Advail pesquisa Operacional

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA- UNIDERP
CENTRO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ADMINISTRAÇÃO
“Pesquisa Operacional”
Advail Garcia Vieira _ RA: 
 
MIRANDA-MS
Novembro/ 2015
INTRODUÇÃO
	 Todo problema de Programação Linear (PPL) consiste dos seguintes elementos: Variáveis de decisão: variáveis consideradas relevantes ao problema, passíveis de quantificação e disponíveis. Função objetivo: é uma função, produto dos coeficientes pelas variáveis de decisão, que se deseja aperfeiçoar no problema. Restrições: elementos restritivos que todo problema possui.
ETAPA 1
PASSO 1- Foi feita a pesquisa sobre Programação Linear.
PASSO 2- 
Exemplo com gráfico linear: 
Observe a situação a seguir, onde há uma empresa que pretende otimizar a produção mensal de dois produtos um armário e duas cadeira. 
Nesta situação é necessária entender que: 
* O objetivo é maximizar o lucro total da venda da produção; 
* A produção está superiormente limitada pelos 300 metros de madeira e 110 horas de trabalho disponíveis; 
* São possíveis vários níveis de produção; 
* Dos possíveis níveis de produção é necessário conhecer qual ou quais podem classificar-se de ótimos.
Definir as duas variáveis de decisão:
x1 como o número de unidades do produto armário; 
x2 como o número de unidades do produto cadeira. 
Em x1 unidades de armário consomem-se 30x1 metros de madeira; 
Em x2 unidades de cadeiras consomem-se 20x2 metros de madeira. 
Não podemos ultrapassar os 300 metros de madeira disponíveis então:
 30x1 =20x2 =300. 
Em x1 unidades de armário consomem-se 5x1 horas de trabalho; 
Em x2 unidades de cadeiras consomem-se 10x2 horas de trabalho; 
Não podemos ultrapassar às 110 horas de trabalho disponíveis então temos que:
 5x 1 ou 10 x 2 =110. 
E a restrição de não negatividade do problema x. 
O lucro da venda de 1 unidade de armário é de $ 60; 
O lucro da venda de 1 unidade de cadeira é de $ 80; 
O lucro total da venda de x1 unidades de armário e de x 2 unidades de cadeira é de 6x 8x .
O objetivo é conhecer o maior valor que é possível ao atingir o lucro total 1 e 2 
60x 80x, ou seja, é necessário calcular o máximo da função linear f (x , x ) 60x 80x condicionado às restrições. 
Resumindo: 
* Maximizar o lucro total das vendas f (x1, x2)=60x1+80x2 (função objetivo); 
* Restrições do problema Madeira: 30 x1 e 20 x2 em 300 e Horas de trabalho: 
5x1 e 10 x 2 = 110 ; 
* Restrições de não negatividades x1, x2 = 0. 
Geometria do modelo de Programação Linear 
Considere um sistema de eixos cartesianos com o eixo das abscissas associado a x1 (produção de A) e o eixo das ordenadas associado a x2 (produção de B). Relaxando a condição de desigualdade das restrições técnicas, estas passam a ser equações que definem retas. Cada uma destas retas divide o espaço em dois semi-espaços. 
Pela condição de não negatividade temos que, somente os pontos do 1° quadrante são soluções admissíveis. Pela outras restrições técnicas dos problemas obtemos a região das possíveis soluções do problema. Pelas interseções de todos os semi-espaços definidos pelas desigualdades temos a região poliedral convexa fechada (região factível). 
A figura a seguir apresenta o espaço de soluções possíveis (região factível) 
Qualquer ponto da região factível é uma possível solução, então agora resta saber qual deste ponto torna o valor máximo para a função objetivo. Considere: 
* A função tem valor 0, a equação desta curva de nível é 60x1 80x2 0 ; 
* A função tem valor 24, a equação desta curva de nível é 60x1 80x2 24
* A função tem valor 48, a equação desta curva de nível é 60x1 80x2 48.
PASSO 3-
Verificou-se que o valor da função aumenta à medida que nos afastamos da origem, então a última curva de nível que podemos traçar contendo um ponto da região factível é a correspondente ao máximo da função objetivo e o ponto de interseção das retas 30x1 e 20x2 = 300 e 5x1 e 10x2 =110 é o ponto ótimo com coordenada (4, 9) sendo o máximo da função objetivo: f (4,9) = 60, 40, 80, 90, 240, 720, 960.
A produção ótima é, portanto de 4 unidades de armário e 9 unidades de cadeiras a que está associada o lucro máximo de 960 dólares.
A conclusão é que para administrar com eficiência os recursos na empresa, através de planejamento, controle e execução das atividades relacionadas á utilização destes, é fator fundamental para a otimização do resultado da empresa. 
Pois as técnicas de pesquisa operacional permitem identificar o resultado, considerando todas as restrições impostas no modelo adotado. Assim, é possível conseguir o melhor resultado possível.
ETAPA 2
PASSO 1- 
Foi feita a pesquisa sobre o tema Modelagem de problema de alocação de recursos, bem como um resumo das informações analisadas.
PASSO 2- 
Foi feito o levantamento bibliográfico sobre a maneira adequada deconstruir um modelo matemático para situação problema em programação linear.
