FIS403Prova01_2018A_Gabarito

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Formulário: 
mF /10.85,8 120
 ; 0. r ; mH /10.26,1 60  ; 2/8,9 smg  
 
21
21
2
21
21
2112
.
rr
rr
rr
qqkFF 






 ; 
04
1

k ;   




'
3 ''
'' d
rr
rrrqkFr 
  ;    rEqrFel 
  
    




'
3 ''
'' d
rr
rrrkrE 
 
; 
0
ˆ

 T
S
E
QdSnE  

;  dVrQ
V
T .  ;    rVrE 

 
   
r
ldErV
 
;  
B
AAB
ldEVVV

;    




'
'
'
' d
rr
rkrV 
 
;  rVqE p . 
A prova terá duração de 90 minutos e os cálculos devem ser mostrados na integra. Não serão 
consideradas respostas que não venham acompanhadas de todas as passagens pertinentes. 
 
Questão 01 Valor: 3,5 pontos 
Três corpos pontuais idênticos, carregados com uma carga 
elétrica q = 1,6.10-8 C, encontram-se nos vértices de um cubo 
de lado a = 5,4 cm (ver figura ao lado). Um quarto corpo pontual, 
com carga Q = 2,8.10-6 C, encontra-se num outro vértice do 
cubo, conforme mostra a figura. Calcule o vetor força elétrica 
exercida pelas três cargas q sobre a carga Q. 
Dados: 
q = 1,6.10-8 C , Q = 2,8.10-6 C , a = 5,4 cm = 5,4.10-2 m 
Solução: 
A situação mostrada na figura apresenta as cargas em 
situações bastante simétricas. Dessa forma, basta 
calcularmos a força de uma delas sobre a carga Q e as outras forças podem ser deduzidas por 
analogia. 
Vamos calcular a força exercida pela carga q em x = a. 
�⃗�௘௟ଵ(𝑟) =
1
4𝜋𝜀଴
𝑞𝑄
|𝑟 ଵ|ଶ
(𝑟 ଵ)
|𝑟 ଵ|
 
Onde: 𝑟 ො + 𝑎𝑦ො + 𝑎�̂� é a posição da carga Q. 
𝑟ଵ = 𝑎𝑥ො é a posição da carga q que está sobre o eixo x. 
𝑟 ଵ = 𝑎𝑦ො + 𝑎�̂� e |𝑟 ଵ| = √𝑎ଶ + 𝑎ଶ = √2𝑎 
Finalmente: �⃗�௘௟ (𝑟) =
ଵ
ସగఌబ
௤ொ
ଶ௔మ
௬ොା௭̂
√ଶ
  �⃗�௘௟ (𝑟) =
௤ொ
଼√ଶగఌబ௔మ
(𝑦ො + �̂�) 
Por analogia, podemos calcular a força exercida pela carga q situada em y = a. 
�⃗�௘௟ (𝑟) =
𝑞𝑄
8√2𝜋𝜀଴𝑎ଶ
(𝑥ො + �̂�) 
Por analogia, ainda, podemos calcular a força exercida pela carga q situada em z = a. 
�⃗�௘௟ (𝑟) =
𝑞𝑄
8√2𝜋𝜀଴𝑎ଶ
(𝑥ො + 𝑦ො) 
A força elétrica resultante será a soma dessas três forças: 
�⃗�௘௟(𝑟) = �⃗�௘௟ଵ(𝑟) + �⃗�௘௟ (𝑟) + �⃗�௘௟ଷ(𝑟) =
𝑞𝑄
4√2𝜋𝜀଴𝑎ଶ
(𝑥ො + 𝑦ො + �̂�) 
Substituindo os valores fornecidos: �⃗�௘௟(𝑟) = 9,8. 10ିଶ(𝑥ො + 𝑦ො + �̂�)(𝑁) 
q 
q 
q 
x 
y 
z 
Q 
a 
 
