Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Miguel De Guzmán
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Miguel De Guzmán


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M. DE GUZMAN
Ph. D. (Mothemotics), The Universily of Chicogo.
Doctor en Ciencios (Motemdlicosl, Universidod Complulensé de Modrid.
ECUACIONES
DIFERENCIATES
ORDINARIAS
Teoría de estabilidad
Y Control
UI]IV.ERSIDAD DE LA REPUBLICA
FACI-;iTAD DE I}.IGI]NIERIA
DEPAIiTAI\,IEiI']]O DE
DOCU.l'VIHi'.'ir\CION Y j]IIiLIOTECA
Bl;r-if-¡rl-ii DE: / H\u20ac
Ne DE iNVEI'irARIo: 6 81t
Eo s'lz
Primera edición, 1975
EO¡TORIAL ALHAMBRA' S. A.
B. E. 182
Madrtd-1. Claudio Coello' 76
Dalegac¡ones:
Barcelona-8. Enrique Granados' 6l
Bllbaol4. Doctor Alb¡ñ¿na' 12
Málaqa. Trinidad Grund, 17
Sevilia-12. Relna Mercedes' 35i/alencta-3. Cabillers' 5
México
Ed¡t¡a Mexicana, S. A.
Méx¡co. Lucerna, 84 ' DesP. f
Bep. Argentina
Ed¡tor¡al Siluetas, S. A.
SuenoC ntres. Eartolomé Mlt¡e' 37¡15/¡t9
Perú
Edit¡a Peruana. S. R. Ltda.
Lima. José Daaz, m8
n c 0523$50
@ Es propiedad del autor.
Reservados todos los Uerechos.
lsBN 84-205-05544
Depós¡to legal: M. 20801'1975
lmpreso en España'Printed in Spain
Setecciones Gráticas ' Carretüa de Infn, km' 11'500 ' Madr¡d (1975)
Dedicdo a Mmía Luisa, mi mad'te,
INDICE GENERAL
Capítulos Pdg¿t as
PRóLoco
Origen y evolución de Ia teoría de ecuaciones diferenciales
Los orígenes, l. De ñnes del si8lo xvlr hasta el si8lo x¡x, 4, La primera mitad del
siglo xrx, 18. La segunda mitad de¡ siglo x¡x y comienzos del siglo xx, 24.
Algunas direcciones contemporáneas, 27.
Métodos de integración . . . . . .
Significación geométrica de la ecuación xr(t)=f(t, ¡(t)), 31. Ecuaciones con varia-
bles separables, 35. Ecuaciones exactas, Facto! integrante, 37. Cambio de va-
riables, 44. Ecuación l ineal, 47. Desarrollo en serie. Método de la mayorante, 49.
Aprox¡mación numérlca, 55.
Teoremas básicos para la teoría de la existencia
Teorema de Ascolí-A¡zelá, 59. Ap¡oximación de funciones, 70. T\u20acoremas del
punto fi jo, 75.
Existencia, unicidad y prolongabil idad de soluciones. Dependencia de
parámetros y valores iniciales
El problema de Cauchy. Solución global, 86, El problena de Cauchy. Solución
local, 96. Prolongabil idad de soluciones, 103. Lema de Gronwall. Dependencia
de parámetros y de valores iniciales, 107. Diferenciabil¡dad respecto de parámetros.
Teo¡ema de Peano, II2. Inecuaciones diferenciales. Teoremas de unicidad, l l7.
5 Ecuaciones lineales f28
Elementos de análisis matricial, 128. Teoría espectral elemental. Teorema de
Jordan, 138. Ecuaciones l ineales, 158. Coeñcientes constantes, tó6. Ecuaciones
periódicas, 169.
Teoría de estabil idad. IIIétodo de la prinrera aproxirnación ... ... ... 173
Noción de estabil idad, 173. Estabil idad de ecuaciones l ineales, 177. Algunos cri-
terios de estabil idad aslntót¡ca, 182. Estabil idad de soluciones de ecuaclones no
Iineales, 188. Un teorema sobre estabil idad orbital, 197,
Teoría de estabil idad. El método directo de Lyapunov 2Ll
Esrabilidad y estabilidad uniforme, 212, Inestabilidad, ZZ0. Estabilidad aslntó-
tica, 223, La función de Lyapunov para ecuaciones lineales con coeficientes
constantes, 227. Estabilidad para ecuaciones lineales con coeficientes variables, 230.
El problema de Aizerman. El problema de Lurie, 233.