PASSO 3- 
A definição do problema baseia-se em três aspectos; 
-Descrição exata dos objetivos do estudo; 
-Identificação das alternativas de decisão existentes; 
-Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema. 
A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o estudo, pois é a partir dela que o modelo é concebido. É essencial que as alternativas de decisões e as limitações sejam todas explicitas. 
 Construção do modelo: 
O modelo mais adequado para a representação deve ser escolhido com base na definição do problema, sendo que pode se utilizar modelos dos mais simples, até os modelos matemáticos complexos que exigem uma força de trabalho muito grande da equipe. Em alguns casos tem-se a necessidade de uma combinação de duas metodologias para a solução do problema. 
Solução do modelo: 
Tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído. No caso da análise dos modelos matemáticos, pelo algarismo mais adequado em termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Neste caso encontra-se a solução ótima. 
Validação do modelo:
Um modelo é válido se ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e uma resposta que possa contribuir para a qualidade da decisão a ser tomada. Este sistema de validação não se aplica a projetos, ou seja, sistemas inexistentes. Um método para testar o sistema é analisar seu desempenho com dados passados e ver se ele reproduz o que o sistema manifestou. 
Implantação da solução 
Após avalia a vantagem e a viabilidade obtida, estas devem ser convertidas em regra operacional. A implantação altera uma situação existente, sendo esse um ponto crítico, por isso convém que a equipe de implantação, também acompanhe a implantação da solução. A presença da equipe permite superar mais facilmente as resistências e oposições referentes à implantação das alterações propostas na sistemática. 
Avaliação Final 
As avaliações obtidas em qualquer etapa do processo são de fundamental importância, pois garantem a melhor adequação das decisões às necessidades do sistema e aceitação mais fácil dessas decisões pelos envolvidos. 
Um fator primordial na avaliação é a experiência do pessoal envolvido no estudo, pois o modelo é apenas uma representação simplificada que não capta todas as características e mudanças da realidade. Então é com a experiência e visão crítica que conseguimos avaliar e determinar a aplicabilidade da decisão. 
Programação Linear 
Com base na definição de Moreira (2007), a programação linear é o modelo matemático mais popular, com o objetivo de resolver problemas que apresentam variáveis que possam ser medidas e cujo relacionamento possa ser expresso por meio de equações ou inequações lineares. O objetivo é maximizar ou minimizar a função objetivo, obedecendo a todas as restrições impostas. 
Ainda segundo Moreira (2007, p.12), o nome “linear vem do fato que tanto a expressão que forma a função objetivo, quanto às restrições, são expressas linearmente, ou seja, todas as variáveis aparecem com expoente igual à unidade”.Segundo Caixeta-Filho (2001 p.10), o conceito programação linear é: A programação linear nada mais é que um aprimoramento de um técnica de resolução de sistema de equações lineares via inversões sucessivas de matrizes, com a vantagem de incorporar uma equação linear adicional representativa de um dado comportamento que deve ser otimizado. 
Para Hein (2009), programação linear busca a resolução de problemas de maximização de lucro ou minimização de custos de algum objeto, atendendo a um conjunto de restrições, que culmina com a obtenção da solução ótima. 
Para Goldbarg (2000), o modelo de programação linear serve de base para o entendimento de todos os outros modelos matemáticos. Para que um sistema possa ser representado por meio de um modelo de PL, ele deve possuir algumas características descritas abaixo: 
• Proporcionalidade, a quantidade de recursos consumidos por uma determinada atividade deve ser proporcional ao nível desta atividade na solução final do problema. 
• Não negatividade, deve sempre ser possível desenvolver a dada atividade em qualquer nível e qualquer proporção de um dado recurso deve sempre ser utilizado. 
• Aditividade, o custo total é a soma das parcelas associadas a cada atividade. 
• Separabilidade pode-se identificar de forma separada o custo específico das operações de cada atividade. 
Modelos matemáticos 
Conforme Andrade (2009), a metodologia da pesquisa operacional é mais desenvolvida para a solução de problemas representados por modelos matemáticos, sendo que depende de vários fatores, como: 
• Natureza matemática das relações entre as variáveis; 
• Objetivos do responsável pela decisão; 
• Extensão do controle sobre as variáveis de decisão; 
• Nível de incerteza associado ao ambiente da decisão. 
Andrade (2009) argumenta que, com base nessas condições, podemos dividir os modelos matemáticos em dois macros grupos: 
