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Um Overview Sobre a Geometria Diferencial Sintetica

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UM OVERVIEW SOBRE A GEOMETRIA DIFERENCIAL SINTE´TICA
JEAN CERQUEIRA BERNI
ORIENTADOR: PROF. DR. HUGO LUIZ MARIANO
RESUMO. Neste resumo apresentaremos algumas caracterı´sticas da Geometria
Diferencial Sinte´tica, um tratamento axioma´tico da Geometria Diferencial que
nos permite conectar diversos conceitos desta, tais como os de campo veto-
rial, fibrado tangente, microcaminhos e microfluxos. Enunciaremos o axioma
de Kock-Lawvere, que simplifica va´rias demonstrac¸o˜es desta teoria, e demons-
traremos sua incompatibilidade com o uso da Lo´gica Cla´ssica.
SUMA´RIO
1. Introduc¸a˜o 11
2. Alguns Conceitos da Geometria Diferencial Sinte´tica 12
3. Incompatibilidade com a Lo´gica Cla´ssica 13
4. Objetivos da Geometria Diferencial Sinte´tica 15
4.1. A Funtorialidade do Fibrado Tangente 16
5. Em Busca de Toposes Classificantes 18
Agradecimentos 18
Refereˆncias 18
1. INTRODUC¸A˜O
Tradicionalmente existem dois me´todos de derivar teoremas em Geometria: o
me´todo analı´tico e o me´todo sinte´tico. O me´todo analı´tico perde, de certo modo,
sua esseˆncia geome´trica, uma vez que descreve conceitos e resultados geome´tricos
e deriva seus teoremas por meio de uma transposic¸a˜o para o domı´nio nume´rico,
atrave´s da introduc¸a˜o de “sistemas de coordenadas”1, ao inve´s de explorar de modo
mais pleno a intuic¸a˜o geome´trica. O me´todo sinte´tico na˜o e´ uma novidade, tendo
sido exposto sistematicamente por Euclides cerca de 300 a.C. em “Os Elementos”.
Uma das caracterı´sticas principais deste me´todo e´ o fato de prescindir de sistemas
Date: May 2015.
Palavras chave. Geometria Diferencial Sinte´tica, Topoi.
Este projeto de pesquisa e´ subvencionado pela Fundac¸a˜o da Coordenac¸a˜o para o Aperfeic¸oamento
do Pessoal do Ensino Superior - CAPES.
1“A introduc¸a˜o de sistemas de coordenadas em Geometria e´ um ato de violeˆncia”, conforme
costuma-se atribuir a Hermann Weyl.
11
12 JEAN CERQUEIRA BERNI
de coordenadas e descrever as propriedades dos entes geome´tricos de uma forma
lo´gico-dedutiva.
A seguir fazemos uma modesta apresentac¸a˜o desta teoria.
2. ALGUNS CONCEITOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL SINTE´TICA
A fim de calcar a Geometria Diferencial em alicerces sinte´ticos, e´ necessa´rio
formaliza´-la na linguagem da Teoria dos Topos, que sa˜o, grosso modo, categorias
mais ricas em construc¸o˜es pore´m suficientemente semelhantes a Set, a categoria
dos conjuntos e das func¸o˜es, de modo que os ca´lculos possam ser levados a cabo
com certa familiaridade.
Algumas das vantagens que esta linguagem nos traz sa˜o que a maior parte dos
dados analı´ticos que descrevem a categoria das variedades suaves (Mfd) pode ser
codificada por meio de fibrados sobre estas, a saber, o fibrado dos jatos, e que a
operac¸a˜o que associa um fibrado de jatos a uma variedade suave e´ funtorial. Ade-
mais, sobre certa categoria, estes funtores sa˜o representa´veis por objetos relaciona-
dos com a a´lgebra dos nu´meros duais, R[ε] ∼= R[X]
(X2)
.
