Mecânica Teórica I - Lista 1
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Mecânica Teórica I - Lista 1


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Introdução à Mecânica Teórica I
Lista de Exercícios 1
Tensores Delta de Kronecker e de Levi-Civitta e Leis de Newton.
1. Demonstre que: (a) \u3b5ijk\u3b4ij = 0, (b) \u3b5ijk\u3b5ljk = 2\u3b4il e (c) \u3b5ijk\u3b5ijk = 6.
Lembre-se de que índice repetido indica soma.
2. Se A = Aie\u2c6i, B = Bj e\u2c6j e C = Cke\u2c6k, em que {e\u2c61, e\u2c62, e\u2c63} é uma base
ortonormal, e queABC = A·(B×C), demonstre queABC = \u3b5ijkAiBjCk.
Lembre-se do fato de que índice repetido indica soma.
3. Utilizando os tensores Delta de Kronecker e de Levi-Civitta, demonstre
que (A×B)× (C×D) = (ABD)C\u2212 (ABC)D.
4. Problemas 1.14 e 1.28 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics", de
John R. Taylor.
5. Problema 1.34 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics", de John R.
Taylor.
6. Problema 1.36 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics", de John R.
Taylor.
7. Problema 1.39 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics", de John R.
Taylor.
8. Problema 1.40 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics", de John R.
Taylor.
9. Problema 1.45 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics", de John R.
Taylor.
10. (a) Problemas 1.50 e 1.51 do Capítulo 1 do Livro "Classical Mechanics",
de John R. Taylor.
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Mecânica Teórica I - Lista 1
Paulo Cleber Farias da Silva Filho - 398140
Professor José Ramos Gonçalves
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QUESTÕES 1 E 2
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QUESTÃO 3
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QUESTÃO 1.14
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QUESTÃO 1.28
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QUESTÃO 1.34
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QUESTÃO 1.36
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QUESTÃO 1.39
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QUESTÃO 1.40
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QUESTÃO 1.45
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QUESTÕES 1.50 E 1.51
A equação do movimento da prancha de skate se dá por
\u3c6¨ = \u2212 g
R
sin\u3c6
e devemos compará-la com a equação aproximada
\u3c6(t) = \u3c60 cos\u3c9t,
precisa apenas para ângulos pequenos.
Para isso, discretizamos a primeira e comparamos seu gráfico com o gráfico da segunda. Como se trata de uma
equação diferencial de segunda ordem, um bom método para discretização da primeira equação é o de Euler-Cromer.
Por meio dela, respeitamos a física do problema. Mais especificamente, respeitamos a conservação da energia.
Em código, temos:
1 import matp lo t l i b . pyplot as p l t
2 import numpy as np
3
4 # funcao para c a l c u l a r a so lucao aproximada
5 de f aprox ( t , f i 0 , g , R) :
6 omega = np . sq r t ( g/R)
7
8 r e turn f i 0 \u2217np . cos ( omega\u2217 t )
9
10 #ca l c u l o numerico do movimento
11 de f mov( ang , g , R) :
12 #a ju s t e s do tempo
13 temp = 14 #tempo do movimento no skate
14 p = 601 #numero de passos no i n t e r v a l o de tempo
15 dt = temp/p #tempo para cada passo
16 t = np . l i n s p a c e (0 , temp , p) #array para plotagem do tempo
17
18 #at r i bu i c a o das cond i coe s i n i c i a i s
19 f i 0 = ang\u2217np . p i /180 #conversao do angulo para rad ianos
20 w = np . z e ro s (p) #i n i c i a l i z a n d o ve l o c idade angular
21 f i = np . z e r o s (p) #i n i c i a l i z a n d o angulo f i
22 w[ 0 ] = 0 #ve loc idade angular i n i c i a l
23 f i [ 0 ] = f i 0 #angulo i n i c i a l
24
25 #ca l c u l o e preenchimento dos ar rays
26 ap = aprox ( t , f i 0 , g , R) #c l c u l o do movimento pe la e q u a o 1 .57
27
28 f o r i in range (1 , p ) : #ca l c u l o numerico pe lo metodo de Euler\u2212Cromer
29 w[ i ] = w[ i \u22121] \u2212 ( g/R) \u2217np . s i n ( f i [ i \u22121])\u2217dt
30 f i [ i ] = f i [ i \u22121] + w[ i ]\u2217 dt
31
32 #conversao de radiano para graus
33 f i = 180\u2217 f i /np . p i
34 ap = 180\u2217ap/np . p i
35
36 #plotagem do g r a f i c o de f i em funcao do tempo
37 p l t . p l o t ( t , f i , \u2019\u2212b \u2019 , l a b e l = \u2019 Reultado Num r i c o \u2019 )
38 p l t . p l o t ( t , ap , \u2019\u2212r \u2019 , l a b e l = \u2019 Resultado Aproximado \u2019 )
39 p l t . x l ab e l ( "Tempo (em segundos ) " )
40 p l t . y l ab e l ( "$\phi$ (em graus ) " )
41 p l t . g r i d (True )
42 p l t . l egend ( )
43 p l t . show ( )
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Questão 1.50
Considerando R = 5 m, g = 9,8 m/s2 e \u3c60 = 20\u25e6, temos
1 f i 0 = 20
2 g = 9 .8
3 R = 5
4 mov( f i 0 , g , R)
Questão 1.51
Considerando R = 5 m, g = 9,8 m/s2 e \u3c60 = 90\u25e6, temos
1 f i 0 = 90
2 g = 9 .8
3 R = 5
4 mov( f i 0 , g , R)
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