Introducción a la teoría de control
Sistemas de control, 237. El ambi\u20acnte de la teorfa de controlr 240. Los métodos
de la teorfa de control, Zl. Un eiemplo. Control de üempo mfnimo p¡üa un
tren sin fricción, 243. Formulación del problema general de control de un slstema
regido por ecuaciones diferenciales ordina¡ias, 249,
4
VIT
30
59
85
6
a
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2r7
vi l l INDICE GENERAL
Cepltulos Págttras
9 Control de sistemas lineales. El principio de rnóximo de Pontryagin ... 25L
Un teorema de existencia y unic¡dad, 251. El teorema de Lyapunov, 252. El
principio de máximo de Pont¡yatin, 264.
l0 Sistemas lineales. Control de tiempo óptimo. Principio de bang-bang .., 271
El coniunto accesible. Principio de bang-bant, 272. Existencia del control óDtimo.
Principio de máximo de Pontryagin, 277. Vr eiemplo, 281.
ll Control de sistemas no lineales. El principio de máximo de Pontryagin. 286
El principio de máximo, 286. Demostración del lema ll,l.2, 291,
Bibliografía 297
Indice de ¡naterias 299
PBOLOGO
ul¡J\.ir1-l5nAD DE lA REPtiBtIef,
F/!r.) :l,,Ti1r-i ll;-: lr r':i]l'llillllA
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DOCLTII i': li'l' :11'lr-)i'i \: B l l:: I' IOTECI
IvIOliT'E\¡IDjlO - UitUGUAY
El presente trabaio está fornmdo esencialmente por eI curso de ecuaciones
diferenciales que he oenido impartiendo en la Unioersidad Complutense, du-
ronte uarios años, para alumnos de tercer curso de Licenciatura en Matemá-
ticas,
Tras un primer capítulo con algunas notas históricas sobre Ia euolución
de la teoría, la obra contiene tres partes bien diferenciadas.
La primera de ellas, capítulos 2 a 5, constituge el cuerpo básico de Ia teoría
de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención principal que me ha guiado
en la selección de materias ha sido Ia de ofrecer algunas técnicas básicas para
éste g muchos otros campos del anáIisis nzatemático, tales como teoremas
del punto fiio, inecuaciones diferenciales, teoría espectral, etc. Es cierto que
muchos resultados en la teoría de existencia g unicidad de soluciones podrían
obtenerse por métodos más económicos que los utilizados, pero pienso que es
mucho más importante para la formación del estudiante de Matemáticas Ia
familiarización con técnicas que han llegado a ser fundamentales en el anáIisis
actual que eI mero conocimiento de resultados.
La segunda parte, capítulos 6 g 7, contiene t¿na introducción a Ia teoría
de estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, He escogido urTos pocos
teoremas bcisicos, tanto en el estudio de Ia estabilidad mediante la primera
aproximación cotno ntediante el método de Lgapunou, para dar idea de las
técnicas más itnportarxtes para el estudio de este campo, que está recibiendo
actualmente un desarrollo tan notable gracias a los esfuerzos de ingenieros
g matentáticos.
La tercera parte, capítulos I a 11, se dedica a uno de los tenns de ntás
interés práctico g teórico en relación con las ecuaciones diferenciales ordina-
rias, la teoría de control. De fumdamental alcance en la tecnología actual pre-
senta problernas ntuA estitttztlantes para eI matemático. El desanollo que aquí
se ofrece de los resultados más irnportantes de Ia teoría, eI principio de
Pontrgagin y el príncipio de <bang-bang>, euita totalmente las técnicas auan-
zadas de teoría de Ia ntedida g del análisis funcional, requeridas en casi todos
Ios textos actuales de teoría de control. Con ello, estos capítulos sobre control,
así cottto los de estabilidad, son asequibles a todo estudiante de ingeniería
con una mítúma base matemática.
No se ha pretendido en tnodo alguno elaborar un tnanual de aplicaciones
técnicas concretes, sino presentar la iustificaciótt de aquellos principios de
antbas teorías, estabilidad g control, empleados cotzstantemente en la tecno-
PROLOGO
logía modernq. Es de esperar que un conocimiento mtis profundo de estos prin-
cipios influga positiuamente en sus aplicaciones.
La obra, por supuesto, está inspirada en otrcs muchas sobre ecuaciones
diferenciales. Quiero hacer constar mi deuda, en pmticular con las que a
contitzuación se citán. (EI nombre de un autor seguido de una fecha entre
corchetes hace referencia a la bibliografía que se encuentra al final del texto):
BrR¡esnrx |9701, Coon¡Ncror-LrvlNsoN [955], Copp¡,r. [965], HeuN [959],
H¡I-ÁNrv [966], Helrln fl967l, Hlnrrr¡eN U9641, Hnnu¡s-LnSlrrr [969],
Lrr-Menxus Ll967l, Pnrnovsru [966], Po¡¡rnyec¡N-Borryexsxrr-Geuxn¡rpzr-
MlscrreNxo Í19621, Srrper.¡ov t1963]. Asimismo quiero hacer constar que mi
interés g nti traboio en ecuaciones diferenciales ha estado siempre fuertemente
inspirado por las obras y las enseñanzqs que he recibido del Prof.