A Geometria Diferencial Sinte´tica pode ser desenvolvida enquanto um sistema
alge´brico, pressupondo-se que a reta real possa ser modelada sobre um anel comu-
tativo com unidade, (R,+, ·, 1R), que admite um espac¸o de infinite´simos nilpoten-
tes:
D = {d ∈ R|d2 = 0},
que “absorve”a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalares a ∈ R, e tal que D 6= {0}
(observe que D na˜o e´ fechado pela soma, por exemplo, pois dados d1, d2 ∈ D,
(d1 + d2) = 2d1d2 6= 0). Esta u´ltima exigeˆncia conduz naturalmente a` existeˆncia
de certos infinitesimais x ∈ R na˜o nulos, pore´m “ta˜o pequenos”a ponto de satis-
fazerem a relac¸a˜o x2 = 0 (note que na˜o dispomos, ate´ aqui, de uma relac¸a˜o de
ordem em R). Assim, estamos de certa forma resgatando infinite´simos (pelo me-
nos os nilpotentes) a fim de descrever conceitos geome´tricos de um modo que se
adequa mais a` nossa percepc¸a˜o geome´trica do que os me´todos analı´ticos.
Axioma 2.1. (Axioma de Kock-Lawvere). Seja R um anel na˜o-trivial (i.e., 0R 6=
1R ) e D = {d ∈ R|d2 = 0} ⊂ R. Para toda func¸a˜o:
g : D → R
d 7→ g(d)
existe um u´nico b ∈ R tal que:
(∀d ∈ D) (g(d) = g(0) + b · d).
Denotaremos b por g′(0).
UM OVERVIEW SOBRE A GEOMETRIA DIFERENCIAL SINTE´TICA 13
O axioma acima nos permite a seguinte:
Definic¸a˜o 2.2. Sejam f : R → R uma func¸a˜o e a ∈ R um elemento qualquer.
Considere a func¸a˜o:
ga : D → R
d 7→ f(a+ d) .
Pelo Axioma 2.1, existe um u´nico elemento b ∈ R tal que:
(∀d ∈ D)(ga(d) = ga(0) + b · d).
Definimos “a derivada de f no ponto a”como sendo este b obtido assim. Este
elemento e´ tal que:
(∀d ∈ D)(f(a+ d) = f(a) + b · d),
e o denotaremos por f ′(a).
Observe que ao impor este axioma sobre o anel R estamos postulando que toda
func¸a˜o de D em R e´ suave no sentido em que toda func¸a˜o e´ infinitamente dife-
rencia´vel, uma vez que o processo acima pode ser repetido ad infinitum.
3. INCOMPATIBILIDADE COM A LO´GICA CLA´SSICA
As simplificac¸o˜es nas demonstrac¸o˜es do Ca´lculo Diferencial na˜o veˆm sem um
certo prec¸o a pagar. Este prec¸o esta´ no enfraquecimento da Lo´gica empregada na
deduc¸a˜o dos resultados, que passa a na˜o contar mais com o princı´pio do terceiro ex-
cluı´do, ou seja, na˜o temos mais que (α∨¬α) (ou, equivalentemente, (¬¬α)→ α).
Isto impo˜e se´rias restric¸o˜es nas demonstrac¸o˜es dos resultados da Geometria Dife-
rencial Sinte´tica.
A incompatibilidade do Axioma 2.1 com a Lo´gica Cla´ssica evidencia-se no fato
de que, ao assumi-lo, na˜o podemos sequer demonstrar a dicotomia: “um habitante
d ∈ D ou bem e´ 0, ou bem e´ diferente de 0”. Vemos isto na seguinte:
Proposic¸a˜o 3.1. No contexto acima, vale:
` ¬(∀d ∈ D)(d = 0 ∨ d 6= 0).
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos, ab absurdo, que nossa tese seja falsa, i.e., que valha:
` (∀d ∈ D)(d = 0 ∨ d 6= 0).
Neste caso, podemos definir uma func¸a˜o:
g : D → R
d 7→
{
1, se d 6= 0
0, se d = 0
.
Mas tambe´m estamos assumindo o Axioma de Kock-Lawvere, de modo que para
esta func¸a˜o existe um u´nico b ∈ R tal que:
(∀d ∈ D) (g(d) = g(0) + b · d),
14 JEAN CERQUEIRA BERNI
de modo que:
(∀d ∈ D) (g(d) = b · d).