Questão 02 Valor: 3,5 pontos 
Uma semi-circunferência, de raio R e com o centro na origem das 
coordenadas, encontra-se carregada uniformemente com uma 
densidade de cargas. Calcule o campo elétrico gerado por essa semi-
circunferência na origem das coordenadas. 
Solução: 
Pela simetria do problema, podemos concluir que o campo elétrico 
estará na direção do eixo x (se  for positivo, será no sentido +x). 
Pelo formato do corpo carregado, devemos usar o sistema de 
coordenadas polares para montar o problema. 
Por fim, como não temos simetria suficiente para utilizar a Lei de Gauss 
no cálculo do campo E, devemos usar a Lei de Coulomb. 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) =
1
4𝜋𝜀଴
න

|𝑟 ᇱ|ଶ
(𝑟 ᇱ)
|𝑟 ᇱ|
௟ᇲ
𝑑𝑙ᇱ 
Onde: 𝑟 é onde queremos calcular o campo elétrico. 
 𝑟ᇱ = 𝑅𝜌ො é a posição do elemento de arco dl’. 
 𝑟 ᇱ = −𝑅𝜌ො e |𝑟 ᇱ| = √𝑅ଶ = 𝑅 
 𝑑𝑙ᇱ = 𝑅𝑑𝜃′ é o comprimento do arco. 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) =
1
4𝜋𝜀଴
න

𝑅ଶ
(−𝑅𝜌ො)
𝑅
𝑅𝑑𝜃′
ଷగ
ଶൗ
గ
ଶൗ
 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) =
1
4𝜋𝜀଴
න

𝑅
(−𝜌ො)𝑑𝜃′
ଷగ
ଶൗ
గ
ଶൗ
 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) =
−
4𝜋𝜀଴𝑅
න (𝜌ො)𝑑𝜃′
ଷగ
ଶൗ
గ
ଶൗ
 
Para fazermos a integração, deveremos decompor 𝜌ො  𝜌ො = 𝑐𝑜𝑠𝜃′𝑥ො + 𝑠𝑒𝑛𝜃′𝑦෡ 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) =
−
4𝜋𝜀଴𝑅
න (𝑐𝑜𝑠𝜃′𝑥ො + 𝑠𝑒𝑛𝜃′𝑦ො)𝑑𝜃′
ଷగ
ଶൗ
గ
ଶൗ
 
Lembrando que esperamos o nosso campo na direção do eixo x: 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) = ି
ସగఌబோ
∫ (𝑐𝑜𝑠𝜃′𝑥ො)𝑑𝜃′
ଷగ
ଶൗ
గ
ଶൗ
  𝐸ሬ⃗ (𝑟) = ି
ସగఌబோ
[𝑠𝑒𝑛𝜃′]గ
ଶൗ
ଷగ
ଶൗ 𝑥ො  𝐸ሬ⃗ (𝑟) = 
ଶగఌబோ
𝑥ො 
 
 
Questão 03 Valor: 3,0 pontos 
Um fio retilíneo muito longo (infinito), carregado com uma 
densidade linear de cargas  constante, encontra-se 
situado sobre o eixo x (ver figura). Na região há um 
campo gravitacional g apontando para baixo (sentido 
negativo do eixo y). 
(a) Calcular a diferença de potencial elétrico entre os 
pontos situados nas posições yA e yB do eixo y. 
(b) Se um corpo pontual de massa m e carga Q for 
colocado em repouso na posição yA, calcule a sua 
energia cinética ao atingir a posição yB. 
Solução: 
(a) A diferença de potencial pode ser calculada a partir do campo elétrico, através da fórmula: 
ο𝑉 = 𝑉(𝑦஻) − 𝑉(𝑦஺) = − න 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑑𝑙
௬ಳ
௬ಲ
 
x 
y 
R 
 
 x 
y 
g 
yA 
yB 
Q,m 
y 
x 
dl’ 
r’ 
Onde o campo elétrico de um fio infinito pode ser calculado através da Lei de Gauss. 
A Lei de Gauss coloca: 
 𝛷ா = ඾ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
ௌ
=
𝑄்
𝜀଴
 
Analisando a simetria do problema, podemos ver que: 
𝐸ሬ⃗ (𝑟) = 𝐸(𝑟)𝜌ො  o campo elétrico está na direção radial 
A superfície gaussiana S será a superfície cilíndrica de 
raio r (distância onde queremos calcular E) e altura h. 
𝑆 = 𝑆௟௔௧ + 𝑇ଵ + 𝑇ଶ 
𝛷ா = ඵ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
ௌ೗ೌ೟
+ ඵ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
భ்
+ ඵ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
మ்
=
𝑄்
𝜀଴
 