• Modelos de simulação são modelos que fornecem análises alternativas antes da implantação, através de simulações, dando ao analista a liberdade de flexibilidade com relação à escolha da ação. 
• Modelos de otimização, o método não permite a flexibilidade na escolha de alternativas, pois é estruturada para selecionar uma única, que será considerada ótima, segundo critério estabelecido pelo analista, a importância dos modelos matemáticos para as organizações esta na pesquisa operacional que lida com problemas de como conduzir e coordenar certas operações em uma organização e tem sido aplicados em diversas áreas, tais como: indústrias, transportes, telecomunicações, finanças, saúde, serviço público e operações militares entre outras, procurando obter a melhor solução, ou a solução ótima para o problema, ajudando assim, o administrador na tomada de decisão mais correta para o problema (Moreira, 2007). 
Para Hein (2009), a pesquisa operacional como ciência estrutura processos, propondo um conjunto de alternativa de ações, fazendo a previsão e a comparação de valores, de eficiência e de custos, buscando a otimização. Desde os tempos mais remotos o ser humano vem se dedicando a minimizar esforços e a maximizar os resultados. Os modelos matemáticos podem ser utilizados nas organizações, sempre, para buscar a maximização do lucro, ou a minimização dos custos. 
Segundo (Andrade, 2009), o processo de tomada de decisão de um executivo caracteriza-se pelo alto grau de racionalidade. Com a utilização de modelos matemáticos, pode se fazer simulações com dados reais para encontrar a melhor solução, ou seja, a decisão mais adequada. 
ETAPA 3
PASSO 1-
Foi feita a pesquisa na biblioteca Polo Apoio Presencial. 
PASSO 2-
A Indústria Belos móveis fabrica dois tipos de produtos: Cadeiras e mesas. Os produtos apresentam as seguintes margens de contribuição: 
Margem de contribuição unitária: Cadeira $ 10,00 e Mesa $ 8. Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar por esses departamentos, cada unidade consome determinado número de horas conforme indicado abaixo: 
	Departament0
	Cadeiras
	Mesas
	Capacid. máxima
	Montagem
	3 horas
	3 horas
	30 horas
	Acabamento
	6 horas
	3 horas
	48 horas
As variáveis são informações que apontam as decisões que deverão ser tomadas e as possíveis decisões, através de variáveis chamadas variáveis de decisão. No caso do problema acima as variáveis são de programação de produção, nas quais são as quantidades a serem produzidas em determinado período. 
Variáveis: 
• Cadeira: X1 
• Mesa: X2  
A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo, este pode ser lucro, custo, receita dentre outros. São descritos geralmente na função como Maximização ou Minimização. Depois de definirmos as variáveis criamos a função objetivo. 
Função objetivo: 
• MaxMCT = 10. X1 + 8.X2 
Há alguns limites impostos nos problemas e devemos expressa-los com uma relação linear, montadas com as variáveis de decisão. Então; Segundo as restrições: 
3x1 + 3x2 ≤ 30
6x1 + 3x2 ≤ 48
Restrição de não negatividade, na qual afirma que as variáveis não podem assumir valores negativos. No caso do problema acima significa que não existem cadeiras e mesas negativas. x1 e x2 ≥ 0 
Resolvendo graficamente o problema proposto, esboçamos no plano cartesiano o conjunto de pontos que satisfazem às restrições. O conjunto de pontos que atendem a todas as restrições é chamado de região viável ou conjunto de pontos viáveis. 
Representando cada uma das retas correspondentes temos: 
1 3x1 + 3x2 = 30 
Se x1 = 0, então 3 . 0 + 3 .x2 = 30. Ou seja, x2 = 10 
Se x2 = 0, então 3 . x1 + 3 . 0 = 30. Ou seja, x1 = 10 
2 6x1 + 3x2 = 48 
Se x1 = 0, então 6 . 0 + 3 .x2 = 48. Ou seja, x2 = 16 
Se x2 = 0, então 6 . x1 + 3 . 0 = 48. Ou seja, x1 = 08 
As Restrições de Não Negatividade, x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 representam o primeiro quadrante do gráfico de soluções. 
PASSO 3- 
Sendo a função objetivo uma função linear de duas variáveis, as curvas de nível são retas paralelas. O vetor gradiente, além de nos indicar a direção em que a função varia mais rapidamente, nos fornece também o sentido de crescimento da função. Para achar a solução ótima deve-se localizar o último ponto por onde passa a curva de nível, ela será a solução ótima. 
ETAPA 4
PASSO 1-
SOLVER 
“A opção Solver no Excel pode ser utilizada para resolver problemas de otimização lineares e não lineares. As restrições de inteiros podem ser colocadas nas variáveis de decisão. O Solver pode ser utilizado para resolver problemas com até 200 variáveis de decisão, 100 restrições implícitas e 400 restrições simples (limites inferior e superior e/ou restrições de inteiros nas variáveis de decisão).” Fonte: http://mit.universia.com.br/15/15053/pdf/usingexcelsolver.pdf, Acesso: 19/11/2015 as 13:32. 
	 Função
	Coeficiente da variável
	Objetivo
	X1
	X2
	X3
	X4
	