Considerando d 6= 0 e elevando os dois membros da equac¸a˜o acima ao quadrado,
obtemos que:
12 = (b · d)2 = b2 · d2 = b2 · 0 = 0,
o que implica 1 = 0, que e´ um absurdo. �
Com a presenc¸a de D na˜o podemos mais “individuar”todos os habitantes de
R, ou seja, na˜o podemos mais pensar nos pontos do nosso novo modelo da reta,
R, como pontos igualmente observa´veis, estando infinitamente pro´ximos entre si
(mesmo porque na˜o temos uma relac¸a˜o de ordem em R). Apenas alguns destes
pontos podem ser mensurados, “apontados”. Note-se que a diferenciabilidade de
func¸o˜es e de curvas em R se baseia exatamente nos habitantes na˜o observa´veis de
R.
Desta forma, o Axioma de Kock-Lawvere e´ incompatı´vel com o princı´pio do
terceiro excluı´do e na˜o podemos adotar a Lo´gica Cla´ssica para demonstrar os te-
oremas da Geometria Diferencial Sinte´tica. A Lo´gica empregada nesta teoria e´ a
Lo´gica Intuicionista.
Ilustramos, a seguir, como este axioma pode reduzir partes substanciais do Ca´lculo
Diferencial a uma simples A´lgebra. Vejamos a seguinte:
Proposic¸a˜o 3.2. (Regra de Leibniz).Sejam f, g : R→ R duas func¸o˜es. Vale:
(f · g)′ = f ′ · g + f · g′
Demonstrac¸a˜o. Seja a ∈ R um elemento arbitra´rio. Pelo Axioma 2.1, existe um
u´nico f ′(a) ∈ R tal que (∀d ∈ D)(f(a+ d) = f(a) + f ′(a) · d) e existe um u´nico
g′(a) ∈ R tal que (∀d ∈ D)(g(a+ d) = g(a) + g′(a) · d). Tambe´m, para a func¸a˜o
dada por:
f · g : R → R
d 7→ f(d) · g(d)
existe um u´nico elemento (f · g)′(a) ∈ R tal que (∀d ∈ D)((f · g)(a+ d) = (f ·
g)(a)+(f ·g)′(a)·d). Como vale (∀d ∈ D)(f(a+d)·g(a+d) = f(a)·g(a)+[f ′(a)·
g(a)+f(a)·g′(a)]·d+f ′(a)·g′(a) ·d2︸︷︷︸
=0
) = (f ·g)(a)+[f ′(a)·g(a)+f(a)·g′(a)]·d,
da unicidade garantida pelo axioma, segue que:
(f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a).
e comoisto e´ va´lido para um a arbitra´rio, conclui-se que:
(f · g)′ = f ′ · g + f · g′.
�
UM OVERVIEW SOBRE A GEOMETRIA DIFERENCIAL SINTE´TICA 15
4. OBJETIVOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL SINTE´TICA
Na Geometria Diferencial Sinte´tica queremos descrever axiomaticamente as va-
riedades e as func¸o˜es suaves. A categoria Mfd, das variedades e func¸o˜es sua-
ves, apresenta algumas deficieˆncias que a tornam inadequada enquanto objeto de
descric¸a˜o axioma´tica, a saber:
1) A categoria Mfd na˜o tem exponenciais, ou seja, o espac¸o das func¸o˜es sua-
ves entre variedades na˜o e´, em geral, uma variedade;
2) A categoria Mfd na˜o admite infinite´simos, ou seja, na˜o existe uma varie-
dade suave infinitesimalmente pequena, D, que internalize o fibrado tan-
gente, ou seja, tal que o fibrado tangente de uma variedade M possa ser
identificado com o espac¸o de todos os caminhos infinitesimais em M (i.e.,
TM ∼ MD). Este espac¸o, D, pode ser pensado como um segmento na˜o
degenerado contendo 0 que na˜o se flexiona nem se rompe por qualquer
mapa de S.