Na superfície lateral do cilindro (Slat) o versor normal será: 𝑛ො = 𝜌ො  𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො = 𝐸(𝑟)𝜌ො. 𝜌ො = 𝐸(𝑟) 
Na tampa direita do cilindro (T1) o versor normal será: 𝑛ො = 𝑥ො  𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො = 𝐸(𝑟)𝜌ො. 𝑥ො = 0 
Na tampa esquerda do cilindro (T2) o versor normal será: 𝑛ො = −𝑥ො  𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො = 𝐸(𝑟)𝜌ො. (−𝑥ො) = 0 
𝛷ா = ඵ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
ௌ೗ೌ೟
+ ඵ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
భ்
+ ඵ 𝐸ሬ⃗ (𝑟). 𝑛ො𝑑𝑆
మ்
= ඵ 𝐸(𝑟)𝑑𝑆
ௌ೗ೌ೟
=
𝑄்
𝜀଴
 
Por simetria, podemos afirmar que o módulo do campo elétrico é constante em todo Slat. 
𝛷ா = ∬ 𝐸(𝑟)𝑑𝑆ௌ೗ೌ೟ = 𝐸(𝑟) ∬ 𝑑𝑆ௌ೗ೌ೟ =
ொ೅
ఌబ
  𝛷ா = 𝐸(𝑟)𝑆௟௔௧ = 𝐸(𝑟)2𝜋𝑟ℎ =
ொ೅
ఌబ
 
𝐸(𝑟) = ொ೅
ଶగ బ௥௛
 (devemos calcular então a carga total QT no interior da superfície gaussiana S) 
QT será igual a .h (onde h é o comprimento do trecho do fio no interior da superfície S). 
Finalmente: 𝐸(𝑟) = ௛
ଶగఌబ௥௛
  𝐸(𝑟) = 
ଶగ బ௥
  𝐸ሬ⃗ (𝑟) = 
ଶగ బ௥
𝜌ො 
Voltando ao nosso cálculo da diferença de potencial: 
ο𝑉 = 𝑉(𝑦஻) − 𝑉(𝑦஺) = − න

2𝜋𝜀଴𝑟
𝜌ො. 𝑑𝑙
௬ಳ
௬ಲ
 
No nosso caso específico, quando todos os pontos estão ao longo do eixo y, teremos: 
1) A direção radial coincide com o eixo y: 𝑟 ≡ 𝑦 e 𝜌ො ≡ 𝑦ො 
2) O elemento de integração será: 𝑑𝑙 = 𝑑𝑦𝑦ො 
Teremos assim: ο𝑉 = 𝑉(𝑦஻) − 𝑉(𝑦஺) = − ∫

ଶగఌబ௬
𝑦ො. 𝑑𝑦𝑦ො௬ಳ௬ಲ  ο𝑉 = − ∫

ଶగఌబ௬
𝑑𝑦௬ಳ௬ಲ 
Portanto: ο𝑉 = − 
ଶగఌబ
∫ ଵ௬ 𝑑𝑦
௬ಳ
௬ಲ
  ο𝑉 = − 
ଶగఌబ
𝑙𝑛 ቀ௬ಳ
௬ಲ
ቁ 
(b) Usaremos a conservação da energia mecânica para calcular a velocidade em yB: 
𝐸௖௜௡(𝑦஺) + 𝐸௣௢௧(𝑦஺) = 𝐸௖௜௡(𝑦஻) + 𝐸௣௢௧(𝑦஻) 
Como o corpo é largado em repouso em yA, 𝐸௖௜௡(𝑦஺) = 0 
Teremos: 𝐸௖௜௡(𝑦஻) = 𝐸௣௢௧(𝑦஺) − 𝐸௣௢௧(𝑦஻)  𝐸௖௜௡(𝑦஻) = −ο𝐸௣௢௧  𝐸௖௜௡(𝑦஻) = −ο𝐸௣௢௧௘௟௘௧ − ο𝐸௣௢௧
௚௥௔௩ 
Mas: 𝐸௖௜௡(𝑦஻) = −𝑄ο𝑉 + 𝑚𝑔(𝑦஺ − 𝑦஻)  𝐸௖௜௡(𝑦஻) =
ொ
ଶగఌబ
𝑙𝑛 ቀ௬ಳ
௬ಲ
ቁ + 𝑚𝑔(𝑦஺ − 𝑦஻) 
x 
y 
E