe-se que este sistema, quando
em malha fechada, apresentara um erro nulo de posicionamento nulo, um erro de acompanhamento à rampa também
nulo e um erro finito e diferente de zero para acompanhar uma parábola. A seguir apresentamos a resposta deste sistema
em malha fechada à cada entrada padrão.
Figura 2.8: Sistema do “Tipo 2”, resposta ao degrau.
6
2.6 Resumindo 2 DEFINIÇÃO
Figura 2.9: Sistema do “Tipo 2”, resposta à rampa.
Figura 2.10: Sistema do “Tipo 2”, resposta à parábola.
2.6 Resumindo
Para avaliar o erro de estado estacionário devemos:
1. Verificar se o sistema será estável em malha fechada. (Arranjo de Routh-Hurwitz)
2. Determinar se o sistema é do tipo 0, 1 ou 2.
3. Sistemas do tipo 0 apresentam erro de excitação ao degrau. Os erros de excitação à rampa e à parábola são
infinitos.
4. Sistemas do tipo 1 não apresentam erro de excitação ao degrau, mas possuem erro de excitação à rampa e o erro
de excitação à parábola é infinito.
5. Sistemas do tipo 2 não possuem erro de excitação ao degrau ou à rampa, mas possuem erro de excitação à parábola.
6. A tabela a seguir resume os erros, e as constantes de erro estático para cada um dos tipos de sistemas. Note que
a análise é válida para entradas unitárias, para outras entradas deve-se considerar o valor do erro como um valor
percentual.
7
3 EXEMPLOS
Tabela 2.1: Resumo
Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2
Constante de Erro Estático Erro Constante de Erro Estático Erro Constante de Erro Estático Erro
Degrau Kp = Cte = lims→0G (s)
1
1 +Kp
Kp =∞ 0 Kp =∞ 0
Rampa Kv = 0 ∞ Kv = Cte = lims→0 sG (s)
1
Kv
Kv =∞ 0
Parábola Ka = 0 ∞ Ka = 0 ∞ Ka = Cte = lims→0 sG (s)
1
Ka
3 Exemplos
3.1 Exercício
Determine para o sistema de controle da figura 3.1com um ganho proporcional K qual é o
menor erro percentual de posicionamento.Figura 3.1: Sistema de Controle Exemplo 1
Para este sistema, devemos encontrar o maior ganho K que permita a estabilização do sistema, e para este ganho,
determinar a particular constante de erro estático de posição e o correspondente erro percentual.
A função de transferência em malha fechada será:
Gcl (s) =
K
s3 + 3, 5s2 + 3, 5s+K + 1
Realizando o arranjo de Routh para avaliar a estabilidade:
s3 : 1 3, 5 0
s2 : 3, 5 K + 1 0
s1 : b1 = −
det
(
1 3, 5
3, 5 K + 1
)
3, 5
=
45− 4K
14
b2 = −
det
(
1 0
3, 5 0
)
3, 5
= 0 0
s0 : c1 = −
det
 3, 5 K + 145− 4K
14
0

45− 4K
14
= K + 1 c2 = −
det
 3, 5 0225− 2K
175
0

225− 2K
175
= 0 0
Avaliando a primeira coluna:
1→ 3, 5→ 45− 4K
14
→ K + 1
8
3.2 Exercício. 3 EXEMPLOS
Para garantir a estabilidade em malha fechada não deve haver mudança de sinal, então:
45− 4K
14
> 0
45− 4K > 0
−4K > −45
−K > −11, 25
K < 11, 25
e:
K + 1 > 0
K > −1
Para satisfazer a condição de estabilidade,−1 < K < 11, 25. O maior ganho admissível garante a maior constante
estática de erro e portanto, o menor erro percentual, assim, vamos assumir K = 11, 25. Na realidade, para este valor
de K, os polos estarão localizados no eixo imaginário, com parte real nula e o sistema não será estável. Este exemplo
hipotético nos permite determinar apenas qual é á máxima constante de erro que teoricamente se poderia obter, mas não
significa que o resultado dinâmico será bom.
Prosseguindo com um valorK = 11, 25, a função de transferência no ramo direto será:
KG (s) = K
1
s3 + 3, 5s2 + 3, 5s+ 1
=
11, 25
s3 + 3, 5s2 + 3, 5s+ 1
Observe que utilizamos a função de malha aberta G (s) e não a função de transferência de malha fechada Gcl (s).
A constante de erro estático de posição será:
Kp = lim
s→0
KG (s)
= 11, 25
E portanto, o erro ao degrau unitário será:
e (∞) = 1
1 +Kp
= 0, 0816
= 8, 16%
3.2 Exercício.
Para o sistema de controle da figura 3.2 determinou-se que um ganho proporcionalK = 15 e o
compensador “Lead” com a configuração proposta levam os polos dominantes à uma posição
adequada. Deseja-se saber se a constante de erro de velocidade será satisfatória, sabendo-se
que o erro de acompanhamento a uma rampa deve ser inferior a 15%
A estabilidade já esta garantida pelo enunciado1. O projeto do compensador e do ganho proporcional já foram realizados
e a resposta dinâmica do sistema é a desejada (estável e atendendo aos requisitos estabelecidos pelo projetista).
A função de transferência da malha direta é:
1Como exercício complementar, você pode comprovar por si mesmo utilizando o critério de Routh
9
3.2 Exercício. 3 EXEMPLOS
Figura 3.2: Sistema de Controle Exemplo 2
G (s) = 15× s+ 2
s+ 3
× 1
s2 + s
=
15s+ 30
(s+ 3) (s2 + s)
=
15s+ 30
s (s+ 1) (s+ 3)
=
15s+ 30
s (s2 + 4s+ 3)
Trata-se de um sistema do “Tipo 1” pois apresenta um polo na origem. A constante de erro estático de velocidade
é:
Kv = lim
s→0
sG (s)
= lim
s→0
s
15s+ 30
s (s2 + 4s+ 3)
= lim
s→0
15s+ 30
s2 + 4s+ 3
=
30
3
= 10
E o correspondente erro de acompanhamento à rampa será:
e (∞) = 1
Kv
=
1
10
= 0, 1
= 10%
Portanto, o erro esta abaixo do máximo valor tolerado e o projeto de controle atende a todas as especificações.
Como curiosidade, a figura 3.3 ilustra a resposta deste sistema a uma rampa unitária. Pode-se verificar que o erro no
instante t = 5 equivale a 0, 107, aproximadamente 10 da inclinação da rampa (rampa unitária).
10
REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS
Figura 3.3: Resposta do sistema do Exercício 3.2 à uma rampa unitária.
Referências
[1] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed. Prentice Hall / SP, 2010. 1
11
	1 Introdução
	2 Definição
	2.1 Constante de Erro Estático:
	2.2 Tipos de sistema de controle
	2.3 Sistema do ``Tipo 0''
	2.4 Sistema do ``Tipo 1''
	2.5 Sistema do ``Tipo 2''
	2.6 Resumindo
	3 Exemplos
	3.1 Exercício
	3.2 Exercício.

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