A ideia de Lawvere foi estender a categoria das variedades, Mfd, a uma cate-
goria estruturalmente mais rica, um topos S, a categoria dos espac¸os suaves, onde
estas contruc¸o˜es sejam exequı´veis e, ao mesmo tempo, adequada a uma descric¸a˜o
axioma´tica suficientemente simples. Isto significa que S e´ suficientemente seme-
lhante a` categoria Set em termos de construc¸o˜es. Podemos raciocinar sobre os
objetos de S como se fossem conjuntos, tomando o cuidado de nos restringir a um
raciocı´nio construtivista
A categoria S, dos espac¸os e func¸o˜es entre espac¸os suaves, e´ tal que todos os
mapas em S entre variedades suaves ainda sa˜o suaves, o que na˜o ocorre quando
estendemos Mfd para Set. Tambe´m temos que a categoria S e´ cartesianamente
fechada, ou seja, tem objeto terminal, quaisquer dois objetos de S teˆm produto
e exponencial, estando estas construc¸o˜es naturalmente interligadas. Veremos que
esta propriedade nos permite conectar conceitos geome´tricos de um modo que clas-
sicamente na˜o e´ possı´vel.
O Axioma de Kock-Lawvere expressa que R × R e´ isomorfo a RD. Este e´ o
conteu´do da seguinte:
Proposic¸a˜o 4.1. Seja R um anel sujeito ao Axioma de Kock-Lawvere e D ⊂ R
dado pelos elementos quadrado-nilpotentes. Temos que a aplicac¸a˜o:
α : R×R → RD
(a, b) 7→ α(a, b) : D → R
d 7→ a+ d · b
e´ um isomorfismo.
Isto nos sugere que o fibrado tangente de uma variedade M , TM , e´ dado pela
exponencial MD. Chamaremos os elementos de MD sugestivamente de “vetores
16 JEAN CERQUEIRA BERNI
tangentes a M”. Assim, um vetor tangente a M no ponto p ∈ M e´ um mapa
t : D → M tal que t(0) = p, ou seja, um vetor tangente em p e´ um “microcami-
nho”em M com ponto base em p. O mapa que associa cada vetor tangente ao seu
ponto base fica definido por:
pi : TM → M
t 7→ t(0)
e sera´ denominado por “aplicac¸a˜o ponto-base”.
O espac¸o tangente a M em p ∈ M sera´ simplesmente a fibra TpM = pia({p}).
Uma caracterı´stica interessante desta descric¸a˜o e´ que, ao identificarmos cada vetor
tangente com sua imagem em M , cada espac¸o tangente a M pode ser considerado
como subobjeto geome´trico de TM - e e´ neste sentido que podemos considerar
que cada espac¸o de S e´ “infinitesimalmente achatado”.
Observamos que esta definic¸a˜o e´ compatı´vel com a definic¸a˜o usual no caso dos
espac¸os euclidianos:
T (Rn) = (Rn)D ∼= (RD)n ∼= (R×R)n ∼= Rn ×Rn.
4.1. A Funtorialidade do Fibrado Tangente. O mapa M 7→ TM pode ser con-
siderado enquanto um funtor de modo natural:
T : S → S ,
de tal forma que T (M) = MD e
T (f : M → N) =
{
T (f) : MD → ND
t 7→ f ◦ t
Podemos, enta˜o, supor que o fibrado tangente de uma variedade M e´ dado por
TM = MD.
Uma das maiores realizac¸o˜es da Geometria Diferencial Sinte´tica e´ internalizar o
funtor representa´vel fibrado tangente, ou seja, temos os isomorfismos naturais em
M :
Hom (1, TM) ∼= Hom (D × 1,M) ∼= Hom (D,M),
o que e´ classicamente impossı´vel, mas simplifica muitas definic¸o˜es.
Por exemplo, um campo vetorial tangente sobre um espac¸o M e´ um mapa que
associa a cada ponto de M um vetor tangente a M , ou seja, um mapa ξ : M →
TM = MD tal que ξ(x)(0) = x para todo x ∈ M . Isto significa que pi ◦ ξ e´ a
aplicac¸a˜o identidade em M , de modo que um campo vetorial e´ uma sec¸a˜o a` direita
da aplicac¸a˜o ponto-base, pi.
Desta maneira, uma k−forma diferencial em M pode ser considerada simples-
mente enquanto um mapa (Mn)D → R, o que simplifica imensamente muitas
UM OVERVIEW SOBRE A GEOMETRIA DIFERENCIAL SINTE´TICA 17
demonstrac¸o˜es como, por exemplo, a do Teorema de Stokes.