	10
	8
	0
	0
	Variáveis
	6
	4
	0
	0
	Z=
	92
	
	
	
 RELATÓRIOS DO SOLVER 
Através de dados preenchidos no quadro a cima, utilizando o Solver, ele cria três relatórios para o problema linear. São eles, relatório de resposta, relatório de sensibilidade e relatório de limites. 
PASSO 2-
 Relatório de Resposta 
“O Relatório de Resposta fornece os valores original e final da Célula de Destino e de todas as Células Ajustáveis, bem como uma lista de cada restrição e seu status.” Fonte: http://mit.universia.com.br/15/15053/pdf/usingexcelsolver.pdf, Acesso: 21/11/2015 as 13:32. 
Para o problema utilizado acima o relatório gerou as seguintes informações. 
	Microsoft Excel 11.0 Relatório de resposta
	Planilha: [SOLVER - PO.xls]tb1
	Relatório criado: 21/11/2015 14:54:12
	Célula de destino (Máx)
	Célula
	Nome
	Valor original
	Valor final
	$B$7
	Z= X1
	0
	92
	Células ajustáveis
	Célula
	Nome
	Valor original
	Valor final
	$B$6
	VARIÁVEIS X1
	0
	6
	$C$6
	VARIÁVEIS X2
	0
	4
	$D$6
	VARIÁVEIS X3
	0
	0
	$E$6
	VARIÁVEIS X4
	0
	0
	Restrições
	
	
	
	
	Célula
	NomeValor da célula
	Fórmula
	Status Transigência
	|$F$11
	LHS
	30
	$F$11
	
PASSO 4- 
Programação Linear
Desenvolvido após a segunda guerra mundial como instrumento de administração, por esforços concentrados em pesquisas econômicas, rapidamente tornou-se uma das ferramentas mais eficazes para estudos de gestão em organização de transporte, determinação de politica de estoques, estudos de fluxo de caixa e investimentos, estudos de sistemas de informação e dos problemas de produção e mistura de componentes. Com o passar do tempo, o desenvolvimento da programação linear tem sido classificado entre os mais importantes avanços científicos dos meados do século XX. Passou a ser uma ferramenta-padrão para as grandes empresas auxiliando no aumento de lucro e baixo desperdício. 
A programação linear usa um modelo matemático para descrever o problema em questão. O objetivo linear significa que todas as funções matemática nesse modelo são necessariamente funções lineares. A palavra programação, não se refere á programação de computador; ela é, essencialmente, um sinônimo para planejamento. Então programação linear (PL) pode se resumir a planejamento de atividades para se obter um resultado que atinja o melhor objetivo especificado entre todas as alternativas viáveis. 
Dentro de varias vantagens, a PL apresenta uma grande eficiência dos algoritmos de solução, ou seja, resolução de problemas ligados à otimização.
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, E. L de. Introdução a Pesquisa Operacional. Métodos e modelos para análise de decisões. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
HEIN, Nelson. Pesquisa Operacional. Fundamentos e modelos. São Paulo: Saraiva 2009.
LACHTERMACHER,. Pesquisa Operacional, PLT 401.
MOREIRA, D. A. Pesquisa Operacional: Curso introdutório. São Paulo, Thomson Learnig, 2007.