O fato de a categoria S ser cartesianamente fechada pode ser interpretado pela
a condic¸a˜o de que a qualquer par de espac¸os, S, T em S correspondem os espac¸os
produto, S × T , e exponencial TS , o espac¸o de todas as func¸o˜es suaves de S em
T , e que estas construc¸o˜es esta˜o interligadas por uma bijec¸a˜o natural de mapas:
S → TU
S × U → T
dada por:
(f : S × U → T ) 7→ (fˆ : S → TU )
com:
fˆ(s)(u) = f(s, u)
Isto nos da´ uma correspondeˆncia bijetora entre campos vetoriais em M e o que
chamaremos de microfluxos em M :
ξ : M →MD ( campos vetoriais emM)
ξˆ : M ×D →M (microfluxos emM)
com ξˆ(x, ε) = ξ(x)(ε). Note que, assim ξˆ(x, 0) = x.
Tambe´m obtemos, por sua vez, uma correspondeˆncia bijetora entre microfluxos
emM e microcaminhos emMM com a aplicac¸a˜o identidade enquanto ponto base:
ξˆ : M ×D →M (microfluxos emM)
ξ∗ : D →MM (microcaminhos emM) ,
com:
ξ∗(ε)(x) = ξˆ(x, ε) = ξ(x)(ε).
Assim, em particular,
ξ∗(0)(x) = ξ(x)(0) = x,
de modo que ξ∗(0) e´ a aplicac¸a˜o identidade emM . Cada ξ∗(ε) e´ uma microtransformac¸a˜o
de M em si mesmo “muito pro´xima”da aplicac¸a˜o identidade.
Desta forma, na categoria S, campos vetoriais, microfluxos e microcaminhos
sa˜o naturalmente equivalentes. No sentido cla´ssico, isto pode ser visto, no ma´ximo
como “moralmente verdadeiro”.
A Geometria Diferencial Sinte´tica tem, portanto, uma caracterı´stica unificadora
ao consubstanciar no sentido descrito acima os conceitos de campos vetoriais tan-
gentes, microfluxos e microcaminhos.
18 JEAN CERQUEIRA BERNI
5. EM BUSCA DE TOPOSES CLASSIFICANTES
O objetivo prima´rio de nossa pesquisa e´ analisar a possiblidade de contruir to-
poses classificantes para certas questo˜es da Geometria Diferencial Sinte´tica. Des-
creveremos, a seguir, alguns conceitos:
Definic¸a˜o 5.1. Um morfismo geome´trico entre duas categorias, f : E → F e´ uma
classe de equivaleˆncia de pares adjuntos, [(f∗, f∗)], tais que o adjunto a` esquerda,
f∗ : F → E preserva limites finitos.
Definic¸a˜o 5.2. Uma teoria geome´trica e´ uma teoria de primeira ordem cujos mo-
delos sa˜o preservados e refletidos por morfismos geome´tricos.
Definic¸a˜o 5.3. Seja T uma teoria geome´trica sobre uma dada assinatura. Um
topos classificante de T e´ um topos de Grothendieck Set (T), tal que para todo
topos de Grothendieck E , temos a equivaleˆncia natural de categorias:
Geom (E ,Set (T)) ' T−mod (E).
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer, em especial, ao Prof. Dr. Hugo Luiz Mariano por ensejar
a oportunidade de estudar este interessante to´pico da Matema´tica.
REFEREˆNCIAS
[1] J. L. BELL, Two approaches to modelling the universe: Synthtetic Differential Geometry and
Frame-Valued Sets.
[2] R. P. KOSTECKI, Differential Geometry in Toposes.
[3] A. KOCK, Synthetic Differential Geometry, Cambridge University Press, 2nd edition, 2006.
[4] A. KOCK, Synthetic Geometry of Manifolds, Cambridge University Press, 2009.
[5] F. M. FILTER, Multi-date changing and related topics, Springer, Berlin, 1951.
INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA - IME - USP
RUA DO MATA˜O, 1010
CIDADE UNIVERSITA´RIA, SA˜O PAULO, SP
BRASIL
E-mail address: jeancb@ime.usp.br
	1. Introdução
	2. Alguns Conceitos da Geometria Diferencial Sintética3. Incompatibilidade com a Lógica Clássica
	4. Objetivos da Geometria Diferencial Sintética
	4.1. A Funtorialidade do Fibrado Tangente
	5. Em Busca de Toposes Classificantes
	Agradecimentos
	Referências

Outros materiais